Équations différentielles non linéaires

Maths MP
Exercices
Équations différentielles non linéaires
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1
Résolutions explicites (bestiaire)
Commençons par un exercice «tombé à l’écrit» récemment.
Exercice 1 X 1931
Résoudre l’équation :
π p
2y 0 + √ 1 − y 2 = 0.
t
Exercice 2 Trouver les solutions maximales de l’équation différentielle :
y 02 = 4y.
Exercice 3 TPE 2009
√
Trouver les f ∈ C 1 (R) telles que f 0 + 2 f = 0.
Exercice 4 Équations à variables séparables
Ce sont celles qui se ramènent à une forme Φ(y)dy = Ψ(t)dt, ou pour les grincheux : y 0 Φ(y) = Ψ(t).
– À la physicienne : on met un joli signe d’intégration devant les deux membres de Φ(y)dy = Ψ(t)dt,
et on calcule comme un bourrin pour trouver F (y2 ) − F (y1 ) = G(t2 ) − G(t1 ), avec F et G des
primitives de Φ et Ψ.
– À la matheuse : si F est une primitive de Φ, alors t 7→ y 0 (t)Φ(y(t)) possède pour primitive F ◦ y.
En intégrant entre t1 et t2 , ça nous donne F (y(t2 )) en fonction de F (y(t1 )).
Pour peu que F soit bijective (typiquement, si Φ est de signe constant...), cela permet de retrouver y(t2 ).
Attention, cela permet formellement de trouver «des solutions»... mais en fait surtout des «candidats
solution-partielle», sur lesquels il convient de travailler...
Les équations des trois premiers exercices étaient de ce type... On peut les revisiter avec ce point de
vue. En voici trois de plus :
1. Résoudre y 0 = y(1 + y).
2. Résoudre y 0 = cosh(x + y).
3. Résoudre xy 0 = ey − 1.
Exercice 5 Équations «homogènes»
Il s’agit des équations se ramenant à la forme Φ(y 0 , y/x) = 0. «On pose alors y = tx» pour se ramener à
une équation à variables séparables. Plus formellement, on fait intervenir une nouvelle fonction t : x 7→
y(x)
· Oui je sais, on a l’habitude de voir «t» plutôt comme variable, mais il faut entraîner son cerveau
x
à ce type de gymnastique.
1. Vérifier que si Γ est le graphe d’une solution d’une équation homogène, alors son image par une
homothétie de centre O est le graphe d’une autre solution de cette même équation.
p
2. Résoudre y − xy 0 = x2 + y 2 .
3. Résoudre : (x + y)y 0 = 2x − y.
Exercice 6 Équations de Newton
Il s’agit des équations de la forme y 00 = f (y), avec f continue 1 .
1. On pense à deux cas particulier ; y 00 = −g, et y 00 = − sin(y)
1
1. Montrer que si f est bornée, alors les solutions maximales sont définies sur R.
2. Soit F une primitive de f , et y vérifiant y 00 = f (y). Vérifier que la fonction U : t 7→
est constante.
y 02 (t)
− F (yt))
2
Exercice 7 Passage en polaire
1. «En passant en polaire», résoudre le système différentiel :
0
x = −y − x(x2 + y 2 )
y 0 = x − y(x2 + y 2 )
Il s’agit, pour une solution non nulle, donc ne s’annulant pas, d’écrire x(t) = ρ(t) cos (θ(t)) et
y(t) = ρ(t) sin (θ(t)), avec ρ et θ de classe C 1 .
2. Représenter les trajectoires.
0
x = −y
3. Résoudre le système linéarisé en 0
.
y0 = x
4. Comparer. Conclure !
Exercice 8 Équation de Verhulst
Soient K, yM > 0. Résoudre
y
y = Ky 1 −
yM
0
·
La fonction y représente ici une population dont le modèle de croissance est initialement linéaire, mais
avec un terme correctif poussant vers une population maximale yM .
Exercice 9 Mines 2011
Soient (a, b) ∈ R∗+ . Déterminer les solutions maximales de y 0 = ay − by 2 .
Exercice 10 Mines 2011
(
Soit (x0 , y0 ) ∈ R∗ × R. Résoudre le problème de Cauchy
xy 0 − y +
y 3
y(x0 ) = x0
x
=0
Exercice 11 Soit A ∈ GLn (C). La solution maximale au problème de Cauchy
M 0 (t) = M (t)2
est-elle
M (0) = A
définie sur R ?
2
Études qualitatives
Exercice 12 On s’intéresse ici à l’équation
y 0 = sin y.
1.
2.
3.
4.
(E)
Montrer que les solutions maximales sont définies sur R.
Que dire si y solution de (E) vérifie y(0) ∈ πZ ?
On suppose maintenant : y(0) ∈]0, π[. Décrire le comportement de y.
Décrire l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 13 Le pendule non amorti
On s’intéresse ici aux solutions de l’équation
θ00 = −k sin(θ),
avec k > 0. Il s’agit d’une équation de Newton (voir l’exercice 6), ce qui nous amène à considérer
θ02
énergiquement la fonction U =
− k cos θ.
