Équations différentielles non linéaires

Maths MP Exercices
Équations différentielles non linéaires
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1 Résolutions explicites (bestiaire)
Commençons par un exercice «tombé à l’écrit» récemment.
Exercice 1 X 1931
Résoudre l’équation :
2y0+π
√tp1−y2= 0.
Exercice 2 Trouver les solutions maximales de l’équation différentielle :
y02= 4y.
Exercice 3 TPE 2009
Trouver les f∈ C1(R)telles que f0+ 2√f= 0.
Exercice 4 Équations à variables séparables
Ce sont celles qui se ramènent à une forme Φ(y)dy = Ψ(t)dt, ou pour les grincheux : y0Φ(y) = Ψ(t).
– À la physicienne : on met un joli signe d’intégration devant les deux membres de Φ(y)dy = Ψ(t)dt,
et on calcule comme un bourrin pour trouver F(y2)−F(y1) = G(t2)−G(t1), avec Fet Gdes
primitives de Φet Ψ.
– À la matheuse : si Fest une primitive de Φ, alors t7→ y0(t)Φ(y(t)) possède pour primitive F◦y.
En intégrant entre t1et t2, ça nous donne F(y(t2)) en fonction de F(y(t1)).
Pour peu que Fsoit bijective (typiquement, si Φest de signe constant...), cela permet de retrouver y(t2).
Attention, cela permet formellement de trouver «des solutions»... mais en fait surtout des «candidats
solution-partielle», sur lesquels il convient de travailler...
Les équations des trois premiers exercices étaient de ce type... On peut les revisiter avec ce point de
vue. En voici trois de plus :
1. Résoudre y0=y(1 + y).
2. Résoudre y0= cosh(x+y).
3. Résoudre xy0=ey−1.
Exercice 5 Équations «homogènes»
Il s’agit des équations se ramenant à la forme Φ(y0, y/x)=0. «On pose alors y=tx» pour se ramener à
une équation à variables séparables. Plus formellement, on fait intervenir une nouvelle fonction t:x7→
y(x)
x·Oui je sais, on a l’habitude de voir «t» plutôt comme variable, mais il faut entraîner son cerveau
à ce type de gymnastique.
1. Vérifier que si Γest le graphe d’une solution d’une équation homogène, alors son image par une
homothétie de centre Oest le graphe d’une autre solution de cette même équation.
2. Résoudre y−xy0=px2+y2.
3. Résoudre : (x+y)y0= 2x−y.
Exercice 6 Équations de Newton
Il s’agit des équations de la forme y00 =f(y), avec fcontinue 1.
1. On pense à deux cas particulier ; y00 =−g, et y00 =−sin(y)
1

1. Montrer que si fest bornée, alors les solutions maximales sont définies sur R.
2. Soit Fune primitive de f, et yvérifiant y00 =f(y). Vérifier que la fonction U:t7→ y02(t)
2−F(yt))
est constante.
Exercice 7 Passage en polaire
1. «En passant en polaire», résoudre le système différentiel :
x0=−y−x(x2+y2)
y0=x−y(x2+y2)
Il s’agit, pour une solution non nulle, donc ne s’annulant pas, d’écrire x(t) = ρ(t) cos (θ(t)) et
y(t) = ρ(t) sin (θ(t)), avec ρet θde classe C1.
2. Représenter les trajectoires.
3. Résoudre le système linéarisé en 0x0=−y
y0=x.
4. Comparer. Conclure !
Exercice 8 Équation de Verhulst
Soient K, yM>0. Résoudre
y0=Ky 1−y
yM·
La fonction yreprésente ici une population dont le modèle de croissance est initialement linéaire, mais
avec un terme correctif poussant vers une population maximale yM.
Exercice 9 Mines 2011
Soient (a, b)∈R∗
+. Déterminer les solutions maximales de y0=ay −by2.
Exercice 10 Mines 2011
Soit (x0, y0)∈R∗×R. Résoudre le problème de Cauchy (xy0−y+y
x3
= 0
y(x0) = x0
Exercice 11 Soit A∈GLn(C). La solution maximale au problème de Cauchy M0(t) = M(t)2
M(0) = Aest-elle
définie sur R?
2 Études qualitatives
Exercice 12 On s’intéresse ici à l’équation
y0= sin y. (E)
1. Montrer que les solutions maximales sont définies sur R.
2. Que dire si ysolution de (E)vérifie y(0) ∈πZ?
3. On suppose maintenant : y(0) ∈]0, π[. Décrire le comportement de y.
4. Décrire l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 13 Le pendule non amorti
On s’intéresse ici aux solutions de l’équation
θ00 =−ksin(θ),
avec k > 0. Il s’agit d’une équation de Newton (voir l’exercice 6), ce qui nous amène à considérer
énergiquement la fonction U=θ02
2−kcos θ.
