introduction aux operateurs lineaires bornes
Chapitre2 : Introduction aux opérateurs
Linéaires
S. M. Bahri
1 Introduction aux opérateurs Linéaires
Le lecteur est familier avec l’idée de fonction; sa généralisation aux espaces
métriques conduit à
De…nition 1 Soient Xet Ydeux espaces métriques (ils peuvent être iden-
tiques). Une corréspondance Ax =y,x2X; y 2Yest dite un opérateur
de Xdans Ysi, pour tout x2Xcorréspond un seul y2Y. L’ensemble des
x2X; pour lesquels il existe un corréspondant y2Yest appelé domaine de A
et est noté D(A); l’ensemble de tous les ycorréspondants aux x2Xest appelé
image de Aet est noté R(A)ou Im A. Donc
R(A) = fy2Y;y=Ax; x 2Xg:
Comme analogie avec la dé…nition classique de la continuité, nous avons
De…nition 2 Soit Aun opérateur de Xdans Y. L’opérateur Aest dit continu
au point x02Xsi, étant donné > 0, il existe un > 0, dépendant de , tels
que si d(x; x0)X< , alors d(Ax; Ax0)Y< . Si Aest continu pour tout point
d’un ensemble ouvert MX, alors il est appelé continu sur M.
Les opérateurs continus se distinguent par la propriété suivante
Theorem 3 Soient Xet Ydeux espaces métriques et Aun opérateur de X
dans Y: A est continu si, et seulement si, l’image inverse d’un ensemble ouvert
est un ensemble ouvert.
Proof.
1. Supposons Acontinu. Soit Nun ensemble ouvert dans Y, et soit MX
son image inverse.
(a) Si Mest vide, alors il est ouvert.
1
(b) Supposons Mnon vide et x02M, alors y0=Ax02N.Nest un
ouvert alors il existe une boule ouverte de rayon et de centre y0qui
soit incluse dans N. Comme Aest continu, on peut trouver un > 0
tel que
d(x; x0)X< )d(y; y0)Y< : (1)
Tous les yvéri…ants (1) sont dans N, donc les xcorréspondants sont
dans X. Par conséquent tout x02Mest le centre d’une boule
ouverte dans M, et Mest ouvert.
2. Supposons que Nouvert implique que Mest ouvert. Soient x02M
et y0=Ax02N. Comme Nest ouvert, y0est le centre d’une boule
ouverte de rayon 0;constituée de points de N. Choisissons 0:La
boule ouverte d(y; y0)Y< est un ensemble ouvert de centre y0. Son
image inverse est un ensemble ouvert de centre x0. Comme cet ensemble
est ouvert, il contient une boule ouverte de rayon , par conséquent, si
d(x; x0)X< , alors d(Ax; Ax0)Y< ;Aest donc continu en x0.
Corollary 4 Soient Xet Ydeux espaces métriques et Aun opérateur de X
dans Y: A est continu si, et seulement si, l’image inverse d’un ensemble fermé
est un ensemble fermé.
1.1 Opérateurs linéaires
Soient Xet Ydeux espaces vectoriels sur le même champ des scalaires K(R
ou C):
De…nition 5 L’opérateur Aest un opérateur linéaire de Xdans Ysi, son
domaine D(A)est un sous espace linéaire de Xet, pour tout x1; x22D(A), et
tout ; 2K,
A(x1+x2) = Ax1+Ax2:
Maintenant, supposons que Xet Ysont deux espaces vectoriels normés et
Aun opérateur linéaire de Xdans Y. Nous appelons espace nul de Anoté
N(A)ou noyau de A(noté aussi ker A) l’espace constitué des x2D(A)tels
que Ax = 0. Nous pouvons véri…é facilement que D(A)et N(A)sont des sous
espaces de Xet que R(A)est un sous espace de Y. Nous soulignons que si
D(A)est de dimension …nie alors R(A)est de dimension …nie de plus,
dim R(A)dim D(A):
A travers ce cours, nous serons largement concerné par les opérateurs linéaires
continus. Commencons par ce résultat simpli…é
Theorem 6 Soit Aun opérateur linéaire d’un espace vectoriel normé Xdans
un espace normé Y.Aest continu en tout point x2D(A)ssi il est continu en
un point x02D(A), disons x0= 0.
