142. UTILISATION DE GROUPES EN GÉOMÉTRIE Prérequis - Notations ℰ espace affine de dimension finie, 𝐸 = ℰ⃗ son espace vectoriel associé. Groupe affine 𝐺𝐴(ℰ), groupe linéaire 𝐺𝐿(𝐸). Groupe orthogonal 𝑂2 , groupe orthogonal 𝑂3 , groupe symétrique 𝔖𝑛 . Quelques groupes de 𝑮𝑨(𝓔) I. THM-0. L’application : 𝝓: (𝐺𝐴(ℰ ),∘) ⟶ (𝐺𝐿(𝐸 ),∘) 𝑓 ⟼ est un morphisme de groupes surjectif. 𝑓⃗ Preuve : Morphisme car, si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐺𝐴(ℰ) : 𝜙(𝑓 ∘ 𝑔) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓⃗ ∘ 𝑔⃗ = 𝜙(𝑓) ∘ 𝜙(𝑔) Surjectif car toute application affine est définie de manière unique par la donnée : d’un couple de points tels que 𝑓 (𝐴) = 𝐵 ; et par 𝑓⃗. En particulier, il existe 𝐴 ∈ ℰ. Donc à chaque application linéaire 𝑓⃗, on peut associer une application affine 𝑓 telle que 𝑓 (𝐴) = 𝐴 et de partie linéaire 𝑓⃗. DÉF-1. Le noyau de 𝜙 est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des translations 𝑻(𝓔). Preuve : Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ. En effet : 𝐼𝑑 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜙) car 𝜙 (𝐼𝑑) = 𝐼𝑑 si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐾𝑒𝑟(𝜙) : 𝜙(𝑓 ∘ 𝑔−1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 ∘ 𝑔−1 = 𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔−1 = 𝑓⃗ ∘ 𝑔⃗−1 = 𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑−1 = 𝐼𝑑 {𝐼𝑑} est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐿(𝐸 ). Or, l’image réciproque par un morphisme de groupes d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué. COR-1. Soit 𝑡 = 𝑡𝑢⃗⃗ ∈ 𝑇(ℰ ) et 𝑔 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ). Alors : 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑔−1 = 𝑡𝑔⃗⃗(𝑢⃗⃗) . Preuve : Soit 𝑥 ∈ ℰ : 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑔−1 (𝑥) = 𝑔 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ (𝑔−1 (𝑥)) = 𝑔(𝑔−1 (𝑥) + 𝑢 ⃗⃗ ) = 𝑔(𝑔−1 (𝑥)) + 𝑔⃗(𝑢 ⃗⃗) = 𝑥 + 𝑔⃗(𝑢 ⃗⃗ ) DÉF-2. L’image réciproque du groupe des homothéties vectorielles {𝜆𝐼𝑑, 𝜆 ∈ ℝ∗ } par 𝜙 est un sousgroupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des homothéties-translations 𝑯𝑻(𝓔). 𝑇(ℰ ) ⊂ 𝐻𝑇(ℰ ). Preuve : 𝐻 (𝐸 ) = {𝜆𝐼𝑑, 𝜆 ∈ ℝ∗ } est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) : 𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) si 𝑓⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) et 𝑔⃗ = 𝜇𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) alors 𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔−1 = 𝜆𝐼𝑑 ∘ 𝜇−1 𝐼𝑑 = (𝜆𝜇 −1 )𝐼𝑑 ∈ 𝐻 (𝐸 ) 𝐻 (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car, si ℎ⃗⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻(𝐸 ) et 𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸) : −1 ∘ 𝑓⃗ = 𝜆𝐼𝑑 ∈ 𝐻(𝐸 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 −1 ∘ ℎ⃗⃗ ∘ 𝑓⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 −1 ∘ 𝜆𝐼𝑑 ∘ 𝑓⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 −1 ∘ 𝜆𝑓⃗ = 𝜆𝑓 Or, l’image réciproque par un morphisme d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué. COR-2. Soit ℎ = hom(𝐶, 𝜆) ∈ 𝐻𝑇 (ℰ ) et 𝑔 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ). Alors : 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = hom(𝑔(𝐶 ), 𝜆). Preuve : Comme 𝐻𝑇 (ℰ ) est distingué, 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 ∈ 𝐻𝑇(ℰ ) et pourrait donc être une translation. Cherchons un éventuel point fixe A : 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 (𝐴) = 𝐴 ℎ ∘ 𝑔−1 (𝐴) = 𝑔−1 (𝐴) donc 𝑔−1 (𝐴) est fixe pour ℎ c’est à dire 𝑔−1 (𝐴) = 𝐶 donc 𝐴 = 𝑔(𝐶 ). 