2
On suppose que (I, θ) est une solution maximale, avec θ(0) = 0 et θ0 (0) > 0.
2
1. Que dire si θ0 (0) = 0 ?
On suppose désormais : θ0 (0) > 0.
2. Montrer que I = R.
3. Vérifier que U est constante.
4. On suppose ici : U > k. Montrer que θ est strictement croissante, tend vers +∞ en +∞, et qu’il
existe T, K > 0 tels que pour tout t ∈ R, θ(t + T ) = θ(t) + K.
5. Montrer que si U = k, alors θ est strictement croissante et tend vers +π en +∞.
6. On suppose enfin : U < k (donc −k < U < k). Montrer que θ est périodique, et montrer que si on
Z θM
dθ
√
note θM la valeur maximale de θ, alors la période T de θ est de la forme T = K
,
cos θ − cos θM
0
avec K à préciser.
Exercice 14 Le pendule amorti
Cette fois, le pendule subit une force de frottement proportionnelle à sa vitesse :
θ00 = −k1 sin(θ) − k2 θ0 ,
avec k1 , k2 > 0. Cette fois encore, on va s’intéresser à l’énergie U =
θ2
+ cos θ.
2
1. Vérifier que si y est solution de (E), alors U est décroissante.
2. En déduire que les solutions maximales de (E) sont définies sur un intervalle qui n’est pas majoré.
3. Montrer que toute solution maximale tend vers un réel de la forme 2kπ en +∞.
Inutile de me dire que c’est physiquement évident : je l’avais noté !
Exercice 15 On s’intéresse à la solution maximale du problème de Cauchy
0
y
= y2 + x
y(x0 ) =
y0
Nous noterons ϕ cette solution, définie sur l’intervalle I.
1. Montrer que ϕ n’est pas définie sur R+
2. On suppose y02 + x0 < 0. Montrer que ϕ est définie sur ] − ∞, x0 ], et décrire le graphe de ϕ.
3. On suppose enfin : y02 + x0 > 0. Montrer qu’on est dans une des situations suivantes :
– il existe x1 < x0 tel que ϕ(x1 )2 + x1 = 0, et ϕ est alors définie sur ] − ∞, x0 ] ;
– pour tout x ∈ I∩] − ∞, x0 ], ϕ(x)2 + x > 0, et alors I est de la forme ]a, b[, avec a et b dans R.
Dans les deux cas, décrire les courbes intégrales.
Exercice 16 On considère l’équation différentielle
y 0 = x sin y +
y
.
x
On fixe x0 , y0 > 0, et on note (I, ϕ) l’unique solution maximale de (E) telle que ϕ(x0 ) = y0 .
1. Déterminer I.
2. Montrer que la fonction ϕ ne s’annule pas.
3. Étudier la limite de ϕ en la borne inférieure de I.
Exercice 17 TPE 2009
Soit (E) l’équation x0 (t) = sin (tx(t)).
1. Soit x une solution de (E) qui s’annule en un point. Que peut-on dire de x ?
2. Montrer que toute solution maximale de (E) est paire et définie sur R.
Exercice 18 Mines 2010
On considère une solution y de l’équation différentielle y 0 = y 2 − y 6 définie sur [0, +∞[.
3
(E)
1. Montrer que, si y(0) > 1, alors y(t) > 1 pour tout t > 0. De même, montrer que si y(0) ∈]0, 1[ alors
y(t) ∈]0, 1[ pour tout t > 0.
2. Dans les deux cas, montrer que y tend vers 1 en +∞.
Exercice 19 Centrale 2010
On considère l’équation différentielle (E) : y 0 = x3 − y 3 .
1. Tracer quelques graphes de solutions de (E) à l’aide de maple.
Figure 1 – C’est cadeau
2. Montrer que l’intervalle de définition d’une solution maximale de (E) n’est jamais majoré.
Exercice 20 Mines 2011
Soit (I, ϕ) une [NDLR : ...] solution maximale de y 0 = 1 − x2 − y 2 , avec y(0) = 0.
1. Montrer que I est symétrique par rapport à 0 et que ϕ est impaire.
2. On suppose par l’absurde ϕ non borné. Que dire de la limite de ϕ0 au voisinage de +∞ ? Que dire
ϕ(x)
alors de la limite de
en +∞ ?
x
ϕ0
3. En déduire un équivalent de 2 en +∞, et en déduire que I est borné.
ϕ
Exercice 21 Centrale 2011
1
Soit (E) l’équation y 0 =
·
t + y2
1. Montrer que Ω = {(t, y) ∈ R2 ; t + y 2 > 0} est un ouvert de R2 . Montrer que f : t 7→
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1
est de
t + y2
classe C 1 sur Ω.
Montrer qu’il existe une solution maximale (I, ϕ) de (E) telle que ϕ(1) = 1.
Montrer que R∗+ ⊂ I.
