examen master optimisation 2014

OPTIMISATION SANS CONTRAINTES
MASTER 1
EXAMEN S2- 5Juin 2014. Durée 2 heures
Exercice1(5points)
1.1) (3points) Soit Qune matrice (n; n)symétrique et dé…nie positive.
Montrez que si les directions d0; d1;:::::dk;avec kn1;sont non nuls et
Qconjuguées, alors ils sont linéairement indépendants.
1.2) (2points) On suppose maintenant que Qest une matrice (n; n)symétrique
et semi dé…nie positive. Soient fd0; d1;:::::dkg;(kn1) non nuls et véri-
…ant
dT
iQdj= 0; i 6=j; 0ikn1;0jkn1
Les vecteurs fd0; d1;:::::dkgsont ils linéairement indépendants?
Exercice2(5points)
On considère la fonction
f:R2!R:f(x; y) = x3+y3
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justi…ez votre
réponse.
2.1(1point) (0;0) est un point stationnaire
2.2(1point) (0;0) véri…e les conditions nécessaires d’optimalité
2.3(1.5points) (0;0) ne véri…e pas les conditions su¢ santes d’optimalité
2.4(1.5points) (0;0) n’est pas une solution minimale locale
Exercice 3 (5points)
On considère la fonction
f:R2!R:f(x; y) = x3+y3
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justi…ez votre
réponse.
3.1(1.5points) f(x; y)s’ecrit sous la forme
f(x; y) = 1
2x y Qx
yb1b2x y
avec Qsymétrique et dé…nie positive.
1

3.2(1.5points) Si on démarre du point (x0; y0)quelconque et si on applique
la méthode des directions conjuguées, alors la solution optimale est obtenue
au point (x2; y2)
3.3 (2points) Si on démarre du point (x0; y0)quelconque et si on applique
la méthode des directions conjuguées, alors la solution optimale est obtenue
au point (x3; y3)
Exercice 4 (7points)
Soit f:R2!Rdé…nie par
f(x; y) = 1
2(x2+y2);
et (P)le problème de minimisation sans contraintes suivant:
(P) : min 1
2(x2+y2) : (x; y)2R2
4.1)(2points) Pour quelles valeurs de ; f est quadratique strictement
convexe
4.2) (2points) On suppose que  > 0:Trouvez en utilisant la dé…nition la
solution minimale globale de (P)
4.3) (3points) On suppose que  > 0:En partant du point (x0; y0) =
(1;1);appliquez la méthode du gradient conjugué au problème (P)et trouvez
la solution minimale globale du problème (P):Comparez avec le 4.1).
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