chapitre 1

77
Chapitre 1 ■ Notions de fonction
© Éditions Belin 2010
Ce 1er chapitre consacré aux fonctions, à traiter très tôt dans l’année, donne
l’occasion de revoir les notions d’image par une fonction et de courbe
représentative d’une fonction vues en classe de troisième.
Il est complété ici par la notion d’ensemble de défi nition (et donc d’intervalle),
mais aussi par de nombreuses capacités concernant l’obtention d’une image,
d’un tableau de valeurs ou d’une représentation graphique, à l’aide d’une
calculatrice ou d’un logiciel adapté.
Ce chapitre peut aussi être abordé par le dernier paragraphe du cours sur
les différentes façons de défi nir une fonction (ou une quantité en fonction
d’une autre).
La notion d’antécédent, plus utilisée pour les équations du type f(x) = k,
a volontairement été écartée de ce chapitre, pour ne pas que l’élève fasse de
confusion avec la notion d’image ; elle intervient donc plutôt dans le 2e chapitre.
Enfi n, un moment doit être prévu pour faire découvrir l’existence des mémoires
de la calculatrice, pour mieux appréhender ensuite l’affectation des valeurs
dans un algorithme.
Notions de fonction Chapitre 1
Ouverture
« L’ascension débutera dans les jours qui
viennent en fonction des conditions météo-
rologiques ».
Cette phrase est naturelle et toute personne,
en l’écoutant, établit une correspondance
entre le temps qu’il va faire dans les jours
qui viennent et l’ascension prévue : le
concept de fonction est utilisé par l’homme
depuis toujours.
Il est tellement naturel qu’il fut longtemps
utilisé comme dans le langage courant, sans
aucune axiomatisation : une fonction était
souvent une « boîte noire » qui, recevant un
réel, va (ou ne va pas) fournir un réel ; c’est
ce qui apparaît dans les travaux d’Euler qui
utilise des « formules » permettant, ou non,
de calculer des valeurs : aucun domaine
n’est précisé, c’est une tentative de calcul
qui peut ne pas aboutir…
Un changement radical de point de vue va
s’effectuer avec Riemann ; pour étudier de
nouveaux concepts, comme la continuité
ou la dérivabilité, il était important d’avoir
des défi nitions précises et on assista alors à
une axiomatisation précise des concepts de
fonction.
Ce sont les premiers pas de ces concepts qui
sont l’objet de ce chapitre.
Pour Euler l’écriture proposée : 0,99999…,
qui n’est pas un développement décimal
« propre », ne pose aucun problème. Sans
recours à la notion de somme d’une série,
sans hésiter il lui attribue la valeur 1.
C’est évidemment une réponse facile à
imaginer : 0,9 est une nombre décimal,
strictement inférieur à 1, mais à une dis-
tance de 1/10 du nombre 1, de même 0,99
est lui à une distance de 1/100, 0,999 à une
distance de 1/1000,…
7

8
Chapitre 1 ■ Notions de fonction
© Éditions Belin 2010
Pour bien commencer
Exercice 1
1. b/ et d/. 2. b/ et c/. 3. b/ et c/. 4. b/ et c/.
Exercice 2
1. b/, c/ et d/. 2. b/ et c/.
Activités d’introduction
Commentaires
Chacune des activités demandent une part
non négligeable de prise d’initiative de la part
des élèves, notamment les activités 4 et 5. Elles
permettent de réinvestir la notion de fonction
vue en classe de troisième, mais aussi d’abor-
der tout le cours, en s’aidant d’une calculatrice
graphique ou d’un logiciel adapté.
L’activité 1 met en œuvre deux algorithmes
différents menant à la même expression
algébrique. On peut alors réintroduire la
notion d’image et de fonction. Cette acti-
vité est aussi l’occasion de voir le niveau
des élèves concernant les techniques de
développement, de factorisation, et de
résolution d’une équation, qui seront revues
dans le chapitre 4 : ces techniques algébriques
n’étant pas l’objectif principal (à demander
quand même aux meilleurs élèves), on pourra
ici se satisfaire d’un logiciel de calcul formel
ou d’une représentation graphique. En effet,
l’essentiel est que les élèves voient que plusieurs
nombres différents au départ peuvent avoir la
même image par une fonction.
