Série 3 2005 - Université de Blida

Université Saâd Dahlab de BLIDA
Faculté des Sciences, Département de mathématiques
MI, 1ère année, algèbre 1.
Série d'exercices n° 3
Exo 38 : Soit A un anneau montrer alors que :
∀ x ∈ A,
x . 0 = 0. x = 0
∀ ( x, y) ∈ A2, x. ( - y) = (-x). y = - ( x. y)
∀ ( x, y, z ) ∈ A3, x. ( y - z) = x . y - x . z et que ( x - y ) . z = x. z - y. z
∀ ( x, y, z, t ) ∈ A4, ( x + y ) . ( z + t ) = x . z + x . t + y . z + y . t
∀ ( x, y ) ∈ A2, ( x + y )2 = x2 + x . y + y. x + y2.
Exo 39 : Soit A = { a + b 2 , a ∈ , b ∈ }
a) Montrer que ( A, + , • ) est un anneau intègre.
b) Si x = a + b 2 , on pose N(x) = a2 - 2 b2. Montrer que N(x y ) = N(x) N(y).
c) En déduire que x ∈ U(A) ( ensemble des éléments inversibles de A ) si et seulement si
N(x) = ± 1.
d) Montrer que 1 +
2 ∈ U(A). Que vaut son symétrique (1 +
En déduire que ∀ n ∈ , (1 +
2 )n ∈ U(A) et - (1 +
2 )' ?
2 )n ∈ U(A).
Exo 40 : Soit A un anneau non nécessairement unitaire. Montrer que s'il existe une unité à droite
"e" alors "e" est aussi élément neutre à gauche.
Exo 41 : Montrer que (/ n, + , • ) est un anneau commutatif unitaire où
∀ a ∈ / n, ∀ b ∈ / n,
a + b = a + b, a • b = a •b.
Exo 42 : Soit E un ensemble, A = ℘(E), l'ensemble des parties de E.
On définit une addition et une multiplication dans A par :
a + b = ( a - b ) ∪ ( b - a ),
Montrer que ( A, +, • ) est un anneau unitaire.
Déterminer a + a, a • a, n• a et an ∀ n∈ ²*.
a • b = a ∩ b.
Exo 43 : Soit A un anneau tel que ∀ x ∈ A, x2 = x. Un tel anneau est appelé de BOOLE.
a) Montrer que ∀ x ∈ A, x + x = 0.
b) Montrer que A est un anneau commutatif.
c) Montrer que si | A| > 2, A n'est pas intègre.
d) Vérifier que (℘(E), ∆, ∩ ) est de BOOLE.
Exo 44 : Soit X un ensemble et A un anneau.
Munir AX l'ensemble des applications de X dans A d'une structure d'anneau.
Exo 45 : Dans l'anneau , on définit ∀ x ∈ , f(x) = x + |x| et g(x) = x - |x|.
Calculer ∀ x ∈ , f(x) g(x). En déduire que l'anneau n'est pas intègre.
Exo 46 : Montrer que (/ n, + , • ) est un anneau intègre si et seulement si n = 0 ou n est un
nombre premier.
Exo 47 : Soit B = { 0 , 2 , 4 } un sous ensemble de l'anneau (/ 6, + , • ).
Montrer que ( B, + , • ) est un anneau unitaire. Que vaut son élément unité?
Vérifier qu'il n'est pas un sous anneau de (/ 6, + , • ).
Montrer qu'il est un idéal de (/ 6, + , • ).
Exo 48 : Montrer que les idéaux de sont les n, n∈ ².
En déduire que (,+, . ) est un anneau principal.
Exo 49 : a) Soit A un anneau commutatif, a ∈ A et I = { x ∈ A, a x = 0 }.
Montrer que I est un idéal de A.
b) Soit A = {f, f : → application continue sur [0, 1] }. Vérifier que ( A, +, • ) est un anneau
et que I(x0) = { f ∈ A , f(x0) = 0 }est un idéal.
Exo 50 : Soit f : A → A' un morphisme d'anneaux.
a) Si B est un sous anneau de A et B' est un sous anneau de A' alors f(B) et f -1 (B') sont
respectivement des sous anneaux de A' et de A.
b) si A et A' sont des anneaux commutatifs et si I' est un idéal de A' alors f -1(I') est un idéal de
A. En particulier f -1( {0}) = Kerf est un idéal de A.
c) Si I est un idéal de A alors I' = f(I) est un idéal du sous anneau f(A) de A'. I' est un idéal de A'
si f est surjective.
Exo 51 : Soit A un anneau intègre. A* = A - {0}.
Soit ℜ une relation binaire définie sur A x A* par :
∀ ( a, b), (c, d) ∈ A x A* , ( a, b) ℜ ( c, d) ⇔ a d = b c.
Vérifier que ℜ est d'équivalence.
A x A* est muni de deux lois de composition internes + et • définies par :
( a, b) + ( c, d) = ( a d + b c, bd );
( a, b) • ( c, d) = ( ac, bd )
Montrer que (A x A* , +, • ) est un anneau commutatif unitaire et que ℜ est compatible avec les
deux lois.
Montrer qu'on peut munir le quotient (A x A*)/ ℜ de deux lois quotients + et • qui le rendent
aussi un corps commutatif.
(a , b) se note
Il sera appelé " corps des fractions de l'anneau A " et que
a
. Que vaut (A x A*)/ ℜ si A = ?
b
Exo 52 : Soit A un anneau commutatif, I un idéal de A alors la relation définie par :
∀ ( x, y) ∈ A2 , x ℜ y ⇔ " x - y ∈ I " est d'équivalence sur A et est compatible avec les deux
lois de A. Montrer que l'ensemble quotient A / I muni des deux lois quotients est un anneau
commutatif.
Exo 53 :
Un corps est un anneau unitaire où tout élément non nul est inversible pour la loi "•".
Montrer que les seuls idéaux d'un corps commutatif K sont {0} ou K.