Triangles isométriques

Triangles
A - Triangles isométriques
1- Définition
Deux triangles isométriques ont des côtés correspondants égaux (de même longueur) et des
angles correspondants égaux; ils sont superposables.
Sur la figure les triangles ABC et EFG sont
isométriques, en effet :
AB = EF, BC = FG, CA = GE
BAC= FEG
,
ABC= EFG
,
ACB= EGF
.
Remarque
Savoir que deux triangles sont isométriques implique donc 6 égalités : 3 égalités de longueurs et
3 égalités d'angles.
Pour démontrer que deux triangles sont isométriques il suffit de démontrer 3 égalités bien
choisies parmi les 6. On utilise à cet effet les 3 cas d'égalité des triangles.
2- Les 3 cas d'égalités
1er cas d'égalité
Si deux triangles ont leurs côtés égaux deux à deux, alors ils sont isométriques.
Sur la figure,
AB = EF, BC = FG et CA = GE.
On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que
BAC= FEG
,
ABC= EFG
et
ACB= EGF
.
2ème cas d'égalité
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ils
sont isométriques.
Sur la figure,
AB = EF, AC = EG et
BAC= FEG
.
On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que BC = FG,
ABC= EFG
et
ACB= EGF
.
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3ème cas d'égalité
Si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ils sont
isométriques.
Sur la figure,
BC = FG,
ABC= EFG
et
ACB= EGF
.
On en déduit que les triangles ABC et EFG sont
isométriques, et donc que AB = EF, AC = EG et
BAC= FEG
.
B - Théorème de Thalès
1- Configuration de Thalès
Soit ABC un triangle. Une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en E et (AC) en F.
On obtient l'une des trois figures suivantes :
Le théorème de Thalès nous indique que pour les 3 cas de figure les triangles ABC et AEF ont
des côtés correspondants proportionnels. Ceci nous donne le tableau suivant :
On en déduit le théorème de Thalès :
Soit ABC un triangle.
Si une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en E et (AC) en F, alors
AB
AE=AC AF=BC EF
.
On peut remarquer que :
- les triangles ABC et AEF ont des angles correspondants égaux
- les triangles ABC et AEF ont même forme, chacun d'eux est un agrandissement ou une
réduction de l'autre; AEF est une reproduction de ABC à l'échelle k.
Réciproque du théorème de Thalès
Soit ABC un triangle. On considère un point E sur (AB) et un point F sur (AC) placés de façon
similaire.
Si
AE
AB=AF AC
, alors les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
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C - Triangles semblables
1- Définition
Deux triangles sont semblables (ou ont la même forme) si leurs angles sont égaux deux à
deux.
Exemple 1
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
On a
BAC= EAF
,
AEF= ABC
et
AFE= ACB
.
Les triangles AEF et ABC sont semblables.
Exemple 2
On a les égalités d'angles suivantes :
CBD= CAD
(angles inscrits interceptant le même arc CD)
ACB= ADB
(angles inscrits interceptant le même arc AB)
AEC= BED
= (angles opposés par le sommet)
Les triangles AEC et BED sont donc semblables.
Remarque
Il suffit que deux triangles aient 2 angles égaux deux à deux pour qu'ils soient semblables.
En effet comme la somme des angles d'un triangle est toujours 180°, si deux angles sont
respectivement égaux, il en va de même pour le troisième angle.
2- Propriété fondamentale
Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont
proportionnels.
Les triangles ABC et EFG sont semblables, on a
BAC= FEG
,
ABC= EFG
et
BCA= FGE
.
On en déduit que :
AB
EF=AC EG=BC FG=k
.
Le triangle EFG est une reproduction du triangle ABC à l'échelle k qui
est la valeur commune de ces trois quotients
On obtient les côtés de EFG en multipliant les côtés de ABC par k, le
coefficient de proportionnalité ou rapport de similitude.
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3- Cas de similitude
1) Si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables.
2) Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.
3) Si deux triangles ont un angle égal situé entre deux côtés proportionnels, alors ils sont
semblables.
4- Effet sur les aires
Considérons deux triangles semblables ABC et A'B'C'.
Soit k le rapport de similitude qui permet de passer de ABC à A'B'C'.
Nous venons de voir qu'on obtenait les côtés de A'B'C' en multipliant les côtés de ABC par k.
On obtient l'aire de A'B'C' en multipliant l'aide de ABC par k².
Considérons les hauteurs AH et A'H'. Comme les triangles
ABH et A'B'H' sont semblables et comme le rapport de
similitude faisant passer de ABH à A'B'H' est aussi k, on a
A'H' = k AH.
L'aide de ABC est égale à
BC⋅AH
2
.
L'aire de A'B'C' est quant à elle :
B' C'⋅A' H'
2 =kBC⋅k AH 2 =k2 BC⋅AH 2
.
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