Logique et mathématiques

H.E.H. - Isep Mons
Boulevard Albert-Elisabeth, 2 Document 21
7000 Mons (Belgique)
Cellule de Géométrie
Mathématiques élémentaires
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Site: www.hecfh.be/cellulegeometrie
Cellule de Géométrie – Catégorie pédagogique de la HEH
DEMAL Michel DRAMAIX Jérémy HIGNY Samuel
[email protected] [email protected] [email protected]m
LAFOT Cindy MALAGUARNERA Angelo
[email protected] [email protected]m
"Pas de mathématiques sans une certaine technique logique." J.M. SALANSKIS
"Dans l’édifice de la pensée, notamment mathématique, la logique établit parallèlement les bases
du raisonnement et les outils pour faire progresser la connaissance." G. GUERRERIO
"La logique est l’étude des moyens de preuve." C. PERELMAN
Logique et mathématiques

Logiqueetmathématiques
Cellule de géométrie delaHAUTEECOLEenHAINAUT
2
Logiqueetmathématiques
Plan
1. Introduction
2. Propositions
3. Propositionsquantifiées
3.1. Lespropositionsexistentielles
3.2. Propositionsuniverselles
3.3. Propositionsàplusieursquantificateurs
4. Lesconjonctions"et"et"ou"enlogique
4.1. Laconjonction"et"danslelangageusuel
4.2. Laconjonction"ou"
5. Négationd'uneproposition(p)
6. Doublenégationd'uneproposition
7. Négationd'unepropositionquantifiée
7.1. Négationd'un"pourtout"(=)
7.2. Négationd'un"ilexiste"(=)
8. Négationdesconjonctions"et"et"ou"
8.1. Négationdelaconjonction"et"((petq)=pouq)
8.2. Négationdelaconjonction"ou"((pouq)=petq)
8.3. Négationdelaconjonction"et"((petq)=pouq)
8.4. Négationdelaconjonction"ou"((pouq)=petq)
9. Implicationetéquivalence
9.1. Déduction‐Inférence‐Implication
9.1.1. Déduction
9.1.2. Lespropositionsimplicationspq
9.1.3. Implicationsetthéoriemathématique
9.1.4. Lesdifférentesexpressionsdel'implication
9.2. Équivalence
Équivalenceetimplication

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10. Principauxprocédésdedémonstration
10.1. Procédésservantàmontrerlanon‐véracitéd'uneproposition
Lecontre‐exemple
10.2. Procédésservantàmontrerlavéracitéd'uneproposition
10.2.1. Lesdémonstrationshypothético‐déductives
10.2.2. Lesdémonstrationsparl'absurde
10.2.3. Lesdémonstrationsselonleprincipedelacontraposée
10.2.4. Lesdémonstrationsparrécurrence
10.2.5. Lesdémonstrationspar"dessins"et"superpositions"
10.3. Démonstrationsformellesetinformelles
11. Définitionetpropriétés
11.1. Définitionetpropriétés
11.2. Définition,propriétésetdéduction
11.3. Lesdifférentstypesdedéfinitionsenmathématique
11.4. Quelledéfinition,àquelâge?
12. Théoriemathématique‐Théoriedéductive
13. L'activitémathématique

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Logiqueetmathématique
Lesnotesci‐aprèssontdesnotespartiellesdestinéesàservirdedocumentdebasepour
unexposéoral.Ellesserontbienévidemment"complétées"lorsdecetexposé.
1. Introduction
Contrairementaulangagefamilier1,lamathématiqueutiliseunesyntaxe,dessymboles,des
procédésdontlesensestunivoquementdéterminé.Laméconnaissancedecettesyntaxe,de
cessymboles,decesprocédéscréesouventundésaccordentrelesélèvesetla
mathématique.Aussi,faut‐ils'assurerquelesélèvesdel'écoleprimaireoude
l'enseignementsecondaires'initientpetitàpetitausensprécisdecessymboles,syntaxeset
procédésimposésparlamathématique.
Danscettepartie,nousaborderonsdemanièreintuitivequelquesconceptsquisous‐
tendenttoutel'activitémathématique.Nouscommenceronsparpréciserlesnotionsde
proposition,propositionquantifiée,conjonction,négationdepropositions,négationde
propositionsquantifiéesainsiquelanégationdesconjonctions"et"et"ou".Ensuite,nous
analyseronslesconceptsd'implication(inférence),d'équivalence,dedéfinitionetles
principauxprocédésdedémonstration.Noustermineronsparl'examendesexpressions
"théoriemathématique"et"activitémathématique".
2. Propositions
Lesmathématiquestravaillentsurdespropositionsàdeuxvaleurs(vraieoufausse)qui
vérifientlesprincipessuivants:
a) Principedutiersexclu:toutepropositionestsoitvraiesoitfausse
b) Principedenon‐contradiction:toutepropositionnepeutêtreàlafoisvraieetfausseen
mêmetemps
c) Principed'identité:dansunmêmecontexte,toutepropositiongardesavaleur.Sion
changedecontexte,lapropositionpeutéventuellementchangerdevaleurdevérité.
Exemples:
1. laproposition"unesymétriecentraleestundéplacement"estunepropositionqui
seratoujoursvraiedansleplan.Dansl’espace,cettepropositiondeviendraune
propositionfausse(unesymétriecentraleestunretournementdel’espace).
2. laproposition"unetranslationestundéplacement"estunepropositionvraieaussi
biendansleplanquedansl’espace.
Exemplesdepropositions:
P1:6estunnombrepair–(V)(1)
P2:unmoutona5pattes–(F)(0)
P3:laporteestouverte
1Lesréalitésfamilièressontrarementdesmodèlespourlamathématique.

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Exemplesdenon‐propositions:
‐ "2+3"
‐ Laporteest‐elleouverte?
‐ Ouvrelaporte
Onappelleproposition,touteexpressionàlaquelleestassociéeuneetuneseulevaleur
logiqueetquivérifielestroisprincipesci‐dessus.
3. Propositionsquantifiées
Lespropositionsquantifiéessontdespropositionsquicontiennentunouplusieurs
quantificateurs.
3.1. Lespropositionsexistentielles
Lespropositionsexistentiellessontdespropositionsquisontvraiesoufaussespourcertains
objetsd'unecatégorie.Onlesutiliselorsqu'onveutaffirmerl'existenced'objetsayanttelle
outellepropriété.
Pourexprimerl'existenced'objetsayanttelleoutellepropriété,onutiliselequantificateur
(existentiel):"ilexiste"().
Lequantificateurexistentiel"ilexiste"()estàprendreausensde"ilexisteaumoins".
Siondemandededessiner3piècestellesqu'ilexisteunepièceenpositionface,onobtient
commesolutionspossibles:
FPP‐FFP‐FFF
Poursymboliser"ilexisteexactement",onécrit"!",c'est‐à‐dire"ilexisteuneseulevaleur"
quisatisfaitlaproposition.
3.2. Propositionsuniverselles
Lespropositionsuniversellessontdespropositionsquisontvraiesoufaussespourtousles
objetsd'unecatégorie.Onlesutiliselorsqu'onveutexprimerlefaitquetouslesobjetsd'une
catégoriepossèdenttelleoutellepropriété.
Pourexprimerquel'ensembledesobjetsdelacatégoriepossèdetelleoutellepropriété,on
utiliselequantificateur(universel):"pourtout"().
Lequantificateuruniversel"pourtout"()estàprendreausensde"quelquesoitl'élément"
ou"pourchaqueélément".
Siondemandededessiner3piècestellesquetouteslespiècessoientenpositionface,on
obtientlasolution:
FFF