Les ensembles infinis et la continuité

Les ensembles infinis et la continuité
Rappel. Une application
f:E!F
envoie chaque
x!E
sur exactement un
y!F
, noté
f(x)
.
Elle est injective si chaque
y!F
admet au plus une préimage.
Elle est surjective si chaque
y!F
admet au moins une préimage.
Elle est bijective si chaque
y!F
admet exactement une préimage, (d’où la fonct. réciproque
rf
).
Exemples de fonctions bijectives.
1) La fonction
f:!!!
qui envoie
x!ax +b=y
. Sa réciproque étant
y!y!b
a
(
a!0
)
2) La fonction
q:!+!!+
qui envoie
x!x2=y
. Sa réciproque étant
y!y
.
Lemme. Si E ={1 ; 2 ; 3 ;… ; n} alors toute injection
E!E
est forcément bijective !
Preuve. Petit exercice à faire par récurrence !
Définition. Un ensemble E est infini s’il existe une bijection de E sur un sous-ensemble propre de
E. En d’autres termes, s’il existe une fonction injective sur E, mais non surjective.
Recherche de fonctions élémentaires continues sur
!
qui permettent de
prouver que
!,",#
et
!
sont des ensembles infinis
Pour prouver que
N
est infini il suffit de considérer la fonction
s:x!x+1
(s pour shift). Comme
s est injective (chaque élément du but admet au plus une pré-image) et que 0 n’admet pas de pré-
image
N
est infini.
Cependant pour prouver que
Z
est infini, la fonction shift ne convient, car dans ce cas, s est une
bijection de
Z
sur
Z
. En lieu et place d’une translation de norme 1 dans le sens positif
considérons alors une homothétie de rapport 2. La fonction
d:x!2x
(d pour double) convient
pour justifier que
Z
est infini, puisque les impairs n’ont pas de pré-image et d est injective. De
plus d restreint à
!
(noté
d|!
) permet aussi de prouver que
!
est infini.
Cependant la fonction d ne permet pas de prouver que
!
est infini (car d est bijective sur
!
).
Pour prouver que
!
est infini il suffit de considérer la fonction
c:x!x3
.
En effet, c est une bijection sur
!
(donc en particulier est injective.). En revanche, sur
!
tout
nombre naturel qui n’est pas un cube n’admet pas de pré-image (cf. Preuves par l’absurde).
Cette dernière permet aussi de justifier que
!
,
!
et
Q
sont infinis en restreignant les domaines
de définition. De plus c est bien continue.
Théorème. Il ne peut exister une fonction continue sur
R
qui permet de justifier que
!,",#
et
R
sont infinis simultanément.
Preuve. En effet, si la fonction f est continue (sur
R
) et injective alors elle est forcément
strictement monotone (puisque qu’une fonction continue prend toutes ses valeurs entre son min et
son max). Par ailleurs, une fonction monotone qui envoie les entiers sur les entiers implique que
lim
x!+"f(x)= ±"
et
lim
x!"# f(x)=!#
, d’où f est une bijection sur
R
et donc ne peut satisfaire les
contraintes imposées.
!
Remarques. 1) Si l’on n’exige pas la continuité alors la fonction
f:x!x+1 si x"0
x si x<0
{
permet de
prouver simultanément que
!,",#
et
R
sont bien infinis.
2) La fonction
explin :x!2n(x!n+1)
pour x ∈[n ; n +1[ et
n!Z
permet de prouver
simultanément que
!
,
D
(les décimaux),
Q
et
R
sont infinis. En plus
explin
est continue,
strictement croissante et strictement positive Exercice. Représenter le graphe de
explin
.

La dénombrabilité
Définition. On dit qu’un ensemble E est dénombrable s’il existe une bijection de
f:!!E
.
En quelque sorte, dire que E est dénombrable signifie que chaque élément de E peut être
« étiqueté » par un nombre naturel.
Exemples.
1) Si P = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ,… } l’ensemble des nombres pairs alors P est dénombrable, car
x!2x
est une bijection de
!!P
.
2) Si C = {0 ; 4; 9 ; 16 ,… } l’ensemble des nombres carrés alors C est dénombrable, car
x!x2
est une bijection de
!!C
.
Lemme I. L’ensemble des entiers relatifs
!
est dénombrable.
Preuve. L’idée consiste à envoyer les pairs sur les positifs et les impairs sur les négatifs, en imitant
l’illustration ci-dessous : en rouge les
x!!
et en noir leurs images
y!!
.
Algébriquement, la bijection s’écrit
x!
x÷2 si x est pair
(!x!1) ÷2 si x est impair
"
#
$
%
$
.
Lemme II. L’ensemble des nombres rationnels
!
est dénombrable.
Preuve. Une idée consiste à regarder chaque couple d’entiers du demi plan supérieur,
(a,b)!!"!+
*
comme la fraction a / b, puis de d’identifier un « chemin » qui parcourt toutes les
« fractions distinctes » en leur attribuant une « étiquette »
!!
, qu’une et qu’une seule fois.
Schéma.