groupes

Universit´e Montpellier II Ann´ee universitaire 2013-2014
L3 Math´ematiques, GLMA501
Alg`ebre g´en´erale
Exercices sur les groupes
Exemples et g´en´eralit´es :
Exercice 1 Parmi les paires (G, ·) ci-dessous, d´eterminer celles qui sont des groupes :
1. G=R,x·y=x+y−3;
2. G=R,x·y=x−y+ 5;
3. G=R,x·y=xy2;
4. G=] −1,1[, x·y=x+y
xy+1 ;
Exercice 2 Soient G={a+ib |a, b ∈Z}, et H={(1 + i)(a+ib)|a, b ∈Z}. Montrer que : Gest un
sous-groupe de (C,+) contenant Z;Hest un sous-groupe de G;H∩Z= 2Z.
Exercice 3 Soit pun nombre premier. On rappelle que tout ´el´ement non nul de Z/pZa un inverse pour
la multiplication (Z/pZest un corps). Soit
T={a b
0a−1|a∈(Z/pZ)∗, b ∈Z/pZ}
H={1b
0 1 |b∈Z/pZ}, K ={a0 0a−1|a∈(Z/pZ)∗}.
1. V´erifier que T,Het Ksont des sous-groupes du groupe lin´eaire GL2(Z/pZ). Pr´eciser leurs ordres
et leurs relations d’inclusions.
2. Montrer que les applications suivantes sont des isomorphismes de groupes :
Z/pZ−→ H
b7−→ 1b
0 1 
(Z/pZ)∗−→ K
a7−→ a0
0a−1.
Exercice 4 Montrer que l’application exponentielle exp : (R,+) →(R∗
+,×) est un isomorphisme de
groupes. Qu’en est-il de l’application exp : (C,+) →(C∗,×) ?
Exercice 5 (Groupe des quaternions) Soit Ql’ensemble form´e par les matrices ±Id, ±I, ±J, ±Kde
GL2(C), o`u
Id := 1 0
0 1 , I := i1 0 0−1, J := 0 1 −1 0 , K := i0 1 1 0 .
Montrer que Qest un sous-groupe de GL2(C).
Exercice 6 Soit Gun groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes H1et H2de Gest un
sous-groupe de G. Montrer que H1∪H2est un sous-groupe de Gsi, et seulement si, H1⊂H2ou
H2⊂H1. (On pourra raisonner par l’absurde.)
Exercice 7 Soit Gun groupe, Hun sous-groupe de G, et x,y∈G. On note xH := {xh |h∈H}.
Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) xH =yH; (ii) xH ∩yH 6=∅; (iii) y−1x∈H.
1

Exercice 8 Soient Gun groupe, et H,Kdeux sous-groupes de G. On note HK := {hk |h∈H, k ∈K}
et KH := {kh |k∈K, h ∈H}.
1. Montrer sur un exemple dans G=S3qu’en g´en´eral les ensembles HK et KH ne sont pas ´egaux
et ne sont pas des sous-groupes de G.
2. Montrer que HK est un sous-groupe de Gsi, et seulement si, HK =KH.
Exercice 9 Soit Gun groupe dont tous les ´el´ements sont d’ordre 2.
1. Montrer que g=g−1pour tout ´el´ement g∈G.
2. Montrer que Gest ab´elien.
Exercice 10 Soit Gun groupe, et xun ´el´ement de G. Montrer que ZG(x) := {y∈G|yx =xy}est un
sous-groupe de G(le centralisateur de x.)
Exercice 11 (Produit direct) Soient Het Kdeux groupes.
1. V´erifier que l’ensemble H×K={(h, k)|h∈H, k ∈K}est un groupe pour la loi produit
(h1, k1)(h2, k2) := (h1h2, k1k2) (on appelle H×Kle produit direct de Het K).
2. On suppose que Het Ksont des sous-groupes d’un groupe Gd’´el´ement neutre e. On consid`ere
l’application
f:H×K−→ G
(h, k)7−→ hk.
Montrer que fest un isomorphisme de groupes si et seulement si G=HK,H∩K={e}, et pour
tous h∈Het k∈Kon a hk =kh.
