rapport tp

Compte rendue
présenté par
Idriss HASSINE
&
Safa el Khayati
Modélisation et évaluation des systèmes informatiques
Encadrant Mr. Christophe GUYEUX
Année Universitaire 2014/2015

Table des matières
Introduction générale 1
1 Calcul matricielle 2
1.1 Introduction....................................... 2
1.2 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Méthode de Gauss jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Calculdedéterminants ................................. 6
1.3.1 En utilisant la méthode de pivot gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 En utilisant l’algorithme de Jordan-Bareiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Décomposition matricielle 8
2.1 Introduction....................................... 8
2.2 DécompositionLU ................................... 8
2.2.1 Existanse de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 LU moyennant la méthode de pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 LadécompositionQR.................................. 11
2.3.1 Préliminaire : Procédé d’orthonrrmalisation de Gran-Schmidt . . . . . . . . 11
2.3.2 Présentation de la décomposition QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Éléments propres des matrices 15
3.1 Introduction....................................... 15
3.2 Diagonalisation..................................... 15
3.2.1 Vérification de l’existence de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Opération de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Calcul de la puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Table des figures
1.1 La méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exécutiondelacode .................................. 4
1.3 La méthode du de Gauss jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 La méthode du de Gauss jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Calcul de déterminant par la méthode de pivot gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Calcul de déterminant par la méthode de pivot gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Calcul de déterminant par la méthode algorithme de Jordan-Bareiss . . . . . . . . . 7
1.8 Calcul de déterminant par l’algorithme de Jordan-Bareiss . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Code existanse de la décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Exécution du code existanse de la décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Code fonctions addrow, mulrow, swaprow, addcol, mulcol et swap . . . . . . . . . . 10
2.4 Code de la fonction de la décomposition LU par la méthode de pivot . . . . . . . . . 10
2.5 Exécution du code de la fonction de la décomposition LU par la méthode de pivot . . 11
2.6 Code de la fonction Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Exécution du code de la fonction Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Vérification de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Code de la fonction décomposition QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Exécution du code de la fonction décomposition QR . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Code de la fonction de vérification de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Code exécution du fonction diag_verif pour la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Code de la fonction de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Exécution du fonction diagonalisation de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Code de la fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Exécution du fonction puissance de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Introduction générale
Ce travail est constitué de trois chapitres.
Le premier chapitre s’interesse au problème du calcule matricielle. On présente dans ce chapitre deux
algorithmes de résolution de systèmes linéaires. Le pivot de Gauss pour triangulariser la matrice et
la méthode de Gauss-Jordan puis on passe pour le calcul du déterminant d’une matrice avec deux
algorithmes : celui de Jordan-Bareiss qui concerne le cas particulier des matrices à cofficients entiers
et celui du pivot de gauss.
Le deuxième chapitre porte sur le problème décomposition matricielle. On va implémenter la décom-
position LU par deux algorithmes : par une méthode formelle reposant sur la bibliothèque sympy et
par la méthode du pivot de Gauss. Puis on va implémenter la décomposition QR moyennant le pro-
cédé d’orthonrrmalisation de Gran-Schmidt.
Le troisième chapitre s’intéresse au problème de diagonalisation des matrices, extraction des éléments
propres et comment utiliser cette diagonalisation pour calculer la puissance d’une matrice de façon
très facile et moins couteuse.
1

Chapitre 1
Calcul matricielle
1.1 Introduction
Ce chapitre présente deux algorithmes de résolution de systèmes linéaires. Le pivot de Gauss pour
triangulariser la matrice et la méthode de Gauss-Jordan . La deuxième partie du chapitre porte sur le
calcul du déterminant d’une matrice avec deux algorithmes : celui de Jordan-Bareiss qui concerne le
cas particulier des matrices à coefficients entiers et celui du pivot de Gauss.
1.2 Résolution des systèmes linéaires
La résolution des systèmes d’équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans
les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement nu-
mérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l’approximation de problèmes non linéaires en
analyse numérique.
1.2.1 Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss propose de résoudre un système d’équations en triangonalisant la
matrice contenant les inconnues des équations. La dernière équation devient une simple égalité et on
remonte chaque ligne de la matrice en trouvant le résultat d’une nouvelle inconnue.
La figure 1.1 présente le code de la méthode du pivot de Gauss.
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