I-2 Ecriture matricielle d`un système linéaire

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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
‫ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺨﺎﻣﺲ – اﻛﺪال‬
‫ﻛﻠﻴﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻴﺔ واﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ‬
‫واﻻﺟﺘامﻋﻴﺔ‬
‫ااﻟﺮﺑﺎط‬
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S4
Module : M16
(Méthodes Quantitatives IV)
Printemps-été
Salma DASSER
2011-2012
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‫د‬
‫وا‬
Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
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‫اا ! ط‬
http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
:
:
:
S4
M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Algèbre II
Objectif du cours
Approfondir les connaissances des étudiants en algèbre linéaire par l’étude quasi-complète d’un
système linéaire, notamment résolution au sens des MCO et par l’initiation à l’orthogonalité et à
la projection orthogonale, avec une application aux droites et aux plans.
Pré-reqcuis recommandé
Fonction d’une variable
Calcul matriciel
Mode d’évaluation
Contrôle final (2h)
contrôle de rattrapage (1h30)
Déroulement du cours
Cours magistraux (26h)
Travaux dirigés intégrés dans le cours (14h)
Support du cours
Polycopié du cours
Séries d’exercices
Contenu du cours
Chapitre 1 : Résolution d’un système linéaire
I- Généralités
I-1 Définition d’un système linéaire
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire
I-3 Rang d’un système linéaire
II- Résolution d’un système linéaire
II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer
II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer
II- Orthogonalité
II-1 Vecteurs orthogonaux
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux
III- Application aux droites et aux plans
III-1 Droites dans
III-2 Plans et droites dans
IV- Retour aux systèmes linéaires
III- Applicaton aux éléments propres d’une
matrice carrée
IV-1 Images et noyaux orthogonaux
IV-2 Sous espaces propres orthogonaux
III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur
propre associé
III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace
propre associé
Chapitre 3 : Projection orthogonale
I- Projection - Projection orthogonale
Chapitre 2 : Produit scalaire-orthogonalité
I- Produit scalaire et Norme euclidienne
I-1 Définitions
I-2 Matrice d'un produit scalaire
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs
I-1 Définitions
I-2 Détermination de la projection orthogonale
I-1 Caractérisation et propriétés
II- Application aux droites et aux plans
II-1 Projection orthogonale sur une droite du plan
II-2 Projection orthogonale sur un plan
II-3 Projection orthogonale sur une droite de l’espace
III- Retour aux systèmes linéaires
(Solution au sens des MCO)
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Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
:
:
:
S4
M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Algèbre II
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I- Généralités ........................................................................................................................ 2
I-1 Définition d’un système linéaire .............................................................................................................. 2
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire ............................................................................................... 2
I-3 Rang d’un système linéaire ...................................................................................................................... 3
II- Résolution d’un système linéaire ................................................................................... 3
II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer .......................................................................................... 3
Définition d’un système de Cramer ........................................................................................................... 3
Résolution par l’inversion de la matrice du système ................................................................................. 4
Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................ 5
II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer ................................................................................... 6
Résolution d’un système avec second membre ......................................................................................... 7
Cas particulier d’un système homogène .................................................................................................... 9
III- Application aux éléments propres d’une matrice carrée ........................................... 11
III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur propre associé......................................................... 11
III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace propre associé...................................................... 11
Professeure Salma DASSER
Session printempsprintemps-été
1
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
II-- G
Géénnéérraalliittééss
I-1 Définition d’un système linéaire
Définition :
On appelle système linéaire de n équations à m inconnues tout système de la forme :
a11 x1 + L + a1m xm = b1
( S )M
an1 x1 + L + anm xm = bn
Les coefficients aij , bi (1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m) sont des réels donnés.
Le n -uplet (b1 ,L,bn ) est dit second membre du système (S ) .
x1 ,L, xm sont les inconnues du système.
Un m -uplet ( x1 ,L, xm ) de IR m est solution de (S ) si elle vérifie les n équations du système.
Résoudre (S ) c’est décrire l’ensemble de ces solutions.
Le système (S ) est compatible s'il admet au moins une solution, sinon (S ) est dit incompatible.
Le système (S ) est dit homogène si b1 = L = bn = 0 .
Exemple :
 x1 + 2 x2 − 3x3 + x4 = 1
( S )2 x1 + x2 − x3 = 0
− x1 + 2 x2 − 2 x3 − 3x4 = −1
est un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire
a11 x1 + L + a1m xm = b1
Tout système linéaire ( S )M
peut s’écrire sous la forme matricielle A. X = b ,
an1 x1 + L + anm xm = bn
a11 L a1m 
 x1 
 b1 




avec :
A= M M M
,
X = M et b =  M 
x 
b 
an1 L anm 
 m
 n
a11 x1 + L + a1m xm = b1
a11 L a1m   x1   b1 
⇔ M M M . M  =  M 
( S )M
an1 L anm   xm   bn 
an1 x1 + L + anm xm = bn
Définition :
(Matrice d’un système linéaire)
a11 x1 + L + a1m xm = b1
Soit le système linéaire : ( S )M
an1 x1 + L + anm xm = bn
La matrice A = ( aij )1≤i≤n,1≤ j≤m s’appelle la matrice du système (S ) .
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2
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
 x1 + 2 x2 − 3x3 + x4 = 1
( S )2 x1 + x2 − x3 = 0
− x1 + 2 x2 − 2 x3 − 3x4 = −1
Exemple :
 1 2 − 3 1
A =  2 1 − 3 0
− 1 2 − 2 − 3
La matrice du système (S ) est égale à :
 x1 
 1 2 − 3 1  x2   1
 2 1 − 3 0. x  =  0 
−1 2 − 2 − 3  3   −1
 x4 
L’écriture matricielle du système (S ) est alors :
I-3 Rang d’un système linéaire
Définition :
On appelle le rang d’un système linéaire, celui de sa matrice.
 x1 + 2 x2 − 3 x3 + x4 = 1
( S )2 x1 + x2 − x3 = 0
− x1 + 2 x2 − 2 x3 − 3 x4 = −1
Exemple :
 1 2 − 3 1
A =  2 1 − 3 0
− 1 2 − 2 − 3
La matrice du système (S ) est égale à :
rg ( S ) = 3 car
rg ( A) = 3 :
 1 2 − 3
det  2 1 − 3 ≠ 0
 −1 2 − 2
IIII-- RRééssoolluuttiioonn dd’’uunn ssyyssttèèm
mee lliinnééaaiirree
II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer
Définition d’un système de Cramer
Définition :
Un système linéaire est dit de Cramer si le nombre de ses inconnues m est égal au nombre de ces
équations n et est égal à son rang r ( n = m = r ) .
Théorème :
Un système linéaire est de Cramer ssi sa matrice associée est carrée ( n = m ) et inversible ( r = n ) .
Un système linéaire de Cramer admet une unique solution.
L’unique solution d’un système linéaire homogène de Cramer est le vecteur nul.
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3
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
 x1 + 3 x2 + 2 x3 = b1
1 3 2 
( S ) 2 x1 + x2 + 3 x3 = b2 ⇒ A =  2 1 3 
3 x1 + 2 x2 + x3 = b3
3 2 1 
Exemple :
n = m = 3 A est alors une matrice carrée d’ordre 3 .
13 2
det A = 2 1 3 = 18 :
det A ≠ 0 et A est alors une matrice inversible ( r = 3) .
3 2 1
Le système (S ) est alors un système linéaire de Cramer.
Résolution par l’inversion de la matrice du système
On propose de résoudre un système linéaire (S ) de n équations à n inconnues, écrit sous sa
forme matricielle A. X = b .
Etapes de la résolution :
On vérifie si le système (S ) est de Cramer :
• Si det A = 0 alors le système (S ) n’est pas de Cramer.
• Si det A ≠ 0 alors le système (S ) est de Cramer, et on passe à sa résolution.
Un vecteur X est solution du système (S ) ssi A. X = b ssi X = A−1b car A est inversible.
1 t
A−1 =
( C ( A))
• On calcule A−1 :
det A
• X = A−1 .b est alors l’unique solution du système (S ) .
Exemple :
Le système (S ) est donné par :
 x1 + 3x2 + 2 x3 = 6
( S )2 x1 + x2 + 3x3 = 6
3x1 + 2 x2 + x3 = −12
1 3 2 x1   6 
L’écriture matricielle du système (S ) est : 2 1 3  x2 =  6 
 
3 2 1  x3   −12 
1 3 2
 6




A = 2 1 3 et b =  6 


 − 12 
3 2 1 


le système (S ) est de Cramer :
13 2
det A = 2 1 3 = 18 : det A ≠ 0
A est alors une matrice inversible
3 2 1
Le vecteur X est solution du système (S ) ssi A. X = b ssi X = A−1b .
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Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Calcul de A−1 :
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
A−1 =
1 t
( C ( A))
det A
+ 1 3 − 2 3 + 2 1 
 2 1 3 1 3 2  −5 7 1


