analyse chapitre 1 a 6

'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH)RQFWLRQV²*pQpUDOLWpV
Sandrine CHARLES (06/10/2001)
Introduction
1 Définitions
1.1 Intervalles – voisinage
1.2 Fonctions réelles d’une variable réelle
1.3 Graphe d’une fonction
2 Opérations sur les fonctions
3 Fonction composée – Fonction réciproque
3.1 Fonction composée
3.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité
3.3 Fonction réciproque
4 Fonctions majorées, minorées, bornées - Extremums
4.1 Comparer, majorer, minorer des nombres réels
4.2 Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles
4.3 Extremums
5 Variation des fonctions
5.1 Fonctions croissantes, décroissantes, monotones
5.2 Somme et produit de fonctions monotones
5.3 Inverse d’une fonction monotone
5.4 Composition de fonctions monotones
6 Fonctions paires, impaires, périodiques
6.1 Fonctions paires et impaires
6.2 Fonctions périodiques
6.3 Axes et centres de symétrie
7 Un exemple d’application en Biologie

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p2/22 -
&KDSLWUH)RQFWLRQV²*pQpUDOLWpV
1·KpVLWH]SDVjFRQVXOWHUODOLVWHGHVV\PEROHVHQFDVGHGRXWH
VXUOHXUVLJQLILFDWLRQ
,QWURGXFWLRQ
Pour certains, la qualité du sommeil est fonction de la phase de la lune,
celle-ci déterminant également la qualité des légumes à venir. Si l’on
gratte un peu, on s’aperçoit que pour les uns, la pleine lune serait
favorable, alors que ce serait le contraire pour d’autres.
En mathématiques, une fonction est communément donnée par une règle de calcul associant à
un nombre (voir plusieurs…) appelé variable, souvent noté x, une image obtenue en
appliquant les règles de calcul définissant la fonction.
D’un point de vue historique, c’est Leibniz qui précise le concept de fonction (le terme est de
lui, 1692 : en latin functio = accomplissement, exécution).
Ce premier chapitre d’analyse présente les principales définitions nécessaires à l’étude des
fonctions réelles d’une variable réelle. Chaque paragraphe va permettre de rappeler pas à pas
les notions de base du programme de secondaire.
 'pILQLWLRQV
 ,QWHUYDOOHV²YRLVLQDJH
a et b étant deux réels, l’ensemble
{}
/xaxb∈<<\ est l’intervalle ouvert noté
][
,ab ;
a et b sont les bornes de l’intervalle.
L’ensemble
{}
/xaxb∈≤≤\ est l’intervalle fermé noté
[]
,ab, bornes comprises.
Les intervalles
]]
,ab (axb<≤) et
[[
,ab (axb≤<) sont semi-ouverts (ou semi-fermés).

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p3/22 -
Par extension, on a :
[[
,xa xa∈+∞⇔≥ ceci qui s’écrit aussi
[[
{}
,/
axxa
+∞ = ∈ ≥\
][
,xa xa∈+∞⇔>
]]
,xaxa∈−∞ ⇔ ≤
][
,xaxa∈−∞ ⇔ <
L’intervalle
][
,−∞ +∞ est exactement égal à \. On note
{}
,
= ∪ −∞ +∞
\\
.
Dans ce cours, on appellera voisinage de a, a∈
\
, tout intervalle ouvert de \ contenant a.
Ainsi, 00 α ∀>,
][
00
,aa αα −+ est un voisinage de a.
 )RQFWLRQVUpHOOHVG·XQHYDULDEOHUpHOOH
Une fonction (ou application) réelle d’une variable réelle est une transformation qui à tout
élément d’une partie (souvent appelée domaine)
D
⊂
\ fait correspondre un unique élément
de \. Ainsi :
xD∀∈ , !y∃∈\ tel que
()
yfx=
Par exemple, la température d'une espèce de
lézard (y) en fonction de la température de
l'air à l'ombre (x) est approximativement :
()
==yfx x
La température (y) d’une souris dans les
mêmes conditions sera approximativement :
()
==ygx c avec c constante
D (souvent noté f D) est l’ensemble de définition (ou ensemble de départ) de f. D est le plus
souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.
()
fD est l’ensemble d’arrivée de f ou image de D par f :
()
fD⊆\ et
() ()
{}
/fD fx x D=∈

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p4/22 -
Remarque :
Les éléments de
()
fD sont appelés les images.
Les éléments de D sont appelés les antécédents.
Exemples :
(1) Soit :fD→\ telle que
()
1
fx x = Réponse
(2) Soit :fD→\ telle que
()
1
fx x = Réponse
(3) Soit :fD→\ telle que
()
1
cos
fx x = Réponse
 *UDSKHG·XQHIRQFWLRQ
Le graphe d’une fonction f (ou courbe représentative de f) dans un repère cartésien
()
,Ox Oy ,
en général orthonormé, est l’ensemble des points de coordonnées
()
()
,xy f x=, avec xD∈
domaine de définition de f :
() ()
()
{}
Graphe , / f fxfxxD=∈.
Exemple :

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p5/22 -
 2SpUDWLRQVVXUOHVIRQFWLRQV
Dans toute la suite du cours d’analyse, I et J désigneront des intervalles de \.
Définition 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I⊆\ :
(i)
() ()
,fg xIfx gx=⇔∀∈ =
(ii)
( )() () ()
,xIfgx fx gx∀∈ + = +
(iii)
( )() ()()
,xIfgx fxgx∀∈ =
(iv)
() ()
()
,fx
f
xI x
ggx
∀∈ =
 si
()
,0xIgx∀∈ ≠ .
Définitions 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I⊆\ :
(i) Si f est inversible (
()
,0xIfx∀∈ ≠ ),
() ()
11
,xI x
ffx
∀∈ =
 .
(ii)
( )() ()
,xI fx fx αα α ∀∈ ∀ ∈ =\.
(iii)
( )() ()
,xI fx fx∀∈ − =−
Définition 3 :
Soit f une fonction définie sur I⊆\. Quand elle existe, la fonction
()
1f est appelée
fonction inverse de f ; la fonction
()
f− est appelée fonction opposée de f.
Remarque