analyse chapitre 1 a 6

'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH)RQFWLRQV²*pQpUDOLWpV
Sandrine CHARLES (06/10/2001)
Introduction
1
Définitions
1.1
Intervalles – voisinage
1.2
Fonctions réelles d’une variable réelle
1.3
Graphe d’une fonction
2
Opérations sur les fonctions
3
Fonction composée – Fonction réciproque
4
5
6
7
3.1
Fonction composée
3.2
Injectivité, surjectivité, bijectivité
3.3
Fonction réciproque
Fonctions majorées, minorées, bornées - Extremums
4.1
Comparer, majorer, minorer des nombres réels
4.2
Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles
4.3
Extremums
Variation des fonctions
5.1
Fonctions croissantes, décroissantes, monotones
5.2
Somme et produit de fonctions monotones
5.3
Inverse d’une fonction monotone
5.4
Composition de fonctions monotones
Fonctions paires, impaires, périodiques
6.1
Fonctions paires et impaires
6.2
Fonctions périodiques
6.3
Axes et centres de symétrie
Un exemple d’application en Biologie
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH)RQFWLRQV²*pQpUDOLWpV
1·KpVLWH]SDVjFRQVXOWHUODOLVWHGHVV\PEROHVHQFDVGHGRXWH
VXUOHXUVLJQLILFDWLRQ
,QWURGXFWLRQ
Pour certains, la qualité du sommeil est fonction de la phase de la lune,
celle-ci déterminant également la qualité des légumes à venir. Si l’on
gratte un peu, on s’aperçoit que pour les uns, la pleine lune serait
favorable, alors que ce serait le contraire pour d’autres.
En mathématiques, une fonction est communément donnée par une règle de calcul associant à
un nombre (voir plusieurs…) appelé variable, souvent noté x, une image obtenue en
appliquant les règles de calcul définissant la fonction.
D’un point de vue historique, c’est Leibniz qui précise le concept de fonction (le terme est de
lui, 1692 : en latin functio = accomplissement, exécution).
Ce premier chapitre d’analyse présente les principales définitions nécessaires à l’étude des
fonctions réelles d’une variable réelle. Chaque paragraphe va permettre de rappeler pas à pas
les notions de base du programme de secondaire.
'pILQLWLRQV
,QWHUYDOOHV²YRLVLQDJH
a et b étant deux réels, l’ensemble {x ∈ \ / a < x < b} est l’intervalle ouvert noté ]a, b[ ;
a et b sont les bornes de l’intervalle.
L’ensemble {x ∈ \ / a ≤ x ≤ b} est l’intervalle fermé noté [a, b] , bornes comprises.
Les intervalles ]a, b] ( a < x ≤ b ) et [a, b[ ( a ≤ x < b ) sont semi-ouverts (ou semi-fermés).
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p2/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Par extension, on a :
x ∈ [a, +∞[ ⇔ x ≥ a
ceci qui s’écrit aussi [a, +∞[ = {x ∈ \ / x ≥ a}
x ∈ ]a, +∞[ ⇔ x > a
x ∈ ]−∞, a ] ⇔ x ≤ a
x ∈ ]−∞, a[ ⇔ x < a
L’intervalle ]−∞, +∞[ est exactement égal à \ . On note \ = \ ∪ {−∞, +∞}.
Dans ce cours, on appellera voisinage de a, a ∈ \ , tout intervalle ouvert de \ contenant a.
Ainsi, ∀α 0 > 0 , ]a − α 0 , a + α 0 [ est un voisinage de a.
