synthese du module 2 point 16 inclus

Module 2 – Synthèse
La logique des propositions se base sur le principe du tiers exclu (seulement deux valeurs possibles) :
Vrai ou Faux.
1. Propositions et assertions
Une proposition est une phrase, une déclaration, un fait, qu’il soit vrai ou faux.
Ex : Bruxelles est la capitale de la Belgique.
Attention ! Il existe en français une série de phrases qui ne sont pas des propositions.
Ex : Il pleuvait.
NB : il est plus pratique de nommer le nom des propositions (une lettre comme p ou q). La valeur sera, quant à
elle, annotée V ou F (respectivement Vrai ou Faux).
2. Négation
Si p est une proposition, sa négation, qu’on note ¬p (ou parfois 𝑝̅ ), est la proposition signifiant « Il n’est
pas vrai que p ». Le symbole ¬p se lit souvent « non p ».
Table de vérité
Négation
p
F
V
¬p
V
F
3. Propositions composées et valuations
La négation est une « opération » s’appliquant à une proposition. Il existe d’autres types
d’ « opérations » permettant de combiner plusieurs propositions.
Table de vérité
p
F
F
V
V
Propositions composées
q
F
V
F
V
…
…
…
…
…
4. Conjonction
Si p et q sont deux propositions, leur conjonction, qu’on note p Λ q (ou parfois p · q ou simplement
pq), est la proposition signifiant « p et q ». Les symboles p Λ q se lisent souvent « p et q ».
NB : la conjonction est une intersection. Elle se traduit en français par « et » et en mathématiques par
la multiplication (d’où la notation pq ou p.q ou p×q).
Table de vérité
p
F
F
V
V
Conjonction
q
F
V
F
V
1
pΛq
F
F
F
V
5. Disjonction
Si p et q sont deux propositions, leur disjonction, qu’on note p V q (ou parfois p + q) est la proposition
signifiant « p ou q ». Les symboles p V q se lisent souvent « p ou q ».
NB : la disjonction est une union. Elle se traduit en français par « ou » et en mathématiques par
l’addition (d’où la notation p + q).
Table de vérité
p
F
F
V
V
Disjonction
q
F
V
F
V
pVq
F
V
V
V
6. Disjonction exclusive
Si p et q sont deux propositions, leur disjonction exclusive, qu’on note p 𝑉̇ q (ou parfois p ⊕ q), est la
proposition signifiant « p ou q mais pas les deux ». Les symboles p 𝑉̇ q se lisent souvent « p ou exclusif
q ».
Table de vérité
p
F
F
V
V
Disjonction exclusive
q
F
V
F
V
p 𝑉̇ q
F
V
V
F
7. Implication
A partir de deux propositions p et q, on peut construire l’implication p => q, c’est-à-dire la proposition
signifiant « si p alors q ». La proposition p est la condition/prémisse/hypothèse/antécédent (ces
termes sont des synonymes) de l’implication ; la proposition q est la conclusion/conséquence/thèse
(ces termes sont des synonymes) de l’implication.
Les symboles p => q peuvent être lus de différentes manières :
 Si p alors q
 p implique q
 p est une condition suffisante pour q
 q est une condition nécessaire pour p
 Chaque fois que p, on a q
 De p, on peut déduire q
La notation p => q peut également s’écrire q V ¬p.
Table de vérité
p
F
F
V
V
Implication
q
F
V
F
V
2
p => q
V
V
F
V
8. Inverse, converse et contraposée
Nous notons une implication p => q de départ.
- L’inverse est obtenu en niant la condition et la conclusion : ¬p => ¬q.
- La converse est obtenue en permutant la condition et la conséquence : q => p.
- La contraposée est obtenue en niant et en permutant la condition et la conséquence : ¬q => ¬p.
Cette proposition est la seule à avoir le même sens que l’implication de départ p => q.
9. Double-implication (ou équivalence)
A partir de deux propositions p et q, on peut construire l’équivalence ou la double-implication p  q,
c’est-à-dire la proposition signifiant « p si et seulement si q » (ce qu’on abrège souvent en « p ssi q »).
Les symboles p  q peuvent se lire de différentes manières :
 p si et seulement q
 Si p alors q et inversement
 p est une condition nécessaire et suffisante pour q
Table de vérité
p
F
F
V
V
Double-implication ou équivalence
q
F
V
F
V
pq
V
F
F
V
Le français est souvent imprécis au sujet de la double-implication (ou équivalence). Par exemple,
lorsqu’un parent dit à son enfant « Si tu finis ton repas, tu pourras avoir ton dessert », il indique non
seulement une implication mais également une équivalence ! En effet, si l’enfant termine son repas, il
aura son dessert (c’est l’implication) mais s’il veut recevoir un dessert, il doit terminer son repas (c’est
la converse, l’implication dans l’autre sens). Une formule correcte mais néanmoins un peu lourde est
la suivante : « tu auras ton dessert si et seulement si tu finis ton repas. ».
10. Formule bien formées
Règle de base : l’écriture « p » est une formule bien formée. Tout comme l’écriture « q ». Autrement
dit, la proposition élémentaire constitue déjà à elle seule une formule bien formée.
Règle inductive n°1 : Si « p » est une formule bien formée, alors « ¬p » en est une aussi. Autrement
dit, on peut ajouter un symbole ¬ devant une formule bien formée.
Règle inductive n°2 : Si « p » et « q » sont deux formules bien formées, alors toutes les écritures
suivantes en sont également : « p Λ q », « p V q », « p V̇ q », « p => q », « p  q ». Autrement dit, on
peut combiner deux formules bien formées en utilisant l’un des opérateurs logiques présentés plus
haut.
11. Table de vérité, tautologies et inepties
Table de vérité
Pour réaliser une table de vérité, il faut déterminer toutes les valuations possibles. Par exemple (cfr
tableau ci-dessous), si p est F et q est F, alors nous avons une valuation possible pour leur proposition
composée. Si p est F et q est V, nous avons alors une autre valuation possible pour leur proposition
composée. Et ainsi de suite…
3
Table de vérité
q
F
V
F
V
p
F
F
V
V
…
…
…
…
…
Tautologie, ineptie et propositions satisfaisables
Une proposition dont la valeur de vérité est toujours V est une tautologie. La tautologie d’une
proposition p s’indique parfois par la notation ⊨ p.
Une proposition dont la valeur de vérité est V pour au moins une valuation est une proposition
satisfaisable (on peut la rendre vraie / la satisfaire en faisant les bons choix).
Une proposition dont la valeur de vérité est toujours F est une ineptie/contradiction/utopie (ces
termes sont des synonymes).
Propositions équivalentes
Si deux propositions (simples ou composées) ont la même valeur de vérité sous chacune des valuations
possibles, on dit qu’elles sont équivalentes. Concrètement, sur la table de vérité, deux propositions
équivalentes correspondent à des colonnes identiques (V et F sont aux mêmes endroits).
Propositions équivalentes
p
q
F
F
F
F
V
V
V
V
L’intérêt de trouver des propositions équivalentes est de pouvoir simplifier des notations.
Exemple : (p V ¬q) => (p Λ q)
Table de vérité
p
q
¬q
p V ¬q
(p Λ q)
(p V ¬q) => (p Λ q)
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
Donc q ≡ (p V ¬q) => (p Λ q).
Nous reviendrons sur le sujet au point 13.
12. Précédence des opérateurs logiques
Précédence
Grande
Opérateur
¬
Λ
V, 𝑉̇
=>
Petite

