Recherche sur la densité et la distribution des nombres

Recherche sur la densité et la distribution des nombres
premiers, étude de π(x) et π2(x) et de leurs approximations
fonctionnelles.
Essai.
Alain Figuères.
2011.
2010/11 © AFiguères.
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« Certains mystères échapperont toujours à l’esprit humain. Pour nous en convaincre, il suffit de jeter
un œil aux tableaux des nombres premiers, et on verra qu’il n’y règne ni ordre, ni règles. »
Leonhard Paul Euler (1707 – 1783)
2010/11 © AFiguères.
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Sur l’auteur :
(Année 2011)
Alain Figueres, 38 ans. De formation ingénieur réseau, puis avec la double compétence
Informatique/Réseau et Supply Chain. Je suis en activité professionnelle depuis plus de 13 ans. 6 ans
en tant que ingénieur réseau, bases de données, développement... et 9 ans comme responsable Supply
Chain pour un groupe... Les mathématiques théoriques et appliquées m'ont toujours passionnée
(depuis le lycée jusqu'en étude d'ingénieur, en passant par la prépa Math Sup et Spé). J'en fais un peu
(surtout appliquée) dans le cadre de ma profession (statistiques/études, prévisions, planifications,
approvisionnements,..). Cependant, je suis également intéressé par le côté théorique/recherche, et suis
très intéressé par la théorie des nombres, et plus particulièrement je mène depuis quelques années, des
réflexions sur les pistes en cours pour la recherche autour des nombres premiers, notamment les sujets
passionnants tel que la répartition des nombres premiers, les équations fonctionnelles pour
l’approximation de π(x), la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Les progrès dans ce domaine étant extrêmement difficiles pour des chercheurs amateurs qui n'ont
quasiment aucune chance de pouvoir apporter des contributions significatives, c’est tout naturellement
que j’ai orienté mes recherches vers le domaine heuristique et fonctionnel. Cela peut être un préalable
permettant d'expliquer des raisonnements fondés complexes, tels que ceux étudiés dans ce document,
par exemple. Je tends à espérer que, malgré le désordre apparent des nombres premiers, qu’il y a
quand même une règle géométrique qui gère tout ça, même si un désordre apparent y règne... C’est
l’hypothèse de Riemann qui retrouve une symétrie dans ce désordre des nombres premiers, et donne
vraiment une symétrie d’ordre supérieur sur les nombres premiers.
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Table des matières
1. Autour de la densité et de la répartition des nombres premiers. Comparaison avec les
nombres premiers jumeaux. ....................................................................................................... 5
1.1.
Analyse de π(x) ......................................................................................................... 5
1.2.
Analyse de π2(x) ....................................................................................................... 6
2. Pistes ouvertes sur la conjecture des nombres premiers jumeaux...................................... 6
2.1.
Sur l’étude des inverses des nombres premiers jumeaux ........................................... 6
2.2.
Sur l’étude de la distance entre nombres premiers successifs pour de très grands
nombres N .............................................................................................................................. 7
2.3.
2.4.
2.5.
Une piste sur une minoration de π2(x)...................................................................... 8
Sur la piste de l’irrationalité de la constante de Brun ................................................ 8
Une piste via le crible d’Eratosthène.......................................................................... 8
A la recherche de formules pour calculer ou estimer π(x)................................................ 9
3.1.
L’approche par le théorème des nombres premiers : ................................................. 9
3.2.
L’approche par le Logarithme intégral de Gauss : ................................................... 10
3.3.
L’approche de Legendre : ........................................................................................ 11
3.4.
L’approche de Riemann et sa fonction explicite reliant les zéros de la fonction zéta
et les nombres premiers :...................................................................................................... 12
3.5.
L’approche de Tchébychev par la fonction de Von Manglodt reliant les zéros de la
fonction zéta et les nombres premiers : ................................................................................ 13
4. Une approche de représentations tableaux et graphiques sous MS-Excel pour estimer
l’ordre de grandeur pour π(x), comparé avec les fonctions vus précédemment, qui sont liés à
la distribution des nombres premiers ....................................................................................... 14
5. Une approche de représentations tableaux et graphiques sous Mathematica pour estimer
l’ordre de grandeur pour π(x), comparé avec les fonctions vus précédemment, qui sont liés à
la distribution des nombres premiers ....................................................................................... 15
3.