)RQFWLRQVUpHOOHVG·XQHYDULDEOHUpHOOH
Une fonction (ou application) réelle d’une variable réelle est une transformation qui à tout
élément d’une partie (souvent appelée domaine) D ⊂ \ fait correspondre un unique élément
de \ . Ainsi :
Par exemple, la température d'une espèce de
∀x ∈ D , ∃! y ∈ \ tel que y = f ( x )
lézard (y) en fonction de la température de
l'air à l'ombre (x) est approximativement :
y = f (x ) = x
La température (y) d’une souris dans les
mêmes conditions sera approximativement :
y = g ( x ) = c avec c constante
D (souvent noté D f ) est l’ensemble de définition (ou ensemble de départ) de f. D est le plus
souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.
f (D ) est l’ensemble d’arrivée de f ou image de D par f :
f (D ) ⊆ \ et f (D ) = { f ( x ) / x ∈ D}
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p3/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Remarque :
Les éléments de f (D ) sont appelés les images.
Les éléments de D sont appelés les antécédents.
Exemples :
(1) Soit f : D → \ telle que f ( x ) =
1
x
Réponse
(2) Soit f : D → \ telle que f ( x ) =
1
x
Réponse
(3) Soit f : D → \ telle que f ( x ) =
1
cos x
Réponse
*UDSKHG·XQHIRQFWLRQ
Le graphe d’une fonction f (ou courbe représentative de f) dans un repère cartésien (Ox, Oy ) ,
en général orthonormé, est l’ensemble des points de coordonnées ( x, y = f ( x )) , avec x ∈ D
domaine de définition de f : Graphe ( f ) =
{(x, f (x )) / x ∈ D }.
f
Exemple :
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p4/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
2SpUDWLRQVVXUOHVIRQFWLRQV
Dans toute la suite du cours d’analyse, I et J désigneront des intervalles de \ .
Définition 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ :
(i)
f = g ⇔ ∀x ∈ I , f ( x ) = g ( x )
(ii)
∀x ∈ I , ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
(iii)
∀x ∈ I , ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x )
(iv)
f (x )
f 
∀x ∈ I ,   ( x ) =
si ∀x ∈ I , g ( x ) ≠ 0 .
g (x )
g
Définitions 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ :
(i)
1
1
Si f est inversible ( ∀x ∈ I , f ( x ) ≠ 0 ), ∀x ∈ I ,   ( x ) =
.
f (x )
f 
(ii)
∀x ∈ I , ∀α ∈ \
(iii)
∀x ∈ I , (− f )( x ) = − f ( x )
(α f )( x ) = α f ( x ) .
Définition 3 :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ . Quand elle existe, la fonction (1 f ) est appelée
fonction inverse de f ; la fonction (− f ) est appelée fonction opposée de f.
Remarque
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p5/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQFRPSRVpH²)RQFWLRQUpFLSURTXH
)RQFWLRQFRPSRVpH
Définition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \
tel que ∀x ∈ I , f ( x )∈ J (i.e., f (I ) ⊆ J ).
La fonction composée g D f est la fonction définie sur I par ( g D f )( x ) = g ( f ( x )) :
f
g
x 
→ f ( x ) 
→ g ( f ( x )) = ( g D f )( x )
où x ∈ I et f ( x )∈ J , afin que g ( f ( x )) existe.
Remarque : Si g D f existe, la fonction composée f D g n’existe pas toujours, et lorsque
f D g existe alors en général g D f ≠ f D g .
Exemples :
™ Soient
f définie par f ( x ) = x avec D f = \ +
g définie par g ( x ) =
1+ x
avec Dg = \ \ {1}
1− x
Que peut-on dire de g D f et f D g ?
š Soient
Réponse
f définie par f ( x ) = 2 x 2 + x + 1 avec D f = \
g définie par g ( x ) =
1+ x
avec Dg = \ \ {1}.
1− x
Que peut-on dire de g D f et f D g ?
Réponse
,QMHFWLYLWpVXUMHFWLYLWpELMHFWLYLWp
•
On dit qu’une fonction f : I → J est injective si tout élément de f ( I ) est l’image d’un
seul élément de I. Autrement dit, f est injective si et seulement si :
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
L’injectivité d’une fonction se traduit également par le fait que « tout élément de J admet au
plus un antécédent par f dans I ».