3. On suppose que Het Ksont des groupes finis. Montrer que l’ordre d’un ´el´ement (h, k)∈H×K
est le plus petit commun multiple des ordres de het k.
Groupe sym´etrique :
Exercice 12 Montrer par r´ecurrence qu’on peut ´ecrire toute permutation σ∈Sndistincte de l’identit´e
comme produit d’au plus (n−1) transpositions.
Exercice 13 (G´en´erateurs de Sn)
1. Soit σ∈Snet c= (i1, . . . , ik) un k-cycle de Sn. Montrer que σcσ−1= (σ(i1), . . . , σ(ik)).
2. En d´eduire que : les transpositions de la forme (1, i), 2 ≤i≤n, engendrent Sn; la transposition
(1,2) et le n-cycle (1,2, . . . , n) engendrent Sn.
3. On suppose que n > 2. D´eterminer le centre C(Sn) = {σ∈Sn| ∀τ∈Sn, στ =τσ}. (On montrera
d’abord que pour tout groupe G,C(G) est un sous-groupe de G).
Exercice 14 (Formule de Cauchy) Pour toute permutation σ∈Snon pose
ε(σ) = Y
1≤i<j≤n
σ(j)−σ(i)
j−i.
1. Montrer que si σest une transposition, alors ε(σ) = −1.
2. Montrer que pour toutes transpositions σ,τ∈Snon a ε(στ) = ε(σ)ε(τ).
3. En d´eduire que ε= sg : Sn→ {±1}.
2

Exercice 15 D´eterminer la d´ecomposition canonique et l’ordre de la permutation :
σ=12 3 45678910
5110762934 8∈S10.
En utilisant l’exercice 14 calculer la signature de σde deux mani`eres diff´erentes.
Exercice 16 Soit n > 2. On d´efinit le groupe altern´e Ancomme le noyau de l’homomorphisme de
signature sg : Sn→ {±1}.
1. Montrer que tout 3-cycle σ∈Snappartient `a An.
2. Montrer que le produit de deux transpositions distinctes peut toujours s’´ecrire soit comme un
3-cycle, soit comme un produit de deux 3-cycles.
3. En d´eduire que Anest engendr´e par les 3-cycles.
Autour des groupes cycliques :
Exercice 17 Soit Gun groupe, el’´el´ement neutre de G, et x∈Gun ´el´ement d’ordre fini r.
1. Montrer que pour tout m∈Zon a xm=esi, et seulement si, rdivise m.
2. Montrer que pour tout n∈Zl’ordre de l’´el´ement xnest ´egal `a r/d, o`u d= pgcd(r, n). (On pourra
commencer par montrer que l’ordre de xndivise r/d.)
Exercice 18 Soit Gun groupe cyclique, c’est-`a dire monog`ene et d’ordre fini.
1. Montrer qu’il existe un ´el´ement x∈Gtel que G={xk|0≤k≤ |G| − 1}.
2. Donner un exemple de sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des nombres complexes (C∗,×).
Montrer que tous les groupes cycliques de mˆeme ordre sont isomorphes.
3. En utilisant l’exercice 17, montrer qu’un groupe cyclique d’ordre naϕ(n) g´en´erateurs distincts, o`u
ϕ(n) = |{k∈N|1≤k≤n, pgcd(k, n)=1}| est la fonction d’Euler.
4. En utilisant l’exercice 11, montrer que si Het Ksont des groupes cycliques d’ordre met nrespec-
tivement, alors H×Kest cyclique si et seulement si pgcd(m, n) = 1.
Exercice 19 (Les sous-groupes de Zet Z/nZ)
1. On note Zle groupe additif des entiers relatifs (Z,+). Montrer que si Hest un sous-groupe de Z
alors il existe n∈Ntel que H=nZ, et que nZ< mZsi, et seulement si, mdivise n.
2. On rappelle que Z/nZest le groupe additif des classes r´esiduelles d’entiers relatifs modulo n.
Montrer que l’application
πn:Z−→ Z/nZ
a7−→ ¯a
est un homomorphisme de groupes. En d´eduire que :
(a) πn´etablit une bijection entre les sous-groupes de Zcontenant nZet les sous-groupes de Z/nZ.
