introduction aux operateurs lineaires bornes

Chapitre2 : Introduction aux opérateurs
Linéaires
S. M. Bahri
1
Introduction aux opérateurs Linéaires
Le lecteur est familier avec l’idée de fonction; sa généralisation aux espaces
métriques conduit à
De…nition 1 Soient X et Y deux espaces métriques (ils peuvent être identiques). Une corréspondance Ax = y, x 2 X; y 2 Y est dite un opérateur
de X dans Y si, pour tout x 2 X corréspond un seul y 2 Y . L’ensemble des
x 2 X; pour lesquels il existe un corréspondant y 2 Y est appelé domaine de A
et est noté D (A); l’ensemble de tous les y corréspondants aux x 2 X est appelé
image de A et est noté R (A) ou Im A. Donc
R (A) = fy 2 Y ; y = Ax; x 2 Xg :
Comme analogie avec la dé…nition classique de la continuité, nous avons
De…nition 2 Soit A un opérateur de X dans Y . L’opérateur A est dit continu
au point x0 2 X si, étant donné > 0, il existe un > 0, dépendant de , tels
que si d (x; x0 )X < , alors d (Ax; Ax0 )Y < . Si A est continu pour tout point
d’un ensemble ouvert M X, alors il est appelé continu sur M .
Les opérateurs continus se distinguent par la propriété suivante
Theorem 3 Soient X et Y deux espaces métriques et A un opérateur de X
dans Y: A est continu si, et seulement si, l’image inverse d’un ensemble ouvert
est un ensemble ouvert.
Proof.
1. Supposons A continu. Soit N un ensemble ouvert dans Y , et soit M
son image inverse.
(a) Si M est vide, alors il est ouvert.
1
X
(b) Supposons M non vide et x0 2 M , alors y0 = Ax0 2 N . N est un
ouvert alors il existe une boule ouverte de rayon et de centre y0 qui
soit incluse dans N . Comme A est continu, on peut trouver un > 0
tel que
d (x; x0 )X < ) d (y; y0 )Y < :
(1)
Tous les y véri…ants (1) sont dans N , donc les x corréspondants sont
dans X. Par conséquent tout x0 2 M est le centre d’une boule
ouverte dans M , et M est ouvert.
2. Supposons que N ouvert implique que M est ouvert. Soient x0 2 M
et y0 = Ax0 2 N . Comme N est ouvert, y0 est le centre d’une boule
ouverte de rayon 0 ; constituée de points de N . Choisissons
0 : La
boule ouverte d (y; y0 )Y < est un ensemble ouvert de centre y0 . Son
image inverse est un ensemble ouvert de centre x0 . Comme cet ensemble
est ouvert, il contient une boule ouverte de rayon , par conséquent, si
d (x; x0 )X < , alors d (Ax; Ax0 )Y < ; A est donc continu en x0 .
Corollary 4 Soient X et Y deux espaces métriques et A un opérateur de X
dans Y: A est continu si, et seulement si, l’image inverse d’un ensemble fermé
est un ensemble fermé.
1.1
Opérateurs linéaires
Soient X et Y deux espaces vectoriels sur le même champ des scalaires K (R
ou C ):
De…nition 5 L’opérateur A est un opérateur linéaire de X dans Y si, son
domaine D (A) est un sous espace linéaire de X et, pour tout x1 ; x2 2 D (A), et
tout ; 2 K,
A ( x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 :
Maintenant, supposons que X et Y sont deux espaces vectoriels normés et
A un opérateur linéaire de X dans Y . Nous appelons espace nul de A noté
N (A) ou noyau de A (noté aussi ker A ) l’espace constitué des x 2 D (A) tels
que Ax = 0. Nous pouvons véri…é facilement que D (A) et N (A) sont des sous
espaces de X et que R (A) est un sous espace de Y . Nous soulignons que si
D (A) est de dimension …nie alors R (A) est de dimension …nie de plus,
dim R (A)
dim D (A) :
A travers ce cours, nous serons largement concerné par les opérateurs linéaires
continus. Commencons par ce résultat simpli…é
Theorem 6 Soit A un opérateur linéaire d’un espace vectoriel normé X dans
un espace normé Y . A est continu en tout point x 2 D (A) ssi il est continu en
un point x0 2 D (A), disons x0 = 0.