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p6/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
J
I
•
On dit qu’une fonction f : I → J est surjective si f (I ) = J , autrement dit si tout élément
de J est l’image par f d’au moins un élément de I.
I
J
Remarque : La fonction f : I → f (I ) est toujours surjective.
•
On dit qu’une fonction f : I → J est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
I
J
Exemples :
(1) Considérons la fonction définie sur \ par f ( x ) = x3 .
f est-elle surjective ? injective ?
Réponse
(2) Considérons maintenant la fonction définie par f : \ → \ , avec f ( x ) = x 2 .
f est-elle surjective ? injective ?
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p7/22 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQUpFLSURTXH
'pILQLWLRQ
Définition :
Soit f : I → J . On dit que f admet une fonction réciproque s’il existe g : J → I telle que
f D g = Id J et g D f = Id I .
On dit alors que g est la fonction réciproque de f et on note g = f −1 .
Proposition :
Soit f : I → J . Alors f admet une fonction réciproque si et seulement si f est bijective.
Démonstration
Remarques :
(i)
Par extension, la définition et la proposition précédentes restent valables pour une
fonction f : D1 → D2 , où D1 et D2 sont des parties de \ .
(ii)
Sous l’hypothèse que f −1 existe, si l’image de x par f est y, alors l’image de y par f −1
est x ; en d’autres termes :
y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )
(iii)
Il ne faut pas confondre la fonction réciproque f −1 , avec la fonction inverse 1 f .
&RQVpTXHQFHV
Si f −1 existe, alors f D f −1 = f −1 D f = Id , où Id est la fonction identité :
f D f −1 : J → J donc f D f −1 = Id J avec Id J : J → J , y 6 y
f −1 D f : I → I donc f −1 D f = Id I avec Id I : I → I , x 6 x
Du point de vue graphique, les représentations de deux fonctions réciproques se déduisent
l’un de l’autre par une symétrie par rapport à la première bissectrice.
Justification
Exemples :
™ Soit la fonction f définie par f ( x ) = ax + b avec a ≠ 0 .
On a donc y = ax + b d’où l’on tire x =
y −b
.
a
Donc la fonction réciproque de f est définie par g ( x ) =
x−b
.
a
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p8/22 -
Vérification
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
š Soit la fonction f définie par
f ( x) =
x −1
.
x+2
La fonction réciproque g est alors définie par g ( x ) =
1+ 2x
.
1− x
Vérification
$SSOLFDWLRQGpILQLWLRQGHODIRQFWLRQUDFLQHFDUUpH
Soit la fonction f définie sur \ par :
y = f (x ) = x2
Nous avons vu plus haut que la fonction f n’est pas bijective puisqu’à une valeur de y
correspondent deux valeurs de x ; par conséquent elle n’admet pas de fonction réciproque.
Par contre, si on réduit l’ensemble de définition soit à \ + ( [0; +∞[ ) soit à \ − ( ]−∞;0] ), la
même fonction f devient bijective, et admet alors une fonction réciproque.
Par convention, on choisit I = \ + , et on appelle racine carrée de x, notée
x cette fonction
réciproque. D’où :
y = x2 
⇔ x= y
x≥0 
Une méthode fort ancienne (que l’on doit à Héron d’Alexandrie) permet d'extraire la racine
carrée d'un nombre quelconque par un procédé itératif, autrement dit « comment calcule-t-on
rapidement une racine carrée lorsque les batteries de la calculette sont épuisées? ».
