Contrôle de statistiques Sujet 1 – Corrigé

Contrôle de statistiques
Sujet 1 – Corrigé
L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
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Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones
portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées
et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être rendu
avec la copie.
Exercice 1 (6 points)
On propose à King de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il tire 3 jetons avec remise d’une
urne contenant 9 jetons. Chaque jeton peut être soit vert, soit rouge. Il y a 3 jetons verts et 6 jetons
rouges.
Chaque jeton vert rapporte 3 e à King, alors que chaque jeton rouge lui fait perdre 1 e . Soit X la
variable aléatoire représentant les gains totaux de King (ses gains après les 3 tirages).
Question 1 Donner l’univers Ωde l’expérience aléatoire.
On a Ω = {(j1,j2,j3),avec ji∈{vert, rouge}}. Le cardinal de Ωest 23.
Question 2 Donner la loi de X.
Xpeut prendre 4 valeurs :
—−3si les 3 jetons sont rouges.
—1si 1 jeton est vert et 2 jetons sont rouges.
—5si 2 jetons sont verts et 1 jeton est rouge.
—9si les 3 jetons sont verts.
On a donc X(Ω) = {−3,1,5,9}.
La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d’un événement élémentaire est P ( ω ) =
1
23
. La
probabilité d’obtenir :
— Un jeton rouge P(j=rouge) = 6
9=2 3
— Un jeton vert est P(j=vert) = 3
9=1 3
La loi de Xest :
P(X=−3) = 2
33
=8
27
P(X= 1) = A1
3×2
32
×1
3=4 9
P(X= 5) = A2
3×1
32
×2
3=2 9
P(X= 9) = 1
33
=1
27
A1
3est A2 3correspondent au nombre possible d’ordre pour les jetons verts.
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Question 3 Donner l’espérance de X.
E(X) = −3×P(X=−3) + 1 ×P(X= 1) + 5 ×P(X= 5) + 9P(X= 9)
=−3×8
27 + 1 ×12 27 + 5 ×6 27 + 9 ×1 27
=−24 + 12 + 30 + 9
27
= 1
L’espérance de gain de ce jeu est de 1e.
Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l’on notera FX.
La fonction de répartition FXest donnée par FX(t) = P(X≤t),∀t∈R. On obtient donc :
FX(t) =
P(X≤t) = 0 si t < −3
P(X=−3) = 8
27 si −3≤t < 1
P(X=−3) + P(X= 1) = 8+12
27 =20 27 si 1≤t < 5
P(X=−3) + P(X= 1) + P(X= 5) = 8+12+6
27 =26 17 si 5≤t < 9
P(X=−3) + P(X= 1) + P(X= 5) + P(X= 9) = 1 si t≥9
Exercice 2 (10 points)
Marie est garagiste, sa spécialité est le remplacement des pneus de voitures. Soit C la variable aléatoire
représentant le nombre de pneus changés par voiture. On suppose que C (Ω) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . La loi de
Cest donnée par le tableau suivant :
c1 2 3 4 5
P(C=c)0,2 a0,05 b0,05
Question 1 Que doivent vérifier les variables aet bpour que Psoit une loi de probabilité ?
Pour que Psoit une probabilité, il faut que la probabilité de l’univers soit égale à 1, soit :
1 = P(C= 1) + P(C= 2) + P(C= 3) + P(C= 4) + P(C= 5)
⇔1=0,2 + a+ 0,05 + b+ 0,05
⇔0,7 = a+b(1)
Par ailleurs, chaque probabilité doit être positive, on a donc a≥0et b≥0.
Question 2 Marie change en moyenne 2,6 pneus par voiture. Quelles sont les valeurs de a et b
correspondantes ?
