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Autrement dit :
p V q => r signifie (p v q) => r
Si l’on veut nier l’implication p => q, il ne suffit pas d’écrire ¬p => q
car
¬p => q signifie (¬p) => q
alors que
¬(p => q) signifie ¬p => ¬q.
NB : les parenthèses inutiles alourdissent la formule ; à éviter !
13. Equivalences logiques
Si p et q sont des propositions logiques qui possèdent la même valeur de vérité pour chacun des
valuations possibles, alors on dit que p et q sont des propositions équivalentes. Ce qu’on note p ≡ q.
Cela revient à dire que les deux propositions ont la même table de vérité.
La tautologie est notée p ≡ V et l’ineptie est notée q ≡ F.
Remarque : deux propositions p et q sont équivalentes si et seulement si la proposition p
q est une
tautologie (ou p
q ≡ V).
14. Premières équivalences
Certaines équivalences se déduisent directement de la définition des opérateurs logiques.
Double négation
Nier deux fois une proposition revient à garder la proposition de départ donc ¬(¬p) ≡ p.
Commutativité
La plupart des opérateurs logiques sont commutatifs. Par conséquent, noter p V q est identique à noter
q V p ; noter p Λ q est identique à noter q Λ p.
Attention ! Ce n’est pas le cas de l’implication, car p => q n’est pas équivalent à q => p !!
Répétition (en termes techniques : idempotence)
Lorsqu’une formule combine deux fois la même proposition, il y généralement moyen de simplifier.
Par exemple, p V p aura toujours la même valeur de vérité que p.
On aura donc p V p ≡ p et p Λ p ≡ p.
15. Les lois de « (Augustus) de Morgan »
La première loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p V q) ≡ (¬p) V (¬q)
La deuxième loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p Λ q) ≡ (¬p) Λ (¬q)
La troisième loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p V q V r) ≡ (¬p) Λ (¬q) Λ (¬r)
En français, pour nier une disjonction, on nie chacune des composantes et on remplace le « ou » par
un « et ». Pour nier une conjonction, on nie chacune de ses composantes et on remplace le « et » par
le « ou ». Dans les deux cas, on nie les composantes et on « inverse/retourne » le connecteur.