C ( A) = − 23 21 + 31 21 − 31 23  =  1 − 5 7 ⇒
7 1 − 5
 3 2 1 2 1 3 
+
−
+
 1 3 2 3 2 1 
A−1 =
t
− 5 1 7
(C ( A)) =  7 − 5 1
 1 7 − 5
1 − 5 1 7 − 5 /18 1/18 7 /18
 7 − 5 1 =  7 /18 − 5 /18 1/18
18  1 7 − 5  1/18 7 /18 − 5 /18
 x1  1 − 5 1 7  6   − 6 
−1
⇒ X =  x2  =  7 − 5 1. 6  =  0 
X = A .b
  18 1 7 − 5 − 12


  6
 x3 
 − 6
X =  0  est alors l’unique solution du système (S )
 6
Résolution par la méthode de Cramer
On propose de résoudre un système linéaire (S ) de n équations à n inconnues, écrit sous sa
forme matricielle A. X = b .
Etapes de la résolution :
On calcule le déterminant de la matrice A :
det A
Si det A = 0 alors le système (S ) n’est pas de Cramer.
Si det A ≠ 0 alors le système (S ) est de Cramer, et on passe à sa résolution.
On calcule les déterminants, dits de Cramer Dxi , 1 ≤ i ≤ n , où Dxi est le déterminant de la matrice
A où l’on a remplacé la colonne i par le vecteur b :
 a11 L a1i−1 b1 a1i+1 L a1n 
Dxi = det  M M M M M M M  , 1 ≤ i ≤ n
an1 L ani−1 bn ani+1 L ann 
 x1 
Dx i
On calcule le vecteur solution X =  M  :
xi =
, 1≤ i ≤ n
x 
det
A
 n
 Dx1 


 det A 


X =  M  est alors l’unique solution du système (S ) .
 Dxn 
 det A 


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Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
Exemple :
 x1 + 3x2 + 2 x3 = 6
( S )2 x1 + x2 + 3x3 = 6
3x1 + 2 x2 + x3 = −12
1 3 2 x1   6 
1 3 2
 6
L’écriture matricielle du système (S ) est : 2 1 3  x2 =  6  , A = 2 1 3  et b =  6 
 
3 2 1  x3   −12 
3 2 1 
 − 12 
le système (S ) est de Cramer :
13 2
det A = 2 1 3 = 18 : det A ≠ 0
A est alors une matrice inversible
3 2 1
Le système (S ) est donné par :
Calcul des déterminants de Cramer Dx1 , Dx2 et Dx3 :
6 3 2 ( L2 →L2 −L1,L3→L3+2 L1) 6 3 2
Dx1 = 6 1 3
=
0 − 2 1 = 6 × − 28 51 = −108
−12 2 1
0 8 5
(
L
→
L
−
2
L
,
L
→
L
−
3
L
1 6 2 2 2 1 3 3 1) 1
6 2
Dx2 = 2
6 3
=
0 − 6 − 1 = 1× −−306 −−51 = 0
3 − 12 1
0 − 30 − 5
(
L
→
L
−
2
L
,
L
→
L
−
3
L
)
13 6 2 2 1 3 3 1 1 3
6
− 5 − 6 = 108
Dx3 = 2 1 6
=
0 − 5 − 6 = 1× −
7 − 30
3 2 − 12
0 − 7 − 30
 x1 
Calcul du vecteur solution X =  x2  :
( xi = Dxi / det A, 1 ≤ i ≤ 3 )
 
 x3 
Dx3 108
D
D
108
x1 = x1 = −
= −6
x2 = x 2 = 0
x3 =
=
=6
det A
18
det A
det A 18
 − 6
X =  0  est alors l’unique solution su système (S ) .
 6
II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer
Définition :
Un système linéaire non cramien ou non de Cramer c’est un système dont le nombre des
inconnues m n’est pas égal au nombre des équations n ou dont le nombre des inconnues m est
égal au nombre des équations n mais dont le rang r ne leur est pas égal ( n ≠ m ) ou
( n = m et r ≠ n ) .
Exemples :
 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 2
 1 2 3 4
 2
 x2 + 2 x3 + 2 x4
=2
 2
0
1
2
2


⇒ A=
b
=
1) ( S )
et
 2
− 2 x1 − x2 − 2 x4
=2
 − 2 −1 0 − 2
 2

−
2
0
2
0
 


=2
− 2 x1 + 2 x3
(S ) est un système linéaire non de Cramer : A∈ M ( 4) et rg ( A) = 2 ≠ 4 , ( n = m = 4 et r ≠ n )
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6
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
2 x1 + 3x2 − x3
x − x + x
2) ( S ) 1 2 3
5 x − 3 x3
 2
3
 x1 + 2 x2
=2
=2
⇒
=2
=2
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
2
A = 01

3
3 −1
 2
−1 1 et b =  2 
 2
5 − 3
 2
2 0
 
Le système (S ) est un système linéaire non de Cramer : A ∈ M ( 4,3) , ( n ≠ m )
Résolution d’un système avec second membre
On propose de résoudre un système linéaire non de Cramer (S ) de n équations à m inconnues,
écrit sous sa forme matricielle A. X = b .
a11 L a1m 
A = M M M  ,
an1 L anm 
 x1 
X = M 
x 
 m
et
 b1 
b= M 
b 
 n
Etapes de la résolution :
On cherche le rang r de la matrice A :
rg ( A) = r
Si ( n = m = r ) alors le système est un système linéaire de Cramer et sa résolution se fait
par l’une des méthodes développées au paragraphe précédent.
Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit
les étapes suivantes.
On suppose que la matrice Ar formée par les r premières lignes et les r premières colonnes de la
matrice A a un déterminant non nul ∆ r :
a1,1 L a1,r a1,r +1 L a1,m 
M

M M
M
M M
a1,1 L a1,r
ar ,1 L ar ,r ar ,r +1 L ar ,m 
⇒
∆
=
M
M M
A= 
r
ar +1,1 L ar +1,r ar +1,r +1 L ar +1,m 
a


r ,1 L ar ,r
M
M
M
M
M
M


an ,1 L an ,r an ,r +1 L an ,m 
Cette hypothèse peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre des équations
et/ou de l’ordre des inconnues. Elle ne restreint donc pas l’étude qui suit mais en simplifie
seulement l’exposé.
∆ r s’appelle le déterminant principal. On en déduit :
Les inconnues principales x1,L, xr , dont les coefficients sont les colonnes de Ar .
les autres inconnues xr +1 ,L, xm sont dites non principales ou arbitraires.
Les équations principales, qui sont les lignes du déterminant principal : ce sont les r premières
équations du système.
Les autres équations sont dites équations non principales.
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7
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
On écrit les matrices ( M h , 1 ≤ h ≤ n − r ) de type ( r + 1, r + 1) définies par :
 a1,1 L a1,r b1 
 M M M
M 
Mh =  a L a
br , 1 ≤ h ≤ n − r
r ,1
r ,r
a

 r +h ,1 L ar +h ,r br +h 
Les déterminants des matrices ( M h , 1 ≤ h ≤ n − r ) s’appellent les déterminants caractéristiques
du système A. X = b . On note
∆ h = det( M h ), 1 ≤ h ≤ n − r
On vérifie les conditions, dites de compatibilité du système A. X = b :
∆ h = 0, 1 ≤ h ≤ n − r
1er cas : ∃1 ≤ h ≤ n − r avec ∆ h ≠ 0
Les équations sont dites incompatibles et le système A. X = b est impossible ou insoluble.
2ème cas : ∀1 ≤ h ≤ n − r , ∆ h = 0
Le système est possible. Pour le résoudre, on résout le système formé des r équations principales
dont les inconnues sont les inconnues principales et où les inconnues arbitraires sont considérées
comme des paramètres et sont ajoutées au second membre du système.
Exemples :
 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4
 x + 2 x3 + 2 x4
1) ( S ) 2
− 2 x1 − x2 − 2 x4

