Partie 1

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Partie 1
Déf : Un ensemble est le fait de considérer simultanément plusieurs objets mathématiques. (définition de Bertrand
Russel)
Déf : Un objet mathématique peut être un nombre, un vecteur, une fonction, un ensemble, un couple de nombres etc.
Déf : Un élément d’un ensemble est un objet mathématique qu’on considère comme appartenant à un certain ensemble.
a) Notations
 Soit  un objet mathématique quelconque (ça peut être un nombre, une fonction, un ensemble, un couple de
nombre (et des trucs plus compliqués)). Si  est un élément d’un ensemble  on note :   , c’est le symbole
d’appartenance.
 Les quantificateurs mathématiques sont des symboles qui permettent de caractériser les éléments d’un
ensemble. De préciser l’utilisation des éléments d’un ensemble.
 Le quantificateur universel qui se note  il correspond en français à « Quel que soit », ou
« pour tout ». Il permet de parler de tous les éléments d’un ensemble.
| Exemple :
Cette phrase mathématique dit « quel que soit l’entier naturel , il sera toujours inférieur ou égal à son double ».
Cette proposition est vraie quel que soit l’entier . Elle est vraie pour tous les éléments de .
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 Le quantificateur existentiel qui se note  il correspond en français à « il existe ». Il permet
de parler d’un élément en particulier d’un ensemble.
| Exemple :
Cette phrase mathématique dit « il existe un entier naturel  tel que    ».
Cette proposition est vraie. En effet, il existe bien des entiers naturels  qui vérifient cette propriété.
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 Un ensemble est généralement défini par une notation en accolade.
| Exemples :
Il s’agit de l’ensemble qu’on a nommé  et qui contient les éléments  et  et qui sont des nombres réels.
Cette écriture est généralement appelée écriture en extension de l’ensemble. On a énuméré tous les éléments de l’ensemble
entre accolade.
Il s’agit de l’ensemble qu’on a nommé  et qui contient les éléments  tels que :
o  est un élément de  (c’est-à-dire  est un entier naturel)
o Il existe un  qui est un élément de tel qu’on puisse écrire   
Autrement dit, il s’agit de l’ensemble des entiers naturels pairs :
Une telle définition d’un ensemble est dite en compréhension. On a défini un ensemble par une propriété de ses éléments :
ils s’écrivent tous comme  fois un entier naturel, c’est donc l’ensemble des nombres entiers naturels pairs.
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 On notera  l’ensemble des entiers naturels (entiers positifs ou nul) :
On notera  l’ensemble des entiers naturels non nul (privé de 0) :
On notera  l’ensemble des entiers relatifs (entiers positifs et négatifs) :
On notera  l’ensemble des entiers relatifs non nul (privé de 0)
On notera  l’ensemble des nombres rationnels (s’écrivant comme la fraction de deux entiers relatifs)
On notera  l’ensemble des nombres rationnels non nul
On notera  l’ensemble des nombres réels (l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels)
On notera  l’ensemble des nombres réels non nul
On notera  l’ensemble vide. Par définition l’ensemble vide est le seul ensemble qui n’a pas d’élément
On notera  une quantité plus grande que n’importe quelle autre (lemniscate de Bernoulli)

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Exercice 1.1 : Donner la définition en compréhension de .
Exercice 1.2 : Exprimer à l’aide de quantificateur(s) : pour tout réel  strictement positif,     . Démontrer cette
inégalité
Exercice 1.3 : Donner la définition en extension de l’ensemble des nombres premiers jusqu’à 29.
Exercice 1.4 : Donner la définition en compréhension de l’ensemble des entiers relatifs impairs
b) Représentation d’ensembles
 On appelle diagramme de Venn la représentation spatiale d’un ensemble fini d’éléments. Il
s’agit de représenter dans un « regroupement » tous les éléments de l’ensemble.
| Exemple :
Soit  l’ensemble défini par :   
. Cet ensemble possède  éléments. La représentation spatiale suivante :
0
1
2
Il s’agit du diagramme de Venn de l’ensemble 
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 On appelle univers un objet logico-mathématique qui n’est pas un ensemble mais qui
désigne en quelque sorte « l’ensemble de tous les ensembles » (qui n’est en fait pas vraiment
un ensemble).
| Exemple :
En reprenant l’exemple plus haut on devrait dessiner en toute rigueur :
 0
1
2
Il s’agit du diagramme de Venn de l’ensemble  contenu dans l’univers .

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Exercice 1.5 : Donner le diagramme de Venn de l’ensemble suivant   
c) Couple et -uplet
 Un couple est un ensemble noté  où  et sont deux objets mathématiques distincts
(pas forcément des nombres).
Un couple est défini par :
Remarque : Ici on a un ensemble contenant des ensembles (un singleton et une paire).
Ceci :  est l’ensemble contenant l’ensemble (l’ensemble ayant un seul élément à savoir , c’est donc un
singleton) et l’ensemble  (l’ensemble ayant deux éléments à savoir et , c’est donc une paire).
Un couplet n’est pas symétrique :  et  ce n’est pas la même chose
Tandis que un ensemble est symétrique :  et  sont les mêmes ensembles (car possédant les mêmes éléments)
On dit aussi que dans un couple, l’ordre compte tandis que dans un ensemble l’ordre ne compte pas.
 On appelle triplet, quadruplet et plus généralement -uplet tout objet mathématique de la
forme :
 (triplet)
 (quadruplet)
 (-uplet)
Ce sont des ensembles (dont la construction est plus complexe mais similaire à celui du couple) où l’ordre des variables
entre parenthèse compte (comme pour le couple).
 On appelle produit cartésien de deux ensembles  et  l’ensemble suivant :
Il s’agit donc de « l’ensemble des couples  tel que  appartient à l’ensemble  et  appartient à l’ensemble  »
Remarque : Un produit cartésien de l’ensemble  par lui-même est noté :     
| Exemple :
Soit    et    alors :
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 Le produit cartésien peut être étendu à un nombre arbitraire d’ensembles :
Il s’agit d’un ensemble de triplets cette fois-ci.
On peut étendre le produit cartésien à un ensemble de -uplets.
d) Compléments sur les ensembles
 La cardinal d’un ensemble fini est un nombre entier naturel qui donne le nombre d’éléments
de l’ensemble. Si  est un ensemble alors on note  le cardinal de l’ensemble .
Remarque : Un ensemble contenant un seul élément est un singleton
Un ensemble contenant deux éléments est une paire (ou un duo)
Un ensemble contenant trois éléments est un trio
| Exemple :
Soit l’ensemble défini par :   
Cet ensemble a en tout  éléments (3 chiffres et 5 lettres). Donc :
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| Exemple :
En probabilité, on effectue une expérience aléatoire. La probabilité d’un événement  est le nombre d’issues donnant 
sur le nombre d’issues totales. Soit  l’ensemble des issues donnant  et  l’ensemble de toutes les issues alors :
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 On dit que un ensemble est symétrique (ou invariant par permutation) si lorsque on modifie
l’ordre des variables dont il dépend on obtient le même ensemble.
 On dit qu’un ensemble est inclus dans un ensemble  si tous les éléments qui
appartiennent à  appartiennent à  aussi.
On note :
Ça se lit ainsi : «  est inclus dans  équivaut à dire que pour tout élément  qui appartient à ,  appartient aussi à  »
Diagramme de Venn d’une inclusion :