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 est donc une homothétie de centre 𝑔(𝐶 ). Cherchons son rapport : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = 𝑔⃗ ∘ 𝜆𝐼𝑑 ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔−1 = 𝜆𝑔⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔−1 = 𝜆𝐼𝑑 Donc : 𝑔 ∘ ℎ ∘ 𝑔−1 = hom(𝑔(𝐶 ), 𝜆). EX-1. Soient 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ deux triangles de sommets distincts. 𝑫é𝒔𝒂𝒓𝒈𝒖𝒆𝒔 ∶ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴′ 𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑡 (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ ) ⟹ (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 Réciproquement : (𝐴𝐵) ∥ (𝐴′ 𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑡 (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ⟹ (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ ) Preuve sens direct : 𝐴 Premier cas : (𝐴𝐴′ ) ∦ (𝐵𝐵′ ) 𝐼 Nommons 𝐼 l’intersection de (𝐴𝐴′ ) et (𝐵𝐵′ ) et montrons que 𝐼 ∈ (𝐶𝐶 ′ ). Notons ℎ = ℎ𝐼,𝐴→𝐴′ . ′ 𝐴′ ′ ′) 𝐶 𝐶′ 𝐵 ′ Alors ℎ(𝐵) = 𝐵 car (𝐴𝐵) ∥ (𝐴 𝐵 et 𝐼, 𝐵, 𝐵 sont alignés. 𝐵′ De même ℎ(𝐶 ) ∈ (𝐴′ 𝐶 ′ ) car (𝐴𝐶 ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ′ ) et ℎ(𝐶 ) ∈ (𝐵′ 𝐶 ′ ) car (𝐵𝐶 ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ′ ). Donc ℎ(𝐶 ) = 𝐶 ′ donc 𝐼, 𝐶 𝑒𝑡 𝐶 ′ sont alignés. Donc les trois droites sont bien concourantes. 𝐴′ 𝐴 Deuxième cas : (𝐴𝐴′ ) ∥ (𝐵𝐵′ ) : idem avec 𝑡 = 𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ 𝑡 (𝐴𝐶 ) = (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝐶′ 𝐶 𝑡 (𝐵𝐶 ) = (𝐵′ 𝐶 ′ ) Donc 𝑡(𝐶 ) = 𝐶 ′ donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐶 ′ et (𝐴𝐴′ ) ∥ (𝐵𝐵′ ) ∥ (𝐶𝐶 ′ ). 𝐵′ 𝐵 3 EX-2. Soient 𝐷 et 𝐷′ deux droites distinctes. Soit (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶 ′ ) ∈ 𝐷\𝐷′ × 𝐷′ \𝐷3 distincts. 𝑷𝒂𝒑𝒑𝒖𝒔 ∶ (𝐴𝐵′ ) ∥ (𝐴′ 𝐵) 𝑒𝑡 (𝐴𝐶 ′ ) ∥ (𝐴′ 𝐶 ) ⟹ (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ) Solution dans le cas où 𝐷 et 𝐷′ sont sécantes en 𝐼 : Notons ℎ1 = ℎ𝐼,𝐴→𝐵 et ℎ2 = ℎ𝐼,𝐶→𝐴 . ′) 𝐵 𝐶 ′ Alors ℎ1 transforme (𝐴𝐵 en (𝐴 𝐵). 𝐴 𝐼 Et ℎ2 transforme (𝐴′ 𝐶 ) en (𝐴𝐶 ′ ). 𝐴′ 𝐶′ 𝐵′ Evidemment : 𝐼 est stable par ℎ = ℎ1 ∘ ℎ2 . ℎ est la composée de deux homothéties de même centre et est donc une homothétie de centre 𝐼. Deux homothéties de même centre commutent et : ℎ1 ∘ ℎ2 (𝐶 ) = ℎ1 (𝐴) = 𝐵 ℎ2 ∘ ℎ1 (𝐵′ ) = ℎ2 (𝐴′ ) = 𝐶 ′ Donc ℎ transforme (𝐵′ 𝐶 ) en (𝐵𝐶 ′ ) donc (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ). 𝐶 𝐵 𝐴 ′ Solution dans le cas où 𝐷 et 𝐷 sont parallèles : On procède de même avec les translations suivantes : 𝑡1 = 𝑡𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑡2 = 𝑡𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ Les translations sont commutatives donc 𝑡1 ∘ 𝑡2 = 𝑡2 ∘ 𝑡1 = 𝑡 et : 𝑡(𝐶 ) = 𝑡1 ∘ 𝑡2 (𝐶 ) = 𝑡1 (𝐴) = 𝐵 𝑡(𝐵′ ) = 𝑡2 ∘ 𝑡1 (𝐵′ ) = 𝑡2 (𝐴′ ) = 𝐶 ′ Donc 𝑡 transforme (𝐵′ 𝐶 ) en (𝐵𝐶 ′ ) donc (𝐵𝐶 ′ ) ∥ (𝐵′ 𝐶 ). EX-3. Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 et trois points 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ situés respectivement sur (𝐵𝐶 ), (𝐴𝐶 ) et (𝐴𝐵) mais distincts de 𝐴, 𝐵 et 𝐶. ′𝐶 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 𝐵 𝐶′𝐴 𝑴é𝒏é𝒍𝒂ü𝒔 ∶ 𝐴′ , 𝐵′ 𝑒𝑡 𝐶 ′ 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠 ⟺ ̅̅̅̅̅ × × =1 𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐴 𝑪é𝒗𝒂 ∶ (𝐴𝐴′ ), (𝐵𝐵′ ) 𝑒𝑡 (𝐶𝐶 ′ ) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ⟺ ̅̅̅̅̅ × × = −1 𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 Solution Ménélaüs : Soit ℎ𝐴→𝐵 l’homothétie de centre 𝐶 ′ qui transforme 𝐴 en 𝐵. 𝐶 ′ Soit ℎ𝐵→𝐶 l’homothétie de centre 𝐴 qui transforme 𝐵 en 𝐶. 𝐴′ ′ Soit ℎ𝐶→𝐴 l’homothétie de centre 𝐵 qui transforme 𝐶 en 𝐴. Ces homothéties font partie du groupe 𝐻𝑇 (ℰ2 ) donc ℎ = ℎ𝐶→𝐴 ∘ ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵 aussi. 𝐵′ 𝐶′ 𝐴 𝐵 Or, par construction ℎ (𝐴) = 𝐴 donc : ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡ℎé𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 (1) Remarquons que ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵 est la composée d’une homothétie de centre 𝐶 ′ et d’une homothétie de centre 𝐴′ donc : (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣é𝑒 𝑝𝑎𝑟 ℎ𝐵→𝐶 ∘ ℎ𝐴→𝐵 𝐴′ , 𝐵′ 𝑒𝑡 𝐶 ′ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑙𝑖𝑔𝑛é𝑠 Donc : (2) ⟺ ℎ𝐶→𝐴 (𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐵′ ) 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 (𝐴′ 𝐶 ′ ) ⟺ ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 (𝐴′ 𝐶 ′ ) 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (2) ⟺ ℎ = 𝐼𝑑 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (1) 𝑐𝑎𝑟 𝐴 ∉ (𝐴′ 𝐶 ′ ) ⟺ ℎ = 𝐼𝑑 𝑑′ 𝑎𝑝𝑟è𝑠 (1) 𝑐𝑎𝑟 𝐴 ∉ (𝐴′ 𝐶 ′ ) ⟺ ℎ 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 1 ⟺ ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐴 × × =1 ′𝐶 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐴 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 La dernière équivalence découle du morphisme entre 𝐻𝑇 (ℰ ) et 𝐻(𝐸 ) et de la multiplicativité des rapports dans 𝐻 (𝐸 ). Solution Céva : Notons : 𝐷1 = (𝐴𝐴′ ) 𝐷2 = (𝐵𝐵′ ) 𝐷1 𝐷3 = (𝐶𝐶 ′ ) Supposons 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 : ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅′ ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶′𝐴 × × = × × (𝑝𝑎𝑟 𝑇ℎ𝑎𝑙è𝑠) ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ′ ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ′ ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐴 = ̅̅̅̅ × ̅̅̅̅̅ × = −1 𝐵𝐴 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ′ Supposons 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 concourantes en 𝐾 : 𝐴′ ′ 𝐷3 𝐶 𝐴 𝐶′ 𝐵 𝐷1 𝐶 ′ Alors appliquons Ménélaüs à 𝐴𝐴 𝐶 et 𝐵, 𝐾 𝑒𝑡 𝐵 : ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 𝐾𝐴 × × =1 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝐴′ 𝐵′ 𝐷2 𝐷2 𝐴′ 𝐵′ De même pour 𝐴𝐴′ 𝐵 et 𝐶, 𝐾 𝑒𝑡 𝐶 ′ : 𝐾 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝐴′ × × =1 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ ̅̅̅̅ 𝐾𝐴 𝐶′ 𝐴 𝐷3 𝐵 Et on multiplie : ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 𝐾𝐴 𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝐴′ × × × × × ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 1 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐾𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ 𝐾𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 × × × =1 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ −𝐶𝐵 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐴 × × = −1 ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐴 × × = −1 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝐶′𝐵 Réciproquement, supposons que ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐶 × ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅ ′𝐴 𝐶 × ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′𝐵 𝐷2 𝐶 𝐷1 = −1 Si 𝐷1 ∥ 𝐷2 ∥ 𝐷3 alors il n’y a rien à faire. Sinon, notons 𝐾 l’intersection de 𝐷1 et 𝐷2 et 𝐶 ′′ l’intersection de (𝐶𝐾) et (𝐴𝐵). 𝐷1 , 𝐷2 et (𝐶𝐾) sont concourantes donc d’après le point précédent : 𝐴′ 𝐵 𝐴 ′ 𝐾 𝐶′ 𝐶 ′′ 𝐵 𝐷3 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐶 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶 ′′ 𝐴 × × = −1 ̅̅̅̅̅ 𝐴′ 𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝐵′ 𝐴 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶 ′′ 𝐵 Donc : ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐴 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶 ′′ 𝐴 = ̅̅̅̅̅ 𝐶 ′ 𝐵 ̅̅̅̅̅̅ 𝐶 ′′ 𝐵 Donc 𝐶 ′ = 𝐶 ′′ donc 𝐷3 = (𝐶𝐾) et les droites sont effectivement concourantes. DÉF-3. L’image réciproque du groupe {𝐼𝑑, −𝐼𝑑} par 𝜙 est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des translations et symétries centrales 𝑻𝑺𝑪(𝓔). 𝑇𝑆𝐶 (ℰ ) ⊂ 𝐻𝑇 (ℰ ). Preuve : 𝐼 (𝐸 ) = {𝐼𝑑, −𝐼𝑑} est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) : 𝐼 (𝐸 ) ≠ ∅ 𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑 = −𝐼𝑑 ∘ −𝐼𝑑 = 𝐼𝑑 et 𝐼𝑑 ∘ −𝐼𝑑 = −𝐼𝑑 ∘ 𝐼𝑑 = −𝐼𝑑 𝐼 (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car 𝐼𝑑 commute avec tout. Or, l’image réciproque par un morphisme de groupes d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué. DÉF-4. L’image réciproque du groupe {𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸 ), det(𝑓⃗) > 0} par 𝜙 est un sous-groupe distingué de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe affine positif 𝑮𝑨+ (𝓔). Preuve : 𝐺𝐿+ (𝐸 ) = {𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸 ), det(𝑓⃗) > 0} est un sous-groupe de 𝐺𝐿(𝐸 ) : 𝐼𝑑 ∈ 𝐺𝐿+ (𝐸 ) car det(𝐼𝑑 ) = 1 ⃗ −1 ) = det(𝑓 ) > 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ det (𝑓⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔−1 ) = det(𝑓⃗) det (𝑔 det(𝑔⃗⃗) 𝐺𝐿+ (𝐸 ) est distingué dans 𝐺𝐿(𝐸 ) car, si ℎ⃗⃗ ∈ 𝐺𝐿+ (𝐸 ), det(ℎ⃗⃗) > 0 et 𝑓⃗ ∈ 𝐺𝐿(𝐸) : det(𝑓⃗) −1 ∘ ℎ −1 ) det(ℎ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∘ 𝑓⃗) = det (𝑓 ⃗⃗) det(𝑓⃗) = det (𝑓 det(ℎ⃗⃗) = det(ℎ⃗⃗) > 0 det(𝑓⃗) Or, l’image réciproque par un morphisme d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué. DÉF-5. Soit 𝑋 une partie de ℰ. 𝐺𝑋 = {𝑓 ∈ 𝐺𝐴(ℰ ), 𝑓(𝑋) = 𝑋} est un le groupe des transformations affines qui conservent 𝑿. Preuve : 𝐼𝑑 ∈ 𝐺𝑋 car 𝐼𝑑(𝑋) = 𝑋 si 𝑓 et 𝑔 sont dans 𝐺𝑋 alors 𝑔−1 aussi et 𝑓 ∘ 𝑔−1 (𝑋 ) = 𝑓 (𝐸 ) = 𝐸 Distingué ? Non. Voici un contre-exemple pour le groupe du carré : 𝐺𝑐𝑎𝑟𝑟é = {𝐼𝑑 = 𝑟0 , 𝑟90 , 𝑟−90 , 𝑟180 , 𝑠𝐼𝐾 , 𝑠𝐽𝐿 , 𝑠𝐴𝐶 , 𝑠𝐵𝐷 } Considérons la translation de vecteur 𝑢 ⃗⃗ ≠ ⃗0⃗ et appliquons au carré la composée 𝑡−𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟90 ∘ 𝑡𝑢⃗⃗ : le carré n’est pas conservé. 