2
Ce théorème conduit à
Theorem 7 Soit Aun opérateur linéaire d’un espace vectoriel normé Xdans
un espace normé Y.Aest continu sur D(A)ssi il existe une constante c; telle
que, pour tout x2D(A), nous avons
kAxkYckxkX:(2)
La borne inférieure des constantes cest dite norme de Aet est notée kAk:
Ainsi
kAk= sup
x2D(A)kAxkY
kxkX:(3)
Proof. Nous avons besoin de considérer la continuité de Aseulement en x= 0.
Si (2) est véri…ée, alors la dé…nition2 montre que Aest continu en x= 0.
Inversement, si Aest continu en x= 0 alors la dé…nition2 avec = 1 a¢ rme
qu’il existe un certain > 0tel que, si kxk< , alors kAxk<1. Pour tout
x2X; x 6= 0;la norme de x=x= (2 kxk)est
kxk=kxk=(2 kxk) = =2<
de sorte que kAxk<1:Mais Aest un opérateur linéaire, donc
kAxk=
2kxkkAxk<1:
Ceci implique que si x2X, alors
kAxk<2
kxk
qui est (2) avec c=2
.
un opérateur linéaire satisfaisant (2) est dit borné. Donc nous avons
Corollary 8 Un opérateur linéaire est continu ssi il est borné.
Example 9 L’opérateur d’intégration dé…ni par
Bu (x) = Zx
0
u(s)ds
est continu de C(0;1) dans C(0;1). Est il continu de C(0;1) dans C1(0;1)?
1.2 Espaces des opérateurs linéaires continus (ou bornés)
Soient des evn (X; k:kX)et (Y; k:kY)sur K. On note alors B(X; Y )l’ensemble
des opérateurs linéaires continus A:X!Y(i.e. D(A) = X,R(A)Y).
Notons que c’est un espace vectoriel sur K:
le vecteur nul est A= 0 sur tout X,
3
(A+B)x:= Ax +Bx pour tout x2X,
(A)x:= Ax pour tout x2Xet pour tout 2K.
Muni de la norme
kAk= sup
x2D(A)kAxkY
kxkX;(4)
(B(X; Y );k:k)est un evn (à véri…er !). Si X=Y, on note aussi B(X)à la
place de B(X; X).
Comme dans tout espace vectoriel norné, nous pouvons introduire la notion
de convergence dans B(X; Y ).
De…nition 10 La suite d’opérateurs linéaires continus fAng B(X; Y )est
dite convergente vers Asi kAnAk ! 0quand n! 1;dans ce cas nous
dirons que Anconverge uniformément vers A.
Theorem 11 Si Yest un espace de Banach, alors (B(X; Y );k:k)est un espace
de Banach.
Proof. Soit une suite de Cauchy fAng B(X; Y ), c’est-‘a-dire que
8 > 0;9N2N:8mN; 8nN; kAnAmk<0:
Pour tout x2X,fAnxgest une suite de Cauchy dans Y, car
kAnxAmxkY=k(AnAm)xkY kAnAmk kxkX:
Comme Yest complet, fAnxgconverge vers une certaine limite, notée b
Ax 2Y.
Ceci étant valable pour tout x2X, ceci dé…nit un opérateur linéaire b
A:X!Y
(véri…er sa linéarité).
Fixons maintenant > 0. On sait alors qu’il existe N2Ntel que
8mN; 8nN; 8x2X; k(AnAm)xkYkxkX
qui s’écrit aussi
8nN; 8x2X; 8mN; k(AnAm)xkYkxkX:
Pour net x…xés, on laisse tendre mvers l’in…ni, ce qui donne
8nN; 8x2X;
Anb
Ax
YkxkX:
Cette dernière inégalité montre que ANb
Aest borné, et donc b
A= ( b
AAN) +
ANest borné. On a montré que
8 > 0;9N2N:8nN;
Anb
A
;
et donc An!b
Adans B(X; Y ).
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