Syst`emes linéaires

Agr´egation interne
UFR MATH´ EMATIQUES
Syst`emes lin´eaires
1. G´en´eralit´es
Soit Kun corps commutatif.
1.1. D´efinition
Soient net pdeux nombres entiers. On appelle syst`eme lin´eaire de p´equations (scalaires)
`a ninconnues `a coefficients dans Kun ensemble d’´equations de la forme (S) :
(S)
a1,1x1+··· +a1,nxn=b1
a2,1x1+··· +a2,nxn=b2
.
.
..
.
..
.
. = .
.
.
ap,1x1+··· +ap,nxn=bp
o`u :
•les ai,j , pour 1 ≤i≤p, 1≤j≤n, sont des scalaires fix´es dans K, appel´es les
coefficients du syst`eme ;
•les bi, pour 1 ≤i≤p, sont des scalaires fix´es dans K; le p-uplet b= (b1,...,bp) est
appel´e second membre du syst`eme ;
•les xi, pour 1 ≤i≤n, sont les inconnues, que l’on cherche dans K; (x1, x2,...,xn)
est le n-uplet inconnu ;
1.2. Solutions d’un syst`eme lin´eaire
−Un n-uplet (x1, x2,···, xn∈Rnest une solution de (S) s’il v´erifie les p´equations du
syst`eme ;
−r´esoudre (S), c’est d´eterminer l’ensemble Sdes solutions de (S) ;
−le syst`eme (S) est dit compatible s’il admet au moins une solution ; il est dit incompatible
sinon ;
−le syst`eme (S) est dit homog`ene si le second membre best nul ;
−le syst`eme lin´eaire, not´e (S0), obtenu lorsque l’on remplace dans (S) le n-uplet bpar le
n-uplet (0,···,0) s’appelle le syst`eme homog`ene associ´e `a (S).
1.3. Propri´et´es
−Un syst`eme homog`ene est toujours compatible puisqu’il admet le n-uplet (0,···,0)
comme solution.
−L’ensemble des solutions d’un syst`eme homog`ene est un sous-espace vectoriel de Rn.
−Si s1et s2sont des solutions d’un syst`eme lin´eaire (S), s1−s2est une solution du
syst`eme homog`ene associ´e (S0).
−Si sest une solution d’un syst`eme lin´eaire (S), on obtient toutes les solutions de (S) en
ajoutant `a stoutes les solutions du syst`eme lin´eaire homog`ene associ´e (S0). L’ensemble
des solutions de (S) est donc le sous-espace affine de Rnpassant par set de direction
S0, espace vectoriel des solutions de (S0).

Pr´ eparation ` a l’agr´ egation interne UFR maths, Universit´ e de Rennes I
1.4. Syst`emes ´equivalents
D´efinition 1 – Deux syst`emes lin´eaires sont ´equivalents s’ils ont le mˆeme ensemble de
solutions.
Pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire (S), on va donc chercher un syst`eme (S′) ´equivalent `a
(S) et dont la r´esolution sera plus simple.
D´efinition 2 – Le syst`eme lin´eaire (S) est dit ´echelonn´e si aij = 0 pour j < i.
2. Diff´erentes interpr´etations d’un syst`eme lin´eaire
Dans tout ce paragraphe, on consid`ere le syst`eme (S) ´ecrit plus haut.
2.1. Interpr´etation vectorielle
Dans l’espace vectoriel Kp, on consid`ere les vecteurs ci=t (a1,i, a2,i,...,ap,i) pour
1≤i≤net le vecteur b=t (b1,...,bp).
R´esoudre le syst`eme (S), c’est donc chercher tous les n-uplets (x1,...,xn) de Kntels que
x1c1+···+xncn=b.
Proposition 3 – Le syst`eme lin´eaire (S) admet au moins une solution si et seulement si
b∈Vect(c1,...,cn).
Proposition 4 – On suppose que b∈Vect(c1,...,cn). Le syst`eme (S) admet une unique
solution si et seulement si la famille (c1,...,cn) est libre. Si cette famille
est li´ee, il y a une infinit´e de solutions.
On d´eduit de ces propositions que, si n=pet si (c1,...,cn) est une base de Kn, le syst`eme
(S) admet une unique solution.
2.2. Interpr´etation en terme d’application lin´eaire
Soit fl’application lin´eaire de Kndans Kpdont la matrice relativement aux bases
canoniques de Knet Kpest
A=
a1,1a1,2··· a1,n
a2,1a2,2··· a2,n
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ap,1ap,2··· ap,n
R´esoudre (S), c’est alors trouver tous les ant´ec´edents du vecteur bpar l’application f.
Proposition 5 – Le syst`eme lin´eaire (S) admet au moins une solution si et seulement si
b∈Im f.
Proposition 6 – On suppose que b∈Im f. Le syst`eme (S) admet une unique solution si
et seulement si fest injective. Si fn’est pas injective, il y a une infinit´e
de solutions.
On d´eduit de ces propositions que, si n=pet si fest bijective, le syst`eme (S) admet une
unique solution.
2.3. Interpr´etation matricielle
On note X=t(x1,...,xn)∈Mn,1(K), B=t (b1,...,bp)∈Mp,1(K) et Ala matrice de
Mp,n(K) pr´ec´edemment d´efinie.
R´esoudre le syst`eme (S), c’est trouver toutes les matrices Xde Mn,1(K) v´erifiant AX =B.
–2–

