Problème historique "des partis"

AFFAIRE DE LOGIQUE N° 637 (Le Monde Magazine, septembre 2009)
Élisabeth Busser et Gilles Cohen
Trois points de suite
Deux joueurs, Raphaël et Roger, s'affrontent. Ils sont sensiblement de même valeur, et la
probabilité que chacun a de gagner un point est ½. Dans ce jeu, le vainqueur est celui qui
aligne 3 points de suite.
Il n'y a aucune limitation de temps.
Roger marque le premier point.
Quelle probabilité a-t-il maintenant de gagner la partie ?
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Problème historique "des partis"
Ce problème est connu en probabilités comme le problème "des partis" et il est considéré
comme à l'origine du calcul des probabilités. Il a été soumis à Pascal par le Chevalier de
Méré, grand joueur devant l'Éternel. En voici une forme proche de notre problème de
logique :
"Deux joueurs, Raphaël et Roger, engagent chacun 32 euros dans un jeu de pile ou
face. Le joueur gagnant ramassera les 64 euros. Est déclaré gagnant celui des deux
joueurs qui, le premier, aura obtenu trois succès, qu’ils soient consécutifs ou non. Un
succès pour Roger est pile, un succès pour Raphaël est face. A l’issue du premier
lancer, pile sort mais les deux joueurs doivent arrêter la partie sans attendre les trois
succès de l'un ou de l'autre des deux joueurs.
Comment partager les 64 euros équitablement ? »
Le partage est équitable si les sommes versées aux deux joueurs sont proportionnelles aux
probabilités qu'ils ont de gagner sachant que Roger a déjà obtenu un point. Le mot "parti" fait
ici référence au mot "partage".
Il s'agit donc de calculer les probabilités de gagner de chacun des deux joueurs, la somme de
ces deux probabilités étant égale à 1.
De nombreuses solutions fausses circulaient avant que Pascal et Fermat n'aient abouti à une
même solution avec des arguments différents. Pascal écrit à Fermat en lui disant à peu près "je
suis heureux de constater que la vérité à Toulouse est la même qu'à Paris".
Aujourd'hui la résolution de ce problème n'est pas difficile car, si l'on reprend la formulation
Pile ou Face, la partie se finit en moins de 5 lancers de la pièce (en comptant le premier lancer
pour lequel on a obtenu "pile", Roger a gagné un point). Il y a 16 résultats possibles
commençant par "pile" pour 5 lancers de la pièce. Ces résultats ont la même probabilité de
sortir et, comme il y en a 11 qui donnent Roger gagnant, la probabilité de gagner de Roger est
11/16 ("nombre de cas favorables" sur "nombre de cas possibles").
Les 16 résultats possibles et, en rouge, les 11 résultats favorables à Roger, sont les suivants :
PPPPP, PPPPF, PPPFP, PPPFF, PPFPP, PPFPF, PPFFP, PPFFF
PFPPP, PFPPF, PFPFP, PFPFF, PFFPP, PFFPF, PFFFP, PFFFF
La probabilité de gagner de Roger est de 11/16, la probabilité de gagner de Raphaël est donc
de 5/16 et le partage équitable de la mise est de 44 euros pour Roger et 20 pour Raphaël.

OBJECTION
Il est choquant de continuer à lancer la pièce de monnaie alors que la partie est finie. Il n'y
aurait en fait que 10 résultats possibles dont 6 favorables à Roger (en rouge) et 4 à Raphaël :
PPP, PPFP, PPFFP, PPFFF, PFPP, PFPFP, PFPFF, PFFPP, PFFPF, PFFF
Mais ces résultats ne sont pas équiprobables, la probabilité d'un résultat à 3 lettres est deux
fois celle d'un résultat à 4 lettres, elle-même deux fois celle d'un résultat à 5 lettres, c'est-à-
dire que la probabilité d'un résultat à 3 lettres est 1/4, la probabilité d'un résultat à 4 lettres est
1/8, la probabilité d'un résultat à 5 lettres est 1/16 :
PPP, PPFP, PPFFP, PPFFF, PFPP, PFPFP, PFPFF, PFFPP, PFFPF, PFFF
4 2 1 1 2 1 1 1 1 2 total 16
On retrouve alors, en sommant les probabilités des cas favorables, que la probabilité que
Roger gagne est 11/16.
Ce problème peut être visualisé par un arbre, à chaque lancer de la pièce de monnaie on a une
probabilité 1/2 d'avoir pile et la probabilité 1/2 d'avoir face. Pour 2 lancers on a une
probabilité 1/4 d'avoir un des 4 résultats, pour 3 lancers, la probabilité 1/8 d'avoir un des 8
résultats, pour 4 lancers la probabilité 1/16 d'avoir un des 16 résultats, etc., on fait le produit
des probabilités inscrites sur les branches de l'arbre.
P
P
P
F
F
P
F
1/2
P P P
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
P P F P
P P F F P
P P F F F
P F P P
P F P F P
P F P F F
P F F P P
P F F P F
P F F F
1/4
1/8
1/16
1/16
1/8
1/16
1/16
1/16
1/16
1/8
Probabilités
Résultats
possibles Résultats
favorables à Roger
1/4
1/8
1/16
1/8
1/16
1/16
1 11/16
Même le grand d'Alembert n'était pas très convaincu des solutions avancées par les premiers
"probabilistes". Cf. le fichier "Croix-et-Pile", extrait de l'Encyclopédie écrit par d'Alembert à
propos d'un jeu de "pile ou face" ("pile ou croix" à l'époque).