Thèse - Université de Limoges

Num´ero d’ordre : 74/1998 Universit´e de Limoges
TH` ESE
de Doctorat de l’Universit´e de Limoges
Sp´ecialit´e Math´ematiques et Applications
pr´esent´ee par
Abdelkader Necer
Suites r´ecurrentes lin´eaires et s´eries
formelles en plusieurs variables
Directeur de th`ese :
Guy Robin
Soutenue le 17 d´ecembre 1998 devant le Jury compos´ede:
Rapporteur D. Barsky Universit´e de Paris 13
Rapporteur G. Christol Universit´e de Paris 6
Examinateur T. Berger Universit´e de Limoges
Examinateur G. Rhin Universit´e de Metz
Examinateur G. Robin Universit´e de Limoges
Examinateur A. Salinier Universit´e de Limoges

R´esum´e : La premi`ere partie de ce travail est consacr´ee `al’´etude de certaines propri´et´es
alg´ebriques des suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients constants ou polynomiaux sur des
modules sur des anneaux commutatifs unitaires. D’abord, nous ´etendons aux anneaux
de Fatou (ou compl`etement int´egralement clos), un r´esultat concernant les familles de
suites r´ecurrentes lin´eaires annul´ees par un id´eal de type fini de l’anneau des polynˆomes.
Ensuite, nous ´etablissons, par des moyens ´el´ementaires d’alg`ebre commutative, que les
ensembles de suites r´ecurrentes lin´eaires sur des modules sont stables par d´ecimation et
emboˆıtement et que si les suites sont `a valeurs dans une alg`ebre alors la stabilit´e, pour
la produit de Hadamard, est assur´ee. Nous caract´erisons ´egalement dans cette partie les
anneaux dans lesquels les suites r´ecurrentes lin´eaires sont les suites p´eriodiques et nous
montrons que sur ces anneaux l’´etude de certaines suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients
polynomiaux se ram`ene `a celle des suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients constants.
La deuxi`eme partie de ce travail a pour objet l’´etude des propri´et´es, li´ees essentiellement
au produit de Hadamard, des multi-suites r´ecurrentes lin´eaires et des s´eries rationnelles en
plusieurs variables. Nous donnons quelques caract´erisations des s´eries reconnaissables et
nous nous int´eressons `a l’analogue de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard
dans le cas de plusieurs variables.
Abstract : We are interested, in the first part of this work, in algebraic properties of
linear recurring sequences with constant or polynomial coefficients over modules over com-
mutative and unitary rings. In particular, we extend a result about families of sequences
annihilated by a finitely generated ideal of polynomials over the ring of rational integer
to the completely integrally closed rings. We show that the module of linear recurring
sequences is invariant by entrelacment and decimation (or extraction) and, in the case
when the sequences are in a algebra, then we rediscover, by elementary methods, that the
set of linear recurring sequences over commytative rings is closed under the Hadamard
product. We caracterize also the rings on which every linear recurring sequence has a pe-
riod and show that on those rings the study of certain P-recursive sequences is equivalent
to the study of linear recurring sequences.
In the second part of this work we study some properties of multi-sequences and rational
series in several variables. We give some caracterizations of recognized series and we obtain
some partial ansewrs to the Pisot conjecture of Hadamard quotient in several variables.

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Remerciements
Mes remerciements vont d’abord `a G. Robin qui m’a convaincu de (re)commencer mes ´etudes
doctorales. Il m’a beaucoup encourag´e et a su m’´ecouter lors de la pr´eparation de cette th`ese.
J’exprime ma gratitude la plus sinc`ere `a D. Barsky et G. Christol qui m’ont fait l’honneur
d’accepter la tˆache d’ˆetre rapporteurs. Je les remercie ´egalement pour leur soutien et l’amiti´e
qu’ils m’ont prodigu´es depuis longtemps.
L’int´erˆet de T. Berger pour mon travail, sa diponibilit´e et son amiti´e me touchent beaucoup.
Il a accept´ed’ˆetre le pr´esident du jury. J’en suis honor´e.
Je remercie sinc`erement G. Rhin d’avoir accept´e de faire partie du jury ainsi que pour son
accueil chaleureux `a l’universit´e de Metz.
Mes remerciements vont ´egalement `a A. Salinier pour son invitation `a Limoges, sa gentillesse
et sa participation au jury.
Merci `a B. Benzaghou qui le premier m’a initi´e`a la recherche en Math´ematiques.
A J.-P. B´ezivin pour son aide pr´ecieuse et ses conseils judicieux.
A J.-P. Allouche pour son amiti´e et toutes les enrichissantes discussions que nous avons eues.
A Dominique et Marie pour leur g´en´erosit´e, leur hospitalit´e et leurs encouragements.
A tous les coll`egues du d´epartement de Math´ematiques de l’universit´e de Limoges. Par leur
s´erieux, leur disponiblit´e et leur joie de vivre ils ont su instaurer, avec beaucoup d’intelligence,
d’agr´eables conditions de travail au sein du d´epartement.
A M. Guerletin, N. Tchefranoff et Y. Pinol. Leur d´evouement n’a d’´egal que leur gentillesse et
leur bonne humeur.
Qu’il me soit permis de saluer ici mes proches et mes amis. La pr´esence chaleureuse de certains
parmi eux et le soutien, qui ignore les distances, des autres, `a des moments pas toujours faciles,
m’ont beaucoup aid´e.
Merci `a Djahida. Elle a su m’aider `a aller de l’avant avec beaucoup de patience et de courage.

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TABLE DES MATI ` ERES iii
Table des mati`eres
Notations v
Introduction vii
1 Suites r´ecurrentes lin´eaires sur un module et syst`emes r´ecursifs 1
1.1 D´efinitions et exemples . .............................. 2
1.2 R´esultats pr´eliminaires . .............................. 4
1.3 Familles de suites et anneaux de Fatou . ..................... 6
1.4 Syst`emes r´ecursifs .................................. 9
1.5 Alg`ebre de Hadamard . .............................. 15
1.6 D´ecimation et emboˆıtement de suites . . ..................... 17
1.7 S´eries formelles et suites r´ecurrentes lin´eaires . . ................. 20
2P´eriodes et suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients polynomiaux 23
2.1 P´eriodes de suites sur un module ......................... 24
2.2 Anneaux localement finis et suites p´eriodiques . ................. 26
2.3 Suites r´ecurrentes lin´eaires `a coefficients polynomiaux . ............. 29
2.4 Syst`emes p´eriodiques . . .............................. 32
2.4.1 Suites r´eguli`eres sur un corps commutatif ................. 35
2.4.2 Exemples .................................. 36
3 Multi-suites r´ecurrentes et s´eries rationnelles 39
3.1 D´efinitions et notations .............................. 40
3.2 Caract´erisations des k-suites r´ecurrentes lin´eaires . . . ............. 43
3.3 S´eries rationnelles et s´eries reconnaissables . . . ................. 48
3.3.1 Propri´et´es de base ............................. 48
3.3.2 ´ El´ements Hadamard-inversibles . ..................... 56
4 Quotient de Hadamard 63
4.1 Rappels et ´enonc´es des r´esultats . ......................... 64
4.2 D´emonstrations des r´esultats . . . ......................... 67
Bibliographie 75