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p9/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVPDMRUpHVPLQRUpHVERUQpHV([WUHPXPV
&RPSDUHUPDMRUHUPLQRUHUGHVQRPEUHVUpHOV
&RPSDUDLVRQGHGHX[UpHOV
Pour comparer deux réels, on peut procéder de trois manières différentes :
(1) On peut étudier le signe de leur différence A − B :
A ≥ B ⇔ A− B ≥ 0
(2) S’ils sont strictement positifs, on peut comparer leur quotient
A≥ B ⇔
A
à1:
B
A
≥1
B
(3) On peut utiliser les variations des fonctions usuelles (voir chapitre 1, paragraphe 5)
0DMRUHUODVRPPH A + B RXOHSURGXLW AB Il suffit dans ce cas de majorer A ou B :
Si A ≤ M , alors A + B ≤ M + B
Si A ≤ M et B > 0 , alors A.B ≤ M .B
0DMRUHUOHTXRWLHQW
A
B
On suppose ici que A ≥ 0 et que B > 0 . Pour majorer le quotient
A
, il suffit de majorer le
B
numérateur A ou de minorer le dénominateur B par un nombre réel strictement positif :
Si A ≤ M , alors
Si B ≥ m , alors
A M
≤
B B
A A
≤
B m
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p10/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&RPSDUHUPDMRUHUPLQRUHUGHVIRQFWLRQVUpHOOHV
Définition :
Pour toutes fonctions f : I → \ et g : I → \ , f ≤ g signifie que ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ g ( x ) .
Définitions :
Soit f : I → \ .
On dit que f est majorée, s’il existe un réel M tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ M . Dans ce cas, on
•
appelle borne supérieure de f sur l’intervalle I, noté sup f , le plus petit majorant de f.
I
On dit que f est minorée, s’il existe un réel m tel que ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ m . Dans ce cas, on
•
appelle borne inférieure de f sur l’intervalle I, noté inf f , le plus grand minorant de f.
I
•
On dit que f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée. f est donc bornée s’il existe
deux réels M et m tels que ∀x ∈ I , m ≤ f ( x ) ≤ M .
Remarques : Soient f : I → \ et g : I → \ .
(i)
f est bornée si et seulement si f est majorée.
(ii)
Si f et g sont majorées, alors f + g est majorée : sup ( f + g ) ≤ sup f + sup g
I
I
I
(iii)
Si f et g sont minorées, alors f + g est minorée : inf ( f + g ) ≥ inf f + inf g
(iv)
f est majorée (respectivement minorée) si et seulement si (− f ) est minorée (resp.
I
I
I
majorée) : sup (− f ) = − inf f (resp. inf (− f ) = − sup f ).
I
(v)
I
I
I
Soit un réel α > 0 . Si f est majorée (respectivement minorée), alors α f est majorée
(respectivement minorée) : sup (α f ) = α sup f ( inf (α f ) = α inf f ).
I
(vi)
I
I
I
Si f et g sont bornées, alors ∀ (α , β )∈ \ 2 , α f + β g est bornée.
Démonstrations
Exemple :
Soit la fonction définie sur \ par f ( x ) =
4
.
x +4
2
f est-elle bornée ? Si oui, quelles sont ses bornes inférieure et supérieure ?
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p11/22 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
([WUHPXPV
Définition :
Soit f : I → \ . Soit x0 ∈ \ .
•
On dit que f présente un maximum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≤ f ( x0 ) .
•
On dit que f présente un minimum global en x0 si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ f ( x0 ) .
•
Dans l’un de ces deux cas, on dit que f présente un extremum global en x0 .
Remarques :
(i)
f présente un maximum global en x0 ⇔ f est majorée sur I et sup f = f ( x0 ) . On note
I
alors f ( x0 ) = max f . On dit que f atteint sa borne supérieure en x0 .
I
Exemple 1.
(ii)
f présente un minimum global en x0 ⇔ f est minorée sur I et inf f = f ( x0 ) . On note
I
alors f ( x0 ) = min f . On dit que f atteint sa borne inférieure en x0 .
I
Exemple 2.
9DULDWLRQGHVIRQFWLRQV
)RQFWLRQVFURLVVDQWHVGpFURLVVDQWHVPRQRWRQHV
Définitions :
Soit f : I → \ .
{( x, y )∈ I
et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) .
