#209 Géométrie euclidienne en dimension 2 Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Exercice 1. Soit C le cercle d'équation x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. 1) Centre et rayon de C ? 2) Déterminer des équations cartésiennes des cercles de centre O(−2; 3) tangents à C . Exercice 2. Soit D la droite d'équation x + 2y + 4 = 0 avec A(−1; −1) et B(3; 1). déterminer les cercles passant par A et B et tangents à D. Exercice 3. On pose CO1 ,r1 , CO2 ,r2 et CO3 ,r3 trois cercles sécants deux à deux. On note D1 , D2 et D3 les trois droites telles que C1 ∩ C2 ⊂ D3 , C1 ∩ C3 ⊂ D2 et C2 ∩ C3 ⊂ D1 . 1) Montrer que D3 ⊥ (O1 O2 ) −−−→ −−−→ 2) Montrer que M ∈ D3 ⇔ O1 M .O1 O2 = 12 (O2 O12 + r12 − r22 ). 3) Montrer que D1 , D2 et D3 sont parallèles ou concourantes. Exercice 4. 2 Soit Dλ la droite d'équation (1 − λ2 )x + 2λy + (λS − 2λ − 3) = 0 avec λ ∈ R. 2 1) Déterminer E = {M ∈ R , ∃λ / M ∈ Dλ } = Dλ . λ∈R 2) Déterminer l'ensemble {M ∈ R2 , ∃(λ, µ) ∈ R2 / M ∈ Dλ ∩ Dµ etDλ ⊥ Dµ }. Exercice 5. Le triangle ABC est de périmètre p. On note I le centre du cercle inscrit et r son rayon. − → −→ −→ → − 1) Montrer que BC.IA + CA.IB + AB.IC = 0 . 2) Exprimer l'aire de ABC en fonction de r et p. Exercice 6. Le triangle ABC est équilatéral. Soit M un point quelconque et P , Q, R les symétriques de M par rapport à (BC), (CA) et (AB) respectivement. Déterminer l'ensemble des points M tels que (AP ), (BQ), et (CR) soient concourantes. Puissance d'un point par rapport à u cercle (NEW) Le cercle C est de centre ω et rayon r. On pose P un point quelconque et A et B les points de C appartenant à une sécante passant par P . 1) Montrer que P A.P B est constant. 2 2 2) Montrer que si C a pour équation x + y − 2ax − 2by + c = 0, alors Exercice 7. P A.P B = x20 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c avec P (x0 , y0 ). 3) Déterminer le lieu des points ayant même puissance par rapport à deux cercles (on l'appelle l'axe radical). Exercice 8. On pose A(0, a) et d une droite d'équation y = mx. Une droite ∆ de pente n coupe (Ox) en M et d en M 0 . 14 septembre 2015 1 Thierry Sageaux Géométrie euclidienne en dimension 2 1) 2) Donner une équation du cercle de diamètre [M M 0 ] noté C . Montrer que lorsque ∆ pivote autour de A, le cercle C reste orthogonal à un cercle xe. Fonction numérique de Leibniz Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. Quels sont les points M du plan (ABC) tels que M A2 + a2 = 2(M B 2 + M C 2 ) ? Exercice 9. Cercle circonscrit à un triangle Soit ABC un triangle et C son cercle circonscrit. Soit M un point du plan de coordonnées barycentriques (x, y, z) dans le repère ane (ABC). Montrer que : M ∈ C ⇔ xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = 0 ⇔ xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = 0. Exercice 10. Cercle stable par une application ane Soit C = C(O, r) un cercle du plan et f une application ane telle que f (C) = C . Montrer que f est une isométrie de point xe O. Exercice 11. Point équidistant d'une famille de droites Pour λ ∈ R on considère la droite Dλ d'équation cartésienne : (1 − λ2 )x + 2λy = 4λ + 2. Montrer qu'il existe un point Ω équidistant de toutes les droites Dλ . Exercice 12. Bissectrice de deux droites Soient D, D0 deux droites distinctes sécantes en O. On note H = {M tq d(M, D) = d(M, D0 )}. 0 1) Montrer que H est la réunion de deux droites perpendiculaires. (appelées bissectrices de (D, D )) 0 2) Soit s une symétrie orthogonale telle que s(D) = D . Montrer que l'axe de s est l'une des droites de H 0 3) Soit C un cercle du plan tangent à D . Montrer que C est tangent à D et à D si et seulement si son centre appartient à H. Exercice 13. Trois gures isométriques Trois gures F1 , F2 , F3 se déduisent l'une de l'autre par rotations. Montrer qu'il existe une gure F dont F1 , F2 , F3 se déduisent par symétries axiales. Exercice 14. Produit de 3 rotations Soit ABC un triangle direct d'angles α, β, γ . On note ρ, ρ0 , ρ00 les rotations autour de A, B, C d'angles α, β, γ , orientés dans le sens direct Qu'est-ce que ρ ◦ ρ0 ◦ ρ00 ? Exercice 15. Sous-groupes nis de déplacements Soit G un sous-groupe ni de déplacements du plan. a) Montrer que G est constitué uniquement de rotations. −1 b) Soient f, g ∈ G. Montrer que f et g ont même centre (étudier f ◦ g ◦ f ◦ g −1 ). c) Prouver enn que G est cyclique. 