Partie 1

Partie 1
Déf : Un ensemble est le fait de considérer simultanément plusieurs objets mathématiques. (définition de Bertrand
Russel)
Déf : Un objet mathématique peut être un nombre, un vecteur, une fonction, un ensemble, un couple de nombres etc.
Déf : Un élément d’un ensemble est un objet mathématique qu’on considère comme appartenant à un certain ensemble.
a)
Notations

Soit Γ un objet mathématique quelconque (ça peut être un nombre, une fonction, un ensemble, un couple de
nombre (et des trucs plus compliqués)). Si Γ est un élément d’un ensemble 𝐹 on note : Γ ∈ 𝐹, c’est le symbole
d’appartenance.

Les quantificateurs mathématiques sont des symboles qui permettent de caractériser les éléments d’un
ensemble. De préciser l’utilisation des éléments d’un ensemble.

Le quantificateur universel qui se note ∀ il correspond en français à « Quel que soit », ou
« pour tout ». Il permet de parler de tous les éléments d’un ensemble.
| Exemple :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≤ 2𝑛
Cette phrase mathématique dit « quel que soit l’entier naturel 𝑛, il sera toujours inférieur ou égal à son double ».
Cette proposition est vraie quel que soit l’entier 𝑛. Elle est vraie pour tous les éléments de ℕ.
--------------------------------------------------
Le quantificateur existentiel qui se note ∃ il correspond en français à « il existe ». Il permet
de parler d’un élément en particulier d’un ensemble.
| Exemple :
∃𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≤ 3
Cette phrase mathématique dit « il existe un entier naturel 𝑛 tel que 𝑛 ≤ 3 ».
Cette proposition est vraie. En effet, il existe bien des entiers naturels (0,1,2 𝑒𝑡 3) qui vérifient cette propriété.
---------------------------------------------------
1

Un ensemble est généralement défini par une notation en accolade.
| Exemples :

𝐸 = {0,1}
Il s’agit de l’ensemble qu’on a nommé 𝐸 et qui contient les éléments 0 et 1 et qui sont des nombres réels.
Cette écriture est généralement appelée écriture en extension de l’ensemble. On a énuméré tous les éléments de l’ensemble
entre accolade.

𝐹 = {𝑛 ∈ ℕ, ∃𝜌 ∈ ℕ, 𝑛 = 2𝜌}
Il s’agit de l’ensemble qu’on a nommé 𝐹 et qui contient les éléments 𝑛 tels que :
o
o
𝑛 est un élément de ℕ (c’est-à-dire 𝑛 est un entier naturel)
Il existe un 𝜌 qui est un élément de ℕ tel qu’on puisse écrire 𝑛 = 2𝜌
Autrement dit, il s’agit de l’ensemble des entiers naturels pairs :
𝐹 = {0,2,4,6, … }
Une telle définition d’un ensemble est dite en compréhension. On a défini un ensemble par une propriété de ses éléments :
ils s’écrivent tous comme 2 fois un entier naturel, c’est donc l’ensemble des nombres entiers naturels pairs.
---------------------------------------------------

On notera ℕ l’ensemble des entiers naturels (entiers positifs ou nul) :
ℕ = {0,1,2,3, … }
On notera ℕ∗ l’ensemble des entiers naturels non nul (privé de 0) :
ℕ∗ = {1,2,3, … }
On notera ℤ l’ensemble des entiers relatifs (entiers positifs et négatifs) :
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, … }
On notera ℤ∗ l’ensemble des entiers relatifs non nul (privé de 0)
On notera ℚ l’ensemble des nombres rationnels (s’écrivant comme la fraction de deux entiers relatifs)
On notera ℚ∗ l’ensemble des nombres rationnels non nul
On notera ℝ l’ensemble des nombres réels (l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels)
On notera ℝ∗ l’ensemble des nombres réels non nul
On notera ∅ l’ensemble vide. Par définition l’ensemble vide est le seul ensemble qui n’a pas d’élément
On notera ∞ une quantité plus grande que n’importe quelle autre (lemniscate de Bernoulli)
2
Exercice 1.1 : Donner la définition en compréhension de ℚ.
Exercice 1.2 : Exprimer à l’aide de quantificateur(s) : pour tout réel 𝑥 strictement positif, 𝑥 + 𝑥 −1 ≥ 2. Démontrer cette
inégalité
Exercice 1.3 : Donner la définition en extension de l’ensemble des nombres premiers jusqu’à 29.
Exercice 1.4 : Donner la définition en compréhension de l’ensemble des entiers relatifs impairs
b)
Représentation d’ensembles

