Notes de cours L2 — 2M360 - IMJ-PRG

Notes de cours
L2 — 2M360 1
Sophie Chemla
18 octobre 2015
1. Ce texte est sous Licence Creative commons CC-BY-NC-SA

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Ce cours reprend en partie des cours de
•Jean Marie Tr´ epreau ([2])
•Sylvie Delabri` ere ([1].
Je remercie Joseph Antonios d’avoir relu une version pr´ eliminaire de ce texte.

Table des mati` eres
1 Logique et raisonnements 5
1.1 Propositions............................... 5
1.2 Quantificateurs ............................. 8
2 Suites num´ eriques 11
2.1 Rappel sur R.............................. 11
2.2 Suites r´ eelles .............................. 12
2.3 Suites ` avaleurscomplexes ....................... 18
3 S´ eries num´ eriques 21
3.1 G´ en´ eralit´ es sur les s´ eries num´ eriques.................. 21
3.2 S´ eries ` atermespositifs ......................... 23
3.3 Retour au cas g´ en´ eral.......................... 27
4 Limites, ´ equivalents et continuit´ e 33
4.1 o,Oet ´ equivalents ........................... 37
4.2 Continuit´ e et uniforme continuit´ e.................... 38
5 Int´ egrale de Riemann 41
5.1 Int´ egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Fonctions int´ egrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Int´ egralesetprimitives ......................... 50
5.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 FormulesdeTaylor ........................... 54
6 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees 57
6.1 G´ en´ eralit´ es ............................... 57
6.2 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . 61
7 Suites et s´ eries de fonctions 65
7.1 Suitesdefonctions ........................... 65
7.2 S´ eriesdefonctions ........................... 69
8 S´ eries trigonom´ etriques 75
8.1 D´ efinitions et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Continuit´ e, d´ erivation et int´ egration de la somme . . . . . . . . . . . 77
8.3 D´ eveloppement en s´ eries trigonom´ etriques............... 79
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1
Logique et raisonnements
Dans ce chapitre, nous pr´ esentons quelques rudiments de logique ` a la base du rai-
sonnement math´ ematique.
1.1 Propositions
D´ efinition 1 On appelle proposition tout ´ enonc´ e (significatif) susceptible d’ˆ etre vrai
ou faux (mais pas les deux ` a la fois).
Exemple 1 La proposition ”3 >2” est vraie.
La proposition ”3 ≤2” est fausse.
Lorsque les valeurs de v´ erit´ e d’une assertion d´ epend des valeurs prises par un pa-
ram` etre x(respectivement plusieurs param` etres x,y,.. .), on note souvent P(x)(respec-
tivement P(x,y,...)) pour le souligner.
Exemple 2 La proposition P(x,y,z): ”x=y+z”est une assertion d´ ependant de x,y,z
et P(1,1,0)est vraie.
D´ efinition 2 Deux assertions Pet Qayant mˆ eme valeurs de v´ erit´ e sont dites ´ equivalentes
et on note P∼Q.
Exemple 3 Les propositions ”x≥0” et ”−x≤0” sont ´ equivalentes.
On peut faire des op´ erations sur les propositions.
D´ efinition 3 La proposition non (P), not´ ee aussi ¬P, est
- vraie lorsque Pest fausse
- fausse lorsque Pest vraie.
Pnon(P)
V F
F V
Exemple 4 La n´ egation de la proposition P”Dans cette classe, tous les enfants savent
lire” est non (P) ”Dans cette classe, il y a au moins un enfant qui ne sait pas lire”.
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