Primitives (fin) et équations différentielles

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 28 novembre au 2 décembre 2016
Primitives (fin) et équations différentielles
I
Intégration par parties
— Définition du fait qu’une fonction est de classe C 1 sur un intervalle.
— Théorème d’intégration par parties (version intégrales) avec l’hypothèse que f et g sont
de classe C 1 sur un intervalle I et (a, b) ∈ I 2 .
— RThéorème d’intégration
par parties (version primitives) : sous les mêmes hypothèses,
R 0
0
f g = f g − f g.
II
Changement de variables
— Théorème de changement de variable (version intégrales) avec les hypothèses : I est un
intervalle de R, ϕ est à valeurs réelles et de classe C 1 sur I, f est continue sur ϕ(I), et la
conclusion
Z
Z
b
ϕ(b)
f (x) dx =
ϕ(a)
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.
a
— Théorème de changement de variable (version primitives) : dans ce cas, on prend comme
hypothèse supplémentaire que la fonction ϕ a une dérivée toujours strictement positive
(resp. toujours strictement négative). Elle admet alors une fonction réciproque dérivable
et cela permet de revenir à une expression en la variable de départ à la fin du calcul.
La conclusion du théorème (qui est que si on note ψ une primitive de ( f ◦ ϕ)ϕ0 , alors
ψ ◦ ϕ−1 est une primitive de f ) se traduit par l’abus de notations suivant :
Z
III
f (x) dx =
Z
f (ϕ(u))ϕ0 (u) du = ψ(u) +Cte = ψ ◦ ϕ−1 (x) +Cte .
Compléments
Attention, rien de tout cela n’est exigible !
On évoque rapidement la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles en
général (les élèves doivent savoir la produire eux-même uniquement dans le
cas de deux pôles
R
dx avec
simples (sans partie entière) vu précédemment) et la méthode de calcul de (ax2Ax+B
+bx+c)n
n ≥ 2.
Des changements de variables appropriés à différents cas de figure permettent de se ramener
à des fractions rationnelles : fractions rationnelles en sh et ch , fractions rationnelles en sin et
cos : règles de Bioche et changement de variables t = tan 2x .
1
Équations différentielles linéaires
I
Équations différentielles linéaires d’ordre 1
— Définition (y0 + a(x)y = b(x), où a et b sont deux fonctions continues définies sur un
intervalle I à valeurs réelles ou complexes), solution (définie sur I), équation homogène
associée, cas des “coefficients constants”, toute solution est automatiquement de classe
C 1.
— Résolution de l’équation homogène : analyse des solutions dans le cas où elles sont
réelles et ne s’annulent pas, puis énoncé du thèorème décrivant toutes les solutions dans
le cas réel ou complexe et démonstration. Vocabulaire : notion de solution générale de
l’équation homogène. Cas particulier des coefficients constants. Remarque que toute
combinaison linéaire de solutions de l’équation homogène en est encore solution.
— Résolution de l’équation avec second membre : méthode de la variation de la constante
et reformulation du résultat : la solution générale de l’équation avec second membre
est la somme d’une solution particulière de l’équation avec second membre et de la
solution générale de l’équation homogène. Si on “devine” une solution particulière de
l’équation avec second membre, il n’y a donc pas besoin de faire varier la constante.
Cas particulier des coefficients constants et d’un second membre du type sinusoïdal ou
produit d’un polynôme par une fonction exponentielle. Principe de superposition des
solutions.
— Problème de Cauchy pour les EDL1 : définition, théorème d’existence et d’unicité d’une
solution à un problème de Cauchy donné pour une EDL1.
II
Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
— Définition (y00 + ay0 + by = f (x), où a et b sont scalaires et f est une fonction continue définie sur un intervalle I à valeurs réelles ou complexes), solution (définie sur I),
équation homogène associée.
— Résolution de l’équation homogène : équation caractéristique, forme admise des solutions dans les deux cas, réel et complexe.
— Résolution de l’équation avec second membre dans des cas particuliers (la variation
de la constante pour l’ordre 2 est hors programme) : la solution générale de l’équation avec second membre est la somme d’une solution particulière de l’équation avec
second membre et de la solution générale de l’équation homogène. Donc si on “devine”
une solution particulière de l’équation avec second membre, on peut la résoudre. Cas
particulier d’un second membre du type sinusoïdal ou produit d’un polynôme par une
fonction exponentielle. Principe de superposition des solutions.
— Problème de Cauchy : définition, théorème admis d’existence et d’unicité d’une solution
à un problème de Cauchy donné pour une EDL2.
2
Relations et Applications
2
I
Relations
Définitions
— Relation binaire d’un ensemble de départ E vers un ensemble d’arrivée F. Graphe G ⊂
E × F. Exemples. Diagrammes de Venn.
— Relation binaire sur un ensemble (E = F). Réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité.
II
Relations d’équivalence
— Définition d’une relation d’équivalence R sur E..
— Classe d’équivalence de x ∈ E, x ∈ x, xR y ⇐⇒ x = y.
— Système de représentants. Les classes forment une partition de E. La notion d’ensemble
quotient est hors programme.
3
I
Applications
Point de vue intuitif
— Notion de “machine” qui, à chaque élément x de E, fait correspondre un élément de F
uniquement déterminé par x et f , qu’on note f (x) et qu’on appelle l’image de x par f .
