ch1 oaf1

Université Abdelhamid Ben Badis
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
Master1 MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle 1
Responsable : S. M. Bahri
Quelques Aspects Fondamentaux des Espaces
Fonctionnels
1 Espaces vectoriels (ou linéaires)
1.1 Concept d’un espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant
en pratique d’e¤ectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corps (commutatif) K(Rou C), un espace vectoriel Esur K
est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d’une action compatible
de K:
1. (x+y) + z=x+ (y+z)(associativité de l’addition);
2. x+y=y+x(commutativité de l’addition);
3. il existe un élément dans Etel que 0x=pour tout x2E;
4. (+)x=x +x (distributivité);
5. (x+y) = x +y (distributivité);
6. 1x=x:
Les éléments de Esont appelés des vecteurs, et les éléments de Kdes
scalaires.
1. Les plus simples exemples d’espaces vectoriels étudiés dans un cours d’algébre
linéaire sont ceux des espaces vectoriels de dimension …nie Rn,Cnou
l’espace des polynômes de degré inférieur à n.
2. Un important exemple d’espace vectoriel est l’espace C[a; b]des fonctions
continues à valeurs réels (ou complexes) dé…nies sur l’intervalle [a; b].
3. sest l’ensemble des suites à support …ni : c’est l’ensemble des suites
in…nies d’éléments telles que seul un nombre …ni d’éléments soit non nul.
En d’autres termes, un suite (ai)est dans ssi, et seulement si, il existe
N2Nde sorte que ai= 0 pour tout i>N. Cet ensemble forme un
espace vectoriel par rapport à l’addition et la multiplication des suites, et
bien évidemment Il est isomorphe à l’espace de tous les polynômes.
1

4. L’ensemble c0des suites convergentes vers zero.
5. L’ensemble cdes suites convergentes.
6. L’ensemble l1des suites bornées.
7. L’ensemble sde toutes les suites.
Tous ces ensembles sont des espaces vectoriels et ils sont liés de la manière
suivante:
sc0cl1s: (1)
1.1.1 Dépendance linéaire et indépendance - Base
Un système de vecteurs x1; x2; :::; xnest dit linéairement indépendant si toute
combinaison linéaire nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coe¢ cients
nuls n
X
k=1
kxk=)1=2==n= 0:(2)
Dans le cas contraire, ces vecteurs sont dits linéairement dépendants.
Un système in…ni de vecteurs est dit linéairement indépendant si toute
famille …nie de vecteurs distincts de ce système est linéairement indépendante.
Un système linéairement indépendant fxngest dit base algèbrique de l’espace
vectoriel Esi tout vecteur x2Eest représentable sous forme d’une combinaison
linéaire d’un nombre …ni de vecteurs de fxng:
x=
n
X
i=1
ixi:(3)
Comme une base algèbrique est un système linéairement indépendant, la représen-
tation (3) est unique.
Tout espace vectoriel admet admet une base algèbrique. Et deux bases
algébriques d’un même espace vectoriel Eadmettent le même cardinal qui est
en fait la dimension de l’espace vectoriel E.
Un espace vectoriel est dit de dimension …nie si sa dimension est un entier
naturel n. Dans ce cas, une base algébrique consiste en néléments. Dans le
cas où est in…ni, l’espace vectoriel Eest dit de dimension in…nie.
Remarques 1.1 Notons que l’on a dé…nie une base uniquement pour les espaces
vectoriels de dimension …nie. Les concepts correspondants sont moins utilisés
en dimension in…nie (au fait ce concept est remplacé par la notion de séparabil-
ité, i.e., existence d’un ensemble dénombrable partout dense ( pour les espaces
Banach). Exception faite pour les espaces de Hilbert où l’on peut dé…nir un
concept similaire.
2

1.1.2 Variétés linéaires et ensembles convexes
Un sous ensemble non vide Md’un espace vectoriel Eest dit variété linéaire
si, pour tout couple de vecteurs x1; x2de l’ensemble Mtoutes les combinaisons
linéaires 1x1+2x2appartiennent aussi à M.
Soient Set Tdeux sous ensembles d’un espace vectoriel E. La somme
algébrique STdes ensembles Set Test l’ensemble des vecteurs de la forme x+
y, où x2Set y2T. Deux variétés linéaires Met Nsont dites algébriquement
complémentaires si M\N=?et MN=E. Pour toute variété linéaire M
d’un espace vectoriel Eil existe une variété linéaire Nqui soit son complément
algébrique.
Le segment dé…ni par les vecteurs xet yd’un espace vectoriel est l’ensemble
des vecteurs de la forme
x + (1 )y; où 01:
Un ensemble Sdans un espace vectoriel Eest dit convexe s’il contient le segment
dé…ni par n’importe quel couple de ses vecteurs. Le plus simple exemple d’un
ensemble convexe est donné par une variété linéaire quelconque ME.
Pour tous ensemble quelconque SEil existe un plus petit ensemble con-
vexe e Scontenant S, dit enveloppe convexe de l’ensemble S. L’enveloppe convexe
e
Sconsiste en tous les vecteurs ayant la forme
x=
n
X
k=1
kxk;
où k0;Pn
k=1 k= 1; xk2Set nest un nombre naturel arbitraire.
2 Espaces vectoriels topologiques, métriques, nor-
més et de Banach
2.1 Espace vectoriel topologique
Un espace vectoriel topologique est une structure composite. Sa structure est
induite par les opérations algébriques et une topologie. Le concpt de l’espace
vectoriel topologique re‡ète les propriétés liées avec les concepts intuitives de
voisinage, limite et continuité dans les espace euclidiens ordinaires. Dans un
espace vectoriel topologique les deux structures sont interdépendants. Cette
relation re‡ète les propriétés de continuité des opérations algébriques sur les
vecteurs dans les espaces euclidiens.
Une application A:E1!E2entre deux espaces vectoriels E1et E2est dite
linéaire si, et seulement si, pour tout x; y 2E1et pour tout scalaire a; b nous
avons que
A(ax +by) = aA(x) + hA(y):(4)
3

