Chapitre 2: Le théorème de projection et ses applications

Chapitre 2: Le théorème de projection et ses
applications
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21 décembre 2007
1 Introduction
En géométrie élémentaire, si Pest un plan et xun point qui n’appartient
pas à P, il existe un unique point y∈Pqui est le plus proche de xau sens
de la distance euclidienne. Ce point yest en fait la projection orthogonale de
xsur le plan P. On va généraliser de manière abstraite cette propriété aux
espaces de Hilbert.
2 Projection sur un convexe fermé
2.1 Le résultat général
Soit Vun espace normé sur Rou C. On rappelle les définitions suivantes
Définition 2.1 : 1) On appelle segment d’extrémités a, b ∈V, le sous en-
semble de Vdéfini par
(1) [a, b] = {λa + (1 −λ)b∈V; 0 ≤λ≤1}
2) un sous ensemble A⊂Vest convexe si pour tous a, b ∈A,[a, b]⊂A.
Exemple : Tout sous espace vectoriel de Vest un ensemble convexe.
On considère à partir de maintenant un espace de Hilbert Hsur Cavec sa
norme ||x|| =√< x, x >.
Théorème 2.2 (de projection) : Soit Aun sous ensemble convexe fermé (et
non vide) de H. Alors pour tout x∈H, il existe un unique y∈Atel que
(2) inf
a∈A||x−a|| =||x−y||.
Autrement dit il existe un unique point y∈Aqui est à une distance de xla
plus petite possible1. Ce point ys’appelle la projection de xsur A.
∗Notes du cours sur les espaces de Hilbert de M. L. Gallardo, Licence 3-ième année,
Université de Tours, année 2007-2008. Les démonstrations sont données dans le cours oral.
1on notera qu’une borne inf n’est pas toujours atteinte. Ici le théorème dit que l’inf est
atteint et en un unique point.
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2.2 Projection sur un sous espace fermé
Le cas particulier le plus important du théorème précédent est la projection
sur un sous epace vectoriel fermé Fde H. Soit alors x∈H.
Corollaire 2.3 : 1) soit y∈Ftel que ||x−y|| = infz∈F||x−z||. Alors x−y
est orthogonal à F(i.e. orthogonal à tous les vecteurs z∈F).
2) Réciproquement si y∈Fest tel que x−y⊥F, alors ||x−y|| = infz∈F||x−z||
i.e. yest la projection de xsur F.
Définition 2.4 (et Notation) : Dans le cas du résultat précédent, on notera
y=PF(x)et on dira que yest la projection orthogonale de xsur F.
Corollaire 2.5 : La projection orthogonale PF:H→Fest une contraction
linéaire (i.e. une application linéaire telle que pour tout x∈H,||PF(x)|| ≤
||x||).
3 Applications du théorème de projection
3.1 Supplémentaires orthogonaux
Soit Hun espace de Hilbert et A⊂H,A6=∅un sous ensemble quelconque.
Définition 3.1 : On appelle orthogonal de A, l’ensemble
(3) A⊥={x∈H;∀y∈A, < x, y >= 0}.
Proposition 3.2 :A⊥est toujours un sous espace vectoriel fermé de H.
Exercice : Soit Mun sous espace vectoriel de H. Montrer que x∈M⊥si et
seulement si
(4) ∀y∈M, ||x−y|| ≥ ||x||.
(indication : pour la condition suffisante, pour y0∈Met F=Cy0la droite
engendrée par y0, on pourra remarquer que PF(x) = 0 puis utiliser la propriété
caractéristique de PF).
Théorème 3.3 : Soit Fun sous espace vectoriel fermé de H. Alors
(5) H=F⊕F⊥(somme directe orthogonale).
Autrement dit :
(6) ∀x∈H, ∃!y∈F, ∃!z∈F⊥, x =y+z
(ou le quantificateur ∃!signifie «il existe un unique»).