Négation
Conjonction
Disjonction (exclusive)
Implication
Double-implication ou équivalence
La présence de parenthèses est importante dans l’écriture de formules dont la suite d’opérations est
différente.
4
Autrement dit :
p V q => r signifie (p v q) => r
Si l’on veut nier l’implication p => q, il ne suffit pas d’écrire ¬p => q
car
¬p => q signifie (¬p) => q
alors que
¬(p => q) signifie ¬p => ¬q.
NB : les parenthèses inutiles alourdissent la formule ; à éviter !
13. Equivalences logiques
Si p et q sont des propositions logiques qui possèdent la même valeur de vérité pour chacun des
valuations possibles, alors on dit que p et q sont des propositions équivalentes. Ce qu’on note p ≡ q.
Cela revient à dire que les deux propositions ont la même table de vérité.
La tautologie est notée p ≡ V et l’ineptie est notée q ≡ F.
Remarque : deux propositions p et q sont équivalentes si et seulement si la proposition p  q est une
tautologie (ou p  q ≡ V).
14. Premières équivalences
Certaines équivalences se déduisent directement de la définition des opérateurs logiques.
Double négation
Nier deux fois une proposition revient à garder la proposition de départ donc ¬(¬p) ≡ p.
Commutativité
La plupart des opérateurs logiques sont commutatifs. Par conséquent, noter p V q est identique à noter
q V p ; noter p Λ q est identique à noter q Λ p.
Attention ! Ce n’est pas le cas de l’implication, car p => q n’est pas équivalent à q => p !!
Répétition (en termes techniques : idempotence)
Lorsqu’une formule combine deux fois la même proposition, il y généralement moyen de simplifier.
Par exemple, p V p aura toujours la même valeur de vérité que p.
On aura donc p V p ≡ p et p Λ p ≡ p.
15. Les lois de « (Augustus) de Morgan »
La première loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p V q) ≡ (¬p) V (¬q)
La deuxième loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p Λ q) ≡ (¬p) Λ (¬q)
La troisième loi de de Morgan traduit ceci :
¬(p V q V r) ≡ (¬p) Λ (¬q) Λ (¬r)
En français, pour nier une disjonction, on nie chacune des composantes et on remplace le « ou » par
un « et ». Pour nier une conjonction, on nie chacune de ses composantes et on remplace le « et » par
le « ou ». Dans les deux cas, on nie les composantes et on « inverse/retourne » le connecteur.
5
16. Distributivité entre les connecteurs logiques
Considérons p Λ (q V r).
On pourrait tout aussi bien l’écrire (p Λ q) V (p Λ r). Vérifier que cette proposition et la proposition de
départ ont les mêmes tables de vérité peut s’avérer utile.
L’équivalence serait donc p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r).
On voit donc que la disjonction (V) distribue la conjonction (Λ). Ce qui est important à savoir, c’est que
la conjonction (Λ) distribue également la disjonction (V).
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Négation
p
F
V
¬p
V
F
p
F
F
V
V
Conjonction
q
F
V
F
V
pΛq
F
F
F
V
p
F
F
V
V
Disjonction
q
F
V
F
V
pVq
F
V
V
V
p
F
F
V
V
Disjonction exclusive
q
F
V
F
V
p 𝑉̇ q
F
V
V
F
p
F
F
V
V
Implication
q
F
V
F
V
p => q
V
V
F
V
p
F
F
V
V
Double-implication ou équivalence
q
F
V
F
V
pq
V
F
F
V
Propositions équivalentes
p
F
F
V
V
q
F
F
V
V
Précédence
Grande
Opérateur
¬
Λ
V, 𝑉̇
=>
Petite

Négation
Conjonction
Disjonction (exclusive)
Implication
Double-implication ou équivalence
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