14 Loi normale, timation intervalle de fluctuation, es

Chapitre 14 n Loi normale, intervalle de fluctuation, estimation n 325
© éditions Belin, 2012.
Loi normale,
intervalle de fluctuation, estimation
14
Ouverture
Réponse à la question
La loi de probabilité suivie par la variable Xn est la
loi binomiale de paramètres n et p.
Vérifier ses acquis
1 a. X suit la loi binomiale
15 1
37
;
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜.
b. X suit la loi binomiale 30 1
2
;
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜.
c. X est mal définie.
d. X ne suit pas une loi binomiale, car le fait
qu’un professeur soit choisi pour l’un des autres
voyages exclut qu’il soit à nouveau choisi pour ce
même voyage (tirage sans remise).
2 a.
b.
3 1. Soit X une variable aléatoire de loi bino-
miale 
(;,)502
.
a. PX() ,, ,
¥¥
210020802048
23 .
b. PX(),,
,,
,
,.
208502 08 10 02 08
09421
54
23
¥¥ ¥ ¥
c. L’espérance de X vaut :
EX() ,¥ 5021
.
2. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale
(;,)100 01
. L’espérance de X vaut :
EX() ,¥100 01 10
.
3. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale
(;)10 p
de variance V(X) = 1,6.
10p (1 – p) = 1,6 d’où : p (1 – p) = 0,16 soit :
p = 0,8 ou bien p = 0,2
4. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale
(;,)60 05
.
a.
PX PX()(),
23 37 00462
.
b.
15 20 251051 30 35 40 45 50 55 60
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
Le diagramme est symétrique par rapport à l’axe
d’équation x = 30.

326 n Chapitre 14 n Loi normale, intervalle de fluctuation, estimation
© éditions Belin, 2012.
4 a. X est distribuée selon la loi binomiale
(;)np
.
b. L’intervalle Ip
npn
n- 
È
Î
͢
˚
˙
11
; est l’inter-
valle de fluctuation de la variable aléatoire X
n
rencontré en classe de seconde dont on peut
affirmer que :
PX
nIn
Œ
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜095, , pour n suffisamment grand.
c. a est le plus grand des entiers tel que :
PX a(),
0025
, et b le plus petit des entiers tels
que :
PX b(),
0975
.
Pa XbPX bPXa()()()
-
≥
0,975 – 0,025 = 0,95.
Ja
b
n
[;] est un intervalle de fluctuation de la
variable aléatoire X
n
dont on peut affirmer que :
PX
nabŒ
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
[;
],
09
5
.
5 a. X est distribuée selon la loi binomiale
120 085;, .
b. On note b le plus grand entier tel que :
PX b 005, .
kP(X = k)P(X < = k)
160 0,01155 0,03355
161 0,01626 0,04980
162 0,02218 0,07198
Règle de décision :
•si
X161
, on ne peut se permettre de rejeter
l’hypothèse du laboratoire pharmaceutique au
seuil de 5 % ;
•si
X160
, on rejette l’hypothèse du labora-
toire pharmaceutique au seuil de 5 %.
c. Au vu de l’échantillon des 200 malades, on
rejette au seuil de 5 % l’hypothèse du laboratoire
pharmaceutique.
Remarque : On la rejetterait également au seuil
de 1 pour 10 000 000.
6 a. aa dx
nn x
n
n
-
-
Ú
12
10e  ;
bb
x
dx
nn
n
n
-
Ú
12
11
1
0 ;
cc
x
dx
nn
n
n
-
Ú
12
1
210.
Les suites (an), (bn) et (cn) sont donc croissantes.
b.
ae
nn
-
-
1
2
12
()
et cn
n
n
1
.
c. bxdx xdx
x
dx b
n
n
n
ÚÚ
Ú
12
0
1
2
1
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
11
1
Ú
x
dx
2
0
1
Les suites (an) et (cn) tendent respectivement vers
1
2
et 1.
La suite (bn) croissante et majorée est donc
convergente.
Activités d’introduction
Activité 1 Une variable naturellement
centrée
Partie 1
1
Les valeurs possibles du couple (R(w), L(w)) où
R(w) est le nombre de pas vers la droite et L(w) le
nombre de pas vers la gauche sont les couples
(i, j) où i + j = 16 pour lesquels X(w) prend la
valeur :
ij i¥-¥-¥025025 216025,,(),
.
Les valeurs possibles de la variable aléatoire X
sont celles de l’ensemble
X() ,,,,,,,
,, ,, ,
W -- -- -- -
Ì
Ó
-
47
235 223 21
1
201 213 22,,,,,
5
237 24¸
˝
˛
2
a. PX PR()() 
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
4161
2
16
;
PX PR()()- Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
40
1
2
16
.

