I-2 Ecriture matricielle d`un système linéaire

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S4
Semestre : S4Semestre : S4
Semestre : S4
Module : M16
Module : M16Module : M16
Module : M16
(Méthodes Quantitatives IV)
(Méthodes Quantitatives IV)(Méthodes Quantitatives IV)
(Méthodes Quantitatives IV)
Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
ﺲﻣﺎﺨﻟا ﺪﻤﺤﻣ ﺔﻌﻣﺎﺟ– لاﺪﻛا
ﺔﻳدﺎﺼﺘﻗﻻاو ﺔﻴﻧﻮﻧﺎﻘﻟا مﻮﻠﻌﻟا ﺔﻴﻠﻛ
ﺔﻴﻋﺘﺟﻻاو
طﺎﺑﺮﻟاا
Salma DASSER
Salma DASSERSalma DASSER
Salma DASSER
Printemps-été 2011-2012

Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S
4
Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Matière : Algèbre II
Contenu du cours
Chapitre 1 : Résolution d’un système linéaire
I- Généralités
I-1 Définition d’un système linéaire
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire
I-3 Rang d’un système linéaire
II- Résolution d’un système linéaire
II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer
II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer
III- Applicaton aux éléments propres d’une
matrice carrée
III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur
propre associé
III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace
propre associé
Chapitre 2 : Produit scalaire-orthogonalité
I- Produit scalaire et Norme euclidienne
I-1 Définitions
I-2 Matrice d'un produit scalaire
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs
II- Orthogonalité
II-1 Vecteurs orthogonaux
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux
III- Application aux droites et aux plans
III-1 Droites dans 
III-2 Plans et droites dans 
IV- Retour aux systèmes linéaires
IV-1 Images et noyaux orthogonaux
IV-2 Sous espaces propres orthogonaux
Chapitre 3 : Projection orthogonale
I- Projection - Projection orthogonale
I-1 Définitions
I-2 Détermination de la projection orthogonale
I-1 Caractérisation et propriétés
II- Application aux droites et aux plans
II-1 Projection orthogonale sur une droite du plan
II-2 Projection orthogonale sur un plan
II-3 Projection orthogonale sur une droite de l’espace
III- Retour aux systèmes linéaires
(Solution au sens des MCO)
Objectif du cours
Approfondir les connaissances des étudiants en algèbre linéaire par l’étude quasi-complète d’un
système linéaire, notamment résolution au sens des MCO et par l
’initiation à l’orthogonalité et à
la projection orthogonale, avec une application aux droites et aux plans.
Pré
-
reqcuis recommandé
 Fonction d’une variable
Calcul matriciel
Mode d’évaluation
 Contrôle final (2h)
 contrôle de rattrapage (1h30)
Déroulement du cours
 Cours magistraux (26h)
 Travaux dirigés intégrés dans le cours (14
h)
Support du cours
 Polycopié du cours
 Séries d’exercices

Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
 !
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
 : Algèbre II
Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Session printemps
Session printempsSession printemps
Session printemps-
--
-été
étéété
été
1
11
1
C
C
CH
H
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A
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R
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E
E L
L
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NÉ
É
ÉA
A
AI
I
IR
R
RE
E
E
I- Généralités ........................................................................................................................ 2
I-1 Définition d’un système linéaire .............................................................................................................. 2
I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire ............................................................................................... 2
I-3 Rang d’un système linéaire ...................................................................................................................... 3
II- Résolution d’un système linéaire ................................................................................... 3
II-1 Résolution d’un système linéaire de Cramer .......................................................................................... 3
D
Dé éf fi in ni it ti io on n d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e d de e C Cr ra am me er r ........................................................................................................... 3
R
Ré és so ol lu ut ti io on n p pa ar r l l’ ’i in nv ve er rs si io on n d de e l la a m ma at tr ri ic ce e d du u s sy ys st tè èm me e ................................................................................. 4
R
Ré és so ol lu ut ti io on n p pa ar r l la a m mé ét th ho od de e d de e C Cr ra am me er r ........................................................................................................ 5
II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer ................................................................................... 6
R
Ré és so ol lu ut ti io on n d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e a av ve ec c s se ec co on nd d m me em mb br re e ......................................................................................... 7
C
Ca as s p pa ar rt ti ic cu ul li ie er r d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e h ho om mo og gè èn ne e .................................................................................................... 9
III- Application aux éléments propres d’une matrice carrée ........................................... 11
III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur propre associé......................................................... 11
III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace propre associé...................................................... 11