L’activité 2 illustre également le fait que
plusieurs nombres distincts peuvent avoir
la même image par une fonction f, mais
montre surtout que l’ordonnée d’un point
M de la courbe représentative de f est égale
à l’image de l’abscisse de M. La mécon-
naissance du logiciel GeoGebra n’empêche
nullement la réussite de cette activité.
L’activité 3 est utile pour travailler sur le sens
de l’expression « en fonction de », ainsi que
sur la capacité à reconnaître la variable utili-
sée pour la fonction.
L’activité 4 insiste d’abord sur la nécessité
d’utiliser les ensembles de nombres que
sont les intervalles ; et elle fait rechercher des
méthodes pour obtenir l’ensemble de toutes
les images, en réintroduisant ici la notion de
tableau de valeurs et de courbe représenta-
tive, et en recherchant une fenêtre adaptée.
Enfi n, l’activité 5 fait rechercher l’expression
d’un temps T en fonction de la profon-
deur du puits. Et elle donne l’occasion de
rechercher l’image d’un intervalle par une
fonction, en discutant sur la pertinence du
pas d’un tableau de valeurs, le choix de la
représentation graphique devant apparaître
plus judicieux, à condition que la courbe soit
tracée minutieusement (au millimètre près).
Activité 1 1. a/ Le résultat est −40.
b/ Le résultat est −40.
c/ Avec un nombre x pris au départ, l’algo-
rithme A donne 4x2 + 28x, et l’algorithme B
donne (2x + 7)2 − 49 = 4x2 + 28x. On obtient
donc le même résultat : les deux algorithmes
décrivent la même fonction.
2. a/ Avec −2 ou −5, on obtient −40.
b/ (2x + 7)2 − 49 = − 40 ⇔ (2x + 7)2 − 9 = 0
⇔ (2x + 4)(2x + 10) = 0 ⇔ x = −2 ou x = −5.
Donc seuls −2 ou −5 aboutissent au même
résultat −40.
3. a/ En prenant 0 au départ, on obtient 0 à
l’arrivée.
b/ (2x + 7)2 − 49 = 0 ⇔ 2x(2x + 14) = 0
⇔ x = 0 ou x = −7.
Donc −7 aboutit aussi au résultat 0.
Activité 2 @ fi chier GeoGebra disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
Les résultats sont donnés avec
f(x) = 0,25x3 − 0,75x2 − 1,5x + 2
(l’élève ne doit que déplacer le point M en
rouge, pas modifi er la courbe).
1. a/ f(−1,5) ≈ 1,72 et f(3) ≈ −2,5.
b/ f(2,5) ≈ −2,53 et f(−2,5) ≈ −2,84.
c/ −1 ou −0,45 ou 4,45.
2. a/ M a pour ordonnée f(4,5) ≈ 2,84.
b/ M peut avoir comme abscisse approxima-
tive −1,37 ou 0 ou 4,37.
c/ M(−2,2 ; −1) ou M(1,46 ; −1) ou M(3,75 ; −1).
d/ M(−0,6 ; 2,58) ou M(−0,86 ; 2,58) ou
M(4,46 ; 2,58).
e/ M a pour ordonnée f(x).

99
Chapitre 1 ■ Notions de fonction
© Éditions Belin 2010
Activité 3 Dans toute l’activité on note R le
rayon du disque.
1. a/ ᏼ = 6 ⇒ R = 3
π ≈ 0,955 cm
⇒ Ꮽ = ππ
3
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
= 9
π ≈ 2,86 cm2.
b/ ᏼ = 2πR ⇒ R = ᏼ
2π
⇒ Ꮽ = ππ
ᏼ
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
= ᏼ2
4π.
À chaque valeur de ᏼ, on associe une unique
valeur de Ꮽ : donc Ꮽ s’exprime en fonction
de ᏼ.
2. a/ Ꮽ = 29π ⇒ πR2 = 29π
⇒ R = 29 ≈ 5,385 (cm)
⇒ ᏼ = 229π ≈ 33,8 (cm).
b/ Ꮽ = πR2 ⇒ R = Ꮽ
π ⇒ ᏼ = 2ππ
Ꮽ.