Chapitre 14 n Loi normale, intervalle de fluctuation, estimation n 327
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b.
k012345678
xk–4,0 –3,5 –3,0 –2,5 –2,0 –1,5 –1,0 –0,5 0,0
P(X = xk)0,0000 0,0002 0,0018 0,0085 0,0278 0,0667 0,1222 0,1746 0,1964
k9 10 11 12 13 14 15 16
xk0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
P(X = xk)0,1746 0,1222 0,0667 0,0278 0,0085 0,0018 0,0002 0,0000
3
Comme cela a été observé dans la question 1. :
a.
XR
L
-
1
4()
b.
RL16
d’où c. XR
-
2
4
4
a. R est distribuée selon la loi binomiale
16 1
2
;
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ dont l’espérance vaut E(R) = 8 et la
variance vaut V(R) = 4.
b. Il en résulte :
EX ER ER() ()-
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
-
1
241 2
40
et
VX
VR VR() ()-
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
1
241 4
1
c. La loi de X a déjà été donnée à la question b.
d. Il suffit d’ajouter une ligne au tableau précédent.
k012345678
xk–4,0 –3,5 –3,0 –2,5 –2,0 –1,5 –1,0 –0,5 0,0
P(X = xk)0,0000 0,0002 0,0018 0,0085 0,0278 0,0667 0,1222 0,1746 0,1964
P(X ≤ xk)0,0000 0,0003 0,0021 0,0106 0,0384 0,1051 0,2272 0,4018 0,5982
k9 10 11 12 13 14 15 16
xk0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
P(X = xk)0,1746 0,1222 0,0667 0,0278 0,0085 0,0018 0,0002 0,0000
P(X ≤ xk)0,7728 0,8949 0,9616 0,9894 0,9979 0,9997 1,0000 1,0000
e. Courbe représentative de la fonction :
Fx PX x:()
a
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 0,0 1,0 4,02,0 3,0 5,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Partie 2
1
• PourN = 16, l’escalier compte 16 marches
dont la plus haute est la 8e de hauteur 0,1964.
•PourN = 64, l’escalier compte 64 marches dont
la plus haute est la 32e de hauteur 0,0993.
•Pour N = 256, l’escalier compte 256 marches
dont la plus haute est la 128e de hauteur 0,0498.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,2
0,4

328 n Chapitre 14 n Loi normale, intervalle de fluctuation, estimation
© éditions Belin, 2012.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,2
0,4
b. c. Ci-dessus les fonctions obtenues pour
N = 64 et N = 256. La hauteur des marches est
faible ; il semble que les trois courbes en escalier
évoluent au fur et à mesure que N augmente vers
une courbe limite « continue » admettant pour
centre de symétrie le point (0 ; 0,5).
La question 3 a été supprimée dans l’exemplaire
de l’élève.
Activité 2 Loi normale centrée réduite
Dans l’exemplaire élève l’énoncé a été modifié
comme suit :
1. e. Quelle semble être la relation entre la valeur
la plus probable de Mn et np l’un des deux entiers
les plus proches de np ?
2. b. Dans le tableur, en colonne 3, on a
Uk > U5/100.
On considère une suite de variables X
n
distri-
buées selon la loi 
()np;
où p est un réel
strictement compris entre 0 et 1.
1
a. La variable Xn est susceptible de prendre
toute valeur entière comprise entre 0 et n.
b. Le quotient u
u
k
k
1 vaut :
u
u
n
kpp
n
kpp
k
k
knk
kn
--
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜-
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜-
1
11
11
1
()
()
--
-
¥-
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
k
nk
k
p
p11
c. d. On note que u
ukn
pq
k
k
€-
11
n p np – q np Ent(np) P(X=ENT(np)–1) P(X=ENT(np)) P(X=ENT(np)+1) P(X=ENT(np)+2)
10 0,46 4,06 4,6 4 0,156390749 0,233138061 0,238318907 0,169177002
20 0,46 8,66 9,2 9 0,155258327 0,176342791 0,165239726 0,127963424
30 0,46 13,26 13,8 13 0,11834877 0,139590857 0,1443916 0,131200269
40 0,46 17,86 18,4 18 0,114821109 0,124980179 0,123274796 0,110262457
50 0,46 22,46 23 23 0,108608804 0,112631352 0,107938379 0,095625408
60 0,46 27,06 27,6 27 0,094947312 0,101850203 0,102254371 0,096116497
e. On désigne par [np] la partie entière du pro-
duit np.
On constate dans chacune des situations que :
u
u
k
k
1
1
 pour
knp
[]
et u
u
k
k
1
1
 pour
knp
[]1
pour p = 0,46 fixé et n = 10, 20, 30. Dans cha-
cune de ces situations, la valeur de Xn la plus
probable est le nombre noté np
Ce nombre np est l’un des deux entiers les plus
proches de np.
f. • Lerésultaténoncédanscestroissituations
est assez simple à démontrer
•si
knp
[]
, alors
knp
[]-1
donc
knpq
-
d’où
uu
kk
1
•si
knp
[]
, alors
knp
1
donc
knpq
-
d’où
uu
kk
1
np est donc l’un des deux nombres [np] ou bien
[np] + 1.
2
On fixe p = 0,46 et q = 1 – p.
On se propose de construire pour n = 10, 20,
30, 40, 50, 60 les diagrammes en bâtons des
variables Xn dans un repère choisi de sorte que
les diagrammes occupent au mieux l’espace dis-
ponible, à savoir 10 cm sur l’axe des abscisses et
5 cm sur l’axe des ordonnées.
a. On note que np = 4,6. Les deux valeurs les plus
élevées de la suite (uk) sont :
uu
45
023314 0
23832,,
et
b. Les valeurs de k telles que
uM
k10
100
00023832, sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
On représentera donc le diagramme dans le
cadre [0 ; 10] × [0 ; 0,23832].