(b) pour tout diviseur mde n, il existe un sous-groupe de Z/nZd’ordre ´egal `a m; le d´eterminer.
(c) les sous-groupes de Z/nZsont des groupes cycliques.
3. Soit ppremier et r∈N∗. Montrer que les sous-groupes de Z/prZsont emboit´es pour l’inclusion,
puis que Z/prZa exactement pr−pr−1´el´ements g´en´erateurs.
3

4. Soit nun entier, et n=pα1
1. . . pαk
ksa factorisation en puissances de nombres premiers distincts.
Montrer que l’application
f:Z/nZ−→ (Z/pα1
1Z)×. . . ×(Z/pαk
kZ)
amod(n)7−→ (amod(pα1
1), . . . , a mod(pαk
k))
est un isomorphisme de groupes (le produit direct `a droite est d´efini dans l’exercice 11). En d´eduire
la formule ϕ(n) = nQk
i=1(1 −1/pi). (NB: donc si m∧n= 1, alors ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn).)
Exercice 20 D´eterminer tous les morphismes du groupe (Z/nZ,+) dans le groupe (C∗,×).
Exercice 21 (Une caract´erisation des groupes cycliques.) On a vu que les sous-groupes d’un groupe
cyclique sont en bijection avec les diviseurs positifs de son ordre (cf. exercice 19). Soit Gest un groupe
fini d’ordre n, tel que pour tout diviseur positif dde nil existe au plus un sous-groupe Hdde Gd’ordre
d. On va montrer que Gest cyclique.
1. Pour tout diviseur positif dde non pose Gd={g∈G|ordre(g) = d}. Montrer que les ensembles
Gdnon vides forment une partition de G, et que si Gdest non vide, alors tout ´el´ement de Gd
engendre Hd. Dans ce cas, quel est le cardinal de Gd?
2. Soit ϕ:N∗→Nla fonction d’Euler, et n∈N∗. V´erifier l’identit´e Pd|nϕ(d) = P(n/d)|nϕ(n/d). En
utilisant la d´efinition de ϕ, en d´eduire la formule d’Euler :Pd|nϕ(d) = n. Conclure.
Exercice 22 (Les groupes (Z/nZ)×)On rappelle que (Z/nZ)×est le groupe multiplicatif form´e par les
´el´ements de Z/nZqui sont inversibles pour la multiplication.
1. En utilisant B´ezout, montrer que |(Z/nZ)×|=ϕ(n) (la fonction d’Euler).
2. Soit x∈(Z/nZ)×un ´el´ement d’ordre r. D´eterminer un isomorphisme de (Z/rZ,+) sur le sous-
groupe hxide (Z/nZ)×engendr´e par x.
3. Montrer que si nest un entier, et n=pα1
1. . . pαk
ksa factorisation en puissances de nombres premiers
distincts, alors l’application suivante est un isomorphisme de groupes :
f: (Z/nZ)×−→ (Z/pα1
1Z)××. . . ×(Z/pαk
kZ)×
amod(n)7−→ (amod(pα1
1), . . . , a mod(pαk
k)).
4. D´eterminer un isomorphisme de groupes ((Z/nZ)×,×)∼
=(Aut(Z/nZ),◦).
5. Soit pun nombre premier impair. On rappelle que pour tout 1 ≤i≤p−1, pdivise Ci
p. En
raisonnant par r´ecurrence sur l’entier k, ´etablir la formule
(1 + p)pk= 1 + pk+1 mod(pk+2).
En d´eduire l’ordre de la classe r´esiduelle xde 1 + pdans le groupe (Z/pkZ)×(k≥2).
6. D´eterminer le noyau du morphisme naturel (Z/pkZ)×→(Z/pZ)×.
7. En d´eduire que (Z/pkZ)×poss`ede un ´el´ement ydont l’ordre dest divisible par p−1. Montrer que
d=p−1.
