analyse

Cycle préparatoire 2ème année
Analyse dans Rn– Notes de cours
Romain Dujol
2013 – 2014

Table des matières
1 Espaces vectoriels normés 3
1.1 Espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Boule ouverte, boule fermée, sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Partie ouverte, partie fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Intérieur, adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Valeur d’adhérence et point adhérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Suite de CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Applications continues 17
2.1 Limite. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions continues . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Images de sous-ensembles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Compacité 25
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Lien avec les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Lien avec les applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Équivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Romain Dujol 1

4 Calcul différentiel 33
4.1 Dérivée partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Fonctions de classe C1sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 C1-difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles 41
4.4 Fonctions différentiables sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Changement de variables en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Calcul différentiel d’ordre supérieur 55
5.1 Différentiation d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Fonctions de classe Cksur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Ordre de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.4 Ck-difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Extrema de fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.2 Condition nécessaire d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.3 Conditions d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Romain Dujol 2

Chapitre 1
Espaces vectoriels normés
Dans ce chapitre, E,Fet Gdésignent des R-espaces vectoriels. En pratique, on aura souvent
E=Rp,F=Rn,pet ndésignant deux entiers naturels non nuls.
1.1 Espace vectoriel normé
1.1.1 Norme
Définition 1.1 (Norme). Une norme sur E est une application k·k de E dans Rqui vérifie les
trois propriétés suivantes :
1. ∀x∈E,(kxk=0⇐⇒ x=0E)
2. ∀λ∈R,∀x∈E,kλxk=|λ|kxk
3. ∀x∈E,∀y∈E,kx+yk≤kxk+kyk(« inégalité triangulaire »)
Si il existe une telle application, alors le couple (E,k·k)est un espace vectoriel normé.
Remarque. Donc k0Ek=0 et k−xk=|−1|·kxk=kxk.
Exemple.
•E=Rnest un espace vectoriel normé. Citons trois normes à connaître :
–∀x= (x1, ..., xn)∈Rn,kxk1=
n
X
i=1|xi|
–∀x= (x1, ..., xn)∈Rn,kxk2=sn
X
i=1
x2
i(norme « euclidienne »)
–∀x= (x1, ..., xn)∈Rn,kxk∞=max
1≤i≤n|xi|
Romain Dujol 3

•E=C([0, 1],R)l’ensemble des applications continues de [0, 1]dans Rest un espace vec-
toriel normé avec :
–∀f∈C([0, 1],R),kfk1=Z1
0|f(x)|dx
–∀f∈C([0, 1],R),kfk2=sZ1
0
[f(x)]2dx
–∀f∈C([0, 1],R),kfk∞=max
x∈[0,1]|f(x)|
Proposition 1.1. Une norme est toujours positive.
Démonstration. Soit x∈E, alors 0 =k0Ek=kx+ (−x)k≤ kxk+k−xk=2kxk. Donc kxk≥ 0.
Corollaire (Deuxième inégalité triangulaire). Soit k·k une norme sur E.
Alors pour tous vecteurs x et y de E , kxk−kyk≤kx−yk.
Démonstration. On a kxk=k(x−y) + yk≤kx−yk+kyk, donc kxk−kyk≤kx−yk
et kyk=k(y−x) + xk≤ ky−xk+kxk, donc kyk−kxk≤ ky−xk=kx−yk
On peut alors conclure que kxk−kyk=max{kxk−kyk,kyk−kxk}≤ kx−yk.
Définition 1.2 (Normes équivalentes). Soit k·kaet k·kbdeux normes sur E.
On dit que k · kaet k · kbsont équivalentes si et seulement si il existe deux réels
strictement positifs αet βtels que
∀x∈E,αkxka≤kxkb≤βkxka
Remarque. Les coefficients αet βdoivent être indépendants de x.
Proposition 1.2. La relation ainsi définie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes
sur E.
Exemple. Les trois normes k·k1,k·k2et k·k∞sont équivalentes :
∀x∈Rn,kxk∞≤kxk2≤kxk1≤nkxk∞
Théorème 1.1 (Équivalence des normes en dimension finie). Si E est un espace vectoriel
de dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes entre elles.
Démonstration. Voir démonstration en fin de chapitre 3, page 29.
Remarque. Dans le cas de la dimension finie uniquement, toutes les définitions ultérieures
seront donc indépendantes de la norme utilisée et celle-ci sera alors omise.
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