Quelques exercices de logique Déduction logique Exercice 1 • On suppose que l'implication suivante est vraie : H1 : " Si il y a du soleil, alors je porte des lunettes noires " • Quelqu'un me rencontre et constate que : H2 : " je ne porte pas de lunettes noires " • Cette personne en déduit que : C : " il n'y a pas de soleil aujourd'hui ou je ne porte pas de lunettes noires " Son raisonnement est-il valide ? Exercice 2 • On suppose que l'implication suivante est vraie : H1 : " S'il pleut le matin, alors je prends mon parapluie " • Quelqu'un me rencontre et constate que : H2 : " je ne prends pas mon parapluie " • Cette personne en déduit que : C : " il pleut le matin ou je ne prend pas mon parapluie " Son raisonnement est-il valide ? Exercice 3. • On suppose que l'implication suivante est vraie : H1 : " Si je mange beaucoup de gâteaux, alors je grossis " • Quelqu'un me rencontre et constate que : H2 : " je n'ai pas grossi " • Cette personne en déduit que : C : " j'ai mangé peu de gâteaux ou je n'ai pas grossi " Son raisonnement est-il valide ? Négation en langage naturel Exercice 1 On donne la proposition P suivante : P : " Je suis nul en maths ou je suis fort français " Quelle est la négation de P ? Choisissez votre réponse parmi les phrases suivantes Je suis fort en maths et je suis fort français Je suis fort en maths et je suis nul en français Je suis fort en maths ou je suis nul en français Je suis nul en maths et je suis nul en français je n'ai aucune idée Exercice 2 On donne la proposition P suivante : P : " Elle danse et elle court " Quelle est la négation de P ? Choisissez votre réponse parmi les phrases suivantes Elle danse ou elle ne court pas Elle ne danse pas et elle ne court pas Elle ne danse pas ou elle court Elle ne danse pas ou elle ne court pas je n'ai aucune idée Exercice 3 On donne la proposition P suivante : P : " Tous les devoirs de maths sont faciles " Quelle est la négation de P ? Choisissez votre réponse parmi les phrases suivantes Certains devoirs de maths sont faciles Il existe un devoir de maths qui est difficile Il existe un devoir de maths qui est facile Tous les devoirs de maths sont difficiles je n'ai aucune idée Exercice 4 On donne la proposition P suivante : P : " Il existe un sage qui est âgé " Quelle est la négation de P ? Choisissez votre réponse parmi les phrases suivantes Aucun sage n'est âgé Certains sages sont jeunes Il existe un sage qui est jeune Tous les sages sont âgés je n'ai aucune idée Entrez votre réponse : Négation en mathématiques Exercice Faire correspondre à chaque proposition de la colonne de gauche sa négation z ≥ 16 y ≤ -19 ou y ≥ 15 z est positif ou nul f(x) = 0 n'a aucune solution f(x) = 0 a au moins une solution z < 16 f(x) > g(x) a un nombre fini de solutions z est strictement négatif -19 < y < 15 f(x) > g(x) a une infinité de solutions Règlement incohérent Exercice 1 Pour adhérer à un club de loisir masculin, tout candidat est censé remplir chacune des conditions suivantes : 1. s' il est écossais et s' il ne joue pas du biniou alors il joue du rugby 2. s' il joue du rugby ou s' il ne porte pas de jupe alors il n'est pas écossais 3. s' il joue du biniou ou s' il porte une jupe alors il est écossais 4. il est écossais ou il joue du biniou 5. s' il joue du biniou alors il ne porte pas de jupe Montrez que ces conditions sont incohérentes en prouvant que l'on peut en déduire une contradiction. C'est-à-dire qu'il existe une proposition A, dans la liste suivante, qui devrait être à la fois vraie et fausse. A : il est écossais B : il joue du C : il porte une D : il est marié E : il joue du rugby biniou jupe Exercice 2 Pour adhérer à un club de loisir féminin, toute candidate est censée remplir chacune des conditions suivantes : 1. elle est cubaine ou elle danse la salsa 2. si elle n'est pas cubaine alors elle ne danse pas la salsa 3. elle adore les maths ou elle est brune 4. si elle est cubaine et si elle est brune alors elle danse la salsa 5. si elle est cubaine et si elle adore les maths alors elle danse la salsa 6. si elle danse la salsa et si elle déteste les maths alors elle n'est pas cubaine 7. si elle adore les maths et si elle est brune alors elle ne danse pas la salsa 8. si elle danse la salsa et si elle n'est pas brune alors elle n'est pas cubaine Montrez que ces conditions sont incohérentes en prouvant que l'on peut en déduire une contradiction. C'est-à-dire qu'il existe une proposition A, dans la liste suivante, qui devrait être à la fois vraie et fausse. A : elle danse la B : elle adore les C : elle boit de la D : elle est brune E : elle est salsa maths tequila cubaine Validité d’une proposition Exercice. Léo possède les caractéristiques suivantes : • il n'est pas suédois • il ne joue pas au tennis • il est blond • il fait du ski Pour adhérer à un club de loisir féminin , Léo devrait remplir toutes les conditions ci-dessous. Pour chacune d'entre elles, indiquez si Léo la vérifie ou pas : 1. s' il est blond et s' il n'est pas suédois alors il ne fait pas de ski vrai faux 2. il est suédois ou il joue au tennis vrai faux 3. il est suédois et il joue au tennis vrai faux 4. il est blond ou il fait du ski vrai faux Différents types de raisonnement A propos de divisibilité VRAI-FAUX Pourquoi ? 1) Tout entier naturel non nul admet un nombre pair de diviseurs. 2) Le produit de deux entiers consécutifs est pair. 3) Le produit de trois nombres impairs est divisible par 3. 4) Pour tout entier n ≥ 1 , n et n + 1 sont premiers entre eux. 5) Pour tout entier n ≥ l , n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 6) Pour tout entier n ≥ 1 , (n- 2) et (n + 2) admettent 2 pour diviseur commun. 7) Si a divise b et a divise c , alors a2 divise bc et a2 divise b + c . 8) Le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 3. 9) Le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 8. A propos de nombres premiers VRAI-FAUX Pourquoi ? 1) La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. 2) Le produit de deux nombres premiers est un nombre premier. 3) Dans N, il existe un unique nombre premier pair. 4) Un nombre premier admet exactement quatre diviseurs dans Z . ( terminale) 5) 97 est premier . 6) Si l'entier naturel p est premier, alors p n'est pas un entier. 7) Pour un entier naturel n ≥ 2 , 3n2 + 8n n'est jamais premier.