•
On dit que f est croissante sur I si
•
On dit que f est décroissante sur I si
•
On dit que f est strictement croissante sur I si
•
On dit que f est strictement décroissante sur I si
•
On dit que f est (strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante ou
2
{( x, y )∈ I
2
et x ≤ y} , ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) .
{( x, y )∈ I
2
et x < y} , ⇒ f ( x ) < f ( y ) .
{( x, y )∈ I
2
et x < y} , ⇒ f ( x ) > f ( y ) .
(strictement) décroissante sur I.
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p12/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Exemple :
Considérons la fonction définie sur \ par f ( x ) = x 2 .
Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur \∗− = ]−∞;0[ et strictement
croissante sur \∗+ = ]0; +∞[ .
Réponse
6RPPHHWSURGXLWGHIRQFWLRQVPRQRWRQHV
Définition :
Soit f : I → \ . On dit que f est positive (respectivement négative), si ∀x ∈ I , f ( x ) ≥ 0
(respectivement f ( x ) ≤ 0 ).
Propositions : Soient f : I → \ et g : I → \ .
(i)
Si f et g ont même monotonie, alors f + g est monotone de même monotonie.
Si de plus f ou g est strictement monotone, alors f + g est strictement monotone.
(ii)
Si f et g sont positives croissantes, alors fg est positive croissante ;
Si f et g sont positives décroissantes, alors fg est positive décroissante.
(iii)
Si f et g sont négatives croissantes, alors fg est positive décroissante ;
Si f et g sont négatives décroissantes, alors fg est positive croissante.
(iv)
Si f est positive croissante et g négative décroissante, alors fg est négative
décroissante ;
Si f est positive décroissante et g négative croissante, alors fg est négative croissante.
Exemple :
Soit f définie par f ( x ) =
définie par g ( x ) = −
1
positive décroissante sur ]0; +∞[ (voir proposition suivante) et g
x2
1
négative croissante sur ]0; +∞[ . Alors
x
croissante sur ]0; +∞[ .
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p13/22 -
( fg )( x ) = −
1
est négative
x3
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Remarques :
•
Cas d’indétermination sur le produit de deux fonctions :
f
g
fg
Positive croissante
Positive décroissante
?
Positive décroissante Négative décroissante
?
Positive croissante
Négative croissante
?
Négative croissante
Négative décroissante
?
•
Si α ≥ 0 , alors α f et f ont même monotonie ;
•
Si α ≤ 0 , alors α f et f sont de monotonie contraire ; c’est le cas de (− f ) et f.
,QYHUVHG·XQHIRQFWLRQPRQRWRQH
Proposition :
Soit f : I → \ monotone. Si on suppose que f ne s’annule jamais sur I, et qu’elle est de signe
1
constant, alors la fonction inverse   est monotone sur I, de monotonie contraire à celle de
 f 
f et de même signe.
Exemples :
(1) On retrouve le résultat de l’exercice précédent en prenant f ( x ) = x 2 .
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p14/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(2) Soit la fonction f définie par f ( x ) = x 2 + 1 . f est positive strictement croissante sur
[0; +∞[
1
1
et ne s’y annule jamais. Par conséquent,   ( x ) = 2
est strictement
x +1
 f
décroissante sur [0; +∞[ . On peut faire le même raisonnement sur ]−∞;0] .
&RPSRVLWLRQGHIRQFWLRQVPRQRWRQHV
Proposition :
Soient deux fonctions, f définie sur un intervalle I ⊆ \ et g définie sur un intervalle J ⊆ \ ,
telles que ∀x ∈ I , f ( x )∈ J  f ( I ) ⊆ j  .
(i)
Si f et g ont même monotonie, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée g D f est
croissante sur I.
(ii)
Si f et g sont de monotonie contraire, l’une sur I et l’autre sur J, alors la composée
g D f est décroissante sur I.
Démonstration
Exemple :
Soit la fonction h définie sur l’intervalle [−2; 2] par h ( x ) = 4 − x 2 .
