142 utilisation de groupes en geometrie

142. UTILISATION DE GROUPES EN GÉOMÉTRIE
Prérequis - Notations
 espace affine de dimension finie,  son espace vectoriel associé.
Groupe affine , groupe linéaire .
Groupe orthogonal , groupe orthogonal , groupe symétrique .
I. Quelques groupes de 
THM-0. L’application :  est un morphisme de groupes surjectif.
Preuve :
Morphisme car, si  et  sont dans  : 
Surjectif car toute application affine est définie de manière unique par la donnée :
 d’un couple de points tels que  ;
 et par .
En particulier, il existe . Donc à chaque application linéaire , on peut associer une application
affine  telle que  et de partie linéaire .
DÉF-1. Le noyau de  est un sous-groupe distingué de  appelé groupe des translations .
Preuve :
Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ. En effet :
  car 
 si  et  sont dans  : 
 est un sous-groupe distingué de . Or, l’image réciproque par un morphisme de groupes
d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
COR-1. Soit   et . Alors : 
.
Preuve :
Soit  : 
DÉF-2. L’image réciproque du groupe des homothéties vectorielles   par  est un sous-
groupe distingué de  appelé groupe des homothéties-translations . .

Preuve :
  est un sous-groupe de  :
 si  et  alors 
 est distingué dans  car, si   et  :
Or, l’image réciproque par un morphisme d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
COR-2. Soit  et . Alors :  .
Preuve :
Comme  est distingué,  et pourrait donc être une translation. Cherchons
un éventuel point fixe A : 
donc  est fixe pour  c’est à dire  donc .
 est donc une homothétie de centre . Cherchons son rapport :
Donc :  .
EX-1. Soient  et  deux triangles de sommets distincts.
Réciproquement :
Preuve sens direct :
 Premier cas : 
Nommons  l’intersection de  et  et
montrons que . Notons .
Alors  car  et  sont alignés.
De même  car  et  car .
Donc  donc  sont alignés. Donc les trois droites sont bien concourantes.
𝐵
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
𝐶
𝐼

 Deuxième cas :  : idem avec 
Donc  donc  et .
EX-2. Soient  et  deux droites distinctes. Soit  distincts.
Solution dans le cas où  et  sont sécantes en  :
Notons  et .
Alors  transforme  en .
Et  transforme  en .
Evidemment :  est stable par .
 est la composée de deux homothéties de même centre et est donc une homothétie de centre .
Deux homothéties de même centre commutent et :
Donc  transforme  en  donc .
Solution dans le cas où  et  sont parallèles :
On procède de même avec les translations suivantes :
et 
Les translations sont commutatives donc  et :
Donc  transforme  en 
donc .
EX-3. Soit un triangle  et trois points ,  et  situés respectivement sur ,  et 
mais distincts de ,  et .
𝐼
𝐴
𝐵
𝐶
𝐶
𝐵
𝐴
𝐴
𝐵
𝐶
𝐶
𝐵
𝐴
𝐵
𝐵
𝐴
𝐶
𝐴
𝐶

Solution Ménélaüs :
Soit  l’homothétie de centre  qui transforme  en .
Soit  l’homothétie de centre  qui transforme  en .
Soit  l’homothétie de centre  qui transforme  en .
Ces homothéties font partie du groupe 
donc   aussi.
Or, par construction  donc :
Remarquons que   est la composée d’une homothétie de centre  et d’une homothétie
de centre  donc : 
Donc : 
La dernière équivalence découle du morphisme entre  et  et de la multiplicativité des
rapports dans .
Solution Céva :
Notons : 
 Supposons  :
 Supposons  concourantes en  :
Alors appliquons Ménélaüs à  et  :
De même pour  et  :
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐷
𝐷
𝐾
𝐴
𝐵
𝐶
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
𝐷
𝐷

Et on multiplie : 
 Réciproquement, supposons que 
Si  alors il n’y a rien à faire.
Sinon, notons  l’intersection de  et 
et  l’intersection de  et .
,  et  sont concourantes donc d’après le point précédent :
Donc : 
Donc  donc  et les droites sont effectivement concourantes.
DÉF-3. L’image réciproque du groupe  par  est un sous-groupe distingué de  appelé
groupe des translations et symétries centrales . .
Preuve :
 est un sous-groupe de  :
  et 
 est distingué dans  car  commute avec tout. Or, l’image réciproque par un morphisme
de groupes d’un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
DÉF-4. L’image réciproque du groupe  par  est un sous-groupe distingué
de  appelé groupe affine positif .
Preuve :
 est un sous-groupe de  :
  car 
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐷
𝐷
𝐶
𝐾