On suppose que (I, θ)est une solution maximale, avec θ(0) = 0 et θ0(0) >0.
2

1. Que dire si θ0(0) = 0 ?
On suppose désormais : θ0(0) >0.
2. Montrer que I=R.
3. Vérifier que Uest constante.
4. On suppose ici : U > k. Montrer que θest strictement croissante, tend vers +∞en +∞, et qu’il
existe T, K > 0tels que pour tout t∈R,θ(t+T) = θ(t) + K.
5. Montrer que si U=k, alors θest strictement croissante et tend vers +πen +∞.
6. On suppose enfin : U < k (donc −k < U < k). Montrer que θest périodique, et montrer que si on
note θMla valeur maximale de θ, alors la période Tde θest de la forme T=KZθM
0
dθ
√cos θ−cos θM
,
avec Kà préciser.
Exercice 14 Le pendule amorti
Cette fois, le pendule subit une force de frottement proportionnelle à sa vitesse :
θ00 =−k1sin(θ)−k2θ0,
avec k1, k2>0. Cette fois encore, on va s’intéresser à l’énergie U=θ2
2+ cos θ.
1. Vérifier que si yest solution de (E), alors Uest décroissante.
2. En déduire que les solutions maximales de (E)sont définies sur un intervalle qui n’est pas majoré.
3. Montrer que toute solution maximale tend vers un réel de la forme 2kπ en +∞.
Inutile de me dire que c’est physiquement évident : je l’avais noté !
Exercice 15 On s’intéresse à la solution maximale du problème de Cauchy
y0=y2+x
y(x0) = y0
Nous noterons ϕcette solution, définie sur l’intervalle I.
1. Montrer que ϕn’est pas définie sur R+
2. On suppose y2
0+x0<0. Montrer que ϕest définie sur ]− ∞, x0], et décrire le graphe de ϕ.
3. On suppose enfin : y2
0+x0>0. Montrer qu’on est dans une des situations suivantes :
– il existe x1< x0tel que ϕ(x1)2+x1= 0, et ϕest alors définie sur ]− ∞, x0];
– pour tout x∈I∩]− ∞, x0],ϕ(x)2+x > 0, et alors Iest de la forme ]a, b[, avec aet bdans R.
Dans les deux cas, décrire les courbes intégrales.
Exercice 16 On considère l’équation différentielle
y0=xsin y+y
x.(E)
On fixe x0, y0>0, et on note (I, ϕ)l’unique solution maximale de (E)telle que ϕ(x0) = y0.
1. Déterminer I.
2. Montrer que la fonction ϕne s’annule pas.
3. Étudier la limite de ϕen la borne inférieure de I.
Exercice 17 TPE 2009
Soit (E)l’équation x0(t) = sin (tx(t)).
1. Soit xune solution de (E)qui s’annule en un point. Que peut-on dire de x?
2. Montrer que toute solution maximale de (E)est paire et définie sur R.
Exercice 18 Mines 2010
On considère une solution yde l’équation différentielle y0=y2−y6définie sur [0,+∞[.
3

1. Montrer que, si y(0) >1, alors y(t)>1pour tout t>0. De même, montrer que si y(0) ∈]0,1[ alors
y(t)∈]0,1[ pour tout t>0.
2. Dans les deux cas, montrer que ytend vers 1en +∞.
Exercice 19 Centrale 2010
On considère l’équation différentielle (E):y0=x3−y3.
1. Tracer quelques graphes de solutions de (E)à l’aide de maple.
Figure 1 – C’est cadeau
2. Montrer que l’intervalle de définition d’une solution maximale de (E)n’est jamais majoré.
Exercice 20 Mines 2011
Soit (I, ϕ)une [NDLR : ...] solution maximale de y0= 1 −x2−y2, avec y(0) = 0.
1. Montrer que Iest symétrique par rapport à 0et que ϕest impaire.
2. On suppose par l’absurde ϕnon borné. Que dire de la limite de ϕ0au voisinage de +∞? Que dire
alors de la limite de ϕ(x)
xen +∞?
3. En déduire un équivalent de ϕ0
ϕ2en +∞, et en déduire que Iest borné.
Exercice 21 Centrale 2011
Soit (E)l’équation y0=1
t+y2·
1. Montrer que Ω = {(t, y)∈R2;t+y2>0}est un ouvert de R2. Montrer que f:t7→ 1
t+y2est de
classe C1sur Ω.
2. Montrer qu’il existe une solution maximale (I, ϕ)de (E)telle que ϕ(1) = 1.
3. Montrer que R∗
+⊂I.
