05-Nombres premiers

Chapitre 5 :
Nombres premiers
Spé
Maths
- Nombres premiers.
- Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.
I. Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement 2 diviseurs
distincts : 1 et lui-même.
Exemples :
● 1 n’est pas premier d’après cette définition puisqu’il n’admet qu’un seul diviseur.
● 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs.
● 2 est premier. C’est le seul nombre premier pair.
● 89 est premier.
Le crible d’Erathostène (IIIème siécle avant J.C.) :
Cet algorithme permet de déterminer les nombres premiers inférieurs à un entier
donné. Par exemple, nous allons déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 200 :
- On commence par entourer 2, puis par barrer tous ses multiples.
- On entoure l’entier non barré suivant (c’est-à-dire 3), puis on barre tous ses multiples.
- On reproduit cette dernière opération jusqu’à avoir entouré tous les nombres
premiers de la liste.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Dans la suite du cours nous allons nous intéresser à cette question fondamentale :
La liste des nombres premiers est-elle finie ?

II. Théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème : Tout nombre entier naturel s’écrit comme produit de nombres premiers de
manière unique (à l’ordre près des facteurs).
Exemples : Décomposer les entiers suivants en produit de facteurs premiers :
A=28710 B=574 770 C=106 568
A=28710 B=574 770 C=106 568
A=2
32
5
11
29 B=2
3
5
72
17
23 C=23
7
11
173
Démonstration de l’existence par récurrence (nous ne démontrerons pas l’unicité) :
On va montrer par récurrence que pour tout n entier naturel, on a : « Tout nombre
entier inférieur ou égal à n peut s’écrire comme produit de nombres premiers »
Initialisation : 1 est le produit de 0 nombre premier.
Hérédité : Soit n tel que la proposition soit vraie.
Dans ce cas n+1 peut être soit premier, soit non premier.
1er cas : Si n+1 est premier, alors il est le produit d’un nombre premier. La proposition
est alors vraie au rang n+1.
2ème cas : Si n+1 n’est pas premier, alors il est le produit de deux nombres : n+1=p
q
Où p et q sont deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à n.
p et q peuvent donc être décomposés en produit de facteurs premiers.
Donc n+1 est également le produit de nombres premiers.
On a donc montré par récurrence que tout nombre entier peut s’écrire sous la forme
d’un produit de nombres premiers.
Théorème d’Euclide (proposition 20 du livre IX) :
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration de l’infinité des nombres premiers :
Supposons que l’ensemble des nombres premiers soit fini :
1 2
, ,..., n p p p
est l’ensemble des n nombres premiers.
Le produit
1 2 ... n
p p p  
n’est donc pas un nombre premier,
mais
1 2 ... 1 n
p p p   
n’est divisible par aucun des
nombres de la liste
1 2
, ,..., n p p p
.
1 2 ... 1 n
p p p   
est donc un nombre premier supérieur à
n
p
.
Donc l’ensemble des nombres premiers n’est pas fini.