À chaque valeur de Ꮽ, on associe une
unique valeur de ᏼ : donc ᏼ s’exprime en
fonction de Ꮽ.
3. Dans 1. on a la fonction f : ᏼ 哫 Ꮽ avec
Ꮽ = f(ᏼ) = ᏼ2
4π (la variable est ᏼ).
Dans 2. on a la fonction g : Ꮽ 哫 ᏼ avec
ᏼ = g(Ꮽ) = 2ππ
Ꮽ (la variable est Ꮽ).
4. Les fonctions f et g ne sont pas linéaires,
donc Ꮽ n’est pas proportionnel à ᏼ (on peut
aussi voir que Ꮽ
ᏼ n’est pas constant).
Activité 4 On note x = AB, y = BC et
h = SA = 3x.
a/ Comme x ⭓ 0, y ⭓ 0 et x + y = 12, on a
0 ⭐ x ⭐ 12 donc I = [0 ; 12] (on peut aussi
prendre I = ]0 ; 12[ si l’on ne veut pas un
rectangle ABCD aplati).
b/ Le volume de SABCD est V(x) = x2(12 − x)
= −x3 + 12 x2.
À l’aide d’une calculatrice, on conjecture
J = [0 ; 256].
c/ Si ABCD est un carré, alors x = 6 et on a
bien V(6) = 216.
d/ À l’aide de la calculatrice (ou un logiciel
de calcul formel), on a V(x) = 216 ⇔ x = 6
ou x ≈ 9,7. Donc on peut avoir un volume de
216 cm3 sans que ABCD soit un carré.
Activité 5
a/ Temps mis au caillou pour tomber :
t1 = 270
98 267
d
g=≈ ,, s.
Temps mis au son pour remonter :
t2 = d
343
35
343 010=≈, s.
Temps total : T = t1 + t2 ≈ 2,77 s.
b/ On détermine T en fonction de d :
T = dd
4 9 343,+. On construit alors la courbe
représentative de la fonction d 哫 T, et on lit
que l’on a 3,1 ⭐ T ⭐ 3,5 pour une profondeur
d (en m) telle que 43,3 ⭐ d ⭐ 54,7 (environ).
Exercices et problèmes
LES INTERVALLES DE
⺢
1
1
1. a/, b/ et d/. 2. c/. 3. a/.
2
2
a/ ∈. b/ ∉. c/ ∉. d/ ∉. e/ ∈. f/ ∈. g/ ∈.
h/ ∈. i/ ∉. j/ ∉.
4
4
a/ −9 ⭐ x ⭐ 2. b/ x ⬍ 5. c/ 0 ⬍ x ⬍ 1.
d/ x ⭓ −3. e/ 2 ⬍ x ⭐ 6. f/ 1 ⭐ x ⬍ 10.
5
5
a/ x ∈ ]−3 ; 5] ; b/ x ∈ [−2 ; +∞[ ;
c/ x ∈ ]−∞ ; 10[ ; d/ x ∈ [1 ; 3] ;
e/ x ∈ [1 ; 3] ; f/ x ∈ ]−∞ ; 0] ;
6
6
a/ ]−∞ ; 0] ; b/ ]0 ; +∞[ ; c/ ]5 ; 6[ ; d/ ∅ ;
e/ {−2 ; 2} ;
7
7
a/ I = ]−1 ; 8] ; b/ J = ]−∞ ; 10] ;
c/ K = ]−∞ ; −1
3[ ; d/ S = [5
2 ; +∞[ ;
e/ T = ]0 ; +∞[ ;
9
9
a/ I ∩ J = J et I ∪ J = I.
b/ I ∩ J = ]−1 ; 1] et I ∪ J = ]−∞ ; 5[.
c/ I ∩ J = J et I ∪ J = I.
d/ I ∩ J = ∅ et I ∪ J = [−3 ; +∞[.
e/ I ∩ J = {4} et I ∪ J = ]−∞ ; 10[.
f/ I ∩ J = I et I ∪ J = J.