— Exemples : fonctions, suites, familles de nombres, autres.
— Graphe G f = {(x, y) ∈ E × F|y = f (x)}.
II
Point de vue formel
— Une application est une relation f = (E, F, G) telle que tout élément x de E est en relation
avec un unique élément y de F i.e. (∀x ∈ E, ∃ !y ∈ F, (x, y) ∈ G), ce qu’on note alors
y = f (x).
— Toute application de E vers F est uniquement déterminée par son graphe G ∈ P (E × F),
E
La collection des applications
® de E vers F est un ensemble noté F .
A −→ F
— Notion de restriction f |A :
. Exemple d’application induite (différente
x 7−→ f (x)
d’une restriction car on modifie l’ensemble d’arrivée).
III
Surjectivité et injectivité
— Image d’une application f ∈ F E ( f (E) = {y ∈ F | ∃ x ∈ E, f (x) = y} notée aussi { f (x); x ∈ E}).
image directe d’une partie A de E, notée f (A). Précautions à prendre avec cette notation.
— Surjectivité ( f (E) = F).
— Injectivité définie par ∀x, y ∈ E, (x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y)) ce qui équivaut par contraposition à ∀x, y ∈ E, ( f (x) = f (y) =⇒ x = y).
3
— Une application d’une partie de R vers R qui est strictement monotone est automatiquement injective. (L’ensemble de départ n’est pas nécessairement un intervalle et aucune
hypothèse de continuité n’est nécessaire, C’est en particulier le cas des suites réelles
strictement monotones qui sont des applications injectives.)
— Une application à la fois surjective et injective est dite bijective.
— Nombreux exemples.
IV
Notion d’antécédent
— Définition.
— Reformulation des notions de surjectivité, d’injectivité et de bijectivité.
— Pour f : E → F et B ⊂ F, image réciproque de B par f : f −1 (B) = {x ∈ E| f (x) ∈ B}.
Précautions à prendre avec cette notation.
V
Relations ensemblistes concernant les images directes et réciproques
Avec les notations usuelles,
— A ⊂ A0 =⇒ f (A) ⊂ f (A0 ) et B ⊂ B0 =⇒ f −1 (B) ⊂ f −1 (B0 ).
— f (A ∩ A0 ) ⊂ f (A) ∩ f (A0 ), f (A ∪ A0 ) = f (A) ∪ f (A0 ), f −1 (B ∩ B0 ) = f −1 (B) ∩ f −1 (B0 ),
f −1 (B ∪ B0 ) = f −1 (B) ∪ f −1 (B0 ).
— f (E \ A) ⊃ f (E) \ f (A), f −1 (F \ B) = E \ f −1 (B).
VI
Composition
— Définition de la composée g ◦ f de f ∈ F E par g ∈ GF .
— Associativité de la composition.
— Application IdE . f ◦ IdE = f et IdF ◦ f = f .
VII
Réciproque d’une bijection
— Pour f ∈ F E , on dit que g est application réciproque de f ssi g ∈ E F , g ◦ f = IdE et
f ◦ g = IdF .
— Caractérisation des bijections : une application f ∈ F E est bijective ssi elle admet une
application réciproque. Dans ce cas, il existe une unique application réciproque pour f ,
qu’on note f −1 et qui associe à tout y ∈ F son unique antécédent par f .
— Propriétés : si f ∈ F E est bijective, alors f −1 ∈ E F aussi et ( f −1 )−1 = f . Pour f et g
bijectives, (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 .
— Composer une application f avec une bijection, à la source ou au but, ne change ni le
fait que f soit ou non injective, ni le fait que f soit ou non surjective.
VIII
Cardinal d’un ensemble fini
Avertissement : Le point de vue adopté dans cette section n’est pas conforme à la théorie des
ensembles. Dans cette théorie, les entiers naturels sont définis comme les cardinaux finis (ou
les ordinaux finis suivant les présentations). Au contraire, on suppose ici qu’on connaît déjà les
entiers naturels et on définit les cardinaux finis à partir de ces entiers.
4
— Un ensemble E est dit fini ss’il est en bijection avec un intervalle d’entiers [[1, n]]. Dans ce
cas, l’entier n est unique. On l’appelle le cardinal de l’ensemble E et on le note Card E.
— Si f est injective, Card E ≤ Card F. Si f est surjective, Card E ≥ Card F. Si f est bijective, Card E = Card F. Conséquence : toute partie d’un ensemble fini est finie et de
cardinal inférieur ou égal à celui de cet ensemble.
— Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal n et f : E → F. Alors
f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective
Nombres réels et suites numériques
Début du chapitre : définition des bornes supérieure et inférieures lorsqu’elles existent. Propriété de la borne supérieure.
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— Démonstrations des théorèmes d’intégration par parties et de changement de variables,
version intégrales ;
— Théorème de résolution des EDL1 homogènes ;
— f (A ∩ A0 ) ⊂ f (A) ∩ f (A0 ), contrexemple à l’inclusion inverse, égalité dans le cas où f
est injective ;
— Si g ◦ f est surjective (resp. injective) alors g (resp. f ) l’est aussi, mais f (resp. g) ne
l’est pas forcément.
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