GROUPES D`HOMOTOPIE ET TH´EOR`EME DE WHITEHEAD

UFR de Math´ematiques et Informatique de STRASBOURG
M´emoire de premi`ere ann´ee de Magist`ere
Ann´ee 2007/2008
GROUPES D’HOMOTOPIE ET
TH´ EOR` EME DE WHITEHEAD
Pr´esent´e par Camille Clochec
Maˆıtre de m´emoire : Gael Collinet
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TABLE DES MATI` ERES
Contents
1 NOTION D’HOMOTOPIE 4
1.1 Homotopies entre morphismes d’espaces point´es . . . . . . . . . . 4
1.2 Equivalence d’homotopie et type d’homotopie . . . . . . . . . . . 6
1.3 Espaces de lacets et suspensions r´eduites . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Les groupes d’homotopie d’un espace point´e . . . . . . . . . . . . 11
2 GROUPE DE POINCARE, REVETEMENTS, THEOREME
DE VAN KAMPEN ET APPLICATIONS 13
2.1 Groupe de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Revˆetements ............................. 14
2.3 Homomorphisme de revˆetements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Rel`evement des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Revˆetement galoisien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Th´eor`eme de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 CATEGORIES ET FONCTEURS 29
3.1 Axiomes de la th´eorie des cat´egories . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Cat´egories............................... 30
3.3 Foncteurs ............................... 31
3.4 Transformation naturelle, ´equivalence de cat´egories . . . . . . . . 34
4 GROUPES D’HOMOTOPIE ET FIBRATIONS 35
4.1 Groupes d’homotopie et revˆetements . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Fibration ............................... 36
4.3 Groupes d’homotopie relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 THEOREME DE WHITEHEAD 42
5.1 CW-complexes ............................ 42
5.2 Th´eor`eme de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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INTRODUCTION
Pour Bertrand Russel, les math´ematiques se d´efinissent comme ´etant une
science o`u on ne sait ni de quoi on parle, ni si ce qu’on dit est vrai. Bien
que cette assertion fasse g´en´eralement penser en premier lieu `a la th´eorie des
ensembles, la premi`ere part se v´erifiera en partie dans ce m´emoire, o`u l’on sera
amen´e `a parler d’ojets, certe parfaitement d´efinis par la th´eorie, mais le plus
souvent impossibles `a calculer, exprimer ou mˆeme `a se repr´esenter. La version du
th´eor`eme de Whitehead qui sera d´emontr´ee est elle mˆeme d’un int´erˆet pratique
des plus restreints, ´etant donn´e qu’on ne sait pas, en r`egle g´en´erale, calculer les
groupes d’homotopie πn. Ceci n’enl`eve toutefois rien `a la beaut´e de ce th´eor`eme.
Dans un premier temps, nous nous int´eresserons `a la notion d’homotopie, ce
qui nous permettra de d´efinir ensuite le groupe de Poincar´e π1(X) d’un espace
topologique point´e X, puis, `a l’aide des espaces de suspension et de lacets, les
groupes d’homotopie πn(X). On introduira ensuite la notion de revˆetement, afin
de d´emontrer le th´eor`eme de Van Kampen.
Dans la troisi`eme partie, on donnera quelques notions sur les cat´egories et
les foncteurs, afin de mieux comprendre les relations entre espaces topologiques
qu’on a introduites avec πn. On op`erera ensuite un retour sur les groupes
d’homotopie pour introduire fibrations et groupes d’homotopie relatifs, ce qui
nous permettra d’´etablir le fait que la suite d’homotopie d’une paire d’espaces
topologiques est exacte. Enfin, dans la derni`ere partie, on ´etudiera les CW-
complexes, sur lesquels s’applique le th´eor`eme de Whitehead, avant de d´emontrer
le th´eor`eme proprement dit.
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1 NOTION D’HOMOTOPIE
1.1 Homotopies entre morphismes d’espaces point´es
Nous travaillons dans des espaces topologiques point´es, c’est `a dire des couples
(X , x0) dans lesquels Xest un espace topologique et x0est un point fix´e de X,
appel´e point base.