Remarque et Exercice : L’hypothèse que Fest fermé dans Hest fonda-
mentale. Par exemple si H=l2, le sous espace vectoriel Edes x= (xi)i∈N∗
tels que seules un nombre fini des coordonnées xisont non nulles2, n’est pas
fermé dans Het on a E⊥={0}. Dans ce cas E⊕E⊥=En’est pas égal à H.
2i.e. xi= 0 pour tout iassez grand.
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3.2 Décompositions orthogonales
Soit Dun ensemble fini ou dénombrable. Dans toute la suite on conviendra
que D={1,2, . . . , d}si Dest fini et D=N∗si Dest dénombrable. Soit alors
Hun espace de Hilbert et (en)n∈Dune famille de vecteurs de H.
Définition 3.4 : On dit que (en)n∈Dest un système orthonormal dans Hsi :
(7) ∀n6=m∈D, < en, em>= 0.
(8) ∀n∈D, ||en|| =√< en, en>= 1
Proposition 3.5 : Si (en)n∈Dest un système orthonormal, alors c’est une
famille (algébriquement) libre de vecteurs de H.
Corollaire 3.6 : Si (en)n∈Dest un système orthonormal dans H, alors
cardD ≤dimH. En particulier dans un espace de Hilbert de dimension finie
les systèmes orthonormaux sont finis.
Théorème 3.7 (projection sur un s.e.v. de dimension finie) : Soit e1, . . . , en
un système orthonormal fini et V=V[e1, . . . , en]le sous espace vectoriel de
Hengendré par les ei. Alors
(9) ∀x∈H, PV(x) =
n
X
i=1
< x, ei> ei.
Corollaire 3.8 : Si x∈V[e1, . . . , en], alors on a
(10) x=
n
X
i=1
< x, ei> eiet ||x||2=
n
X
i=1 |< x, ei>|2.
Corollaire 3.9 (inégalité de Bessel) : Soit (en)n∈Dest un système orthonor-
mal dans H, alors
(11) ∀x∈H, X
n∈D|< x, ei>|2≤ ||x||2.
(où Pn∈D|< x, ei>|2est une somme finie si Dest fini et une série conver-
gente si D=N∗).
3.3 Séries de Fourier associées à un système orthonormal
Soit (en)n∈Dest un système orthonormal dans Hqu’on suppose fixé pour
les définitions et les résultats qui suivent.
Définition 3.10 : Pour tout x∈H, on appelle :
1) coefficient de Fourier d’ordre n∈D(où n-ième coefficient de Fourier) le
nombre < x, en>(∈C),
2) série de Fourier de xla série3Pn∈D< x, en> en.
3c’est une série de vecteurs de Hsi D=N∗et une somme finie si cardD < +∞.
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Théorème 3.11 : Pour tout x∈H, la série de Fourier de xest convergente
dans Het sa somme est telle que
(12) 
X
n∈D
< x, en> en
2
=X
n∈D|< x, en>|2.
Exercice : Soit (λn)n∈Dune suite de nombres complexes. Montrer que la série
Pn∈Dλnenest une série de vecteurs convergente dans Hsi et seulement si la
série numérique Pn∈D|λ|2est convergente. Dans ce cas si x=Pn∈Dλnenest
la somme de la série, quels sont les coefficients de Fourier de xet que vaut
||x||2?
3.4 Bases hilbertiennes
On a vu au paragraphe précédent que la série de Fourier d’un vecteur x∈H
est toujours convergente, mais quelle est la valeur de sa somme ? Nous allons
aborder cette question dans ce paragraphe puis y répondre complétement dans
le paragraphe 3.5. On suppose toujours qu’un système orthonormal (en)n∈D
de Hest donné.
Définition 3.12 : On dit que (en)n∈Dest un système total dans Hsi
(13) {en;n∈D}⊥={0}.
Autrement dit si x∈Hest tel que < x, en>= 0 pour tout n∈D, alors x= 0.