2
Ce théorème conduit à
Theorem 7 Soit A un opérateur linéaire d’un espace vectoriel normé X dans
un espace normé Y . A est continu sur D (A) ssi il existe une constante c; telle
que, pour tout x 2 D (A), nous avons
kAxkY
c kxkX :
(2)
La borne inférieure des constantes c est dite norme de A et est notée kAk :
Ainsi
kAxkY
kAk = sup
:
(3)
kxkX
x2D(A)
Proof. Nous avons besoin de considérer la continuité de A seulement en x = 0.
Si (2) est véri…ée, alors la dé…nition2 montre que A est continu en x = 0.
Inversement, si A est continu en x = 0 alors la dé…nition2 avec = 1 a¢ rme
qu’il existe un certain > 0 tel que, si kxk < , alors kAxk < 1. Pour tout
x 2 X; x 6= 0; la norme de x = x= (2 kxk) est
kx k = kxk = (2 kxk) = =2 <
de sorte que kAx k < 1: Mais A est un opérateur linéaire, donc
kAx k =
2 kxk
kAxk < 1:
Ceci implique que si x 2 X, alors
kAxk <
2
kxk
qui est (2) avec c = 2 .
un opérateur linéaire satisfaisant (2) est dit borné. Donc nous avons
Corollary 8 Un opérateur linéaire est continu ssi il est borné.
Example 9 L’opérateur d’intégration dé…ni par
Z x
Bu (x) =
u (s) ds
0
est continu de C (0; 1) dans C (0; 1). Est il continu de C (0; 1) dans C 1 (0; 1)?
1.2
Espaces des opérateurs linéaires continus (ou bornés)
Soient des evn (X; k:kX ) et (Y; k:kY ) sur K. On note alors B (X; Y ) l’ensemble
des opérateurs linéaires continus A : X ! Y (i.e. D (A) = X, R (A)
Y ).
Notons que c’est un espace vectoriel sur K :
le vecteur nul est A = 0 sur tout X,
3
(A + B) x := Ax + Bx pour tout x 2 X,
( A)x := Ax pour tout x 2 X et pour tout 2 K.
Muni de la norme
kAxkY
kAk = sup
;
kxkX
x2D(A)
(4)
(B (X; Y ) ; k:k) est un evn (à véri…er !). Si X = Y , on note aussi B(X) à la
place de B(X; X).
Comme dans tout espace vectoriel norné, nous pouvons introduire la notion
de convergence dans B (X; Y ).
De…nition 10 La suite d’opérateurs linéaires continus fAn g
B (X; Y ) est
dite convergente vers A si kAn Ak ! 0 quand n ! 1; dans ce cas nous
dirons que An converge uniformément vers A.
Theorem 11 Si Y est un espace de Banach, alors (B (X; Y ) ; k:k) est un espace
de Banach.
Proof. Soit une suite de Cauchy fAn g
8 > 0; 9N 2 N : 8m
B (X; Y ), c’est-‘a-dire que
N; 8n
N; kAn
Am k < 0:
Pour tout x 2 X, fAn xg est une suite de Cauchy dans Y , car
kAn x
Am xkY = k(An
Am ) xkY
kAn
Am k kxkX :
b 2Y .
Comme Y est complet, fAn xg converge vers une certaine limite, notée Ax
b
Ceci étant valable pour tout x 2 X, ceci dé…nit un opérateur linéaire A : X ! Y
(véri…er sa linéarité).
Fixons maintenant > 0. On sait alors qu’il existe N 2 N tel que
8m
N; 8n
N; 8x 2 X; k(An
Am ) xkY
kxkX
Am ) xkY
kxkX :
qui s’écrit aussi
8n
N; 8x 2 X; 8m
N; k(An
Pour n et x …xés, on laisse tendre m vers l’in…ni, ce qui donne
8n
N; 8x 2 X;
An
Cette dernière inégalité montre que AN
AN est borné. On a montré que
8 > 0; 9N 2 N : 8n
b dans B (X; Y ).
et donc An ! A
4
b x
A
kxkX :
Y
b est borné, et donc A
b = (A
b
A
N; An
b
A
;
AN ) +