Un morphisme d’espaces point´es f: (X , x0)−→ (Y , y0) est une ap-
plication continue f:X−→ Ytelle que l’on ait f(x0) = y0. On notera
MorT op∗((X , x0),(Y , y0)) (ou encore Hom((X, x0),(Y, y0)) l’ensemble des mor-
phismes d’espaces point´es de (X , x0) dans (Y , y0).
On prendra par la suite les notations suivantes : un espace topologique sera
not´e en italique, et un espace topologique point´e sera not´e en lettres droites.
Remarque : Cette notation semble sugg´erer qu’un espace topologique
point´e ne d´epend pas du choix du point base, bien que ce ne soit pas le cas. Par
la suite, le point base ne sera explicit´e que si le besoin s’en fait sentir.
D´efinition 1.1. Soient X et Y deux espaces topologiques point´es. On dit
que deux morphismes f0et f1de MorT op∗(X,Y) sont homotopes s’il existe une
application continue H: X ×[0,1] −→ Y telle que :
∀xX H(x, 0) = f0(x)
∀xX H(x, 1) = f1(x).
∀t[0,1] H(x0, t) = y0
Dans ce cas, on ´ecrit f0∼f1, et Hest appel´ee homotopie entre f0et f1.
Exemple : Notons S1l’espace point´e ({zC/ |z|= 1},1) et Y l’espace
point´e ({zC/0<|z|<1}). Les deux morphismes d’espaces point´es f0et f1
d´efinis par :
f0:z7−→ z
f1:z7−→ 2
3z+1 3
sont homotopes.
Il suffit en effet de consid´erer l’application H:(X×[0,1] −→ Y
(z, t)7−→ tf0(z) + (1 −t)f1(z)
qui v´erifie de mani`ere imm´ediate les conditions de la d´efinition 1.1.
Lemme 1.2. Soient Xet Ydeux espaces topologiques point´es. La relation
d’homotopies est une relation d’´equivalence sur MorT op∗(X,Y)
D´emonstration : cette relation est bien :
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•r´eflexive : soit fappartenant MorT op∗(X,Y). Il suffit de consid´erer
l’application (H:X×[0,1] −→ Y
(x, t)7−→ f(x);
•sym´etrique : soient f1et f2dans MorT op∗(X,Y), et Hd´efinissant l’homotopie
entre f1et f2. Alors
H0:(X×[0,1] −→ X
(x, t)7−→ H(x, 1−t)
est bien une homotopie entre f1et f2;
•transitive : soient f0,f1,f2dans MorT op∗(X,Y), telles que f0∼f1et f1∼
f2. Notons H1une homotopie entre f0et f1et H2une homotopie entre f1
et f2. Consid´erons l’application H:
X×[0,1] −→ Y
(x, t)7−→ (H1(x, 2t)si t[0,1
2]
H2(x, 2t−1) si t[1
2,1]
.
Alors Hest bien continue, telle que
∀xX H(x, 0) = H1(x, 0) = f0(x)
∀xX H(x, 1) = H2(x, 1) = f2(x)
∀t[0,1] H(x0, t) = (H1(x0,2t) = f0(x0) = y0si t[0,1
2]
H2(x0,2t−1) = f2(x0) = y0si t[1
2,1]
.
D’o`u f0∼f2.
Ceci nous permet d’introduire la d´efinition suivante :
D´efinition 1.3. Le quotient MorT op∗(X,Y)/∼est not´e [X,Y] et est appel´e
l’ensemble des classes d’homotopie point´ees de Xdans Y. La classe d’´equivalence
d’un morphisme fde MorT op∗(X,Y) est not´ee [f].
Proposition 1.4. Soient X,Yet Ztrois espaces point´es. La composition
MorT op∗(X,Y)×MorT op∗(Y,Z)−→ MorT op∗(X,Z)
(f, g)7−→ g◦f
passe au quotient pour la relation d’´equivalence d’homotopie et fournit une
application
[X,Y]×[Y,Z]−→ [X,Z]
([f],[g]) 7−→ [g◦f]
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