Si Marie change 2,6 pneus par semaine, cela nous donne une condition sur l’espérance de la variable
aléatoire C. On calcule donc cette espérance et on l’égalise à 2,6 :
2,6 = E(C)
⇔2,6=1×P(C= 1) + 2 ×P(C= 2) + 3 ×P(C= 3) + 4 ×P(C= 4) + 5 ×P(C= 5)
⇔2,6=1×0,2+2×a+ 3 ×0,05 + 4 ×b+ 5 ×0,05
⇔2,6=0,2+0,15 + 0,25 + 2a+ 4b
⇔2=2a+ 4b(2)
Les conditions 1 et 2 nous donne un système que doivent vérifier aet b:
1 = a+ 2b⇔b= 0,3
0,7 = a+b a = 0,4
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Question 3 Calculer la variance de cette variable aléatoire.
On a V ( C ) = E ( C2 ) −E ( C )
2
. On connaît déjà E ( C )=2 , 6, on peut donc calculer son carré : 6 , 76 (en
utilisant des fractions). Il reste à calculer E(C2):
E(C2)=12×P(C= 1) + 22×P(C= 2) + 32×P(C= 3) + 42×P(C= 4) + 52×P(C= 5)
= 1 ×0,2+4×0,4+9×0,05 + 16 ×0,3 + 25 ×0,05
= 0,2+1,6+0,45 + 4,8+1,25
= 8,3
On obtient alors V(C)=8,3−6,76 = 1,64. La variance de cette variable aléatoire est de 1,64.
Marie facture le changement de roues de la manière suivante : changer une roue est facturé 100 e , alors
qu’en changer 2 est facturé 150e(en changer 3 revient à en changer 2+1, en changer 4, 2+2, etc).
Question 4 Sachant que chaque roue coûte 50 e à Marie, donner la variable aléatoire des gains de
Marie, que l’on notera G. Donner la loi de G.
Les gains de Marie en fonction de nombre de roues changées sont les suivants :
— 1 roue : 100 −50 = 50e
— 2 roues : 150 −2×50 = 50e
— 3 roues : 150 + 100 −3×50 = 250 −150 = 100e
— 4 roues : 2×150 −4×50 = 300 −200 = 100e
— 5 roues : 2×150 + 100 −5×50 = 400 −250 = 150e
On a donc G(Ω) = {50,100,150}. La loi des gains Gest données par :
P(G= 50) = P(C= 1) + P(C= 2) = 0,6
P(G= 100) = P(C= 3) + P(C= 4) = 0,35
P(G= 150) = P(C= 5) = 0,05
Question 5 Combien Marie gagne-t-elle par voiture en moyenne ?
On calcule l’espérance des gains de Marie, soit l’espérance de G:
E(G) = 50 ×P(G= 50) + 100 ×P(G= 100) + 150 ×P(G= 150)
= 50 ×0,6 + 100 ×0,35 + 150 ×0,05
= 30 + 35 + 7,5
= 72,5
Marie gagne en moyenne 72,5epar voiture qui effectue un changement de pneus.
Marie a négocié avec son fournisseur des réductions pour les roues : elle peut maintenant avoir 4 roues
identiques pour 150een tout.
Question 6 On suppose que toutes les voitures sont différentes (donc que leurs roues sont différentes),
quels sont les nouveaux gains de Marie en moyenne par voiture ?
Notons H la variable aléatoires donnant les nouveaux gains de Marie dans ce cas. On a maintenant les
gains de Marie quand elle change des roues :
— 1 roue : 100 −50 = 50e
— 2 roues : 150 −2×50 = 50e
— 3 roues : 150 + 100 −3×50 = 250 −150 = 100e
— 4 roues : 2×150 −150 = 300 −150 = 150e
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— 5 roues : 2×150 + 100 −150 −50 = 400 −200 = 200e
On a donc H(Ω) = {50,100,150,200}. La loi des gains Hest données par :
P(H= 50) = P(C= 1) + P(C= 2) = 0,6
P(H= 100) = P(C= 3) = 0,05
P(H= 150) = P(C= 4) = 0,3
P(H= 200) = P(C= 5) = 0,05
On calcule l’espérance des gains de Marie, soit l’espérance de G:
E(H) = 50 ×P(H= 50) + 100 ×P(H= 100) + 150 ×P(H= 150) + 200 ×P(H= 200)
= 50 ×0,6 + 100 ×0,05 + 150 ×0,3 + 200 ×0,05
= 30 + 5 + 45 + 10
= 90
La nouvelle moyenne des gains de Marie est 90e, soit 17,5een moyenne en plus.