𝑋 COR-5. Soit 𝑋 une partie finie de ℰ. Alors tous les éléments de 𝐺𝑋 ont un point fixe en commun, et étudier 𝐺𝑋 revient à étudier les applications linéaires associées. Preuve : Considérons 𝑂 l’isobarycentre des 𝑛 points de 𝑋, et 𝑓 ∈ 𝐺𝑋 . 𝑛 1 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑥 = ⃗0⃗ 𝑛 𝑖 𝑖=1 𝑛 1 ⃗⃗) = ⃗0⃗ 𝑓⃗ (∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑥 ) = 𝑓⃗(0 𝑛 𝑖 𝑖=1 𝑛 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖 ) = ⃗0⃗ ∑ 𝑓⃗(𝑂𝑥 𝑛 𝑖=1 𝑛 1 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓(𝑂)𝑓 (𝑥𝑖 ) = ⃗0⃗ 𝑛 𝑖=1 donc 𝑓(𝑂) est isobarycentre des 𝑓(𝑥𝑖 ) qui sont ici les 𝑥𝑖 (pas forcément dans le même ordre, ce qui n’importe pas puisque les coefficients sont tous égaux) puisque 𝑓 ∈ 𝐺𝑋 . Donc 𝑓(𝑂) = 𝑂 et 𝑓 possède donc un point fixe (au moins). EX-4. Montrer que le groupe 𝐺𝑇 d’un triangle quelconque 𝑇 = {𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 } est isomorphe au groupe symétrique 𝔖3 . Solution : Il suffit de lister les applications affines qui conviennent : 𝑠1 la symétrie d’axe (𝑂𝐴1 ) parallèlement à (𝐴2 𝐴3 ) 𝑠2 la symétrie d’axe (𝑂𝐴2 ) parallèlement à (𝐴1 𝐴3 ) 𝑠3 la symétrie d’axe (𝑂𝐴3 ) parallèlement à (𝐴1 𝐴2 ) 𝑠2 ∘ 𝑠1 𝑠1 ∘ 𝑠2 𝐼𝑑 EX-5. Décrire 𝐺𝑃 le groupe du parallélogramme 𝑃 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} de centre 𝑂. Solution : 𝐽 𝐵 Déjà le centre 𝑂, en tant qu’isobarycentre, est un point fixe. Ainsi 𝐺𝑃 est isomorphe à 𝜙(𝐺𝑃 ). 𝐼 𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗). Plaçons-nous dans la base (𝑂𝐴 𝐴 𝐷 𝑐 ) 𝑑 Pour que 𝑓(𝐵) = 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 𝑜𝑢 𝐶 𝑜𝑢 𝐷 il faut que la partie linéaire soit forcément de la forme : ( 𝐿 𝐾 Pour que 𝑓(𝐴) = 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 𝑜𝑢 𝐶 𝑜𝑢 𝐷 il faut que la partie linéaire soit forcément de la forme : 0 ±1 𝑐 ( ) 𝑜𝑢 ( ±1 0 𝑑 𝐶 𝑎 𝑏 0 𝑎 ) 𝑜𝑢 ( ±1 𝑏 ±1 ) 0 𝑓 doit être bijective donc la matrice de rang 2 donc il reste les 8 possibilités suivantes : 𝑀1 = ( 1 0 −1 ) 𝑜𝑢 𝑀2 = ( 0 1 0 𝑜𝑢 𝑀5 = ( 0 1 0 ) 𝑜𝑢 𝑀6 = ( 1 0 −1 0 −1 0 1 0 ) 𝑜𝑢 𝑀3 = ( ) 𝑜𝑢 𝑀4 = ( ) −1 0 1 0 −1 −1 0 −1 0 1 ) 𝑜𝑢 𝑀7 = ( ) 𝑜𝑢 𝑀8 = ( ) 0 1 0 −1 0 Il reste à vérifier que les 8 applications affines définies par chaque matrice et par 𝑓(𝑂) = 𝑂 laissent bien 𝑃 globalement invariant. On obtient : 𝑓1 = 𝐼𝑑 𝑓2 = 𝑠𝑂 𝑓3 = 𝑠(𝐵𝐷) 𝑓4 = 𝑠(𝐴𝐶) 𝑓5 = 𝑠(𝐼𝐾) 𝑓6 = 𝑠(𝐽𝐿) 𝑓7 = 𝑠(𝐵𝐷) ∘ 𝑠(𝐼𝐾) 𝑓8 = 𝑠(𝐴𝐶) ∘ 𝑠(𝐼𝐾) II. Le groupe des isométries 𝐸 est ici un espace euclidien. DÉF-6. L’image réciproque du groupe 𝑂 (𝐸 ) par 𝜙 est un sous-groupe de 𝐺𝐴(ℰ ) appelé groupe des isométries affines 𝑰𝒔(𝓔). Une isométrie affine conserve donc les distances. On note et on nomme : • 𝐼𝑠 + (ℰ ) = {𝑓 ∈ 𝐼𝑠 (ℰ ), det(𝑓⃗) = 1} le sous-groupe distingué des déplacements de ℰ • 𝐼𝑠 − (ℰ ) = {𝑓 ∈ 𝐼𝑠 (ℰ ), det(𝑓⃗) = −1} l’ensemble des antidéplacements de ℰ Preuve : 𝑂(𝐸 ) est un sous-groupe de 𝐺𝐿 (𝐸 ) donc 𝐼𝑠 (ℰ ) est un sous-groupe de 𝐺𝐴(ℰ ) en tant qu’image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. Une isométrie affine conserve les distances car : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = ‖𝑓⃗(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)‖ = ‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝐴𝐵 𝑓 (𝐴)𝑓 (𝐵) = ‖𝑓(𝐴)𝑓(𝐵) De même pour 𝐼𝑠 + (ℰ ). Soit 𝑖 dans 𝐼𝑠 + (ℰ ) et 𝑓 dans 𝐺𝐴(ℰ ) : det(𝑓⃗) −1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ det (𝑓 ∘ 𝑖 ∘ 𝑓 −1 ) = det (𝑓⃗ ∘ 𝑖⃗ ∘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 −1 ) = det(𝑓⃗) det(𝑖⃗) det (𝑓 det(𝑖⃗) = det(𝑖⃗) = 1 det(𝑓⃗) Donc 𝐼𝑠 + (ℰ ) est un sous-groupe distingué de 𝐼𝑠(ℰ ). REM. Classification des isométries du plan affine euclidien : Déplacements 𝑟𝑂,𝜃 (𝜃 ≠ 0[2𝜋]) 𝐼𝑑 ℰ Type Points fixes 𝑂 Antidéplacements 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑠Δ Δ ∅ (𝑜𝑢 Δ) 𝑡𝑢⃗⃗ (𝑢 ⃗⃗ ≠ ⃗0⃗) ∅ Les déplacements du plan sont : l’identité / les rotations / les translations. Les antidéplacements du plan sont : les symétries axiales (orthogonales) / les symétries glissées (=symétries-translations). composé par 𝐼𝑑 𝑟𝑂1 ,𝜃1 𝑡𝑢⃗⃗ 𝑠𝐷 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷 𝐼𝑑 𝐼𝑑 𝑟𝑂1 ,𝜃1 𝑡𝑢⃗⃗ 𝑠𝐷 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷 𝑟𝑂2 ,𝜃2 𝑟𝑂2 ,𝜃2 𝑡w ⃗⃗⃗⃗ si 𝜃1 + 𝜃2 = 0[2𝜋] 𝑟Ω,𝜃1 +𝜃2 sinon 𝑟Ω,𝜃2 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑣⃗⃗ 𝑡𝑣⃗⃗ 𝑟Ω,𝜃1 𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷 𝑠𝐷′ 𝑠𝐷′ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷′ 𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝐷′ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑠Δ 𝑡2𝐷𝐷′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′ 𝑟𝐷∩𝐷′,2(𝐷,𝐷 ̂′ ) sinon 𝑡2𝐷𝐷′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑣⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′ 𝑟Ω,2(𝐷,𝐷 ̂ ′ ) sinon 𝑡2𝐷𝐷′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑢 ⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′ 𝑟Ω,2(𝐷,𝐷 ̂ ′ ) sinon 𝑡2𝐷𝐷′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑢 ⃗⃗+𝑣⃗⃗ si 𝐷 ∥ 𝐷′ 𝑟Ω,2(𝐷,𝐷 ̂ ′ ) sinon REM. Classification des isométries de l’espace affine euclidien : Type Points fixes 𝐼𝑑 ℰ Déplacements 𝑟Δ,𝜃 (𝜃 ≠ 0[2𝜋]) 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃 Δ ∅ (𝑜𝑢 Δ) 𝑡𝑢⃗⃗ (𝑢 ⃗⃗ ≠ ⃗0⃗) ∅ 𝑠𝑃 𝑃 Antidéplacements 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃 𝑟Δ,𝜃 ∘ 𝑠𝑃 𝑃 𝑂 Les déplacements de l’espace sont : l’identité / les rotations / les translations / les vissages (=rotations-translations). Les antidéplacements du plan sont : les symétries planes (orthogonales) / les symétries glissées (=symétries-translations) / les symétries-rotations. ∘ 𝑰𝒅 𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏 𝒕𝒖⃗⃗⃗ 𝒕𝒖⃗⃗⃗ ∘ 𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏 𝒔𝑷 𝒕𝒖⃗⃗⃗ ∘ 𝒔𝑷 𝒓𝑫𝟏,𝜽𝟏 ∘ 𝒔𝑷 𝑰𝒅 𝐼𝑑 𝑟𝐷1,𝜃1 𝑡𝑢⃗⃗ 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑟𝐷1,𝜃1 𝑠𝑃 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃 𝑟𝐷1 ,𝜃1 ∘ 𝑠𝑃 𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐 𝑟𝐷2,𝜃2 𝒕⃗𝒗⃗ 𝑡𝑣⃗⃗ 𝒕⃗𝒗⃗ ∘ 𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐 𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑟𝐷2,𝜃2 𝒔𝑷′ 𝑠𝑃′ 𝒕⃗𝒗⃗ ∘ 𝒔𝑷′ 𝑡𝑣⃗⃗ ∘ 𝑠𝑃′ 𝒓𝑫𝟐,𝜽𝟐 ∘ 𝒔𝑷′ 𝑟𝐷2 ,𝜃2 ∘ 𝑠𝑃′ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃2 Δ ∥ 𝐷2 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃1 Δ ∥ 𝐷1 𝑡𝑢⃗⃗+𝑣⃗⃗ 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃1 Δ ∥ 𝐷1 𝑡𝑤 ⃗⃗⃗ ∘ 𝑟Δ,𝜃2 Δ ∥ 𝐷2 PROP. Si 𝑋 est une partie finie de ℰ, on note 𝐼𝑠 (𝑋) l’ensemble des isométries de ℰ conservant 𝑋. • 𝐼𝑠 (𝑋) est un sous-groupe de 𝐼𝑠 (ℰ ) et 𝐼𝑠 + (𝑋) est un sous-groupe distingué de 𝐼𝑠 (𝑋). • Si 𝐼𝑠 − (𝑋) ≠ ∅ alors pour tout 𝑠 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋) l’application 