On appelle diagramme de Venn la représentation spatiale d’un ensemble fini d’éléments. Il
s’agit de représenter dans un « regroupement » tous les éléments de l’ensemble.
| Exemple :
Soit 𝐸 l’ensemble défini par : 𝐸 = {0,1,2,
1
2
}. Cet ensemble possède 4 éléments. La représentation spatiale suivante :
0
1
2
1
2
Il s’agit du diagramme de Venn de l’ensemble 𝐸
--------------------------------------------------
On appelle univers un objet logico-mathématique qui n’est pas un ensemble mais qui
désigne en quelque sorte « l’ensemble de tous les ensembles » (qui n’est en fait pas vraiment
un ensemble).
| Exemple :
En reprenant l’exemple plus haut on devrait dessiner en toute rigueur :
𝑈
0
𝐸
1
2
1
2
Il s’agit du diagramme de Venn de l’ensemble 𝐸 contenu dans l’univers 𝑈.
3
---------------------------------------------------
Exercice 1.5 : Donner le diagramme de Venn de l’ensemble suivant 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 1,2, Ⅎ}
c)
Couple et 𝑛-uplet

Un couple est un ensemble noté (𝑥, 𝑦) où 𝑥 et 𝑦 sont deux objets mathématiques distincts
(pas forcément des nombres).
Un couple est défini par :
(𝑥, 𝑦) = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}}
Remarque : Ici on a un ensemble contenant des ensembles (un singleton et une paire).
Ceci : {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}} est l’ensemble contenant l’ensemble {𝑥} (l’ensemble ayant un seul élément à savoir 𝑥, c’est donc un
singleton) et l’ensemble {𝑥, 𝑦} (l’ensemble ayant deux éléments à savoir 𝑥 et 𝑦, c’est donc une paire).
Un couplet n’est pas symétrique : (𝑥, 𝑦) et (𝑦, 𝑥) ce n’est pas la même chose
Tandis que un ensemble est symétrique : {𝑥, 𝑦} et {𝑦, 𝑥} sont les mêmes ensembles (car possédant les mêmes éléments)
On dit aussi que dans un couple, l’ordre compte tandis que dans un ensemble l’ordre ne compte pas.

On appelle triplet, quadruplet et plus généralement 𝑛-uplet tout objet mathématique de la
forme :
(𝑎, 𝑏, 𝑐) (triplet)
(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) (quadruplet)
(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑛) (𝑛-uplet)
Ce sont des ensembles (dont la construction est plus complexe mais similaire à celui du couple) où l’ordre des variables
entre parenthèse compte (comme pour le couple).

On appelle produit cartésien de deux ensembles 𝐸 et 𝐹 l’ensemble suivant :
𝐸 × 𝐹 = {(𝑥, 𝑦), 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐹}
Il s’agit donc de « l’ensemble des couples (𝑥, 𝑦) tel que 𝑥 appartient à l’ensemble 𝐸 et 𝑦 appartient à l’ensemble 𝐹 »
Remarque : Un produit cartésien de l’ensemble 𝐸 par lui-même est noté : 𝐸 × 𝐸 = 𝐸 2
| Exemple :
Soit 𝐸 = {0,1} et 𝐹 = {𝛼, 𝛽} alors :
𝐸 × 𝐹 = {(0, 𝛼), (0, 𝛽), (1, 𝛼), (1, 𝛽)}
---------------------------------------------------
4

Le produit cartésien peut être étendu à un nombre arbitraire d’ensembles :
𝐸 × 𝐹 × 𝐺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑦 ∈ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐺}
Il s’agit d’un ensemble de triplets cette fois-ci.
On peut étendre le produit cartésien à un ensemble de 𝑛-uplets.
d)
Compléments sur les ensembles

La cardinal d’un ensemble fini est un nombre entier naturel qui donne le nombre d’éléments
de l’ensemble. Si 𝐸 est un ensemble alors on note card(𝐸) le cardinal de l’ensemble 𝐸.
Remarque : Un ensemble contenant un seul élément est un singleton
Un ensemble contenant deux éléments est une paire (ou un duo)
Un ensemble contenant trois éléments est un trio
| Exemple :
Soit 𝐸 l’ensemble défini par : 𝐸 = {0,1,2, 𝑎, 𝑏, 𝑐, ℏ, Å}.
Cet ensemble a en tout 8 éléments (3 chiffres et 5 lettres). Donc :
card(𝐸) = 8
--------------------------------------------------| Exemple :
En probabilité, on effectue une expérience aléatoire. La probabilité d’un événement 𝐴 est le nombre d’issues donnant 𝐴
sur le nombre d’issues totales. Soit ℛ l’ensemble des issues donnant 𝐴 et Ω l’ensemble de toutes les issues alors :
Ρ(𝐴) =
card(ℛ)
card(Ω)
---------------------------------------------------

On dit que un ensemble est symétrique (ou invariant par permutation) si lorsque on modifie
l’ordre des variables dont il dépend on obtient le même ensemble.

