serie2 limite continuite 4e math

L.S.C.J.Gafsa
SERIE N°2 ( limites-continuité 4è.M)
Exercice 1 :
On considère la fonction f définie sur

1
2
1  x sin  
par f ( x )  
 x
1  x  x 3



si x < 0
si x  0
( C ) est la courbe de f dans un repère orthonormé O, i, j .
f ( x)
.Interpréter graphiquement ces résultats.
x
sin x
2.On considère la fonction définie sur IR * par u ( x) 
.
x
1
a.Vérifier que pour tout x<0 on a : f ( x)  1  x.u   .
x
1
b.Calculer lim u   et en déduire lim f ( x) .
x 
x 
x
3.a.Vérifier que pour tout x < 0 on a : 1  x 2  f ( x )  1  x 2 .
1.Calculer lim f ( x) et lim
x 
x 
b.Calculer alors lim f ( x ).
x 0 
c.Etudier la continuité de f en 0.
d.Montrer que f est continue sur IR.
4.a.Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans 0,1 une solution unique  .
b. Vérifier que 1   2 
1

.
x 1
5.Etudier chacune des limites suivantes : lim f 

x 
 x 1 
Exercice 2 :
Dans la figure ci-contre,on a tracé les courbes
(C f ) et (C g ) de deux fonctions f et g dans un


repère orthonormé O, i, j .
Chacune des deux courbes admet deux
asymptotes.
1.Par lecture graphique :
f ( x)
a.Donner lim f ( x) , lim
,
x 
x 
x
lim g ( x) et lim g ( x) .
x 2
x 
b.Déterminer g  2,   et f
 , 2  .
c.Calculer lim f g ( x) et lim f g ( x) .
x 2
x 
5
2.On donne g    0
2
a.Vérifier que f g est continue sur 2,  .
b.Montrer que l’équation f g ( x) 
3
2
 x 1
et lim f 
.
x 1
 x 1
+
B.Tabbabi
5 
admet dans  ,3 une solution unique.
2 
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur
 x 3  x  1
par f ( x ) = 
2
 1  4x  x
si x  0

.
si x > 0

( C ) désigne la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé O , i , j .
f (x )
.Interpréter ces résultats graphiquement.
x 
x 
x
2.Montrer que ( C ) admet en +  une asymptote oblique  dont on donnera une équation.
3.Etudier la continuité de f en 0 puis sur .
4.a.Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet dans  1 ,0  une solution unique  .
1.Calculer lim f (x ) et lim
b.Montrer que 
1
 1  2 .

c.Vérifier que pour tout réel x de

d.En déduire que la fonction g: x
 , 0

1

on a : f ( x )   x     x 2   x   .


1 x  x 3
est prolongeable par continuité en  .
x 
Exercice 4 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1.Si la fonction f est continue en un réel a alors f est continue en a.
2.f est une fonction continue sur IR.
a.Si l’équation f ( x)  x admet une solution dans IR alors l’équation f
f ( x)  x admet une solution dans
IR.
b. Si l’équation f
f ( x)  x admet une solution dans IR alors l’équation f ( x)  x admet une solution dans
IR 3.On donne ,ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f définie et continue sur IR\ 1 .
x


0

1


f
1
0
a.L’équation f ( x)  0 admet dans IR\ 1 exactement deux solutions.
b. f
 ,1   0,  .
c.Pour tout réel x différent de 1,on a : f ( x)  x.
d.Pour tout x<1 on a : f ( x)  x  1.
e. La courbe de f admet exactement deux asymptotes.
* * ** * * *