10
Chapitre 1 ■ Notions de fonction
© Éditions Belin 2010
10
10
a/ [1 ; 2[ et ]−∞ ; 5].
b/ ]−1 ; 0] et [−5 ; 1[.
c/ ∅ et [−5 ; + ∞[.
d/ {3} et ]0 ; 7[.
e/ [−2 ; 0[ et ]−∞ ; 4].
11
11
a/ [−3 ; + ∞[ ∩ ]−∞ ; 7] = [−3 ; 7].
b/ [−3 ; + ∞[ ∪ ]−∞ ; 7] = ⺢.
c/ ]−∞ ; 5[ ∩ ]−∞ ; 8] = ]−∞ ; 5[.
d/ ]−∞ ; 5[ ∪ ]−∞ ; 8] = ]−∞ ; 8].
e/ ]2 ; + ∞[ ∩ ]−∞ ; 0] = ∅.
f/ ]2 ; + ∞[ ∪ ]−∞ ; 0].
g/ ]−∞ ;−3[ ∪ ]−3 ; + ∞[ = ⺢\{−3}.
h/ ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[ = ⺢\{0} = ⺢*.
NOTIONS DE FONCTIONS
12
12
a/ f(5) = 4. b/ f(−3) = 8. c/ f(0) = 2.
d/ d = f(t). e/ f(−3) = 5. f/ f(x) = y.
g/ g(0) = p. h/ f(2) = 0. i/ g1
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ = −7.
13
13
a/ −2 a pour image 1 par la fonction f.
b/ −2 est l’image de x par la fonction f.
c/ 4 a pour image 0 par la fonction g.
d/ b est l’image de 0 par la fonction g.
e/ y est l’image de x par la fonction f.
f/ v est l’image de t par la fonction f.
14
14
a/ Faux ; b/ vrai ; c/ faux ; d/ vrai ; e/ faux.
15
15
1. a/ −3 appartient à Ᏸ et a pour image
2 par la fonction f.
b/ B(−1 ; 0 ) ∈ Ꮿ.
c/ 3 ∈ Ᏸ et f(3) = 4.
2. P(4
3 ; 2) ∈ Ꮿ.
3. Il faudrait que 0,5 ∈ Ᏸ et que f(0,5) = 1.
16
16
Les courbes 1 et 3 représentent une
fonction défi nie sur [−5 ; 5].
Les courbes 2 et 4 ne représentent pas une
fonction car un nombre ne peut admettre
qu’une seule image.
18
18
a/ L’image par f de 4 est 1,5. En effet,
f(4) = 4443
42
3
2
2−×+
−= = 1,5.
b/ f(−1,5) = −
()
−×−
()
+
−−
15 4 15 3
15 2
,,
,
2
= 11 25
35
,
,−
=
−
45
14 ≈ −3,214, donc f(−1,5) ≠ −3,21.
c/ f(0) = −1,5. En effet, f(0) = 3
2− = − 1,5.
d/ f(x) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3.
e/ 2 n’a pas d’image par f car la division par 0
est impossible : ainsi, on ne peut pas calcu-
ler f(2).
19
19
a/ f(−3) = 2 ; f(0) = 3 ; f(2) = 5.
b/ L’image par f de 1 est 4, et celle de 3 est
6,2 environ.
c/ f(x) = y.
21
21
a/ Ex. 18 : Ᏸ = ⺢\{2}.
b/ Ex. 19 : Ᏸ = [−6 ; 8].
22
22
D’après le théorème de Pythagore
dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
AC AB BC=+=
22
34.
Or M ∈ [AC], donc 0 ⭐ d ⭐ 34. Donc
l’ensemble de défi nition de f est [0 ; 34].
24
24
a/ −1 ∈ [−1,5 ; 4,5] et f(−1) = −2, donc
A ∈ Ꮿ.
f(1,5) = 4,25 ≠ 4,3 donc B ∉ Ꮿ.
5 ∉ [−1,5 ; 4,5], donc C ∉ Ꮿ.
f(0,25) = 2,6875 ≠ 2,7 donc D ∉ Ꮿ.
f10
3
8
91
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=≠, donc E ∉ Ꮿ.
−8
3 ∉ [−1,5 ; 4,5], donc F ∉ Ꮿ.
f−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−≠−
2
3
4
9
1
2, donc G ∉ Ꮿ.
f(5) = −+335
≠ 3,7, donc H ∉ Ꮿ.