Montrer que la fonction h est croissante sur [−2;0] , et décroissante sur [0; 2] .
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p15/22 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVSDLUHVLPSDLUHVSpULRGLTXHV
)RQFWLRQVSDLUHVHWLPSDLUHV
Soit une fonction f, définie sur une partie D de \ symétrique par rapport à 0
( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
Définition :
On dit que f est paire si ∀x ∈ D , f (− x ) = f ( x )
On dit que f est impaire si ∀x ∈ D , f (− x ) = − f ( x )
Remarque : la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle. En effet, ∀x ∈ D ,
f ( x ) = f (− x ) = − f ( x ) , donc f ( x ) = 0 .
Proposition :
(i)
Toute somme finie de fonctions impaires est une fonction impaire.
(ii)
Toute somme finie de fonctions paires est une fonction paire.
Démonstration
Exemple :
Soit f ( x ) = x 2 + 1 et g ( x ) = −
1
.
x2
f et g sont des fonctions paires, leur somme définie par h ( x ) = x 2 + 1 −
fonction paire.
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p16/22 -
1
est aussi une
x2
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Propositions : Soient f et g définies sur une partie D de \ symétrique par rapport à 0
( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
(i)
Si f et g ont même parité, fg est paire. Si elles sont de parité contraire, fg est impaire.
(ii)
L’application
(iii)
Soit (α , β )∈ \ 2 . Si f et g sont paires (respectivement impaires), α f + β g est paire
1
, si elle existe, est de même parité que f.
f
(respectivement impaire).
(iv)
Si f est bijective de D dans D ( D ⊆ \ ) et impaire, alors sa bijection réciproque f −1
est impaire.
(v)
Si f est paire, alors h D f est paire quelque soit la fonction h.
(vi)
Si f est impaire, et si g paire ou impaire, alors g D f à la même parité que g.
Démonstration
Exemple :
Soit f ( x ) = x3 . f est impaire et bijective sur \ .
Sa fonction réciproque g ( x ) = 3 x est impaire sur \ .
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p17/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVSpULRGLTXHV
Définition :
Soit f : D f → \ . S’il existe T ∈ \ strictement positif tel que ∀x ∈ D f , x + T ∈ D f et
f ( x + T ) = f ( x ) , alors la fonction f est dite périodique de période T. On dit aussi que f est Tpériodique.
Propriétés :
•
Si f est T-périodique, alors ∀n ∈ ] , f est nT-périodique.
•
Si f et g sont T-périodiques, alors α f + β g est T-périodique, ∀ (α , β )∈ \ 2 .
•
Si f est T-périodique, alors la fonction
•
Si f est T-périodique, alors, quelque soit la fonction g, g D f est T-périodique.
1
, si elle existe, est T-périodique.
f
Démonstration
Exemple :
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π -périodiques.
[HVHWFHQWUHVGHV PpWULH
*UDSKHVV\PpWULTXHVSDUUDSSRUWjO·RULJLQH
Soit f une fonction définie sur un domaine D de \ symétrique par rapport à 0
( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
f est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’origine.
Pour x = 0 , et si f (0 ) existe, on a f (−0 ) = − f (0 ) , d’où f (0 ) = − f (0 ) et donc f (0 ) = 0 .
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p18/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Ceci signifie que le graphe d’une fonction impaire qui est définie en 0 passe nécessairement
par l’origine.
Exemples :
(1) f ( x ) = x3
(2) f ( x ) = sin x
*UDSKHVV\PpWULTXHVSDUUDSSRUWj2\
Dans un repère orthonormé, soit une fonction f, définie sur un domaine D de \ symétrique
par rapport à 0 ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ).
f est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à Oy .
Exemples :
(3) f ( x ) = x 2
(4) f ( x ) = cos x
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p19/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
*UDSKHVSpULRGLTXHV
Soit f : D → \ , le domaine étant tel que x ∈ D ⇒ x + T ∈ D ( T > 0 donné).
f est T-périodique si et seulement si son graphe est invariant par une translation de vecteur
(kT , 0 ) avec
k ∈] .