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1. Autour de la densité et de la répartition des nombres
premiers. Comparaison avec les nombres premiers jumeaux.
1.1.
Analyse de
π(x)
Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est définie par :
π(x) =
∑ 1
p ∈P
p≤ x
Où : P désigne l’ensemble des nombres premiers ; p désigne un élément de P ;
pour tout x ∈ R.
Voici une liste :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, . . .
Euclide a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Lorsque x -> + ∞ on a : lim π(x) = + ∞
Les nombres premiers se raréfient chez les grands entiers(1), et la répartition des nombres
premiers est très irrégulière (2) .
(1)
16 entre 1000 et 1100,
11 entre 10000 et 10100,
6 entre 100000 et 100100,
6 entre 1000000 et 1000100,
2 entre 10000000 et 10000100.
(2)
58
58
10 entre 10 et 10 + 1000,10
3 entre 1063et 1063 + 1000,3
11 entre 1073et 1073 + 1000,11
Soit Dn la densité des nombres premiers, et P(n) le nombre de nombres premiers < à n.
P(n)
On pose : Dn=
n
Dn se rapproche de 1/ ln n vers les grands entiers. La densité des nombres premiers est connu.
Concernant leur répartition :
Les nombres premiers ont une distribution stochastique. On a une loi de densité régulière, la
1
probabilité qu’un nombre x soit premier est de l’ordre de
. La densité des nombres
log x
premiers se comporte asymptotiquement comme l’inverse du logarithme. Mais le
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comportement est imprévisible, il y a des oscillations. La distribution étant très irrégulière,
pour y remédier des fonctions sont recherchés pour améliorer les approximations de π(x). Le
chapitre 3 traitera de ce sujet.
1.2.
Analyse de
π2(x)
Le nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs ou égaux à x est définie par :
π2(x) =
∑ 1
p ∈P et p + 2 ∈P
p≤ x
Où : P désigne l’ensemble des nombres premiers ; p désigne un élément de P ;
pour tout x ∈ R.
Voici une liste :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, . . .
En d’autres termes, deux nombres premiers sont dits jumeaux si l’écart entre deux nombres
premiers successifs est égal à 2.
Soit la lettre d représentant la distance entre deux termes et Pk désignant un élement de P,
où P désigne l’ensemble des nombres premiers :
Pk et Pk + 1 sont jumeaux si dk = Pk + 1 - Pk = 2
La formule d’approximation est :
Lorsque x -> + ∞ on a : π2(x) ~ 2 C2
Où C2 =
∏
p>2
p(p − 2)
(p − 1)2
x
2
(ln x)
~= 0,66016
En désignant la fonction f(x) la fonction d’approximation de π2(x), cela donne :
x
π2(x) ~ f(x) = 1,32032
2
(ln x)
2. Pistes ouvertes
jumeaux
sur
la
conjecture
des
nombres
premiers
Selon la conjecture il existerait une infinité de nombres premiers jumeaux.
2.1.
Sur l’étude des inverses des nombres premiers jumeaux
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Soit P désignant l’ensemble des nombres premiers, depuis Euclide on sait qu’il existe une
infinité de nombres premiers, lorsque x -> + ∞ . (lim π(x) = + ∞).
En d’autres termes on sait que :
∑
p ∈P
1=+∞
p
La tentation est grande de partir de cette réciproque pour l’appliquer à identifier la taille de
l’ensemble des nombres premiers jumeaux.
La démarche première serait de suivre le schéma suivant :
La taille d’un ensemble
Série des inverses de ses éléments
Si diverge alors
ensemble infini
Si converge en
valeur finie
alors éléments
en nombres finis
ou éléments
de + en + rares
(infinis ?)
Viggo Brun part de cette démarche pour sommer les inverses des nombres premiers jumeaux,
et aboutir que le résultat du calcul converge en une valeur finie qui sera nommée B2 la
constante de Brun avec pour valeur 1,90216…
∑
p, p + 2∈P
1 = 1 + 1 +1 + 1+  1 + 1 + … + 1 + 1  + …. = B = 1,90216….
3 5 5 7 11 13
p

2
p + 2
p

 
 


Ainsi, π2(x) << π(x). Les jumeaux se raréfient parmi les premiers.
La série des inverses des nombres premiers jumeaux qui converge en valeur finie ne résout
pas la question de savoir s’il existe ou pas une infinité de jumeaux.. Converge en valeur finie
parce que ses termes sont en nombres finis, ou bien parce qu’ils sont de plus en plus rares bien
qu’en nombres infinis ?