− 2 x1 + 2 x3
=1
=0
⇒
= −2
= −2
 1
A = − 20

− 2
2
1
−1
0
3 4
 1
2 2 et b =  0 
 − 2
0 − 2
 − 2
2 0
 
A∈ M ( 4) et rg ( A) = 2 ⇒ rg ( S ) = 2 ⇒ r = 2
Un déterminant principal est :
Les inconnues principales :
Les inconnues arbitraires :
Les équations principales :
∆2 = 10 12 . On en déduit :
x1 et x2
x3 et x4
 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 1
x + 2x + 2x
=0
 2
3
4
Les conditions de compatibilité sont :
∆ h = 0, 1 ≤ h ≤ 2
1 2 1
12 1
∆1 = 0 1 0 = 0
et
∆2 = 0 1 0 = 0
− 2 −1 − 2
−2 0 −2
Les conditions de compatibilité sont alors vérifiées et le système est possible.
Sa résolution revient à résoudre le système de Cramer suivant :
x + 2 x2 = 1 − (3 x3 + 4 x4 )
( S1 ) 1
= −(2 x4 + 2 x3 )
 x2
x = 1 − (3 x3 + 4 x4 ) − 2 x2
La solution du système ( S1 ) est donnée par :  1
x
 2 = −(2 x4 + 2 x3 )
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Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
La solution du système (S ) est alors égale à l’ensemble :
E ( S ) = {( x1 , x2 , x3 , x ) ∈ IR 4 / x1 = 1 + x3 , x2 = −2 x3 − 2 x4 , ( x3 , x4 ) ∈ IR 2 }
Vérification :
(1 + x3 ) + 2.(−2 x3 − 2 x4 ) + 3x3 + 4 x4
(−2 x3 − 2 x4 ) + 2 x3 + 2 x4
− 2.(1 + x ) − (−2 x − 2 x ) − 2 x
3
3
4
4

−
+
+
2
.(
1
x
)
2
x

3
3
 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4
 x + 2 x3 + 2 x4
2) ( S ) 2
− 2 x1 − x2 − 2 x4

− 2 x1 + 2 x3
=1
=0
⇒
= −2
=2
=1
=0
= −2
= −2
 1
A = − 20

− 2
2
1
−1
0
3 4
2 2
0 − 2
2 0
et
 1
 
b =  − 02 
 2
 
A∈ M ( 4, 4) et rg ( A) = 2 ⇒ rg ( S ) = 2 ⇒ r = 2
∆2 = 10 12 . On en déduit :
x1 et x2
Les inconnues principales :
Les inconnues arbitraires :
x3 et x4
 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 1
Les équations principales :
x + 2x + 2x
=0
 2
3
4
Les conditions de compatibilité sont :
∆ h = 0, 1 ≤ h ≤ 2
1 2 1
12 1
∆1 = 0 1 0 = 0
et
∆2 = 0 1 0 = 4
⇒
∆2 ≠ 0
− 2 −1 − 2
−2 0 2
Les conditions de compatibilité ne sont alors pas vérifiées et le système est impossible.
Un déterminant principal est :
Cas particulier d’un système homogène
On propose de résoudre un système linéaire homogène non de Cramer (S ) de n équations à m
inconnues, écrit sous sa forme matricielle A. X = 0 .
Etapes de la résolution :
On cherche le rang r de la matrice A :
rg ( A) = r
Si ( n = m = r ) alors le système est un système linéaire de Cramer et son unique solution est le
vecteur nul.
Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit les
mêmes étapes que pour un système linéaire non de Cramer avec second membre (Les
conditions de compatibilité étant toujours vérifiées).
a1,1 L a1,r
On cherche le déterminant principal ∆ r : ∆ r = M M M
a r ,1 L a r ,r
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9
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
On en déduit :
Les r inconnues principales x1,L, xr .
Les m − r inconnues arbitraires xr +1 ,L, xm .
Les r équations principales correspondantes à ∆ r .
Les conditions de compatibilité sont toujours vérifiées ( ∆ h = 0, 1 ≤ h ≤ n − r ) :
 a1,1 L a1,r b1  a1,1 L a1,r 0
 M M M
M 
M M M M
∆ h = det(M h ) = det  a L a
= a L a
= 0, 1 ≤ h ≤ n − r

b
r ,1
r ,r
r
r ,1
r ,r 0
a

 r +h ,1 L ar+h ,r br +h  ar +h,1 L ar +h ,r 0
On résout le système de Cramer formé par les r équations principales, dont les inconnues sont les r
inconnues principales et où l’on fait passer les m − r inconnues arbitraires au second membre du
système A. X = b .
Remarque :
♦ La solution de tout système linéaire non de Cramer homogène est un sous espace vectoriel de
dimension égale au nombre de ses inconnues arbitraires égale au rang de sa matrice.
Exemple :
 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4
 x + 2 x3 + 2 x4
( S ) 2
− 2 x1 − x2 − 2 x4