Trouver un équivalent de ϕ au voisinage de+∞.
Montrer que ϕ admet une limite finie a en 0+ .
On suppose que a = 0. Montrer : ϕ(t) 6 (3t)1/3 .
En déduire que a 6= 0, puis : 0 ∈ I.
Exercice 22 Centrale 2011
1. Énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz. [NDLR : lequel ?]
2. Soit f une fonction de classe C 1 et bornée de R2 dans R. Montrer que toute solution maximale de
y 0 = f (t, y(t)) est définie sur R.
3. Montrer que le solutions maximales de y 0 = cos2 y ont une limite finie en +∞ et en −∞. Calculer
ces solutions.
Exercice 23 Mines 2010
Soit f ∈ C 1 (R2 , R) bornée. Montrer que les solutions maximales de y 0 = f (x, y) sont définies sur R.
4
3
Des indications
On consultera avec profit et émerveillement la feuille maple jointe.
– Exercice 1 : Les solutions recherchées sont nécessairement de√ la forme y(t) = sin (ϕ(t))... Cela
dit attention : une fois le bac derrière soi, nous n’avons plus x2 = x, bien entendu 2 ... Bref, les
solutions maximales sont définies sur des intervalles fermés (et oui !) de longueur majorée par π.
– Exercice 2 : Une résolution formelle nous fournit des solutions de la forme t 7→ (t − t0 )2 . Attention
tout de même : Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas où y s’annule. On trouvera comme solutions
maximales des recollages de branches nulles et de paraboles : elles sont toutes définies sur R.
– Exercice 3 : Très proche du précédent... mais attention à la synthèse ! Il n’y a que la branche gauche
(décroissante). Les solutions maximales restent définies sur R.
– Z
Exercice 4 : Voir la feuille maple jointe. Pour la deuxième, «considérer z = y + x», sachant que
x
dx
= tanh ·
1 + cosh x
2
– Exercice 5 : Voir la feuille maple jointe.
– Exercice 6 : Techniques vues en cours : si la borne supérieure β de l’intervalle de définition est finie,
alors f 0 puis f sont lipschitziennes au voisinage de β, puis possèdent une valeur d’adhérence, puis
une limite... et on peut alors prolonger notre solution maximale en une solution plus maximale !
– Exercice 7 : On trouve ρ0 = −ρ3 et θ0 = 1, ce qui donne une paramétrisation polaire simple des
portraits de phase, qui sont très différents de ceux du linéarisé (à savoir : des cercles).
– Exercice 8 : Si y s’annule ou prend la valeur yM , alors y est constante (unicité dans Cauchyy0
= K,
Lipschitz). Les solutions non constantes peuvent alors se trouver en résolvant
y(1 − y/yM )
et le reste est à lire dans la feuille jointe.
– Exercice 9 : Voir l’exercice précédent ! Voir la feuille maple jointe.
– Exercice 11 : Un travail formel fournit un candidat admissible, qui est admis après l’oral : M (t) =
(A + tIn )−1 . Il est alors suffisant que A ne possède pas de valeur propre réelle. Mais c’est aussi
nécessaire.
– Exercice 12 : Si I =]a, b[ avec b ∈ R, alors y est lipschitzienne donc bornée au voisinage de b,
donc possède une valeur d’adhérence, etc... L’unicité dans Cauchy-Lipschitz impose à une solution
passant par kπ d’être constante. Si y(0) ∈]0, π[, alors y va vivre dans ]0, π[,puis y être croissante,
puis tendre respectivement vers π et 0 en +∞ et −∞. L’imparité et la 2π-périodicité du sinus
donnent les autres courbes intégrales.
– Exercice 17 : L’application y : t 7→ x(−t) vérifie (E) avec la même condition en 0, donc est égale
à x... Supposons x définie seulement sur [0, T [ avec t < +∞. Comme x est lipschitzienne, elle
est bornée, donc on peut trouver une suite tn telle que x(tn ) −→ L, puis x(t) −→ L, donc x est
n→+∞
t→T
prolongeable... etc... Maple laisse penser que les solutions tendent vers 0 en +∞.
– Exercice 18 : Exercice posé de façon étrange. À mon avis, le but était de montrer que les solutions
maximales étaient définies sur un intervalle non majoré ! Ici, la seule chose à voir est l’unicité de
Cauchy-Lipschitz...
– Exercice 19 : Tout d’abord, on arrive dans la zone y < x, qu’on ne quittera plus, donc y est ultimement croissante. Si la solution ne vit pas jusqu’en +∞, alors y(x) −→ +∞. On a alors y 0 (x) −→ −∞,
x→b
x→b
et c’est absurde.
– Exercice 23 : Si XM = sup I < +∞ alors y est bornée au voisinage de XM donc possède une valeur
d’adhérence : y(xn ) −→ YM puis y(x) −→ YM , et on prolonge grâce à C-L local...
n→+∞
x→XM
2. J’imagine bien les correcteurs levant les yeux au ciel, expliquant que les candidats sont de plus en plus nuls :-)
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