Proposition 3.13 : Si V[en;n∈D]est le sous espace fermé4engendré par
les en(n∈D), alors (en)n∈Dest un système total si et seulement si
(14) V[en;n∈D]⊥={0}.
Théorème 3.14 : Si (en)n∈Dest un système orthonormal total dans H, alors
(15) ∀x∈H, x =X
n∈D
< x, en> en.
Autrement dit tout vecteur de Hest somme de sa série de Fourier. De plus
pour tous x, y ∈H, on a l’égalité de Bessel-Parseval
(16) < x, y >=X
n∈D
< x, en> < y, en>,
en particulier pour x=y, on obtient
(17) ||x||2=X
n∈D|< x, en>|2.
Définition 3.15 : Un système orthonormal total (en)n∈Dde Hest appelé
aussi base hilbertienne de H.
4On rappelle que V:= V[en;n∈D]est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires
(finies) Pλkenket que V[en;n∈D]est l’adhérence de Vdans H.
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Remarque : Une base hibertienne (en)n∈Dde Hn’est une base algébrique de
Hque si cardD < +∞i.e. si Hest de dimension finie.
Exercice : Montrer que si (en)n∈N∗est une base hilbertienne de H, le vecteur
P∞
n=1
1
nen∈Hne peut pas s’écrire comme une combinaison linéaire (finie)
des vecteurs en. En déduire que (en)n∈N∗n’est pas une base de Hau sens
algébrique. (On remarquera que d’après l’exercice du paragraphe 3.3, la série
P∞
n=1
1
nenest bien convergente dans Het elle représente donc un vecteur de
H).
Exemple : Si H=l2(voir le chapitre 1), pour tout n∈N∗considérons
l’élément e(n)= (e(n)
k)k∈N∗∈l2tel que e(n) k= 0 si k6=net e(n)
n= 1 i.e.
e(n)a toutes ses coordonnées nulles sauf la n-ième qui vaut 1. Le système
(e(n))n∈N∗est une base hilbertienne de l2qu’on appelle parfois base hilbertienne
canonique.
3.5 Cas général d’un système orthonormal quelconque
Soit (en)n∈Dun système orthonormal dans H.
Remarque : on notera que (en)n∈Dest toujours une base hilbertienne du sous
espace vectoriel fermé de Hqu’il engendre.
Théorème 3.16 : Soit V=V[en;n∈D]le sous espace vectoriel fermé de
Hengendré par les en(n∈D) et PVl’opérateur de projection orthogonale sur
V. Alors pour tout x∈H, on a
(18) PV(x) = X
n∈D
< x, en> enet ||PV(x)||2=X
n∈D|< x, en>|2.
On notera que lorsque le système (en)n∈Dest total, on a V=H,PV(x) = x
et on retrouve le résultat du théorème 3.14. comme cas particulier.
Question pratique : Soit Vun sous espace vectoriel fermé de H, comment
déterminer PV(x)?
Si dimV =d < +∞, il suffit de déterminer une base orthonormale puis d’ap-
pliquer le théorème 3.7.
Si dimV = +∞, il suffit de disposer d’un système orthonormal total dans V
et d’appliquer le théorème 3.16. Ceci n’est possible que dans les espaces de
Hilbert séparables comme on le verra dans le paragraphe 4.
Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (bn)n∈D(où
Dest fini ou dénombrable), une famille libre de vecteurs de Het soit V=
V[bn;n∈D]le sous espace vectoriel engendré par les bn. Pour tout k∈N∗,
soit Vk=V[b1, . . . , bk]le sous espace engendré par les kpremiers vecteurs. On
considère alors la suite des vecteurs (cn)n∈Dobtenus de la manière suivante :
(19) c1=b1, c2=b2−PV1(b2), . . . , ck=bk−PVk−1(bk), . . . (k∈N∗).
Théorème 3.17 : Les vecteurs en=ck
||ck||,n∈N∗forment un système ortho-
normal qui engendre Vi.e. tel que
(20) V=V[bn;n∈D] = V[en;n∈D]
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