− 2 x1 + 2 x3
=0
=0
⇒
=0
=0
 1
A = − 02

− 2
2
1
−1
0
3 4
2 2
0 − 2
2 0
et
 0
 
b =  00 
 0
 
A∈ M ( 4) et rg ( A) = 2 ⇒ rg ( S ) = 2 ⇒ r = 2
∆2 = 10 12 . On en déduit :
x1 et x2
Les inconnues principales :
Les inconnues arbitraires :
x3 et x4
 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0
Les équations principales :
x + 2x + 2x
=0
 2
3
4
Un déterminant principal :
Le système étant homogène, les conditions de compatibilité sont vérifiées.
La résolution du système (S ) revient alors à résoudre le système de Cramer suivant :
x + 2 x2 = −(3 x3 + 4 x4 )
( S1 ) 1
= −(2 x4 + 2 x3 )
 x2
 x1 = −(3x3 + 4 x4 ) − 2 x2
La solution du système ( S1 ) est donnée par :
 x = −( 2 x + 2 x )
 2
4
3
La solution du système A. X = 0 est alors égale au sous espace vectoriel :
E (S ) = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ IR4 / x1 = x3 , x2 = −2 x3 − 2 x4 ,( x3 , x4 ) ∈ IR2 } =< (1,−2,1,0),(0,−2,0,1) >
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
IIIIII-- AApppplliiccaattiioonn aauuxx éélléém
meennttss pprroopprreess dd’’uunnee m
maattrriiccee ccaarrrrééee
III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur propre associé
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
On appelle valeur propre de A toute valeur de λ pour laquelle le système A. X = λ. X admet une
solution non triviale X ≠ 0 .
On appelle vecteur propre associé à la valeur propre λ ces solutions non triviales.
Exemple :
 1 1 − 1
A =  1 1 1 ,
−1 1 1
1 
X 1 = 1  ,
0 
0
X 2 =  1 ,
 1
 1
X 3 = − 1
 1
 1 1 − 1 1 2
1
A. X1 = 2.X 1
A. X 1 =  1 1 1.1 = 2 = 2.1 :
− 1 1 1 0 0
0
λ 1= 2 est alors une valeur propre de la matrice A .
1 
X 1 = 1 est un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre λ 1= 2 .
0 
0 
 1 1 − 1 0 0
A. X 2 = 2. X 2
A. X 2 =  1 1 1.1 = 2 = 2.1 :
− 1 1 1 1 2
1
0
X 2 = 1 est un deuxième vecteur propre de la matrice A associé à la même valeur propre λ 1= 2 .
1
 1 1 − 1  1 − 1
 1
A. X 3 =  1 1 1.− 1 =  1 = (−1).− 1 :
A. X 3 = ( −1). X 3
− 1 1 1  1 − 1
 1
λ 2= −1 est alors une autre valeur propre de la matrice A .
 1
X 3 = − 1 est un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre λ 2= −1 .
 1
III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace propre associé
Proposition 1 :
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
λ est une valeur propre de la matrice A ssi : det( A − λ . I ) = 0 .
det( A − λ . I ) s’appelle le polynôme caractéristique de la matrice A , on le note PA ( λ ) .
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11
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
Calculer les valeurs propres d’une matrice A revient à résoudre l’équation det( A − λ.I ) = 0 .
Proposition 2 :
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
λ est une valeur propre simple de la matrice A ssi λ est une racine simple de son polynôme
caractéristique.
λ est une valeur propre multiple de la matrice A d’ordre de multiplicité k ssi λ est une racine
multiple de son polynôme caractéristique, d’ordre de multiplicité k.
Proposition 3 :
Toute matrice carrée d’ordre n à coefficients réels admet au plus n valeurs propres réelles, en
comptant k fois toute valeur propre d’ordre de multiplicité k.
Toute matrice carrée symétrique d’ordre n à coefficients réels admet exactement n valeurs
propres réelles, en comptant k fois toute valeur propre d’ordre de multiplicité k.
Proposition 4 :
Si toutes les valeurs propres d’une matrice carrée A sont réelles alors :
La somme de ses valeurs propres est égale à sa trace : ∑ λi = tr (A ) = ∑ aii , en ajoutant k fois
toute valeur propre d’ordre de multiplicité k.
Le produit de ses valeurs propres est égale à son déterminant : ∏ λi = det ( A ) , en multipliant k
fois par toute valeur propre d’ordre de multiplicité k.
Proposition 5 :
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
L’ensemble de tous les vecteurs propres d’une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels,
associés à une même valeur propre λ est un sous espace vectoriel de IRn .
On l’appelle le sous espace propre associé à la valeur propre λ et on le note Eλ .
Eλ est le sous espace vectoriel solution du système ( A − λ.I ). X = 0n : dim Eλ = n − rg ( A − λ.I )
dim Eλ ≤ kλ , k λ étant le degré de multiplicité de λ .
Pour chaque valeur propre λ de A , déterminer le sous espace propre associé revient alors à résoudre le
système linéaire (non de cramer car det( A − λ . I ) = 0 ) : ( A − λ.I ). X = 0n .
Proposition 6 :
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distincts sont linéairement indépendants.
Si la matrice A admet n valeurs propres distinctes alors les vecteurs propres associés forment
une base de IRn .
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
Exemples :
[ ]
:
PA ( λ ) = ( λ − 2 )( λ + 5 ) ,
 E2 = (1,3)
 E = (−2,1)
 −5
:
P A ( λ ) = ( λ + 1) 2 ,
E−1 = (1,−1)
A = −11 −21
:
PA ( λ ) = λ 2 + 1
♦
 1 1 −1
A =  1 1 1
−1 1 1
:
P A ( λ ) = − ( λ + 1)( λ − 2 ) 2 ,
 E−1 = (1,−1,1)
 E = (1,1,0), (1,0,−1)
 2
♦
 7 3 − 4
A = − 6 − 2 5
 4 2 −1
:
P A ( λ ) = − ( λ − 2 )( λ − 1) 2 ,
E2 = (1,1,2)
E = (1,−2,0)
 1
♦
 0 1 0
A =  0 0 1
−1 −1 −1
:
P A ( λ ) = − ( λ + 1)( λ 2 + 1) ,
E−1 = (1,−1,1)
♦
A = −34 12
♦
A = −12 −23
♦
[
[
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]
]
13
Session printempsprintemps-été
‫– اآ ال‬
‫د‬
‫وا‬
Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
‫ا‬
‫ما‬
‫وا‬
‫ا‬
‫آ‬
‫اا ! ط‬
http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
:
:
:
S4
M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Algèbre II
C
CH
HA
AP
PIIT
TR
RE
E 22 :: PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE
I- Produit scalaire dans
et Norme euclidienne sur
.............................................. 15
I-1 Définitions .................................................................................................................................................... 15
I-2 Matrice d'un produit scalaire ........................................................................................................................ 16
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ........................................................................................................... 17
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs .................................................................................................... 18
II- Orthogonalité ................................................................................................................ 18
II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................. 18
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt .......................................................................................... 19
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux .......................................................................................................... 20
III- Application aux droites et aux plans .......................................................................... 21
III-1 Droites dans
......................................................................................................................................... 22
III-2 Plans et droites dans
............................................................................................................................ 23
IV- Retour aux systèmes linéaires ..................................................................................... 24
IV-1 Images et noyaux orthogonaux .................................................................................................................. 24
IV-2 Sous espaces propres orthogonaux ............................................................................................................ 25
