Recherche sur la densité et la distribution des nombres

2010/11 © AFiguères.
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Recherche sur la densité et la distribution des nombres
premiers, étude de π
ππ
π(x) et π
ππ
π2(x) et de leurs approximations
fonctionnelles.
Essai.
Alain Figuères.
-
2011.

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« Certains mystères échapperont toujours à l’esprit humain. Pour nous en convaincre, il suffit de jeter
un œil aux tableaux des nombres premiers, et on verra qu’il n’y règne ni ordre, ni règles. »
Leonhard Paul Euler (1707 – 1783)

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Sur l’auteur :
(Année 2011)
Alain Figueres, 38 ans. De formation ingénieur réseau, puis avec la double compétence
Informatique/Réseau et Supply Chain. Je suis en activité professionnelle depuis plus de 13 ans. 6 ans
en tant que ingénieur réseau, bases de données, développement... et 9 ans comme responsable Supply
Chain pour un groupe... Les mathématiques théoriques et appliquées m'ont toujours passionnée
(depuis le lycée jusqu'en étude d'ingénieur, en passant par la prépa Math Sup et Spé). J'en fais un peu
(surtout appliquée) dans le cadre de ma profession (statistiques/études, prévisions, planifications,
approvisionnements,..). Cependant, je suis également intéressé par le côté théorique/recherche, et suis
très intéressé par la théorie des nombres, et plus particulièrement je mène depuis quelques années, des
réflexions sur les pistes en cours pour la recherche autour des nombres premiers, notamment les sujets
passionnants tel que la répartition des nombres premiers, les équations fonctionnelles pour
l’approximation de π(x), la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Les progrès dans ce domaine étant extrêmement difficiles pour des chercheurs amateurs qui n'ont
quasiment aucune chance de pouvoir apporter des contributions significatives, c’est tout naturellement
que j’ai orienté mes recherches vers le domaine heuristique et fonctionnel. Cela peut être un préalable
permettant d'expliquer des raisonnements fondés complexes, tels que ceux étudiés dans ce document,
par exemple. Je tends à espérer que, malgré le désordre apparent des nombres premiers, qu’il y a
quand même une règle géométrique qui gère tout ça, même si un désordre apparent y règne... C’est
l’hypothèse de Riemann qui retrouve une symétrie dans ce désordre des nombres premiers, et donne
vraiment une symétrie d’ordre supérieur sur les nombres premiers.

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Table des matières
1. Autour de la densité et de la répartition des nombres premiers. Comparaison avec les
nombres premiers jumeaux. .......................................................................................................5
1.1. Analyse de π (x).........................................................................................................5
1.2. Analyse de π 2(x).......................................................................................................6
2. Pistes ouvertes sur la conjecture des nombres premiers jumeaux......................................6
2.1. Sur l’étude des inverses des nombres premiers jumeaux...........................................6
2.2. Sur l’étude de la distance entre nombres premiers successifs pour de très grands
nombres N ..............................................................................................................................7
2.3. Une piste sur une minoration de π 2(x)......................................................................8
2.4. Sur la piste de l’irrationalité de la constante de Brun ................................................8
2.5. Une piste via le crible d’Eratosthène..........................................................................8
3. A la recherche de formules pour calculer ou estimer π (x)................................................9
3.1. L’approche par le théorème des nombres premiers : .................................................9
3.2. L’approche par le Logarithme intégral de Gauss :...................................................10
3.3. L’approche de Legendre : ........................................................................................11
3.4. L’approche de Riemann et sa fonction explicite reliant les zéros de la fonction zéta
et les nombres premiers :......................................................................................................12
3.5. L’approche de Tchébychev par la fonction de Von Manglodt reliant les zéros de la
fonction zéta et les nombres premiers :................................................................................13
4. Une approche de représentations tableaux et graphiques sous MS-Excel pour estimer
l’ordre de grandeur pour π(x), comparé avec les fonctions vus précédemment, qui sont liés à
la distribution des nombres premiers .......................................................................................14
5. Une approche de représentations tableaux et graphiques sous Mathematica pour estimer
l’ordre de grandeur pour π(x), comparé avec les fonctions vus précédemment, qui sont liés à
la distribution des nombres premiers .......................................................................................15

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1. Autour de la densité et de la répartition des nombres
premiers. Comparaison avec les nombres premiers jumeaux.
1.1. Analyse de π
ππ
π (x)
Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est définie par :
π
( )
x =
∑
p ∈P
p ≤ x
1
Où : P désigne l’ensemble des nombres premiers ; p désigne un élément de P ;
pour tout x ∈ R.
Voici une liste :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, . . .
Euclide a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Lorsque x -> + ∞ on a : lim π(x) = + ∞
Les nombres premiers se raréfient chez les grands entiers(1), et la répartition des nombres
premiers est très irrégulière (2) .
(1)
16 entre 1000 et 1100,
11 entre 10000 et 10100,
6 entre 100000 et 100100,
6 entre 1000000 et 1000100,
2 entre 10000000 et 10000100.
(2)
10 entre 10
58
et 10
58
+ 1000,10
3 entre 10
63
et 10
63
+ 1000,3
11 entre 10
73
et 10
73
+ 1000,11
Soit Dn la densité des nombres premiers, et P(n) le nombre de nombres premiers < à n.
On pose : D
n
= P
( )
n
n
D
n
se rapproche de 1/ ln n vers les grands entiers. La densité des nombres premiers est connu.
Concernant leur répartition :
Les nombres premiers ont une distribution stochastique. On a une loi de densité régulière, la
probabilité qu’un nombre x soit premier est de l’ordre de 1
log x. La densité des nombres
premiers se comporte asymptotiquement comme l’inverse du logarithme. Mais le