Exemple :
Soit f ( x ) = tan x
*UDSKHGHODIRQFWLRQUpFLSURTXH
Soit f une application bijective de D sur f (D ) .
Les graphes des fonctions f et f −1 sont symétrique par rapport à la droite y = x .
Voir § 3.3.2. chapitre 1
&RQVpTXHQFHVSUDWLTXHV5pGXFWLRQGHO·LQWHUYDOOHG·pWXGH
Soit une fonction f, définie sur un domaine D de \ symétrique par rapport à 0.
•
Si f est paire (ou impaire), on peut réduire l’intervalle d’étude aux x positifs. Le graphe de
la fonction sur D se déduira par symétrie par rapport à Oy (ou 0).
•
Si f est T-périodique, on peut réduire l’intervalle d’étude à la seule période T. Le graphe
de la fonction sur D se déduira par des translations de T le long de l’axe des x.
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p20/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
8QH[HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
D’après les informations diffusées par l’Institut National des Etudes Démographiques
(INED), il semble que l’espérance de vie à la naissance des hommes et des femmes augmente
en fonction du temps depuis ces vingt dernières années.
Ainsi, si on désigne par t l’année et par E l’espérance de vie à la naissance, alors :
E = αt + β
où les coefficients α et β dépendent du sexe.
Par exemple :
E femmes = 0.221t − 358
Ehommes = 0.253t − 432
Pour ce qui suit, vous pourrez vous référer au cours de probabilités et statistiques pour en
savoir plus…
Des données publiées par l’INED fournissent pour la France des valeurs moyennes de
l’espérance de vie à la naissance des hommes et des femmes, estimées chaque année depuis
1981. On peut ainsi représenter les couples (ti , Ei ) pour i variant de 1 à 20 :
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p21/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
On peut vérifier par ajustement que l’on a bien la relation supposée au départ entre E et t :
- Chapitre 1 : Fonctions – Généralités, p22/22 -
'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH/LPLWHV²&RQWLQXLWp
Sandrine CHARLES (06/10/2001)
Introduction
1
2
Limites
1.1
Définitions
1.2
Limites par opération
1.3
Limites par comparaison
1.4
Limite d’une fonction composée
1.5
Limite à l’infini d’une fonction polynôme ou d’une fraction rationnelle
1.6
Limites et courbe représentative d’une fonction
Continuité
2.1
Continuité en un point - Continuité sur un intervalle
2.2
Propriétés des fonctions continues
3
Pour aller plus loin
4
Exemple d’application en Biologie
5
Quelques trucs…
5.1
La quantité conjuguée
5.2
Les valeurs absolues
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH/LPLWHV²&RQWLQXLWp
,QWURGXFWLRQ
L’objet du second chapitre d’analyse est de présenter les notions de limites et de continuité
des fonctions réelles d’une variable réelle définies dans le chapitre 1. Ce chapitre comprend
deux parties sub-divisées comme indiqué sur la gauche de votre écran.
L’introduction officielle de la notion de limite dans le langage mathématique remonte à 1751,
date à laquelle paraît l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert.
Comme cela est largement détaillé sur le site
http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronom2/limiteDD.html
Cauchy publia en 1821 un Cours d’analyse, réédité aujourd'hui dans un but pédagogique et
épistémologique (collection ellipses, Ed. Marketing). Ce cours eut une très grande audience et
constitue le premier exposé rigoureux sur les fonctions numériques. Rénovant l'analyse
fonctionnelle, Cauchy formalise, en particulier, la notion de limite et celle de continuité sur
un intervalle :
•
Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une
valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette
dernière est appelée la limite de toutes les autres.