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14
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
II-- PPrroodduuiitt ssccaallaaiirree ddaannss
eett N
Noorrm
mee eeuucclliiddiieennnnee ssuurr
I-1 Définitions
Définition :
(Produit scalaire)
On appelle produit scalaire dans
toute application
propriétés ci-dessus.
On notera ,
, ou simplement , , le nombre réel
,
(1) La bilinéarité.
- Linéarité par rapport à la première variable :
,
,
,
.
. ,
.
,
ou encore :
,
,
,
.
. ,
. ,
.
.
de
dans
,
,
.
,
,
,
,
,
(3) La positivité.
(4) La non dégénérescence.
Définition :
ou encore
,
,
.
.
,
( 0 ou encore
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
,
,
& 0 ou encore
0
,
.
- Linéarité par rapport à la deuxième variable :
, ,
,
,
,
, .
.
, .
.
,
ou encore :
,
,
,
, .
.
, .
. ,
(2) La bilinéarité.
qui possède les
,
,
&0
0
(0
(Espace vectoriel euclidien)
Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire . , .
On le note par ) , . , . *
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15
,
est appelé un espace vectoriel euclidien.
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
∑,-. , , est un produit scalaire sur
,
: produit scalaire canonique ou usuel de
.
∑,-. /, , , , /, 0 0, 1 1, … 4 est un produit scalaire sur
,
.
6
,
2 . 1
est
un
produit
scalaire
sur
.
. 2
6 1
6 2
(4)
,
2 . 1 2 6 2 2 7 3
. 2
6 1
. 3
7 1
6 3
7 2 est un produit
7
scalaire sur .
Exemples :
(1)
(2)
(3)
I-2 Matrice d'un produit scalaire
Définition :
.,.
(Matrice d’un produit scalaire)
La matrice d’un produit scalaire
c’est la matrice ; définie par <,=
défini sur
, muni de sa base canonique 9 . , … ,
) , , = *, 1 1, 4 .
:
Exemples :
(1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité.
∑,-. /, , , , /, 0 0 c’est la matrice diagonale /,, .>,> .
(2) La matrice du produit scalaire défini ,
2 1
2 . 1
(3) La matrice du produit scalaire défini ,
@.
. 2
6 1
6 2 c’est la matrice ?
1 1
(4) La matrice du produit scalaire défini ,
2 . 1 2 6 2 2 7 3
. 2
6 1
. 3
7 1
2 1 1
6 3
7 2 c’est la matrice A1 2 1B.
1 1 2
Définition :
(Matrice symétrique définie positive)
Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement
positives.
Exemples :
(1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive.
(2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont
strictement positifs.
1 2
(3) La matrice symétrique ?
@ n’est pas définie positive.
2 1
2 1
(4) La matrice symétrique ?
@ est définie positive.
1 1
1 1 C1
(5) La matrice symétrique A 1 1 1 B n’est pas définie positive car DE F
C F 1 FC2 6
C1 1 1
2 1 1
(6) La matrice symétrique A1 2 1B est définie positive car DE F
C FC4 FC2 6
1 1 2
Proposition :
La matrice d’un produit scalaire sur
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est une matrice symétrique définie positive.
16
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Exemples :
(1)
(2)
(3)
(4)
La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité).
∑,-. /, , , , /, 0 0 est symétrique définie positive.
La matrice du produit scalaire
,
La matrice du produit scalaire ,
2 . 1
. 2
6 1
6 2 est symétrique définie positive.
La matrice du produit scalaire
,
2 . 1 2 6 2 2 7 3
. 2
6 1
. 3
7 1
est
symétrique
définie
positive
.
6 3
7 2
Proposition :
Une matrice carrée d’ordre 4 définit un produit scalaire sur
si et seulement si elle est
symétrique définie positive.
Soit ; une matrice symétrique définie positive d’ordre 4.
H
L’application de
dans par
,
. ;. est un produit scalaire sur
.
On notera , I , le nombre réel
, .
1
(1) La matrice symétrique ?
2
2
(2) La matrice symétrique ?
1
Exemples :
,
2
@ ne définit pas de produit scalaire sur 6 car elle n’est pas définie positive.
1
1
@ définit un produit scalaire 6 (car elle est définie positive) par
1
2 1
@ J 1K 2 . 1
.
6 ?
. 2
6 1
6 2
1 1
2
1 1 C1
(3) La matrice A 1 1 1 B ne définit pas de produit scalaire sur 7 car elle n’est pas définie positive.
C1 1 1
2 1 1
(4) La matrice symétrique A1 2 1B définit un produit scalaire 7 (car elle est définie positive) par
1 1 2
2 1 1
1
,
.
6
6 A 1 2 1B L 2 M
1 1 2
3
,
2 . 1 2 6 2 2 7 3
. 2
6 1
. 3
7 1
6 3
7 2
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne
Définition :
Soit ,
un produit scalaire sur
. On notera N N simplement par N N.
L’application définie de
vers par : N N O ,
s’appelle norme euclidienne.
Le nombre N N s’appelle norme du vecteur .
N C N s’appelle distance euclidienne.
L’application définie de
vers par : P ,
La distance d’un point à un sous espace vectoriel Q est donnée par : P , Q
minN C N
T U
Propriétés :
(1)
(2)
(3)
(4)
(norme euclidienne)
Homogénéité : NF. VN |F|. NVN
Norme d’une somme de deux vecteurs : NV XN6
Inégalité de Schwarz : | V, X | Y NVN. NXN
Inégalité de Minkowski : NV XN Y NVN NXN
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17
NVN6
NXN6
2. V, X
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
(1) P
(2) P
(3) P
Propriétés :
,
P ,
,
0
,Z Y P ,
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
(distance euclidienne)
P
,Z
Proposition :
NV XN6 C NV C XN6
Si ) , . , . * est un espace euclidien, alors : V, X
; V, X
\
La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire.
Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi ) , N. N * au lieu de ) , . , . *,
N. N étant la norme euclidienne associée au produit scalaire . , . .
.
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs
Si V et X sont deux vecteurs non nuls de ] , . , . alors il existe un unique angle θ _0, πa tel
| V, X | Y NVN. NXN
d,e
d,e
d,e
que cos c NdN.NeN :
g C1 Y NdN.NeN Y 1 g hc _0, ia/ cos c NdN.NeN
NVN. NXN f 0
Proposition :
Si V et X sont deux vecteurs non nuls de
, . , . alors l’unique angle c
d,e
cos c NdN.NeN s’appelle angle des deux vecteurs V et X .
Définition :
, .,.
On considère dans toute la suite l’espace euclidien
k, l
k, l
: où
_0, ia vérifiant
est muni du produit scalaire usuel :
m k n ln ; N k N
pm kn
n o
n o
IIII-- O
Orrtthhooggoonnaalliittéé
II-1 Vecteurs orthogonaux
Définition :
On dit que deux vecteurs V et X de
sont orthogonaux et on note V q X ssi V, X
Propriétés :
(1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux V et X est égal à
(2) Deux vecteurs V et X sont orthogonaux ssi NV
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18
XN
6
r
6
: cos s
V, X
NVN6
NXN6
d,e
NdN.NeN
0.
0
(l’identité de Pythagore)
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[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Un système de vecteurs 9V. , … , Vt : de
est un système orthogonal ssi V, , V=
Définition :
0 u1 1 f v.
Proposition :
Un système orthogonal est libre.
Définition :
Un système, de n vecteurs de
V, , V=
w,=
, 9V. , … , V : est une base orthonormée ssi :
V, , V=
0 u1 1 f v
0 u1 1 f v
uu1
.
1 u1 1 f v
NV, N6 1
V, , V,
Proposition :
, .,.
Tout sous espace vectoriel de
admet une base orthonormée.
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Soit x un sous espace de
, .,.
. Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à
construire une base orthonormée yz. , … , z{ | de x à partir d’une base quelconque yV. , … , V{ | de x .
Étapes du procédé :
Départ : yV. , … , V{ | une base de x.
Étape 1 : construire le 1er vecteur de la base orthonormée z.
z}.
Nz}. N
Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée z6
z}.
z}6
V. ~ z.
V6 C V6 , z. . z. ~ z6
Étape r : construire le rième vecteur de la base orthonormée z•
z}•
z}6
Nz}6 N
z}•
Nz}• N
V• C V• , z. . z. … C V• , z•€. . z•€. ~ z•
Étape p : construire le pième vecteur de la base orthonormée z{
z}{
z}{
V{ C V{ , z. . z. … C V{ , z{€. . z{€. ~ z{
•z}{ •
Arrivée : yz. , … , z{ | est une base orthonormée de ‚.
Exemple :
Une base orthonormée du sous espace vectoriel ‚
9
., 6 , 7 , \
V1
Départ : On construit une base 9V. , V6 , V7 : de ‚ ƒV2
V3
Professeure Salma DASSER
19
C1,1,0,0
C1,0,1,0
C1,0,0,1
\
/
.
6
7
\
0:
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Étape 1 : On construit le 1er vecteur de la base orthonormée z.
z . V.
C1,1,0,0
Nz . N √2
.
.
z. N… N . z}.
. C1,1,0,0
†
6
Nz 6 N
z6
vecteur de la base orthonormée z6
V6 C V6 , z. . z.
Étape 2 : construire le 2
z
√6
ème
6
ˆJ€.K
6
.
. z}6
N… ‰ N
€. 6
6
J K
ˆ .J
6
7
C1,0,1,0 C
1
6
€. €.
, , 1,0K
6 6
ˆ
7
6
.
J
€.
,
.
√6 √6 √6
, 0,0K
Étape 3 : construire le 3ème vecteur de la base orthonormée z7
z
z
7
V7 C V7 , z. . z. C V7 , z6 . z6 ;
. €. .
J , , 0,0K C
√6 √6 √6
€. 6
€. 6
€. 6
Nz 7 N ˆJ K
J K
J K
7
7
7
.
√7 €. €. €.
z7 N… N . z}7
. J 7 , 7 , 7 , 1K
6
Š
7
C1,0,0,1 C
J
€. .
, , 0,0K
√6 √6
J
€. €. 6
, , , 0K
√‡ √‡ √‡
€. €.
J , , 1,0K
6 6
; V6 , z.
.
√6
€. €. €.
7
,
,
, K
√7 6 √7 6 √7 6 √7
.
.
V7 , z.
, V7 , z6
√6
√‡
.
€. €. 6
€. €. €.
. J , , , 0K J 7 , 7 , 7 , 1K
√‡ √‡ √‡ √‡
1
6
Arrivée : 9z. , z6 , z7 : est une base orthonormée de ‚.
J6
6
√7
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux
Soit ‚ un sous-espace vectoriel de
. On appelle sous-espace orthogonal de ‚ et on note
‚ ‹ l’ensemble :
‚ ‹ 9X
/ V, X
0 V ‚:
Définition :
Rappel :
Deux sous espaces vectoriels Q et Πde
Q•Œ
uu1
sont supplémentaires ssi
; h! , Z
Q Œ/
est leur somme directe :
Z
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de
, , est un sous espace vectoriel de
Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans
: ‚•‚ ‹
L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal : ‚ ‹ ‹ ‚
‹
90, … ,0:
En particulier, on a : 90, … ,0: ‹
et
Proposition :
Si ‚
Proposition :
X • yV1 , … , V• | est un sous-espace vectoriel de
‚ ‹ yX
/ V. , X
‘
Professeure Salma DASSER
20
, , .
.
alors :
V{ , X
0|
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
9
‚
Exemple :
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
., 6 , 7 , \
\
V1
X • 9V1 , V2 , V3 : avec ƒV2
V3
‚
Définition :
6
7
\
0:
est dit hyperplan s’il est de dimension 4 C 1.
Un sous espace vectoriel de
9
‚
.
C1,1,0,0
C1,0,1,0 ; car 9V. , V6 , V7 : est une base de ‚.
C1,0,0,1
V1 ,
0
C 1
0
C 1
0
2
2
‹
C
0
C
0
V
,
0
,
,
,
‚
ƒ
’
’
1
3
1
3
2
1 2 3 4
C 1
0
C 1
0
V3 ,
0
4
4
4
9 1, 2, 3, 4
/C 1
0; C 1
0; C 1
0:
2
3
4
‹
X • 9X1 : ; avec X.
1,1,1,1 une base de ‚ .
‚‹
‚‹
Exemple :
/
., 6, 7, \
\
/
.
Proposition :
]
Soit H un hyperplan de
‚ 9 ., 6, 7,
hX.
1,1,1,1
Exemple :
\
Définition :
\
\
/‚
/
q
6
.
7
, .,.
6
\
0: est un hyperplan de
alors il existe un vecteur X
7
X • 9X. :.
\
0: est un hyperplan de
\
: dim
]
tel que • ‹
\
4 et dim ‚
\
X • 9X:.
.
Soit H un hyperplan de ] , . , . et • ‹ X • 9X:.
Le vecteur X s’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H.
Si NXN 1, X est un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H.
‚
Exemple :
‚
‹
9
., 6, 7, \
\
/
X • 9X1 :, avec X1
Le vecteur X.
Le vecteur X™.
.
6
7
\
0: est un hyperplan de
1,1,1,1 .
1,1,1,1 est un vecteur normal à ‚.
.
. . . .
.X
J6 , 6 , 6 , 6K est un vecteur normal unitaire à ‚.
Ne N .
\
.
†
IIIIII-- AApppplliiccaattiioonn aauuxx ddrrooiitteess eett aauuxx ppllaannss
Dans 6 , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites.
Tout sous espace vectoriel non trivial de 6 est de dimension 1 : c’est un hyperplan de 6 .
o un hyperplan de 6 est une droite du plan.
Dans 7 , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans.
Tout sous espace vectoriel non trivial de 7 est
• soit de dimension 2 : un hyperplan de 7 , un hyperplan de 7 est un plan de l’espace.
• ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace.
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21
Session printempsprintemps-été
3
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
III-1 Droites dans
Définition :
Une droite š dans le plan 6 a une équation, dite cartésienne, de la forme :
š : /
œ
• 0, avec /, œ f 0,0
Cœ
Le vecteur V J K est un vecteur directeur de la droite š .
/
•
Le coefficient directeur est < C .
ž
Remarque :
♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme :
<
•;
o < est le coefficient directeur de la droite et • l’ordonnée à l’origine.
♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des abscisses est de la forme :
• , < 0.
♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme :
Ÿ.
Proposition :
Toute équation de la forme /
œ
• 0, avec /, œ f 0,0 , définit une droite D dans le
plan 6 .
Cœ
le vecteur V J K est un vecteur directeur de D .
/
/
Le vecteur X J K est un vecteur normal à D .
œ
Exemple :
š
2
3 0
L’équation réduite de la droite š est donnée par :
1
Le vecteur X J K est un vecteur normal à š
2
C2
Le vecteurs X J K est un vecteur directeur de š .
1
Proposition :
C6 C 6
.
Un vecteur directeur de la droite passant par deux points ; ,
C }
¢¢¢¢¢¢¢£
;¡ X ¤
¥
C }
7
et ¡
,
est donné par :
Proposition :
Toute droite D du plan passant par l’origine a une équation de la forme : /
œ
0.
6
6
La droite š 9 ,
//
œ
0: est un hyperplan de l’espace vectoriel .
6
L’hyperplan š 9 ,
//
œ
0: a pour base y)– œ, /*| : š X • y)– œ, /*|.
L’orthogonal de l’hyperplan š X • y)– œ, /*| est l’hyperplan š‹ X • 9 /, œ :.
Un vecteur normal à š‹ est un vecteur directeur de š š‹ ‹ š
L’hyperplan š‹ X • 9 /, œ : est la droite d’équation Cœ
/
0
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22
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Exemple :
š
9 ,
š
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
2
0
/
2
0: est un hyperplan de l’espace vectoriel 6 .
C2
Le vecteur X J K définit une base 9 C2,1 : de š : š X • y)– 2,1*|
1
L’orthogonal de l’hyperplan š est š‹ X • 9 1,2 :
š‹ est la droite d’équation C2
0.
6
III-2 Plans et droites dans
Un plan D dans l’espace
D : /
Définition :
7
a une équation, dite cartésienne, de la forme :
œ
•Z P 0, avec /, œ, • f 0,0,0
Une droite š dans l’espace 7 a une équation, dite cartésienne, de la forme :
/
œ
•Z P 0
/, œ, • f 0,0,0
š :
, avec
/}
œ}
•}Z P} 0
/}, œ}, •} f 0,0,0
Toute équation de la forme /
œ
•Z P 0, définit un plan D dans l’espace
/
Le vecteur X §œ ¨ est un vecteur normal à D .
•
Proposition :
.
•Z P 0
, définit une droite š dans l’espace
•}Z P} 0
D : /
œ
•Z P 0
La droite š est l’intersection des deux plans
D : /}
œ}
•}Z P} 0
Toute équation de la forme
/
/}
7
œ
œ}
Tout plan D passant par l’origine a une équation de la forme : /
œ
•Z 0.
7
Le plan D 9 , , Z
//
œ
•Z 0: est un hyperplan de l’espace vectoriel
L’orthogonal de l’hyperplan D est D ‹ X • 9 /, œ, • :.
Le sous espace vectoriel D‹ X • 9 /, œ, • : est une droite.
7
Proposition :
7
.
D
2
3Z 0
1
Le vecteur X L2M est un vecteur normal à D
3
C2
C3
Les vecteurs V L 1 M et © L 0 M forment une base du plan vectoriel D X • 9 V, © :
0
1
C2 C 3Z
§ ¨ D ssi
2
3Z 0 ssi
C2 C 3Z ssi § ¨ L
M
Z
Z
Z
Exemple 1 (plan) :
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23
Session printempsprintemps-été
.
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
§ ¨
Z
D ssi § ¨
Z
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
C2
.L 1 M
0
C3
Z. L 0 M
1
L’orthogonal de l’hyperplan D est D ‹ X • 9 1,2,3 :, de dimension 1.
V, X
0
C2
0
X § ¨ D‹ uu1
ssi ª
ssi § ¨ §2 ¨
V, ©
0
C3
Z 0
Z
Z
3
Le sous espace vectoriel D‹
C2
X • 9 1,2,3 : est la droite d’équation ª
C3
š
Exemple 2 (droite) :
C
Z
Z
0
0
1
Le vecteur X L 0 M forme une base de la droite D : š X • 9X:
C1
1
2
Z 0
Z 0
§ ¨ š ssi
ssi
ssi § ¨
0
C
Z 0
1C 2
Z
Z
L’orthogonal de la droite š est š‹
V
§ ¨
Z
š ‹ uu1 V, X
Le sous espace vectoriel š‹
Z
0
.
0
§0¨
C
X • 9 1,0,1 , 0,1,0 :, de dimension 2 :
0 ssi
CZ
0 ssi § ¨
Z
§ ¨
X • 9 1,0,1 , 0,1,0 : est le plan d’équation
CZ
0.
IIV
V-- RReettoouurr aauuxx ssyyssttèèm
meess lliinnééaaiirreess
IV-1 Images et noyaux orthogonaux
Définition :
Soit « une matrice carrée d’ordre 4 .
¬< « est le sous espace vectoriel de
engendré par les colonnes de « :
9:
¬< «
/ h®
: «. ® -: 9«. ® ; ®
Le noyau de « est le sous espace vectoriel de
dont l’image est nulle.
9®
¯ ° «
/ «. ® 0 :
Proposition :