On dit qu’un ensemble 𝐹 est inclus dans un ensemble 𝐸 si tous les éléments qui
appartiennent à 𝐹 appartiennent à 𝐸 aussi.
On note :
𝐹 ⊂ 𝐸 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝐸
Ça se lit ainsi : « 𝐹 est inclus dans 𝐸 équivaut à dire que pour tout élément 𝑥 qui appartient à 𝐹, 𝑥 appartient aussi à 𝐸 »
Diagramme de Venn d’une inclusion :
𝑈
𝐸
𝐹
𝐹⊂𝐸
5
Remarque : On dit alors que 𝐹 est un sous-ensemble de 𝐸
∅ est inclus dans n’importe quel ensemble
Remarque : Pour montrer que deux ensembles sont égaux on doit montrer qu’ils ont exactement les mêmes éléments, ce
qui revient à dire que chaque élément de l’ensemble 𝐸 appartient aussi à 𝐹 et que réciproquement chaque élément de 𝐹
appartient aussi à 𝐸. On procède par « double-inclusion » car cette phrase revient exactement à montrer que :
𝐸 ⊂ 𝐹 et 𝐹 ⊂ 𝐸
| Exemple :
Soit 𝐸 l’ensemble défini par : 𝐸 = ℕ et 𝐹 = {0,1}
On constate que 0 ∈ 𝐹 et 0 ∈ ℕ
De plus : 1 ∈ 𝐹 et 1 ∈ ℕ
Donc tous les éléments qui appartiennent à 𝐹 appartiennent à 𝐸 aussi. Donc par définition : 𝐹 ⊂ 𝐸
--------------------------------------------------
On appelle ensemble des parties d’un ensemble l’ensemble des sous-ensembles
d’un ensemble 𝐸.
On note 𝒫(𝐸) l’ensemble des parties de 𝐸.
| Exemple :
Soit 𝐸 l’ensemble défini par : 𝐸 = {0,1,2}
Les sous-ensembles de 𝐸 sont :
𝒮1 = ∅
𝒮2 = {0}
𝒮3 = {1}
𝒮4 = {2}
𝒮5 = {0,1}
𝒮6 = {0,2} 𝒮7 = {1,2} 𝒮8 = {0,1,2}
Pour vérifier ça on applique la définition de l’inclusion pour montrer que chaque 𝒮𝑘 est inclus dans 𝐸.
--------------------------------------------------Exercice 1.6 :Quel est l’ensemble des parties de l’ensemble 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} ?
Exercice 1.7 :Montrer que (𝑥, 𝑦) n’est pas symétrique
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Correction des questions :
𝑎
1.1 La définition en compréhension de ℚ est : ℚ = {𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒𝑡 ∃𝑏 ∈ ℤ, 𝑥 = }
𝑏
On lit : il s’agit de tous les nombres réels 𝑥 tels que il existe un 𝑎 et 𝑏 dans ℤ (c’est-à-dire un couple d’entiers relatifs
𝑎
(𝑎, 𝑏) tels que 𝑥 =
𝑏
1.2 ∀𝑥 > 0, 𝑥 + 𝑥 −1 ≥ 2
On calcule pour tout 𝑥 réels strictement positif :
1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)2
𝑥 + 𝑥 −1 − 2 = 𝑥 + − 2 =
=
𝑥
𝑥
𝑥
Un carré est toujours un nombre positif et le 𝑥 au dénominateur est supposé strictement positif donc :
(𝑥 − 1)2
≥0
𝑥
On a bien donc :
𝑥 + 𝑥 −1 − 2 ≥ 0
Ce qui permet de conclure l’exercice :
𝑥 + 𝑥 −1 ≥ 2
1.3 Voici la définition en extension de l’ensemble des nombres premiers jusqu’à 29 :
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}
1.4 La définition en compréhension des entiers relatifs impairs est la suivante :
{𝑥 ∈ ℤ, ∃𝜌 ∈ ℤ,
𝑥 = 2𝜌 − 1}
Ça se lit ainsi : « c’est l’ensemble des nombres 𝑥 entiers relatifs (appartenant à ℤ) tels que il existe un entier relatif 𝜌 tel
que 𝑥 = 2𝜌 − 1 »
1.5 Diagramme de Venn de l’ensemble 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 1,2, Ⅎ} :
𝑈
𝐸
𝑎
1
2
Ⅎ
3
𝑐
𝑏
1.6 On cherche l’ensemble des parties de l’ensemble 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} ∶
𝒫(𝐸) = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑑}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑎, 𝑑}, {𝑏, 𝑐}, {𝑏, 𝑑}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}}
Remarque : card(𝒫(𝐸)) = 2card(𝐸)
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1.7 Soit le couple (𝑥, 𝑦) = {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}} avec 𝑥 et 𝑦 des objets mathématiques quelconques.
Le couple (𝑦, 𝑥) est par définition : {{𝑦}, {𝑦, 𝑥}}
Donc (𝑥, 𝑦) ≠ (𝑦, 𝑥)
En effet, {{𝑥}, {𝑥, 𝑦}} est l’ensemble contenant le singleton {𝑥} et la paire {𝑥, 𝑦}
Tandis que {{𝑦}, {𝑦, 𝑥}} est l’ensemble contenant le singleton{𝑦} et la paire {𝑦, 𝑥}
{𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
Un ensemble est donc symétrique. Mais un couple ne l’est pas, l’un contient le singleton {𝑥} et l’autre non (donc ça ne
peut pas être les mêmes ensembles).
On dit qu’un couple est antisymétrique.
Remarque : Un point du plan est un couple de coordonnées (𝑥, 𝑦). Et on voit bien géométriquement que (𝑥, 𝑦) ≠ (𝑦, 𝑥)
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