Pour de telles applications nous ecrivons souvent Ax à la place de A(x):En
outre, nous dé…nissons deux ensembles importants associés avec une application
linéaire A. C’est son noyau ker Aet son image Im Adé…nis par :
ker A=fx2E1:Ax = 0g(5)
et
Im A=fAx :x2E1g:(6)
Une application linéaire A:E1!E2entre deux espaces vectoriels E1et E2
est appellée isomorphisme si ker A= 0 et Im A=E2, c’est à dire que Aest une
application linéaire bijective et par conséquent inversible. Nous notons par A1
son inverse.
Exemples d’espaces vectoriels
Dé…nition 2.1 Un sous-ensemble E1de l’espace vectoriel Eest dit sous-espace
s’il est relativement fermé aux opérations linéaires dans E. Nous écrivons E1,!
E:
Donc, c0, par exemple, est un sous-espace de cqui est un sous-espace de l1:
Il est clair que pour un opérateur A:E1!E2,ker Aest un sous-espace de
E1and Im Aest un sous-espace de E2:
Un ensemble de vecteurs x1; x2; : : : ; xnest dit ensemble linéairement dépen-
dant et les vecteurs des vecteurs linéairement dépendants, s’il existe des nombres
(ai)n
i=1 non tous nuls tels que
a1x1+a2x2+: : : +anxn= 0:(7)
D’autre part, les (xi)n
i=1 sont dits linéairement indépendants s’ils ne sont pas
linéairement dépendants. Par conséquent, pour de tel ensemble de vecteurs,
Pn
i=1 aixi= 0 implique que ai = 0 8i= 1;2; : : : ; n.
Nous dé…nissons l’enveloppe linéaire (notée span) d’un sous-ensemble M
d’un espace vectoriel Ecomme étant l’intersection de tous les sous-espaces de
Econtenant M. C’est à dire
spanM =\
fE:E,!Eet MEg:(8)
On peut aussi dé…nir spanM comme l’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires …nies des vecteurs de M.
Le résultat suivant est un important théorème d’algèbre linéaire :
Théorème 1 Soit (xi)n
i=1 un ensemble maximal de vecteurs linéairement in-
dépendants dans E(cela signi… qu’il n’existe pas une extension linéairement
indépendante de cet ensemble). Alors le nombre nest invariant et appellé la di-
mension de l’espace E. Nous écrivons dim E=net nous dirons que les vecteurs
(xi)n
i=1 forment une base de E.
4

Maintenant, nous introduisons la notion des espaces quotients. Pour un
sous-espace E1de E, nous dé…nissons un nouveau espace vectoriel appellé espace
quotient de Erelativement à E1de la manière suivante. Considérons une famille
de sous-ensembles
f[x] = x+E:x2Eg:(9)
Les ensembles [x]sont dits coensembles de E. Notons que deux coensembles
[x]et [y]sont, soit identiques, soit disjoints. En e¤et, si z2[x]\[y], alors
zx; z ysont deux éléments de E1. Comme E1est un espace vectoriel, il s’en
suit que
yx= (zx)(zy)2E1:
Donc, si a2[x]nous avons ax2E1et d’aprés la structure linéaire de E1;
ay= (ax)(yx)
c’est à dire, a2[y]. Ainsi, nous avons montré que [x][y]. D’une manière
similaire, nous montrons que [y][x]. Nous dénotons par E=E1la collection
de tous les coensembles [x]. Il est utile de noter que [x] = [y]si, et seulement si,
xy2E1:
Maintenat, nous introduisons la structure linéaire sur E=E1par
[x]+[y] = [x+y];
a[x] = [ax]:
Notons que [0] est le vecteur nul du nouveau espace E=E1. L’espace E=E1est
dit espace quotient. La dimension dim E=E1est dite codimension de E1et nous
écrivons
co dim E1= dim E=E1:
Exemples 2 La codimension de coà l’intérieur de l’espace cdes suites conver-
gentes est égale à 1. En e¤et, pour tout x= (xn)1;2c;
x+c0=a(1 + c0)
où a= lim xnet 1 est la suite constante avec tous les termes égaux à 1.Ainsi,
[x] = a[1] :
Dé…nition 2.2 Les vecteurs x1; x2; :::; xnsont dits linéairementt indépandants
relatirement au sous-espace E1!E, si
n
X
i=1
aixi2Eimplique que a1=a2=::: =an= 0:
Lemme 2.1 La dimension de E=E1est égalé à nsi ,et seulement si, il existe
des vecteurs x1; x2; :::; xnlinéairement indépandants relativement à E1tel que
pour chaque x2E, il existe un ensemble de nombres uniques a1; a2; :::; anet un
vecteur unique y2E1tel que
5