Soit « est une matrice carrée d’ordre 4 .
¬< « c’est le sous espace vectoriel de
des seconds membres du système linéaire «. ® pour lesquels ce système est compatible.
Ker A c’est le sous espace vectoriel de ] , solution du système linéaire homogène A. X 0] .
Si le système «. ® - est de Cramer alors la matrice « est inversible et l’on a :
]
¬< «
et Ker A
0, … ,0 .
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24
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Si « est une matrice carrée d’ordre 4 alors :
‹
¬< «
´¯ °) H«*µ
dim_ ¬< « a dim´ ¬<) H«*µ
’
‹ ; P¶4•
dim_ Ÿ ° « a dim´ Ÿ °) H«*µ
¯ ° «
´¬<) H«*µ
_¯ ° « a‹ ; P¶4•
Si la matrice « est symétrique alors : ¬< «
Proposition :
¯ ° « •¬< «
IV-2 Sous espaces propres orthogonaux
Proposition :
Si « est une matrice carrée symétrique d’ordre 4 alors deux sous espaces propres associés à deux
valeurs propres distinctes de « sont orthogonaux.
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25
Session printempsprintemps-été
‫– اآ ال‬
‫د‬
‫وا‬
Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
‫ا‬
‫ما‬
‫وا‬
‫ا‬
‫آ‬
‫اا ! ط‬
http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
:
:
:
S4
M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Algèbre II
C
CH
HA
AP
PIIT
TR
RE
E 33 :: PROGECTION ORTHOGONALE
I- Projection - Projection orthogonale .............................................................................. 27
I-1 Définitions .................................................................................................................................................... 27
I-2 Détermination pratique de la projection orthogonale ................................................................................... 27
I-1 Caractérisation et propriétés ......................................................................................................................... 29
II- Application aux droites et aux plans ............................................................................ 30
II-1 Projection orthogonale sur une droite du plan............................................................................................. 30
II-2 Projection orthogonale sur un plan.............................................................................................................. 31
II-3 Projection orthogonale sur une droite de l’espace....................................................................................... 32
III- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 33
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26
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
II-- PPrroojjeeccttiioonn -- PPrroojjeeccttiioonn oorrtthhooggoonnaallee
I-1 Définitions
Proposition :
sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de
alors l’application
,
est une application linéaire.
Si
et
par :
définie
Définition :
Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de
:
L’application linéaire définie sur
par
;
projection sur parallèlement à .
L’application linéaire
! définie sur
par
!
parallèlement à .
Si est un sous espace vectoriel de
, ". , . $ alors la projection
s’appelle la projection orthogonale sur . On la notera & .
s’appelle la
est la projection sur
Définition :
sur
%
parallèlement à
I-2 Détermination pratique de la projection orthogonale
Soit un sous-espace de
, ". , . $ .
Si '& ()* , … , ), - est une base orthonormée de
Proposition :
∑/0,
/0* "
;
alors :
%
La projection orthogonale sur
3
Exemples :
(1) 2
dim 2
*, 4, 5, 6
6
/
, )/ $. )/
*
4
68
5
La projection orthogonale sur 2 est donnée par :
o
B
B
Donc, x
G
1
4
1
Professeure Salma DASSER
6
2
" , >* $. >*
, on a :
3
4
;
1
4
1
1
est la projection orthogonale sur
;
est alors donnée par :
1 : 3>* 8 est une base orthonormée de ? avec >*
*
4
&
, et si
2
2
6
,
3
3
4
27
;
1
4
1
@4 , 4 , 4 , 4A.
* * * *
* * * *
4 . @4 , 4 , 4 , 4A
! ∑/0,
/0* " , )/ $. )/
&1
2
2
3
" , >1 $. >1
4
;
1
4
1
2
3
4
Session printempsprintemps-été
H
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
3
(2) ?
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
*, 4, 5, 6
6
/
*
4
5
08
6
dim ?
3 : 3>* , >4 , >5 8 est une base orthonormée de ? avec
J* *
J* J* 4
J* J* J*
5
o >* @ 4 , 4 , 0,0A , >4 @ L , L , L , 0A , >5 @4 5 , 4 5 , 4 5 , 4 5A
√ √
√ √ √
√
√
√
√
La projection orthogonale sur ? est donnée par :
6
" , >1 $. >1 " , >2 $. >2 " , >3 $. >3
o
, ?
P" , >1 $. >1
N
" , >2 $. >2
O
N" , > $. >
3
3
M
o
o
P " , >1 $. >1
N
" , >2 $. >2
O
N " , > $. >
3
3
M
@2
1
G
1
3
4
@6
1
*
S12
1
!
!
1
4
1
1
6
!1
5
1
√6
!1
2
2
,!
1
2
!2
2
!
6
!
3
3
;
1
,
1
6
@ 2,
!1
2
2
1
2 √3
, on a :
!
1
√2
qui donne :
Donc, x
U
!1
!
!3
√
!2
2
2
1
4
1
!
4
,
3
3
1
√2
, 0,0A
@ 6,
√
!3
, 0,0A
1
12
*
,
2
,!
2
!1 !1
2
!2
3
4
1
!
4
3
2
√6 √6
@
!1
, 0A
,
!1
,
!1
,
3
A
2 √3 2 √3 2 √3 2 √3
5
6
3
!
1
!3
6
;
4
2
,
!2
1
12
1
!
4
*
R
3
1
, 0A
2
!
4
3
3
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4
,!
!
6
;
5
3
1
12
1
!
4
2
*
!
3
4
!
!3
5
4
3
R
T
6
H
Remarque :
♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur ? consiste à déterminer
4 ! dim ?
1.
avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite : dim ? %
B
U
?% 2
La projection orthogonale
G
1
4
*
4
5
6
sur 2 est donnée par :
B
;
1
4
*
4
5
La projection orthogonale sur ? définie par
G
1
3
4
*
!
4
Professeure Salma DASSER
!
5
!
6
;
1
!
4
*
3
4
!
5
6
U
!
28
6
;
;
1
4
*
!
1
!
4
4
*
B
!
5
6
;
1
4
*
4
1
!
4
5
est alors donnée par :
4
3
5
!
6
;
*
!
4
6
!
5
H
3
Session printempsprintemps-été
6
H
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
I-1 Caractérisation et propriétés
Proposition :
Soient et sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de .
Si est une projection sur parallèlement à alors :
(1) 4
V
(2) V
V
0
W !
W !
(3) X
Y Z
; X W!
Y Z
W !
Une projection est une projection orthogonale sur ssi sa matrice dans une base orthonormée
de
est symétrique.
Un endomorphisme de
est une projection ssi 4
V
est la projection sur X
parallèlement à Y Z .
[ !
est la projection sur Y Z
parallèlement à X
Proposition :
. Dans ce cas,
.
Proposition :
Soit un sous espace vectoriel de . Soit une projection orthogonale sur .
Si
alors
vérifie les propriétés :
1) L'égalité de Pythagore :
i i4 i ( )i4 i ! ( )i4
(2) ( ) est l'unique vecteur de minimisant la distance de à :
i ! ( )i mini ! i
q &
Exemple :
U(
)
?r
?
1
G (3
4
( )
2
i
3( * ,
*
!
?%
1
G (
4
U(
4
*
)i4
4, 5, 6)
!
5
!
3( * ,
4
i1 !
Pi
N
O
N
M
Professeure Salma DASSER
6) ;
6
/
1
(!
4
4, 5, 6)
5
U(
U(
6) ;
)i4
)i4
s
i
*
*
3
6
1
(
4
*
i i4
s
?r
U(
)i
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4
4
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4
!
*
?r
( )s
( )s
4
5
5
4
5
6) ;
( )
i i4
i !
s !
1
(!
4
6) ;
!
5
08
6
U(
?r
!
)i
( )s
29
1
(
4
(
*
!
68
*
U(
*
4
4
4
):
4
4
3
5
minri ! i
?
6) ;
!
6) ;
5
mini ! i
?
5
4
6
1
(!
4
1
(
4
*
*
!
4
4
!
5
5
3 6 )H
6 )H
4)
R
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
En effet, on a :
P
Ni
N
O
N
s
N
M
Par exemple :
P
O
M
U
?r
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
(après calcul)
i
U
zi
?r
U
s
i4
6
1
t12 u
4
/
/0*
6
1
t4 u
4
/0*
s
?r
/
s
1,0,0,0 : i i4
3 !1 !1 !1
S ;
;
;
T: i
4 4
4
4
1 1 1 1
S ; ; ; T { s ?r
4 4 4 4
U
s
i
4
6
4
!8 u
/ w
!8
8 u
/ w
8
/xw0*
6
4
1
*
/xw0*
4
4
4
5
4
Pi
N
6
u
/ w y
u
/ w y
/xwxy0*
6
/xwxy0*
U
6
4
i4
i i4
s
1
√3
√12
i ! i
4
2 R z min
?
1
1
O
√4
Nmini ! i
4
2
M ?r
R
s
?r
s
i
?r
U
4
s
1
i
1
2
√3
2
i i4
R
IIII-- AApppplliiccaattiioonn aauuxx ddrrooiitteess eett aauuxx ppllaannss
II-1 Projection orthogonale sur une droite du plan
Soit D est une droite du plan d’équation
)
3>* 8 une base orthonormée de D avec >*
0:D
J~
}√• ••~ ‚
€
€
3 ,
4
/
)
08
√•€ •~€
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
!)
!)
4
,
; ƒ „ , … " , , >* $. >* S
T.S
,
√ 4 )4
√ 4 )4
√ 4 )4 √
qui donne :
1
4
,
; ƒ„ , …