2.2.
Sur l’étude de la distance entre nombres premiers successifs
pour de très grands nombres N
Une piste d’analyse consiste à étudier la distance entre nombres premiers successifs pour de
très grands nombres N.
Soit la lettre d représentant la distance entre deux termes et Pk désignant un élement de P,
où P désigne l’ensemble des nombres premiers.
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On s’intéresse aux premiers plus grands qu’un très grands nombre N.
- Quelle est la distance la plus petite pour toutes les paires au-delà de N ?
- Que se passe-t-il pour N tendant vers ∞ ?
Comparons la distance minimum avec la distance moyenne :
-- Des travaux de Goldston, Pintz, Yidirim ont donnés lieu à des calculs d’écarts entre
nombres premiers successifs.. L’écart moyen entre deux nombres premiers voisins de x est ln
(x), c.a.d étroitement lié aux nombres de chiffres composant x. (A noter toutefois nue grande
dispersion). (ex : si x=6, 5 et 7 sont les plus proches premiers, leur écart vaut 2 en
approximation, or ln(6)=1,79..) -dkmin
dkmin
Soit le rapport suivant : Rkmin =
=
.
dkmoyen ln(Pk)
Que devient ce rapport lorsque N -> ∞ ?
Pour tout Pk > N si la conjecture pour les jumeaux est vrai alors on a :
dkmin = 2 pour les paires au-delà de N aussi grand que l’on veut.
(Attention pas de réciprocité ici !).
2
= 0
Cela donnerait : Rkmin =
infini
A noter un record en 2003 par Daniel Goldston et Cem Yildirim avec le résultat suivant :
dkmin
Rkmin =
-> 0
ln(Pk)
Cela signifie que le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs, comparé à
l’écart moyen pour ces nombres, tend vers 0.
2.3.
Une piste sur une minoration de
π2(x)
Soit le résultat suivant :
x lnlnx
π2(x) <<
2
(lnx)
Ce qu’il faudrait c’est une minoration de π2(x) du genre π2(x) >>
x lnlnx
2
, ce qui
(lnx)
impliquerait l’infinitude des nombres premiers jumeaux. Pour cela : ?
2.4.
Sur la piste de l’irrationalité de la constante de Brun
Une piste serait de montrer que la constante de Brun B2 est irrationnelle, soit que B2 ∉ Q..
Pour cela on est loin..
2.5.
Une piste via le crible d’Eratosthène
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Posons le terme CE pour désigner un crible d’Eratosthène.
CE.3 est 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,..
CE.5 est 7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,..
CE.7 est 11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,..
CE.P(n), où P(n) est le n
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
3. A la recherche de formules pour calculer ou estimer
3.1.
π(x)
L’approche par le théorème des nombres premiers :
x
log x
(Log étant le logarithme népérien)
Lorsque x -> + ∞ on a : π(x) ~
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
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3.2.
L’approche par le Logarithme intégral de Gauss :
x
⌠
Lorsque x -> + ∞ on a : π(x) ~ Li(x) := 
⌡
2
dt
log t
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
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3.3.
L’approche de Legendre :
Lorsque x -> + ∞ on a : π(x) ~
x
log x – 1,083…
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
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3.4.
L’approche de Riemann et sa fonction explicite reliant les zéros
de la fonction zéta et les nombres premiers :
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
Aussi des graphiques sur fichier Mathematica.. Très complet..
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3.5.
L’approche de Tchebychev par la fonction de Von
Mangoldt reliant les zéros de la fonction zéta et les nombres
premiers :
..à finir.
Suite manuscrite très détaillée.
Aussi des graphiques sur fichier Mathematica.. Très complet..
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4. Une approche de représentations tableaux et graphiques sous
MS-Excel pour estimer l’ordre de grandeur pour π(x), comparé
avec les fonctions vus précédemment, qui sont liés à la
distribution des nombres premiers
..à finir.
Suite sur fichier excel, avec toutes les formulations possibles…. Inclus les graphiques..
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5. Une approche
Mathematica
comparé avec
la distribution
de représentations tableaux et graphiques sous
pour estimer l’ordre de grandeur pour π(x),
les fonctions vus précédemment, qui sont liés à
des nombres premiers
..à finir.
Suite sur fichier Mathematica, avec les graphiques... Très complet..
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