SYST ` EMES LIN ´ EAIRES
2.4. Interpr´etation graphique
On peut consid`erer chaque ´equation du syst`eme comme l’´equation d’un hyperplan affine de
Kn; l’ensemble des solutions de (S) est alors l’intersection des phyperplans affines.
2.5. Nombre de solutions
Un syst`eme lin´eaire de p´equations `a ninconnues dans Kadmet
−soit une unique solution ;
−soit aucune solution ;
−soit une infinit´e de solutions.
Plus pr´ecis´ement, on d´eduit de l’interpr´etation en terme d’application lin´eaire la
Proposition 7 – soit rle rang de l’application lin´eaire f.
−l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e `a (S) est le
noyau de f: c’est donc un sous-espace vectoriel de dimension n−r;
−le syst`eme (S) est compatible si et seulement si b∈Im f. S’il est com-
patible, l’ensemble des solutions est un sous-espace affine de l’espace
affine Kn, dont la direction est Ker fet dont la dimension est n−r.
D´efinition 8 – Dire qu’un syst`eme lin´eaire (S) est de Cramer signifie que (S) est un
syst`eme de n´equations `a ninconnues admettant une unique solution, donc que la matrice
du syst`eme est inversible.
Soit Aune matrice carr´ee d’ordre ninversible. On cherche `a r´esoudre le syst`eme AX =b
o`u best un vecteur-colonne donn´e. Soit Bla base canonique de Kn. Notons viles vecteurs-
colonnes de la matrice A. On a D´et A= D´etB(v1,...,vn). Rempla¸cons le vecteur vipar le
vecteur b. On a alors
D´etB(v1,...,vi−1, b, vi+1,...,vn) = D´etB(v1,...,vi−1, x1v1+···+xnvn, vi+1,...,vn)
car b=AX =A
x1
.
.
.
xn
= D´etB(v1,...,vi−1, xivi, vi+1,...,xn)
car un d´eterminant est une forme altern´ee
=xiD´etB(v1,...,vn) = xiD´et A
On a donc la
Proposition 9 – soit AX =bun syst`eme de Cramer, alors les coordonn´ees du vecteur x
sont
xi=D´etB(v1,...,vi−1, b, vi+1,...,vn)
D´etB(v1,...,vn)
o`u les vjsont les vecteurs-colonnes de la matrice A.
3. M´ethode du pivot de Gauss
3.1. Transformations ´el´ementaires
On note Lil’´equation de la i`eme ligne du syst`eme (i.e. Li:ai,1x1+ai,2x2+···+ai,nxn=
bi).
–3–

