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Table des Matières
Introduction 2
Introduction 2
1CHAP IT REI 4
1.0.1 Quelques rappels sur les distributions ...... 4
1.0.16 Support d’une distribution
7
1.0.20 Convergence dans D0() ................. 8
1.0.27 Multiplication des distributions par des fonctions . . . 9
1.0.28 Opérations élémentaires sur les distributions . . . . . . 9
1.0.30 dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2CHAP IT REII 14
2.1 la regularité des distributions DAE(Di¤erential Algebraic Equa-
tion) ................................ 14
2.2 Equations Di¤erentielles Ordinaires continues par morceaux
au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Solution pour une Equations Di¤erentielles Ordinaires contin-
ues par morceaux au sens des distributions . . . . . . . . . . . 19
.
1

2
Introduction generale sur les distributions
les distributions sont des fonctions généralisées elles ont été introduit pour
modéliser des phénomènes pour lesquels les fonctions classiques ne sont pas
pratiques à utiliser.
En fait, il y a plusieurs raisons pour introduire les distributions (des
raisons purement physiques et des raisons plus mathématiques)
Considérant l’exemple d’un signal physique d’une très grande intensité
sur une très petite région de l’espace(par exemple une charge électrique con-
centrée au voisinage d’un point)
Supposons que la quantité totale de la charge est égale à 1, elle est mod-
élisée par la fonction :
f(x) = nsi x2[1
n;1 n]
0sinon nn assez grand non determinées
Le physicien P. Dirac a introduit la fonction appelée "fonction" de Dirac
delta dé…ni par : :R!Rtel que
1)(0) = +1
2)(x) = 0;8x6= 0
3)R
R
(x)dx = 1
Dirac considère cette fonction de Dirac comme lim f(x)quand x!+1;
mais l’existence d’une telle fonction contredit la théorie d’intégration au sens
de Lebesgue car :
(x) = 0;8x6= 0 )= 0 pp sur R)R
R
(x)dx = 0 ce qui contredit
R
R
(x)dx = 1
D’où la nécessité d’introduire une limite de f(x)quand x!+1qui sorte
du cadre usuel des fonctions classiques , cette limite sera une distribution.
Considérant un autre exemple : la mesure relativement courante comme
la température d’un …l rectiligne en un point donné.
Il est évident que cette mesure n’est pas réalisable parfaitement en un
point , une mesure réaliste consisterait à tenir compte des températures au
voisinage du point considéré x0, selon une fonction de sensibilité 0de telle
sorte que pour une fonction de répartition T(x)de la température le long
de la barre on ait :

3
T0=ZT(x)0(x)dx
en un autre point x1;on aurait
T1=ZT(x)1(x)dx
où T; 0; 1; :::fonctions assez reguliéres.
d’où l’ecriture
< T;  > =ZT(x)(x)dx (1)
si x !T(x)(x)est Lebesgue integrable, l’écriture (1) mais en général en
physique (1) est singulière
D’où l’idée de ne garder que l’indispensable de (1) en considérant un
ensemble de fonctions représentant de manière coherente toutes les mesures
d’une grandeur physique donnée qu’il est possible d’e¤ectuer.
L’ensemble de ses fonctions s’appelle. "fonction test "ou fonction d’essai
et la mesure de la grandeur physique Test alors représentée par < T;  >
indépendamment de la forme intégrale de cette expression..
L’ensemble des grandeurs T"mesurables" par les fonctions tests s’appelle
alors ensemble des distributions.
Cet ensemble doit avoir un minimum de propriétés :
1/ il doit être un espace vectoriel des fonctions.
2/ il doit être un ensemble de formes linéaires sur l’espace vectoriel des
fonctions.
3/ le résultat de la mesure de Tpar est< T;  >...
Dans ce memoire nous commencons par rappeler les notions essentiels sur
les distributions puis nous presentons des resultats d’existence et d’unicité
de solution des EDO dans le cadre des distributions et nous terminons par
les resultats d’existence et d’unicité de solution pour les EDO continus par
morceaux ,ce travail s’inspire essentiellement de la these" S.Trenn"

Chapitre 1
1.0.1 Quelques rappels sur les distributions
Dé…nition 1.0.2 soit un ouvert de Rn
On de…ni les fonctions tests ':  !Csont supposées de classe C1et nulles
en dehors d’un intervalle borné .
L’ensemble de ces fonctions est noté par D(.)
Dé…nition 1.0.3 Une distribution Tsur est une application
T:D() !R
'!T(')
tel que
i/Test linéaire i.e 8;  2R;8'1; '22D()
T('1+'2) =.T ('1) + T ('2)
ii/pour tout compact Kil existe une constante c>0 et k2Ntel que
jT(')j  c
k
X
jj=0
sup
x2K
j@'(x)jpour tout '2D()
où @'(x)designe le dérivée d’ordre de '
Dk() = f':  !Rde classe C1tel que supp'Kgou supp'de-
signe le support de':
Dé…nition 1.0.4 soit k un entier naturel, une distribution Tsurest dite
d’ordre inférieur ou égal à ksi pour tout compact A, il existe c > 0telle
que:
jT(')j  csupx2Kj@'(x)jpour tout '2Dk()
4

5
Dé…nition 1.0.5 l’espace vectoriel des distributions sur est noté D0()
Cette notation est justi…ée par le fait qu’une distribution est une forme
linéaire continue sur D()ie D0() est dual de D()
Remarque 1.0.6 L’espace des distributions D0() est aussi un espace vec-
toriel sur C;on a en particulier
T= 0 ,< T; ' >= 0;8'2D()
i.e qu’une quantité physique et nulle ssi n’importe quelle mesure représen-
tée par 'est nulle.
L’ensemble des distributions d’ordre inférieur ou égal à kest noté par
D0k():
Dé…nition 1.0.7 a/ une fonction fest dite localement intégrable si elle est
intégrable sur tout intervalle borné …ni,on note par L1
loc. l’ensemble de ces
fonctions .
b/à toute fonction localement intégrable, on associe la distribution dé…nie
par
< Tf; ' >: = R
R
f(x)'(x)dx; 8'2D()
soient deux fonctions localement intégrables fet gp.p sur Rtel que f=g
p.p sur Ralors Tf=Tg:
on a aussi le resultat important
Théorème 1.0.8 Tf= 0 ,f(x) = 0 pp sur Rn
Dé…nition 1.0.9
Une distribution Test dite régulière si elle est associée à une fonction
localement intégrable f.
Exemple 1.0.10 (distribution de Heaviside)
La fonction de Heaviside est donnée par
H:x!0si x < 0
1si x0
On dé…nit la distribution de Heaviside qui est réguliere par :
< H; ' > =R
R+
1'(t)dt , elle est de support R+