)4 ! ) , 4 ! )
4
)4
4
)4
T
Proposition :
Soit D une droite dans le plan 4 d’équation :
)
0.
La projection orthogonale sur la droite D est donnée par :
1
4
,
; ƒ„ , …
)4 ! ) , 4 ! )
4
4
)
Si † , est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite D est le point :
• qJ•~ˆ
‡ @~ ˆJ•~q
†
, •€ •~€ A
•€ •~ €
€
Professeure Salma DASSER
€
30
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
Remarque :
♦ La projection orthogonale sur la droite D d’un point †
† ,
Š :
4
‰‡ ) ! )
†G 4
,
)4
Š {
Exemple :
Le vecteurs
Le vecteur >*
)4 ! )
)
0
P
~q0 J•ˆ
4
4
)4
! ) R ‹ŒŒŒŒŒ• 4
H
! )
O
4
)4
M 4 )4
@
2
0
)4
4
!2
A est un vecteur directeur de Š .
1
J4
3> 8
}å
* ‚ forme une base * de D
å
,
4
4
‘@ A
de cette droite D est lui-même :
4
)4
)4
)4
4
/
‡ • †R
‹ŒŒŒŒŒŒ• †
Ž̂0ˆ et qŽ0q
2
0’.
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
1
4
,
; ƒ„ , …
)4 ! ) , 4 ! )
4
)4
qui donne :
1
4
,
; ƒ„ , …
4 !2 , !2
5
ou encore :
!2
1
!2 1
1
4
,
; ƒ „ , … " , , >* $. >* S
T.S , T
4 !2 , !2
5
√5
√5
√5 √5
Si †
,
est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite Š est le point :
4 !2
!2
‡S
†
,
T
5
5
‡ 0,0 : origine.
La projection orthogonale du point † 1,2 sur la droite Š est le point †
0!1
!2
!1
”””””””•
”””””””•
‡ r { "††
‡ , $ "–, $ 0;
††
@ A
– @
A @ A
0!2
1
!2
La projection orthogonale du point † !2,1 sur la droite Š est le point † lui-même †
0
!2
!2 2
”””””””•
”””””””•
‡ r { "††
‡ , $ "–, $ 0;
††
@ A
– @
A @ A
0
1
1!1
‡ !2,1 .
La projection orthogonale du point † 0,5 sur la droite Š est le point †
!2 ! 0
!2
!2
”””””””•
”””””””•
‡ r { "††
‡ , $ "–, $ 0;
††
@ A
– @
A @ A
1!5
1
!4
Exemple :
— {
Les vecteurs ˜*
Professeure Salma DASSER
Š .
II-2 Projection orthogonale sur un plan
0
1
™!1š et ˜4
0
1
™ 0 š forment une base du plan vectoriel —
!1
31
3 ˜* , ˜4 8
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
*
√4
›J*œ
3>* , >4 8 est alors une base orthonormée de — avec >*
√4
0
La projection orthogonale sur — est alors donnée par :
o £ „ , , … " , , , >* $. >* " , , , >4 $. >4
o
o
Si †
£„
£„
, ,
, ,
, ,
…
…
@
*
√4
!
S 2 !
*
5
[email protected]
!
*
,
, 0A
J*
√4 √4
;
!
*
5
@
*
√L
2 !
;
*
5
*
Ÿ*¢
ž√L¡.
√L
, >4
J4
•√L
! 2 [email protected]
! !
*
,
*
,
A
J4
√L √L √L
2 T
est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan — est le point :
2 ! !
!
2 !
! !
2
‡S
†
;
;
T
3
3
3
‡ 0,0,0
La projection orthogonale du point † 1,1,1 sur le plan — est le point origine †
1
1
0!1
”””””””•
”””””””•
‡ r ˜* "††
‡ , ˜* $ "–, ˜* $ 0
††
R{¤
R ; ˜* ™!1š , ˜* ™ 0 š
¤
– ™0 ! 1š
”””””””•
”””””””•
‡ r ˜4 "††
‡ , ˜4 $ "–, ˜4 $ 0
††
0
!1
0!1
:
!1
™!1š
!1
La projection orthogonale du point † 1, !2,1 sur le plan — est le point † lui-même † — :
1
1
1!1
0
”””””””•
”””””””•
‡ r ˜* "††
‡ , ˜* $ "–, ˜* $ 0
††
R{¤
R ; ˜* ™!1š , ˜* ™ 0 š
¤
– ™!2 2š ™0š
”””””””•
”””””””•
‡ r ˜4 "††
‡ , ˜4 $ "–, ˜4 $ 0
††
0
!1
1!1
0
‡ !1,2, !1 :
La projection orthogonale du point † 0,3,0 sur le plan — est le point †
1
1
!1 ! 0
”””””””•
”””””””•
‡ , ˜* $ "–, ˜* $ 0
‡ r ˜* "††
††
R{¤
R ; ˜* ™!1š , ˜* ™ 0 š
¤
– ™ 2!3 š
”””””””•
”””””””•
‡ , ˜4 $ "–, ˜4 $ 0
‡ r ˜4 "††
††
0
!1
!1 ! 0
II-3 Projection orthogonale sur une droite de l’espace
Š {¥
Exemple :
Le vecteur
0R
0
!
1
™ 0 š forme une base de la droite D : Š
!1
3 8
*
√4
3>* 8 est alors une base orthonormée de Š avec >*
!1
™!1š
!1
› 0 œ.
J*
√4
La projection orthogonale sur Š est alors donnée par :
*
*
J*
o ƒ „ , , … " , , , >* $. >* @
! A @ , 0, A
o
ƒ„
Professeure Salma DASSER
, ,
…
S4
*
!
; 0;
*
4
√4
!
32
T
√4
√4
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Si †
, ,
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite Š est le point :
!
!
‡S
†
; 0;
T
2
2
‡ 0,0,0 :
La projection orthogonale du point † 1,1,1 sur la droite Š est le point origine †
1
0!1
!1
”””””””•
”””””””•
‡
‡
"††
$
"–,
$
††r {
,
0 ;
™0š
– ™0 ! 1š ™!1š
!1
0!1
!1
La projection orthogonale du point † 1,2, !1 sur la droite Š est le point † lui-même †
1!1
1
0
”””””””•
”””””””•
‡
‡
"††
$
"–,
$
††r {
,
0 ;
™0š
– ™ 2 ! 2 š ™0š
!1 1
!1
0
Š :
‡ !1,2,1 :
La projection orthogonale du point † 1,2,3 sur le plan — est le point †
1
!1 ! 1
!2
”””””””•
”””””””•
‡
‡
"††
$
"–,
$
††r {
,
0 ;
™0š
– ™ 2!2 š ™ 0 š
!1
1!3
!2
IIIIII-- RReettoouurr aauuxx ssyyssttèèm
meess lliinnééaaiirreess ((ssoolluuttiioonn aauu sseennss ddeess M
MCCO
O))
Si le système ¦. § ) est incompatible alors il n’admet pas de solutions :
On se contente alors de trouver un vecteur § qui rend ¦. § aussi proche que possible de ).
ª
Ce qui revient à déterminer un vecteur §¨ tel que s¦. §¨ ! )s © i¦. § ! )i, §
Soit ¦. § ) un système linéaire.
Une solution au sens des moindres carrées du système ¦. § ) est un vecteur ‡
X tel que :
‡
sA. X ! bs © iA. X ! bi, X
Résoudre le système ¦. § ) au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur §¨ tel
que :
s¦. §¨ ! bs min® i¦. § ! bi
Définition :
Proposition :
Soit ¦. § ) un système compatible.
Si §¨ est une solution de ¦. § ) alors :s¦. §¨ ! bs 0
min® i¦. § ! bi
Les solutions et solutions au sens des moindres carrées de ¦. § ) sont alors confondues.
Un vecteur §¨ est une solution, au sens des MC, d’un système ¦. §
¦. § )¨, où )¨
X ¦ ) :
Puisque )¨
) alors :
s) ! )¨s
X¦
¯
(¦.§ ; §
³
min i) ! ¯i ´ŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒŒ• s) ! )¨s
X ¦
°± ²
-
) ssi §¨ est une solution du système
min³i) ! ¦. §i
§
Or, une solution §¨, au sens des MC, du système ¦. § ) est caractérisée par :
s) ! ¦. §¨s X ³ i) ! ¦. §i
®
Donc :
¦. §¨ )¨
Professeure Salma DASSER
33
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Soit ¦. §
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
) un système linéaire.
Proposition :
§¨ est une solution, au sens des MCO, du système ¦. §
)¨
).
X¦
) ssi §¨ est une solution du système ¦. §
)¨, où
Proposition :
Soit ¦. § ) un système linéaire.
µ
Le système µ¦¦. §
¦. ) admet toujours au moins une solution.
µ
Toute solution du système µ¦¦. §
¦. ) est une solution au sens des moindres carrées du
système ¦. § ).
Soit ¦. § ) un système linéaire.
µ
Le système µ¦¦. §
¦. ) s’appelle « système des équations normales ».
Définition :
Soit ¦. §
) un système linéaire.
Proposition :
Si les colonnes de la matrice ¦ sont linéairement indépendantes alors le système ¦. §
une seule solution au sens des MC.
Soit ¦. §
Proposition :
Si ³ © X
Exemple :
) un système linéaire, avec ¦
³ alors le système ¦. §
Z· ¦
¤
!
5
4
R
9
{
¦. §
) a exactement
¶ X, ³ .
) a exactement une seule solution au sens des MC.
)
¦
1 1
¹1 0 º , @ A
1 !1
(1) En utilisant les équations normales ¼»». ½
)
¼
4
™5 š
9
». ¾ :
1 1
1
3 0
À ¹1 0 º ¿
À
!1
0 2
1 !1
R
On calcule µ¦¦. § et µ¦. ) :
4
Oµ
1 1 1
18
À . ™5 š @ A
N ¦. ) ¿
1
0
!1
!5
M
9
3 0
18
µ
µ
Les équations normales ¦¦. §
¦. ) s’écrivent alors :
¿
À[email protected] A @ A
0 2
!5
6
µ
La solution du système µ¦¦. §
¦. ) est alors donnée par :
§¨ S
T
5/2
7/2
!1/2
4
5
On calcule s¦. §¨ ! )s : s¦. §¨ ! )s Á™ 6 š ! ™5šÁ Á 1 Á Ã4
17/2
!1/2
9
P µ¦¦
N
On a alors :
Professeure Salma DASSER
min®
i¦. § ! bi
1 1
¿
1 0
s¦. §¨ ! bs
34
Ã
5
4
Session printempsprintemps-été
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité
(2) En utilisant la projection orthogonale de ¾ sur ÄÅ » :
*
3¦. * , ¦. 4 8, 3 * , 4 8 étant la base canonique de 4
On détermine X ¦ : X ¦
1
!1
¦. * ™1š et 4 ¦. 4 ™ 0 š z 3 * , 4 8 est une base de X ¦ , Z 3 * , 4 8 est libre
1
1
1
!1
*
*
On construit une base orthonormée 3>* , >4 8 de X ¦ : >*
™1š ; >4
™0š
√5
√4
1
1
7/2
4
¨
¨
"),
$.
"),
$.
6 š
On calcule )¨
)
,
)
™
š
{
)
>
>
>
>
z
)
™
5
°± ²
*
*
4
4
17/2
9
6
La solution du système ¦. § )¨ est alors donnée par : §¨ S
T
5/2
On calcule s¦. §¨ ! )s : s¦. §¨ ! )s
On retrouve alors :
Professeure Salma DASSER
min®
s)¨ ! )s
i¦. § ! bi
35
Ã
5
4
s¦. §¨ ! bs
Ã
5
4
Session printempsprintemps-été
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