[ S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II ]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Session printemps
Session printempsSession printemps
Session printemps-
--
-été
étéété
été
2
22
2
I
I
I-
-
-
I
I- -1 1 D Dé éf fi in ni it ti io on n d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e l li in né éa ai ir re e
D
Dé éf fi in ni it ti io on n : :
On appelle système linéaire de
n
équations à
m
inconnues tout système de la forme :
=++
=
+
+
nmnmn
mm
bxaxa
bxaxa
SL M
L
11
11111
)(
 Les coefficients
)11(, mjetniba
iij
≤
≤
≤
≤
sont des réels donnés.
 Le
n
-uplet
),,(
1n
bb L
est dit second membre du système
)(S
.
m
xx ,,
1
L
sont les inconnues du système.
 Un
m
-uplet
),,(
1m
xx L
de
m
IR
est solution de
)(S
si elle vérifie les
n
équations du système.
 Résoudre
)(S
c’est décrire l’ensemble de ces solutions.
 Le système
)(S
est compatible s'il admet au moins une solution, sinon
)(S
est dit incompatible.
 Le système
)(S
est dit homogène si
0
1
===
n
bb L
.
E
Ex xe em mp pl le e : :
−=−−+− =−+
=
+
−
+
1322 02 132
)(
4321
321
4321
xxxx xxx xxxx
S est un système linéaire de 3 équations à
4
inconnues
I
I- -2 2 E Ec cr ri it tu ur re e m ma at tr ri ic ci ie el ll le e d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e l li in né éa ai ir re e
 Tout système linéaire
=++
=
+
+
nmnmn
mm
bxaxa
bxaxa
SL M
L
11
11111
)( peut s’écrire sous la forme matricielle bXA
=
. ,
avec : =
nmn
m
aa
aa
AL MMM
L
1
111
, =
m
x
x
XM
1
et =
n
b
b
bM
1
= ⇔
=++
=
+
+
nmnmn
m
nmnmn
mm
b
b
x
x
aa
aa
bxaxa
bxaxa
SMM
L
MMM
L
L
M
L
11
1
111
11
11111
.)(
D
Dé éf fi in ni it ti io on n : : ( (M Ma at tr ri ic ce e d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e l li in né éa ai ir re e) )
Soit le système linéaire :
=++
=
+
+
nmnmn
mm
bxaxa
bxaxa
SL M
L
11
11111
)(
 La matrice
mjni
ij
aA
≤≤≤≤
=
1,1
)(
s’appelle la matrice du système
)(S
.

[ S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II ]
Chapitre 1 : Résolution de systèmes linéaires
Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Professeure Salma DASSER
Professeure Salma DASSER Session printemps
Session printempsSession printemps
Session printemps-
--
-été
étéété
été
3
33
3
E
Ex xe em mp pl le e : :
−=−−+− =−+
=
+
−
+
1322 02 132
)(
4321
321
4321
xxxx xxx xxxx
S
 La matrice du système
)(S
est égale à :
−−− −
−
=3221 0312 1321 A
 L’écriture matricielle du système
)(S
est alors :
−
=
−−− −
−
1
0
1
.
3221 0312 1321
4
3
2
1
x
x
x
x
I
I- -3 3 R Ra an ng g d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e l li in né éa ai ir re e
D
Dé éf fi in ni it ti io on n : :
On appelle le rang d’un système linéaire, celui de sa matrice.
E
Ex xe em mp pl le e : :
−=−−+− =−+
=
+
−
+
1322 02 132
)(
4321
321
4321
xxxx xxx xxxx
S
 La matrice du système
)(S
est égale à :
−−− −
−
=3221 0312 1321 A
3)(
=
Srg
car
3)(
=
Arg
: 0
221 312 321
det ≠
−− −
−
I
I
II
I
I-
-
- R
R
R
I
II I- -1 1 R Ré és so ol lu ut ti io on n d d’ ’u un n s sy ys st tè èm me e l li in né éa ai ir re e d de e C Cr ra am me er r
!
! " " # #
D
Dé éf fi in ni it ti io on n : :
Un système linéaire est dit de Cramer si le nombre de ses inconnues
m
est égal au nombre de ces
équations
n
et est égal à son rang
r
)( rmn
=
=
.
T
Th hé éo or rè èm me e : :
Un système linéaire est de Cramer ssi sa matrice associée est carrée
)( mn
=
et inversible
)( nr
=
.
Un système linéaire de Cramer admet une unique solution.
L’unique solution d’un système linéaire homogène de Cramer est le vecteur nul.