Chapitre 14 n Loi normale, intervalle de fluctuation, estimation n 329
© éditions Belin, 2012.
3
a. Les valeurs demandées sont :
n Mn a b ETUDE SUR AMPLITUDE
10 0,23832 1 9 [0 ; 10] 8
20 0,17634 3 15 [2 ; 16] 12
30 0,14439 6 22 [5 ; 23] 16
40 0,12498 9 27 [8 ; 28] 18
50 0,11263 13 33 [14 ; 34] 20
60 0,10225 17 39 [15 ; 35] 22
b. Les amplitudes de l’intervalle [a, b] augmentent, mais de moins en moins.
c. d.
n p np-q np Ent(np) Mn Mn*RACINE(npq) LIMITE ERREUR
10 0,46 4,06 4,6 4 0,23832 0,37561 0,3989 –5,85 %
20 0,46 8,66 9,2 9 0,17634 0,39305 0,3989 –1,48 %
30 0,46 13,26 13,8 13 0,14439 0,39417 0,3989 –1,20 %
40 0,46 17,86 18,4 18 0,12498 0,39396 0,3989 –1,25 %
50 0,46 22,46 23 23 0,11263 0,39694 0,3989 –0,50 %
60 0,46 27,06 27,6 27 0,10225 0,39476 0,3989 –1,05 %
800 0,46 367,46 368 368 0,02829 0,39882 0,3989 –0,03 %
4
Pour pouvoir suivre l’évolution des dia-
grammes, on va :
•centrer les variables Xn, c’est-à-dire retran-
cher leur espérance np : cela pour éviter que les
valeurs les plus probables sortent du cadre ;
•réduire ces variables, c’est-à-dire les diviser par
leur écart type npq, cela pour que les intervalles
In ne sortent du cadre.
On pose donc : Z
Xn
p
npq
nn
-
Pour éviter que les diagrammes ne s’affaissent,
on multiplie chaque probabilité par npq
a. Les valeurs susceptibles d’être prises par la
variable Z
n
sont :
zknp
npq
kn
k-où variede0à
On représente à l’aide d’un diagramme en bâtons
la fonction znpq PZ znpq u
kkkk
a¥
¥
()
b. c. On considère le cas n = 100, p = 0,46 et
q = 1 – p.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,40128618 0,80257235 1,20385853 1,60514471 2,00643088 2,40771706 2,80900324 3,21028942
–2,8090032 –2,4077171 –2,0064309 –1,6051447 –1,2038585 –0,8025724 –0,4012862
d. On constate que le nombre de bâtons d’abs-
cisse comprise entre –3 et 3 est de plus en plus
grand et que PZ
zn
pq
ud
x
dx
kk k
znpq
znpq
x
z
k
k
() ¥
@
-
-
Ú1
2
1
2
1
2
1
2
2
pe
kk
k
npq
znpq
-
Ú1
2
1
2
comme le suggère le schéma suivant :