4. Trouver un équivalent de ϕau voisinage de+∞.
5. Montrer que ϕadmet une limite finie aen 0+.
6. On suppose que a= 0. Montrer : ϕ(t)6(3t)1/3.
7. En déduire que a6= 0, puis : 0∈I.
Exercice 22 Centrale 2011
1. Énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz. [NDLR : lequel ?]
2. Soit fune fonction de classe C1et bornée de R2dans R. Montrer que toute solution maximale de
y0=f(t, y(t)) est définie sur R.
3. Montrer que le solutions maximales de y0= cos2yont une limite finie en +∞et en −∞. Calculer
ces solutions.
Exercice 23 Mines 2010
Soit f∈ C1(R2,R)bornée. Montrer que les solutions maximales de y0=f(x, y)sont définies sur R.
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3 Des indications
On consultera avec profit et émerveillement la feuille maple jointe.
– Exercice 1 : Les solutions recherchées sont nécessairement de la forme y(t) = sin (ϕ(t))... Cela
dit attention : une fois le bac derrière soi, nous n’avons plus √x2=x, bien entendu 2... Bref, les
solutions maximales sont définies sur des intervalles fermés (et oui !) de longueur majorée par π.
– Exercice 2 : Une résolution formelle nous fournit des solutions de la forme t7→ (t−t0)2. Attention
tout de même : Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas où ys’annule. On trouvera comme solutions
maximales des recollages de branches nulles et de paraboles : elles sont toutes définies sur R.
– Exercice 3 : Très proche du précédent... mais attention à la synthèse ! Il n’y a que la branche gauche
(décroissante). Les solutions maximales restent définies sur R.
– Exercice 4 : Voir la feuille maple jointe. Pour la deuxième, «considérer z=y+x», sachant que
Zdx
1 + cosh x= tanh x 2·
– Exercice 5 : Voir la feuille maple jointe.
– Exercice 6 : Techniques vues en cours : si la borne supérieure βde l’intervalle de définition est finie,
alors f0puis fsont lipschitziennes au voisinage de β, puis possèdent une valeur d’adhérence, puis
une limite... et on peut alors prolonger notre solution maximale en une solution plus maximale !
– Exercice 7 : On trouve ρ0=−ρ3et θ0= 1, ce qui donne une paramétrisation polaire simple des
portraits de phase, qui sont très différents de ceux du linéarisé (à savoir : des cercles).
– Exercice 8 : Si ys’annule ou prend la valeur yM, alors yest constante (unicité dans Cauchy-
Lipschitz). Les solutions non constantes peuvent alors se trouver en résolvant y0
y(1 −y/yM)=K,
et le reste est à lire dans la feuille jointe.
– Exercice 9 : Voir l’exercice précédent ! Voir la feuille maple jointe.
– Exercice 11 : Un travail formel fournit un candidat admissible, qui est admis après l’oral : M(t) =
(A+tIn)−1. Il est alors suffisant que Ane possède pas de valeur propre réelle. Mais c’est aussi
nécessaire.
– Exercice 12 : Si I=]a, b[avec b∈R, alors yest lipschitzienne donc bornée au voisinage de b,
donc possède une valeur d’adhérence, etc... L’unicité dans Cauchy-Lipschitz impose à une solution
passant par kπ d’être constante. Si y(0) ∈]0, π[, alors yva vivre dans ]0, π[,puis y être croissante,
puis tendre respectivement vers πet 0en +∞et −∞. L’imparité et la 2π-périodicité du sinus
donnent les autres courbes intégrales.
– Exercice 17 : L’application y:t7→ x(−t)vérifie (E)avec la même condition en 0, donc est égale
àx... Supposons xdéfinie seulement sur [0, T [avec t < +∞. Comme xest lipschitzienne, elle
est bornée, donc on peut trouver une suite tntelle que x(tn)−→
n→+∞L, puis x(t)−→
t→TL, donc xest
prolongeable... etc... Maple laisse penser que les solutions tendent vers 0en +∞.
– Exercice 18 : Exercice posé de façon étrange. À mon avis, le but était de montrer que les solutions
maximales étaient définies sur un intervalle non majoré ! Ici, la seule chose à voir est l’unicité de
Cauchy-Lipschitz...
– Exercice 19 : Tout d’abord, on arrive dans la zone y < x, qu’on ne quittera plus, donc yest ultime-
ment croissante. Si la solution ne vit pas jusqu’en +∞, alors y(x)−→
x→b+∞. On a alors y0(x)−→ x→b−∞,
et c’est absurde.
– Exercice 23 : Si XM= sup I < +∞alors yest bornée au voisinage de XMdonc possède une valeur
d’adhérence : y(xn)−→
n→+∞YMpuis y(x)−→
x→XM
YM, et on prolonge grâce à C-L local...
2. J’imagine bien les correcteurs levant les yeux au ciel, expliquant que les candidats sont de plus en plus nuls :-)
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