𝐵𝑠 : 𝐼𝑠 + (𝑋) → 𝐼𝑠 − (𝑋) définie par 𝐵𝑠 (𝑓) = 𝑓 ∘ 𝑠 est bijective et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋 )) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 − (𝑋)). • Si 𝑋 est finie, alors l’isobarycentre 𝑂 de 𝑋 est fixe pour tout élément de 𝐼𝑠(𝑋). • En dimension 2 : si 𝑋 est fini de cardinal 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, alors 𝐼𝑠 + (𝑋) est fini ; de plus 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋)) ≤ 𝑛 et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠(𝑋)) ≤ 2𝑛 (cas d’égalité ssi 𝑋 est un polygone régulier). Preuve : 1. 𝐼𝑠(𝑋) est un sous-groupe de 𝐼𝑠(ℰ ) et 𝐼𝑠 + (𝑋) = 𝐼𝑠 + (ℰ ) ∩ 𝐼𝑠(𝑋 ) est un sous-groupe distingué de 𝐼𝑠(𝑋). 2. Rem : 𝐼𝑠 − (𝑋) peut être vide (par exemple pour un parallélogramme). Soit 𝑠 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋). Montrons que 𝐵𝑠 est bijective. Montrons que 𝐵𝑠 est injective : si 𝑓 ∘ 𝑠 = 𝑓 ′ ∘ 𝑠 alors 𝑓 = 𝑓 ′ en composant par 𝑠 −1 . Montrons que 𝐵𝑠 est surjective : si 𝑔 ∈ 𝐼𝑠 − (𝑋) alors (𝑔 ∘ 𝑠 −1 ) ∘ 𝑠 = 𝑔 et 𝑔 ∘ 𝑠 −1 ∈ 𝐼𝑠 + (𝑋 ). 𝐵𝑠 est injective et surjective donc bijective. 3. Déjà montré. 4. Si 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝑋 ) = 1 alors 𝐼𝑠(𝑋) est infini (toutes les rotations de centre 𝑋 par exemple). Si 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝑋 ) ≥ 2 alors 𝐼𝑠 + (𝑋) ne contient que 𝐼𝑑 et les rotations de centre 𝑂 qui sont au nombre au maximum de 𝑛 (car chaque déplacement est déterminé par 𝑓 (𝐴) = 𝐵). Donc : 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠 + (𝑋)) ≤ 𝑛. Puis d’après le 2 : 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐼𝑠(𝑋)) ≤ 2𝑛. À ajouter éventuellement ? EX-6. Décrire 𝐺𝑃 le groupe des isométries qui conservent un triangle (discuter selon sa nature). Solution : Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est équilatéral, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑, 𝑠(𝐴𝑂) , 𝑠(𝐵𝑂) , 𝑠(𝐶𝑂) , 𝑟0,2𝜋/3 , 𝑟0,−2𝜋/3 } est isomorphe à 𝔖3 . Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est isocèle en 𝐴, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑, 𝑠(𝐴𝑂) } est isomorphe à 𝔖2 . Si 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} est quelconque, alors 𝐺𝑇 = {𝐼𝑑} est isomorphe à 𝔖1 . THM-6. Soit 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} un tétraèdre régulier, et 𝐶 = {𝐴1 , 𝐶2 , 𝐵1 , 𝐷2 , 𝐵2 , 𝐷1 , 𝐴2 , 𝐶1 } un cube. Le groupe 𝐺𝑇 est isomorphe à 𝔖4 et le groupe 𝐺𝐶 est isomorphe à 𝔖4 × ℤ/2ℤ. Solution : http://www.fichier-pdf.fr/2016/12/31/isometries-tetraedre-et-cube-sandrine-caruso/isometries-tetraedre-et-cube-sandrine-caruso.pdf 𝐺𝑇 = 𝐼𝑑 (4 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠) 𝑠[𝐴𝐵] , 𝑠[𝐴𝐶] , 𝑠[𝐴𝐷] , 𝑠[𝐵𝐶] , 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐶𝐷] (2 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑠) 𝑟(𝑂𝐴),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐵),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐶),±2𝜋 , 𝑟(𝑂𝐷),±2𝜋 (1 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡 𝑓𝑖𝑥𝑒) 3 3 3 3 𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] (𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡𝑠 é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔é𝑠 2 à 2) 𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] , 