Chapitre 4 : le triangle

Chapitre 4 : le triangle
Activité 2 page 178 avec le triangle ABC tel que BC = 4 cm ;
̂
CBA
= 60° et
̂
BCA
= 100°.
I. Angles dans le triangle
1. Propriété 4.1:
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Avec des lettres : dans un triangle ABC :
ABC
+
BCA
+
CAB
= 180°
Exemples:
Dans un triangle IJK,
KIJ
= 40 ° et
IJK
= 60 °
Déterminer une mesure de l'angle
JKI
.
Rédaction :
La somme des mesures des angles d'un triangle est
égale à 180° donc
IJK
+
JKI
+
KIJ
= 180 °
Or -On écrit la somme des
mesures des angles connues : -
IJK
+
KIJ
= 60 + 40 = 100 °
Donc -on remplace dans l'égalité de départ :-
JKI
+ 100 = 180°
Soit
JKI
= 180 – 100 = 80 °
2. Application à la construction
Construire le triangle ABC tel que
ABC
= 50 ° ;
BCA
= 100° et la longueur AB = 4 cm.
Méthode :
1. Faire un croquis de la figure
2. Coder dessus les mesures connues
3. Déterminer si besoin les mesures manquantes
4. Réaliser la construction
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est
égale à 180°.
Dans le triangle ABC,
ABC
+
BCA
= 50 + 100 = 150°
Donc
CAB
= 180- 150 = 30°.
Programme de construction :
1. Tracer le segment [AB] de 4 cm.
2. Construire un angle de 50° au point B : construire la demi-droite [BC).
3. Construire un angle de 30° au point A : construire la demi-droite [AC).
4. Ces demi-droites sont sécantes en C : placer ce point.
A
B
C
50 °
4 cm
A
B
C

II. Cas particuliers
1. Triangle rectangle : propriétés 4. 2 et 4.3
●Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °.
●Si dans un triangle la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90 °, alors ce triangle est rectangle.
Définition : lorsque la somme des mesures de deux angles vaut 90° on dit qu'ils sont complémentaires.
Exemples : 1 ) Soit ABC un triangle rectangle en A
tel que
ABC
= 30°; Déterminer
BCA
.
D'après la propriété 4.2
ABC
+
BCA
= 90 °
donc 30 +
BCA
= 90
Soit
BCA
= 90 – 30 = 60 °
2) Dans le triangle KLM,
LMK
= 25°
et
MKL
= 65 °. Quelle est la nature du triangle KLM ?
LMK
+
MKL
= 25 + 65 = 90 °
Les angles
LMK
et
MKL
sont donc complémentaires.
Donc d'après la propriété 4.3,
le triangle KLM est rectangle ( en L).
2. Triangle isocèle :
Propriété 4.4: si un triangle est isocèle, alors ces angles
adjacents à la base principale ont la même mesure.
Écriture mathématique :
Soit ABC un triangle isocèle en A.
ABC
=
ACB
Justification :
il y a deux triangles rectangles symétriques
Exemple :
a) Construire le triangle MNP, isocèle en M tel que MP = 3 cm et
MPN
= 70°
On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure , celle de l'angle
PMN
.
Calculs et rédaction:
Si un triangle est isocèle, alors ces angles adjacents à la
base principale ont la même mesure.
donc :
MNP
=
MPN
La somme des mesures des angles d'un triangle est
égale à 180°, donc :
PMN
= 180 – (
MNP
+
MPN
)
= 180 – 2 ×
70
= 180 – 140
PMN
= 40 °
B
C
A
40 °
70 °
3 cm
M
P
N
sommet
principal
base
principale

b) Construire le triangle IJK, isocèle en I, tel que
KIJ
= 30 ° et JK = 2,5 cm.
On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure , celle des angles
IJK
et
JKI
.
Calculs et rédaction :
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale
à 180°, donc :
IJK
+
JKI
+
KIJ
= 180 °
si un triangle est isocèle, alors ces angles adjacents à la
base principale ont la même mesure.
donc :
IJK
=
JKI
Soit 2
IJK
+ 30 = 180
2
IJK
= 180 – 30
2
IJK
= 150
IJK
=
150
2
IJK
= 75 ° et par suite,
JKI
= 75°
Propriété 4.5 : Si un triangle possède deux angles de même mesure, alors
il est isocèle.
3. Triangle rectangle-isocèle
Propriété 4.6:
si un triangle est rectangle-isocèle, alors les angles de sa base principale mesurent 45°.
Idée de la preuve :
90
2
= 45
4. Triangle équilatérale :
Justification : Soit ABC un triangle équilatéral
Comme un triangle isocèle a trois côtés de même longueur, le triangle ABC est donc isocèle en A et par
conséquent
ABC
=
BCA
et comme il est aussi isocèle en B,
BCA
=
CAB
.
On obtient donc la double égalité :
ABC
=
BCA
=
CAB
ABC
+
BCA
+
CAB
= 180° donc 3×
ABC
= 180 par conséquent :
ABC
=
180
3
= 60°
Propriété 4.7: si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure : 60°.

Chapitre 6: triangles, partie 2
I. Inégalité triangulaire
Propriété du triangle : la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres
côtés.
Dans le triangle ABC : AB < AC + CB ; AC < AB + BC et BC < BA + AC
Exemple : dans le triangle RST : RS = 3 cm ; ST = 4 cm donc RT< 3 + 4 soit RT < 7
Remarque : dans le langage courant, on dirait que le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la
ligne droite.
Condition d’existence d'un triangle :
Étant donné trois longueurs AB, BC, CA (la plus grande étant AB) :
Si AB < AC + CB , alors on peut construire un triangle avec ces trois longueurs.
Si AB = AC + CB , alors les trois points sont alignés ( triangle aplati ).
Si AB > AC + CB , alors on ne peut pas construire le triangle ayant pour longueurs AB, AC et CB
Exemples
a) AB = 7 cm AC = 5 cm et BC = 1 cm.
Peut on construire le triangle ABC ?
AB est la plus grande longueur et AC + CB = 6 cm donc AB > AC + CB : on ne peut pas construire le triangle
ABC.
b) : MN = 7 cm NP = 5 cm et MP = 2 cm.
Peut on construire le triangle MNP?
MN est la plus grande longueur et MP + PN = 7 cm donc MN = MP + PN : les points M, N et P sont alignés ( le
point P appartient au segment [MN]).
c) : RS = 7 cm ST = 5 cm et RT = 3 cm.
Peut on construire le triangle RST?
RS est la plus grande longueur et RT + TS = 8 cm donc RS < RT + TS : on peut construction le triangle RST.

II. Droites particulières du triangle
1) La médiatrice
Définition : une droite coupe un segment perpendiculairement en son milieu s'appelle la médiatrice de ce
segment.
On sait que la droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et le coupe en son milieu.
D'après la propriété 2.6,
on peut conclure que (d) est la médiatrice du segment [AB].
Définition : une médiatrice d'un triangle est une médiatrice de l'un de ses côtés ( il y en a trois ).
Propriété 6.1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment
alors il est à égal distance des extrémités du segment.
On sait que M ∈ (d).
D'après la propriété 6.1
on peut conclure que MA = MB.
Propriété 6.2 ( la réciproque ) : Si un point est à égal distance des extrémités d'un segment
alors il appartient à la médiatrice de ce segment .