8. Calculer l’ordre de xy dans (Z/pkZ)×. Montrer que (Z/pkZ)×est un groupe cyclique.
9. En raisonnant par r´ecurrence sur l’entier k´etablir la formule (1 + 4)2k= 1 + 2k+2 mod(2k+3). En
d´eduire l’ordre de 5 dans (Z/2kZ)×, puis montrer que les ´el´ements de (Z/2kZ)×sont repr´esent´es
dans Zpar ±5α, 0 ≤α < 2k−2. (On pourra montrer qu’il n’existe pas d’entiers 0≤α, β < 2k−2
distincts tels que 5α≡ −5βmod(2k).)
10. En d´eduire que pour k≥3, (Z/2kZ)×∼
=(Z/2k−2Z)××Z/2Z.
11. D´eterminer les entiers npour lesquels (Z/nZ)×est cyclique.
4

Actions de groupes, Sylow, et th´eor`emes d’isomorphisme :
Exercice 23 Montrer que :
1. l’ordre de tout ´el´ement d’un groupe d’ordre fini divise l’ordre du groupe.
2. tout groupe d’ordre premier est cyclique.
Exercice 24 Parmi les applications ψd´efinies ci-dessous, d´eterminer celles qui d´efinissent une action `a
gauche de Gsur E, et dans ce cas pr´eciser ses orbites et l’ensemble quotient :
1. G=nZ,E=Z,ψ: (nk, a)7→ a+nk.
2. G=pZ×qZ,E=Z×Z,ψ: ((pk, ql),(a, b)) 7→ (a+pk, b +ql).
3. G=Z,E=R,ψ: (n, x)7→ x+n(utiliser l’homomorphisme exp(2πi ·):(R,+) →(C∗,×)pour
identifier l’ensemble quotient).
4. G= a b
0 1 , a ∈C∗, b ∈C,E=C,ψ: a b 0 1 , z7→ az2+b.
5. G=GLn(C), E=Mn(C), ψ: (P, A)7→ P A; montrer que l’orbite de A∈Mn(C) est form´ee par
les matrices de Mn(C) dont le noyau est ´egal `a ker(A). Mˆeme question avec ψ: (P, A)7→ AP ,
ψ: (P, A)7→ AP −1, et ψ: (P, A)7→ P AP −1.
6. G=Sn,E=Sn,ψ: (µ, σ)7→ µσµ−1. (On montrera que l’ensemble quotient est en bijection avec
l’ensemble des partitions de n, ie. l’ensemble des suites d´ecroissantes d’entiers positifs non nuls λ1,
...,λktels que λ1+. . . +λk=n.)
Exercice 25 On dit que deux ensembles E,E0munis chacun d’une action `a gauche d’un groupe Gsont
isomorphes si il existe une bijection f:E→E0telle que f(g·x) = g·f(x).
Soit Eun ensemble muni d’une action `a gauche transitive d’un groupe G, ie. telle que pour tous x,
y∈Eil existe g∈Gtel que g·x=y. Montrer que pour tout p∈E,Eest isomorphe `a G/StabG(p)
muni de l’action de Gpar translation.
Exercice 26 On note Aut(P1) l’ensemble des fonctions rationnelles d’une variable complexe de la forme
z7→ az+b
cz+d, o`u ad −bc ∈ {−1,+1}.
1. Montrer que Aut(P1) est un groupe.
2. Montrer que l’application
ϕ:SL2(C)−→ Aut(P1)
a b
c d 7−→ (z7→ az+b
cz+d)
est un homomorphisme de groupes. En d´eduire que Aut(P1)∼
=SL2(C)/{±I2}.
Exercice 27 Soit Gun groupe, Hun sous-groupe de G, et G/H l’ensemble des classes `a gauche de G
modulo H. Rappeler la d´efinition de l’action de Gsur G/H par translation `a gauche. D´eterminer le
noyau de l’homomorphisme G→Bij(G/H) qui d´efinit cette action.
Exercice 28 Soit Gun p-groupe. On consid`ere l’action de Gsur Gpar conjugaison :
ψ:G×G−→ G
(g1, g2)7−→ g1g2g−1
1.
Pour tout ´el´ement g∈G, on note Ogl’orbite de gsous l’action ψ.
1. ´ Enoncer la formule des classes pour l’action ψ.
2. Reconnaˆıtre l’ensemble des ´el´ements g∈Gtels que |Og|= 1.
5