Pr´ eparation ` a l’agr´ egation interne UFR maths, Universit´ e de Rennes I
−Transformation Li↔Lj:cela signifie que l’on permute les ´equations Liet Lj. Cette
transformation permet d’obtenir un syst`eme (T) ´equivalent au syst`eme (S).
−Transformation Li←αLi(avec αr´eel non nul) : le syst`eme (T) obtenu en
rempla¸cant dans le syst`eme (S) l’´equation Lipar l’´equation αLi(avec α6= 0) est
´equivalent au syst`eme (S).
−Transformation Li←Li+αLj(avec αr´eel non nul et i6=j) : le syst`eme (T)
obtenu en rempla¸cant dans le syst`eme (S) l’´equation Lipar Li+αLj(avec α6= 0 et
i6=j) est ´equivalent au syst`eme (S).
3.2. M´ethode de Gauss
On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) suivant de p´equations `a ninconnues x1, x2,...,xn:
a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1(L1)
a21x1+a22x2+···+a2nxn=b2(L2)
.
.
.
ap1x1+ap2x2+···+apnxn=bp(Lp)
ETAPE 1
Si tous les coefficients aij sont nuls, on ne fait rien...Sinon on consid`ere le premier indice
j≥1 dans la premi`ere ligne tel que xjapparaisse avec un coefficient non nul.
a) Si a1j6= 0,ce scalaire est le pivot de la premi`ere ´equation et l’inconnue xjest dite
principale.
On effectue alors les op´erations ´el´ementaires L′
i=Li−λiL1,pour i= 2,...,p, le
coefficient λi´etant choisi de telle sorte que l’inconnue principale xjne figure plus dans
L′
i.
b) si a1j= 0, on permute deux ´equations de telle sorte que, dans le nouveau syst`eme, le
coefficient a1jne soit pas nul et on continue comme en a).
On obtient ainsi un syst`eme (S′) ´equivalent au syst`eme (S) et de la forme
a1jxj+a1j+1xj+1 +···+a1nxn=b1(L1=L′
1)
a′
2j+1xj+1 +···+a′ 2nxn=b′ 2(L′ 2)
.
.
.
a′
p j+1xj+1 +···+ap nx′ n=b′ p(L′ p)
ETAPE 2
Si tous les coefficients aij pour i≥2 et j≥2 sont nuls, on arrˆete.
Sinon, on consid`ere le premier indice k > j tel que xkapparaisse avec un coefficient non
nul dans les lignes L′
2,...,L′
p.L’inconnue xksera la deuxi`eme inconnue principale.
a) Si a′
2k6= 0,ce scalaire est le deuxi`eme pivot et on proc`ede comme `a l’´etape 1 pour
´eliminer la variable xk.
b) Si a′
2k= 0,on permute deux des ´equations L′
2,...,L′
ppour amener en deuxi`eme po-
sition une ´equation dans laquelle l’inconnue xka un coefficient non nul. On continue
alors comme `a l’´etape 2 a).
ETAPE 3
–4–

SYST ` EMES LIN ´ EAIRES
On continue ainsi jusqu’`a ´epuisement des ´equations ou des inconnues.
On obtient ainsi un syst`eme ´equivalent (A) au syst`eme (S) mais que l’on dit ´echelonn´e. Les
inconnues non principales (s’il en existe) sont dites variables libres. Les ´equations comportant
une inconnue principale (s’il en existe) sont dites ´equations principales.
Si le syst`eme (A) comporte une ´equation du type
0x1+ 0x2+···+ 0xn=bavec b6= 0
le syst`eme est incompatible et la r´esolution est termin´ee.
Sinon, la r´esolution du syst`eme (A) est simple : en partant de la derni`ere ´equation, on
peut exprimer toutes les inconnues principales en fonction des variables libres et des seconds
membres.
3.3. Exemples
Exemple de 4 ´equations `a 5 inconnues
x1+x2+x3+x4+x5= 7 L1
3x1+ 2x2+x3+x4−3x5=−2L2
x2+ 2x3+ 2x4+ 6x5= 23 L3
5x1+ 4x2−3x3+ 3x4−x5= 12 L4
⇐⇒ 
x1+x2+x3+x4+x5= 7 L1←L1
−x2−2x3−2x4−6x5=−23 L2←L2−3L1
x2+ 2x3+ 2x4+ 6x5= 23 L3←L3
−x2−8x3−2x4−6x5=−23 L4←L4−5L1
⇐⇒ 
x1+x2+x3+x4+x5= 7 L1
−x2−2x3−2x4−6x5=−23 L2
0 = 0 L3←L3+L2
x3= 0 6L4← −L4+L2
⇐⇒ 
x1+x2+x3+x4+x5= 7 L1
−x2−2x3−2x4−6x5=−23 L2
x3= 0 L3←L4
0 = 0 L4←L3
Les inconnues principales sont x1, x2et x3; les variables libres sont x4et x5.L’ensemble
des solutions de ce syst`eme est donc
{(−16 + t+ 5u, 23 −2t−6u, 0, t, u)|(t, u)∈R2}.
Exemple de 4 ´equations `a 3 inconnues
x1+ 3x2+x3= 5 L1
x1+x2+ 5x3=−7L2
2x1+x2+x3= 2 L3
2x1+ 3x2−3x3= 14 L4
⇐⇒ 
x1+ 3x2+x3= 5 L1←L1
−2x2+ 4x3=−12 L2←L2−L1
−5x2−x3=−8L3←L3−2L1
−3x2−5x3= 4 L4←L4−2L1
⇐⇒ 
x1+ 3x2+x3= 5 L1
x2−2x3= 6 L2← −L2/2
−5x2−x3=−8L3←L3
−3x2−5x3= 4 L4←L4
–5–