𝑠[𝐴𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐶] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐷] , 𝑠[𝐴𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐵] , 𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐵] ∘ 𝑠[𝐵𝐶] , 𝑠[𝐴𝐷] ∘ 𝑠[𝐷𝐶] ∘ 𝑠[𝐶𝐵] (𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 4) { } 𝐺𝐶 = 𝐺𝑇1 ∪ 𝐺 ′ 𝑜ù 𝐺 ′ = {𝑓 ∘ 𝑠𝑂 , 𝑓 ∈ 𝐺𝑇1 } = 24 𝑖𝑠𝑜𝑚 III. Applications : réseaux / frises / pavages 1. Réseaux DÉF-7. Le réseau de ℝ3 associé à la base (𝑢, 𝑣, 𝑤) est l’ensemble ℤ𝑢 + ℤ𝑣 + ℤ𝑤. EX-7. Que peut-on dire des rotations laissant invariant un réseau de l’espace euclidien ? Preuve : X-ENS T3 p.333 2. Frises DÉF-THM-8. Un groupe de frises du plan est un sous-groupe de 𝐼𝑠 (ℰ2 ) tel que le sous-groupe des translations qu’il contient soit isomorphe à ℤ. On appelle alors frise toute partie 𝑋 de ℰ telle que 𝐼𝑠(𝑋 ) soit un groupe de frises. Il existe 7 sortes de groupes de frises. Preuve : Si 𝑡𝑢⃗⃗ est le générateur du groupe des translations du groupe de frise, les isométries possibles sont : les translations suivant le vecteur 𝑢 ⃗⃗ de la frise ; la symétrie par rapport à un axe Δ de direction 𝑢 ⃗⃗ (un seul axe possible, sinon la composée de deux axes donnerait une translation de direction orthogonale à 𝑢 ⃗⃗) ; ′ les symétries d’axes Δ orthogonaux à Δ ; les symétries glissées (composées de 𝑠Δ et de 𝑡𝑘𝑢⃗⃗ ) ; les demi-tours de centre 𝑂 un point de Δ. Les 7 groupes de frises sont alors les groupes engendrés par : 𝐹1 = {𝑡𝑢⃗⃗ } ~ℤ 𝐹2 = {𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ } ~ℤ 𝐹3 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ } ~ℤ × 2ℤ 𝐹4 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ′ } ~ℤ × 2ℤ 𝐹5 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠𝑂 } ~ℤ × 2ℤ 𝐹6 = {𝑠Δ′ , 𝑡𝑢⃗⃗ ∘ 𝑠Δ } ~ℤ × 2ℤ 𝐹7 = {𝑡𝑢⃗⃗ , 𝑠Δ , 𝑠Δ′ } ℤ ~ × 2ℤ × 2ℤ 2 1 isométrie 2 2 isométries 2 3 isométries DÉF-THM-9. On appelle groupe de rubans la généralisation d’un groupe de frises à une frise imprimée des deux côtés (on peut ajouter comme isométries possibles : la symétrie par rapport au plan de la frise, les symétries centrales centrées sur Δ). Il existe 31 groupes de rubans. 3. Pavages DÉF-10. Soit 𝐺 un sous-groupe de 𝐼𝑠 + (ℰ2 ). On dit que 𝐺 est un groupe de pavage s’il existe un compact connexe d’intérieur non vide 𝑃 de ℰ2 tel que : ⋃ 𝑔(𝑃 ) = ℰ2 𝑖𝑛𝑡(𝑔(𝑃 )) ∩ 𝑖𝑛𝑡(ℎ(𝑃 )) ≠ ∅ ⟹ 𝑔 = ℎ 𝑒𝑡 𝑔∈𝐺 THM-10. Les seuls polygones réguliers qui pavent le plan sont les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones réguliers. Preuve : Soit un polygone régulier à 𝑛 côtés, d’angle au centre 𝛼 et d’angle au sommet 𝛽. 𝛽 =2× 𝜋−𝛼 𝜋 (𝑛 − 2) =𝜋−𝛼= 2 𝑛 𝛽 𝛼 Or, pour que le plan soit pavé, il existe 𝑘 ∈ ℕ tel que : 𝑘𝛽 = 2𝜋 𝑘 𝜋(𝑛−2) 𝑛 = 2𝜋 𝑘𝜋 (𝑛 − 2) = 2𝜋𝑛 𝑘 (𝑛 − 2) = 2𝑛 𝑘 (𝑛 − 2) = 2(𝑛 − 2) + 4 (𝑘 − 2)(𝑛 − 2) = 4 Autrement dit 𝑛 − 2 doit diviser 4, donc 𝑛 − 2 = 1 𝑜𝑢 2 𝑜𝑢 4 donc 𝑛 = 3 𝑜𝑢 4 𝑜𝑢 6. REM-10. On peut montrer que le plan est pavable par : • tout triangle ; • tout quadrilatère ; • un hexagone de côtés parallèles deux à deux ; • un pentagone dont deux côtés sont parallèles. THM-11. À conjugaison près, il n’existe que 5 groupes de pavage. http://www.fichier-pdf.fr/2016/12/31/pavages-reguliers-du-plan-sandrine-caruso-ref-berger/pavages-reguliers-du-plan-sandrine-carusoref-berger.pdf