2) Soit G un sous groupe ni d'ordre p d'isométries du plan, non toutes positives. a) Montrer que G contient autant d'isométries positives que négatives. b) Montrer que G est un groupe diédral (groupe d'isotropie d'un polygone régulier). Exercice 16. 1) Centrale MP 2000 Soit E un plan ane euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine O. Soit A le point de coordonnées (a, 0). Pour tout point M , on dénit M 0 = f (M ) de la manière suivante : A, M, M 0 sont alignés et (M O) est orthogonale à (M 0 O). Expliciter f en fonction des coordonnées (x, y) de M . Donner son domaine de dénition. Montrer que f réalise une bijection entre le demi-disque supérieur de diamètre [AO] et le quart de plan d'équations x < 0, y > 0. Exercice 17. 2 Thierry Sageaux Géométrie euclidienne en dimension 2 Solutions des exercices Exercice 1. 1) 2) √ Ω(2; 1) et r = 5. x2 + y 2 + 4x − 6y + 8 = 0 et x2 + y 2 + 4x − 6y − 32 = 0. Exercice 2. Ω1 (1; 0) et r1 = √ 15 2 d'une part et Ω2 ( −7 8 ; 4 ) et r2 = 17 8 √ 5 d'autre part. Exercice 3. Si {A, B} = C1 ∩ C2 , alors (O1 O2 ) est médiatrice de [AB]. −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ On a O1 O2 .AM = 0 ⇔ O1 M .O1 O2 = −AO1 − O1 O2 . Mais r22 = (AO1 + O1 O2 )2 ⇒ −−−→ −−−→ 1 −−−→2 O1 M .O1 O2 = 2 (O2 O1 + r12 − r22 ). −−−→ −−−→ 1 2 2 2 3) Ecrire la question 2 pour d2 et D3 et avec M ∈ D2 ∩ D3 , on a O2 M .O2 O3 = 2 (O2 O3 + r2 − r3 ) donc M ∈ D1 . 1) 2) Exercice 4. Si x0 = 1, alors y0 6= 1. Si x0 6= 1, on obtient une équation de degré 2 en λ avec ∆ = (x0 − 2)2 + (y0 − 1)2 − 1 ≥ 0. Donc Mi nE si et seulement si M est extérieur au cercle de centre Ω(2; 1) de rayon 1. − → − → 2 2 2) Si x0 6= 1, on a pour vecteur normaux nλ (1 − λ , 2λ) et nµ (1 − µ , 2µ). La perpendicularité donne 1 − y0 x −3 − − → n→ ⇔ (1 − λ2 )(1 − µ2 ) + 4λµ = 0. Donc λ + µ = 2 et λµ = 0 . On a donc λ .nµ = 0 1) 1 − x0 1 − x0 x20 + y02 − 4x0 − 2y0 + 3 = 0 ⇔ (x0 − 2)2 + (y0 − 1)2 = 2. √ On trouve donc le cercle de centre (2, 1) et de rayon 2 privé des points de coordonnées (1, 0) et (1, 2). (λµ)2 − (λ + µ)2 + 6λµ + 1 = 0 ⇔ Exercice 5. 1) On note G le barycentre de {(A; a), (B; b), (C; c)} et dC = d(G, (AB)). On a −→ −−→ −−→ −−→ −−→ | det(GA, GB)| | det(−bGB − cGC, GB)| dC = = = c 2c 2ac −−→ −−→ | det(GC, GB)| aire(GBC = = = dA . 2a a aire(GAB) Donc dA = dB = dC et G = I . Exercice 8. 1) On trouve M a ma −a 0 , 0 et M ; . Donc n m−n m−n x2 + y 2 + x 2) a(m − 2n) am a2 −y = n(m − n) m−n n(m − n) On pose Γ le cercle cherché d'équation : x2 + y 2 − 2αx − 2βy + γ = 0. On a alors Γ ⊥ C qui implique a 1 1 − m−n n α+ am −a2 β= + γ. m−n n(m − n) cette équation est vraie pour tout n, donc 3 Thierry Sageaux Géométrie euclidienne en dimension 2 ( γ=0 2aα + amβ − mγ = 0 −amα + a2 = 0 D'où une équation de Γ : x2 + y 2 − ⇔ a α= m −2a . β= m2 γ=0 2a 4a x + 2y = 0 . m m Exercice 9. Cercle circonscrit au triangle A0 BC symétrique de ABC par rapport à (BC). Exercice 10. xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = r2 − OM 2 avec C = C(O, r). xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 . Exercice 12. Ω = (1, 2). Exercice 14. Décomposer les rotations en symétries. Exercice 15. la symétrie centrale (α + β + γ = π ) autour de K , point de contact du cercle inscrit et de (AC). Exercice 17. x0 = [AO]. −axy ay 2 , y0 = 2 , M 0 est bien déni ssi M n'appartient pas au cercle de diamètre 2 2 x + y − ax x + y 2 − ax Soit D le demi-disque supérieur de diamètre [AO], D est caractérisé par les inégalités x2 + y 2 − ax < 0, y > 0 d'où x0 < 0 et y 0 > 0. La réciproque se traite (péniblement) en remarquant que seuls les points de D ont une image dans ce quart de plan et que f est quasi-involutive. 4 Thierry Sageaux