examen master optimisation 2014

OPTIMISATION SANS CONTRAINTES
MASTER 1
EXAMEN S2- 5Juin 2014. Durée 2 heures
Exercice1(5points)
1.1) (3points) Soit Q une matrice (n; n) symétrique et dé…nie positive.
Montrez que si les directions d0 ; d1; :::::dk ; avec k
n 1; sont non nuls et
Q conjuguées, alors ils sont linéairement indépendants.
1.2) (2points) On suppose maintenant que Q est une matrice (n; n) symétrique
et semi dé…nie positive. Soient fd0 ; d1; :::::dk g ; (k n 1) non nuls et véri…ant
dTi Qdj = 0; i 6= j; 0 i k n 1; 0 j k n 1
Les vecteurs fd0 ; d1; :::::dk g sont ils linéairement indépendants?
Exercice2(5points)
On considère la fonction
f : R2 ! R : f (x; y) = x3 + y 3
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justi…ez votre
réponse.
2.1(1point) (0; 0) est un point stationnaire
2.2(1point) (0; 0) véri…e les conditions nécessaires d’optimalité
2.3(1.5points) (0; 0) ne véri…e pas les conditions su¢ santes d’optimalité
2.4(1.5points) (0; 0) n’est pas une solution minimale locale
Exercice 3 (5points)
On considère la fonction
f : R2 ! R : f (x; y) = x3 + y 3
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justi…ez votre
réponse.
3.1(1.5points) f (x; y) s’ecrit sous la forme
f (x; y) =
1
2
x y
x
y
Q
avec Q symétrique et dé…nie positive.
1
b1 b2
x
y
3.2(1.5points) Si on démarre du point (x0 ; y0 ) quelconque et si on applique
la méthode des directions conjuguées, alors la solution optimale est obtenue
au point (x2 ; y2 )
3.3 (2points) Si on démarre du point (x0 ; y0 ) quelconque et si on applique
la méthode des directions conjuguées, alors la solution optimale est obtenue
au point (x3 ; y3 )
Exercice 4 (7points)
Soit f : R2 ! R dé…nie par
1
f (x; y) = (x2 + y 2 );
2
et (P ) le problème de minimisation sans contraintes suivant:
(P ) : min
1 2
(x + y 2 ) : (x; y) 2 R2
2
4.1)(2points) Pour quelles valeurs de ; f est quadratique strictement
convexe
4.2) (2points) On suppose que > 0: Trouvez en utilisant la dé…nition la
solution minimale globale de (P )
4.3) (3points) On suppose que
> 0: En partant du point (x0 ; y0 ) =
(1; 1); appliquez la méthode du gradient conjugué au problème (P ) et trouvez
la solution minimale globale du problème (P ): Comparez avec le 4.1).
2