317
2
+ ∈ [−1,5 ; 4,5] et f317
2
+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ = 0,
donc M ∈ Ꮿ.
b/ Une lecture graphique, trop imprécise
pour connaître la valeur exacte d’une image,
ne peut suffi re pour répondre.
c/ N a pour ordonnée f8
3
26
9
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=.

1111
Chapitre 1 ■ Notions de fonction
© Éditions Belin 2010
25
25
1. −1 ∈ [−5 ; + ∞[ et f(−1) = 2 donc A ∈ Ꮿ.
f(1) = 65
2
≠, donc B ∉ Ꮿ.
−4 ∈ [−5 ; + ∞[ et f(−4) = 1, donc C ∈ Ꮿ.
3 ∈ [−5 ; + ∞[ et f(3) = 822=, donc D ∈ Ꮿ.
−5 ∈ [−5 ; + ∞[ et f(−5) = 0, donc E ∈ Ꮿ.
4
9 ∈ [−5 ; + ∞[ et f4 9
7
3
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=, donc F ∈ Ꮿ.
f(16) = 21 4 5≠+, donc G ∉ Ꮿ.
−14 ∉ [−5 ; + ∞[, donc H ∉ Ꮿ.
2. a/ Ꮿ a pour équation yx=+5.
b/ Le seul point P de Ꮿ d’abscisse 40 a pour
ordonnée 45 3 5=.
c/ x+5 = 3 ⇔ x + 5 = 9 ⇔ x = 4. Le seul
point K de Ꮿ d’ordonnée 3 a pour abscisse 4.
29
29
1. a/
b/
c/
2. La fonction f étant défi nie sur ⺢, on ne peut
pas visualiser entièrement toute la courbe
représentative de f sur un intervalle non borné.
31
31
1. 2. a/ @ un fi cher corrigé Open offi ce
Calc est disponible sur www.libtheque/maths
lycee.fr.
b/ Les deux courbes se coupent en trois points,
donc trois nombres réels x admettent la même
image par f et par g (x ≈ −0,7 ou x ≈ 0,4 ou
x ≈ 2,7).
33
33
a/ f(0) = −3 ; f(4) = 5 ;
f(3) = −23
≈ −3,46 ;
f(43
) = 45 8 3− ≈ 31,14 ;
f(43+) = 863+ ≈ 18,39.
b/ f(−1) = 0 et f(3) = 0, donc f(−1) = f(3).
34
34
À l’aide du graphique : f(1,5) ≈ 3,5.
À l’aide du tableau : f(4) = 2,45.
À l’aide de l’expression :
f(4,85) = 1 0275, ≈ 1,014.
35
35
a/ Ᏸ = ⺢ ; b/ Ᏸ = ⺢\{2} ; c/ Ᏸ = ⺢ ;
d/ Ᏸ = [2 ; +∞[ ; e/ Ᏸ = ]2 ; +∞[ ;
f/ Ᏸ = ⺢\{4} ; g/ ]−1 ; +∞[. h/ Ᏸ = ⺢*.
36
36
a/ Ᏸ = [−3 ; 6] ; b/ Ᏸ = [0 ; 10] ;
c/ Ᏸ = ]1 ; 2[. En effet, si l’on désigne par x
la longueur alors la largeur du rectangle est
−2x. De plus, x est strictement inférieur à 2
(rectangle non aplati). Or, une largeur est
inférieure ou égale à une longueur, donc x
est supérieur ou égal à 1.
37
37
1. a/ A2 − 5A − 8 = 0.
b/ On vient de calculer f557
2
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟.
2. a/ C’est un peu plus rapide car on ne tape
plus sur la touche ALPHA.
b/ Avec une TI :
Avec une Casio :
DÉCRIRE UNE FONCTION
38
38
a/ Vrai, car, à chaque consommation,
on associe un seul montant.
b/ Faux, car, à une intensité de l’effort phy-
sique, on peut associer plusieurs fréquences
cardiaques différentes.
c/ Vrai, car, à chaque périmètre du disque,
on associe une seule valeur de l’aire.