probacours premiere partie

Probabilités
A. najmi
1. Introduction
La théorie des probabilités est l’étude mathématique des phénomènes
caractérisés par le hasard et l’incertitude. Elle forme avec la statistique
les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathéma-
tiques. Les débuts de l’étude des probabilités correspondent aux pre-
mières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes
climatiques par exemple.
Bien que le calcul de probabilités existe sur des questions liées au
hasard depuis longtemps, la formalisation mathématique n’est que ré-
cente. Elle date du début du XXesiècle avec l’axiomatique de Kol-
mogorov. Des objets tels que événements, mesures de probabilité,
espaces probabilisés ou variables aléatoires sont centraux dans la théorie.
Ils permettent de traduire de manière abstraite les comportements des
quantités mesurées qui peuvent être supposés aléatoires. En fonction
du nombre de valeurs possibles pour le phénomène aléatoire étudié,
la théorie des probabilités est dite discrète ou continue. Dans le cas
discret, c’est-à-dire pour un nombre au plus dénombrable d’états possi-
bles, la théorie des probabilités, dans le cas des probabilités uniformes,
se rapproche de la théorie du dénombrement ; alors que dans le cas
continu, la théorie de l’intégration et la théorie de la mesure donnent
les outils nécessaires.
Les objets et résultats probabilistes sont un support nécessaire à la
statistique, c’est le cas par exemple du théorème de Bayes. Cette mod-
élisation du hasard permet également de résoudre plusieurs paradoxes
probabilistes.
L’étude de l’indépendance d’événements ou d’expériences, pour une
probabilité donnée à l’avance, consiste à chercher si les événements ou
les expériences sont liées ou se produisent indépendamment les uns des
autres (On peut raisonnablement penser que le fait de boire de l’alcool
et celui de provoquer un accident routier ne sont pas indépendants l’un
1

2 A. NAJMI
de l’autre). Les probabilistes ont dé…nit la notion d’indépendance à
partir de la notion d’indépendance en statistique.
2. Introduction au calcul des probabilités
Définition 2.1.Une expérience aléatoire est une expérience dont
on ne peut prédire les résultats à l’avance.
Exemple 2.2.Avant le lancer (expérience) d’un dé “parfait”, on
ne peut savoir à l’avance quel chi¤re de 1 à 6 va apparaitre.
Définition 2.3.On appelle univers l’ensemble de tous les ré-
sultats possibles d’une expérience aléatoire que je peux codi…er d’une
certaine manière.
Exemple 2.4 (s).(1) Si l’expérience consiste au lancer d’un
dé “parfait”:
(a) Si je m’interêsse au résultat de la face “d’en haut”, alors
 = [6] :
(b) Si je m’interêsse à la parité du résultat, alors  = fpair; impairg:=
fP; Ig
(2) Si l’expérience consiste aux lancers simultanés d’une pièce de
monnaie et d’un dé, alors  = [6]f; F gou  = f; F g[6] :
(3) Lancer de deux dés discernables (par exemple un dé noir et
un dé blanc). Alors  = [6]B[6]Nou  = [6]N[6] et alors
jj= 36:
(4) Lancers simultanés de deux dés indiscernables (même consis-
tance et même couleur). Alors
 = P2([6])[f<1;1>; < 2;2>; < 3;3>; < 4;4>; < 5;5>; < 6;6>g;
alors jj=C2
6+ 6 = 15 + 6 = 21 = C2 6+21=C2 7:C’est le
cardinal de Q2([6]) :
(5) Lancers d’une même pièce de monnaie et ne s’arrêter qu’une
fois on a “pile”pour la première fois. Alors,  = f; F ; F F ; ::g:
(6) Lancers d’une même pièce de monnaie et ne s’arrêter qu’une
fois on a “pile”pour la rieme fois, alors
 = 8
<
::::
|{z}
rfois
; F :::
| {z }
r+1 fois
; F :::
| {z }
r+1 fois
; :::9
=
;:
(7) Choisir un nombre au “hasard”dans [0;1] intervalle de R, alors
 = [0;1] :
(8) Mesurer la durée de vie d’un certain type d’ampoules éléc-
triques (améliorables):
(a) d’une façon aussi précise que l’on veut, alors  = [0;+1[:

PROBABILITÉS 3
(b) à l’heure près, alors,  = N.
(9) On considère une cible plane composée d’un disque intérieur
sur lequel est écrit 100 DH, superposé d’une couronne sur
laquelle est écrit 50 DH, laquelle est superposée d’une autre
couronne sur laquelle est écrit 20 DH:
(a) Si on considère le gain du joueur, alors  = f0;20;50;100g;
0DH si je rate la cible.
(b) Si je m’interesse au point d’impact, …ctif ou réel, de la
‡èche avec la cible, alors  = R2
(c) Si je m’interesse à la distance du point d’impact, …ctif ou
réel, au centre de la cible, alors  = R+:
Donc, de façon général, il n’y a aucune règle précise à priori pour
choisir l’univers :Ce sont les conditions de l’expérience et ce que veut
l’expérimentateur qui imposent le choix de l’univers :
2.1. Tribus de parties de :· Evénements.
Définition 2.5.On appelle -algèbre ou tribu de parties de 
toute famille non vide @ P () telle que:
(1) Pour tout A2@,Ac:= CA
2@(@est complémenté).
(2) Pour toute famille fAngn2N(dénombrable) d’éléments de @:
S
n2N
An2@(@est stable par réunion dénombrable).
Définition 2.6.(1) Par anticipation, un événement (évé) est
un élément de P() dont on peut dé…nir la probabilité.
(2) Les singletons de sont appelés évé élémentaires.
3. Probabilités
La théorie des probabilités s’interêsse à l’étude de l’aspect aléatoire
des phénomènes aléatoires.
Définition 3.1.On appelle probabilité sur l’espace probabilisable
(;@) toute application P: @ ! [0;1] telle que:
(1) P() = 1.
(2) PS
i2N
Ai=P
i2N
P(Ai)pour tout système d’évé. fAigi2N
incompatibles (disjoints deux à deux) d’évé de @.
Proposition 3.2.Soient (;@; P )un espace probabilisable; A; B;
(Ai)i2Ndes éléments de @. Alors,
(1) P(Ac)=1P(A):
(2) P(;) = 0:

4 A. NAJMI
(3) Si AB; alors P(A)P(B)et P(BnA) = P(B)P(A):
(4) P(AnB) = P(A)P(A\B):
(5) P(A[B) = P(A) + P(B)P(A\B):
(6) Si An%Adans @, alors lim
n!1 P(An) = PS
n2N
An:=
P(A):
(7) Si An& ; dans @, alors lim
n!1 P(An) = 0:
(8) Si An&Adans @, alors lim
n!1 P(An) = PT
n2N
An:=
P(A):
Preuve. (1) On a A\Ac=;; A [Ac= :D’où, P() =
1 = P(A) + P(Ac):
(2) On a ;\ = ;;;[ = :D’où, P() = 1 = P(;) + P() :
(3) B= (BnA)A(i:e:; (BnA)\A=;et (BnA)[A=B). D’où,
P(B) = P(BnA) + P(A)et P(BnA) = P(B)P(A)0:
(4) A= (A\B)(AnB):D’où, P(A) = P(A\B) + P(AnB):
(5) A[B= (A\B)(AnB)(BnA):D’où, P(A[B) =
P(A\B) + P(AnB) + P(BnA)Et par 4. on a P(A[B) =
P(A\B) + P(A)P(A\B) + P(B)P(A\B):
(6) Les assertion 6,7et 8résulent de la proposition qui va suivre.
Définition 3.3.Une application P: @ ! [0;1] est une proba-
bilité si:
(1) P() = 1.
(2) P(A[B) = P(A) + P(B)si A\B=;:
(3) An%Adans @, alors P(An)%P(A):
Définition 3.4.Une application P: @ ! [0;1] est une proba-
bilité si:
(1) P() = 1.
(2) P(A[B) = P(A) + P(B)si A\B=;:
(3) An&Adans @, alors P(An)&P(A):
Définition 3.5.Une application P: @ ! [0;1] est une proba-
bilité si:
(1) P() = 1.
(2) P(A[B) = P(A) + P(B)si A\B=;:
(3) An& ; dans @, alors P(An)&0:
Proposition 3.6.Les dé…nitions 3.1, 3.3, 3.4,et 3.5 sont équiva-
lentes.

PROBABILITÉS 5
Preuve. (1) Montrons que les dé…nitions 3.4,et 3.5 sont équiv-
alentes. Comme il est évident que P(;) = 0;il s’agit unique-
ment de prouver que: “An&Adans @, alors P(An)&
P(A)”() “An& ; dans @, alors P(An)&0:”. La con-
dition nécéssaire est évidente. Maintenant si “An&Adans
@, alors AnnA& ; dans @et alors P(AnnA)&P(;)”. Or
An= (AnnA)LA; et par le 2) de la déf 3.4 on a P(AnnA) =
P(An)P(A). Par le 3) de la proposition précédente on a
P(An)&P(A):D’où le résultat.
(2) Par passage aux complémentaires les dé…nitions 3.3 et 3.4 sont
équivalentes.
(3) Montrons maintenant que Definition 3:1() Definition 3:3.
(a) Definition 3:3 =)Definition 3:1. Soit A=S
i2N
Aiavec
les Aidisjoints deux à deux.. Posons Bn=
i=n
S
i=0
Ai:Alors,
Bn%Aet par hypothèse, P(Bn)%P(A):Or par 2)
de la Dé…nition 3.3, P(Bn) =
i=n
P
i=0
P(Ai):Ce qui fait que
P(A) = lim
n!1
i=n
P
i=0
P(Ai) = 1
P
i=0
P(Ai):
(b) Definition 3:1 =)Definition 3:3:
(i) Supposons que A\B=;pour A; B 2@:Prenons
A0=A,A1=Bet Ai=;pour i2:Par 2) de
la Dé…nition 3.1, on a P(A[B) = PL
i0
Ai=
1
P
i=0
P(Ai) = P(A) + P(B):
(ii) Supposons que An%A=S
i0
Ai:Posons B0=A0
et Bi=AinAi1pour i1:Alors les (Bi)i2N
sont disjoints deux à deux, A=S
i0
Biet par 2)
de la Dé…nition 3.1, on a P(A) = 1
P
i=0
P(Bi) =
lim
n!1
n
P
i=0
P(Bi) = lim
n!1 P(A0) +
n
P
i=1
P(AinAi1)=
lim
n!1 P(An);car pour tout i1; P (Ai) = P(AinAi1)+
P(Ai1):