Exercice 3 (14 points)
Un magasin veut faire l’état des lieux de sa gestion des stocks. Le magasin suppose que la probabilité
de rupture de stock pour chaque jour ouvrable est de p . Il ne peut y avoir qu’une rupture de stock
journalière et une rupture de stock au jour k est indépendante d’une rupture de stock k + 1. On note
Xla variable aléatoire « Nombre de jours où il y a rupture de stock sur les 30 jours de référence ».
Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoire X ? La rupture de stock suit une loi de Bernoulli de
paramètre p . Les jours sont indépendants les uns des autres. Dans le cas présent, il s’agit donc d’une
répétition sur 30 jours d’une expérience de Bernoulli avec indépendance. Donc notre variable va suivre
une loi Binomiale de paramètres pet n.
Donc : X∼ B(30, p)avec P(X=k) = Ck
n·pk·(1 −p)n−k, pour tout k∈N.
Question 2 Donner la probabilité que le magasin subisse 10 ruptures de stocks sur les 30 jours de
référence.
P(X=k) = Ck
n.pk.(1 −p)n−koù k= 10 :
P(X= 10) = C10
30 ·p10 ·(1 −p)20
Question 3 Donner l’espérance et la variance de X.
E(X) = np = 30p
V(X) = np(1 −p) = 30p(1 −p)
Le stock pour une journée normale (sans pénurie) coûte 100 e . En cas de rupture de stock, le coût de
la journée est majoré de 50 e pour le magasin qui doit, en urgence, racheter des produits. Le grossiste
propose au magasin de payer une assurance 10 e par jour pour ne plus avoir de majoration en cas de
rupture de stock. On note Y la variable aléatoire « Montant dépensé par l’entreprise sur 30 jours sans
assurance ».
Question 4 Donner Y (Ω) et la loi de Y (dans sa formulation générale, i.e, sans explicitation numérique).
Ypourra être exprimé en fonction de X.
Ici, Y= 30 ×100 + 50X; donc Y(Ω) = {3000 + 50i, avec i∈ {0. . . 30}}.
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Avec P(Y=y) = P(X=x)avec x=y−3000
50 . Alors :
P(Y=y) = C
y−3000
50
30 ·py−3000
50 ·(1 −p)30−
y−3000
50
Question 5 A partir de quel niveau psera t-il préférable de s’assurer ?
Avec une assurance, le coût de 30 jours sera de 110 ×30 = 3300.
Le coût moyen sans assurance est de E ( Y ) = 3000 + 50 ×E ( X ) = 3000 + 50 p× 30 (par linéarité de
l’espérance).
Il sera préférable de s’assurer si 3300 ≤3000 + 50 ×p×30. Donc :
300 ≤1500p⇔1
5≤p
Le magasin gère un stock de 10 000 produits qui ont un taux de défaut de 1 sur 1000. En utilisant une
approximation poissonnienne (en justifiant son utilisation) :
Question 6 Déterminez la probabilité que le nombre de produits défectueux soit égal à 5.
Dans cette situation, comme n = 10000 est grand et p =
1
1000
est petit, on peut approximer la variable
aléatoire qui suit une loi binomiale B (10000 , 1 / 1000) par une loi de poisson de paramètre λ = n×p = 10.
Donc (cf table pour la valeur numérique) :
P(X= 5) = e−10 ·105
5!
'0,038
La probabilité d’avoir exactement 5 produits défectueux est d’environ 4%.
Question 7 Déterminez la probabilité que le nombre de produits défectueux soit au moins égal à 3.
P(X≥3) = 1 −P(X < 3)
= 1 −P(X= 2) −P(X= 1) −P(X= 0)
= 1 −exp(−10) 1 + 10 + 100
2
= 1 −61 exp(−10)
'0,998
La probabilité d’avoir trois produits défectueux ou plus est de 99,8%.
Question 8 Quelle est l’espérance et la variance de cette variable ? D’après la formule pour une loi de
Poisson :
E(X) = V(X) = λ= 10
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