•
h désignant une quantité infiniment petite, lorsque, la fonction f(x) admettant une valeur
unique et finie pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites données, la
différence f(x + h) - f(x) est toujours entre ces limites une quantité infiniment petite, on dit
que f(x) est une fonction continue de la variable x entre les limites dont il s’agit.
Intuitivement et graphiquement, on décrit la
courbe représentative de f sans lever le crayon :
pas de "trous". Ci-contre à gauche, on a un arc de
courbe continu, à droite, il y a discontinuité au
point x = a .
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p2/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Vous trouverez sur les sites suivants quelques exemples de « culture
générale » ou de la vie courante où apparaît la notion de limite :
Université Libre de Bruxelle
http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Zenon.html
([HUFLFHVFRUULJpV
Ci-dessous, deux sites intéressants permettant de s’exercer sur d’autres exemples que ceux de
votre polycopié de travaux dirigés :
IUT Bethune
Maths54.free
/LPLWHV
'pILQLWLRQV
/LPLWHHQXQSRLQW
Définitions :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I ( x0 peut être une des extrémités de I).
•
Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en x0 , ou bien que f ( x ) tend vers A lorsque x
tend vers x0 ( x → x0 ), si :
∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x → x0
x → x0
•
x0
On dit que +∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = +∞ ) si :
x → x0
∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≥ A
•
De même, on dit que −∞ est limite de f en x0 ( lim f ( x ) = −∞ ) si :
x → x0
∀A ∈ \, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) ≤ A
Exemples
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p3/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LPLWHVHQ +∞ HW −∞ Définition (limite en +∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = [a; +∞[ .
•
Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en +∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →+∞
x →+∞
•
+∞
On dit que +∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≥ A
•
On dit que −∞ est limite de f en +∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≥ B ⇒ f ( x ) ≤ A
Exemples
Définition (limite en −∞ ) :
Soit f : I → \ . On suppose que I = ]−∞; a ].
•
Soit A ∈ \ . On dit que A est limite de f en −∞ si :
∀ε > 0, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) − A ≤ ε
On note lim f ( x ) = A ou lim f ( x ) = A ou f ( x ) 
→A
x →−∞
x →−∞
•
−∞
On dit que +∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≥ A
•
On dit que −∞ est limite de f en −∞ si :
∀A ∈ \, ∃B ∈ \ tel que x ≤ B ⇒ f ( x ) ≤ A
Exemples
Proposition :
Si A ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim ( f ( x ) − A ) = 0
x → x0
x → x0
Si x0 ∈ \ , alors lim f ( x ) = A ⇔ lim f ( x0 + h ) = A
x → x0
h →0
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p4/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LPLWHSDUYDOHXUVVXSpULHXUHVRXLQIpULHXUHV
Définition :
Soit f : I → \ telle que lim f ( x ) = A ( x0 ∈ \ ). Quand x tend vers x0 , on dit que f ( x ) tend
x → x0
vers A par valeurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de x0 , f ( x ) ≥ A (resp.
f ( x ) ≤ A ).
On note alors lim f ( x ) = A + (resp. lim f ( x ) = A − ).
x → x0
x → x0
Exemple
Considérons la fonction définie par f ( x ) =
2x + 1
. On a lim f ( x ) = 0+ et lim f ( x ) = 0− .
2
x →+∞
x →−∞
x
Graphe
/LPLWHVjJDXFKHHWjGURLWH
Définition (limite à gauche) :
Soit A ∈ \ . Alors
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) − A ≤ ε .
x → x0−
lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) ≥ A .
x → x0−
lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 − B ≤ x < x0 ) ⇒ f ( x ) ≤ A .
x → x0−
Définition (limite à droite) :
Soit A ∈ \ . Alors
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) − A ≤ ε .
x → x0+
lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) ≥ A .
x → x0+
lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀A ∈ \, ∃B > 0 tel que ( x0 < x ≤ x0 + B ) ⇒ f ( x ) ≤ A .
x → x0+
Exemples
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p5/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LPLWHVSDURSpUDWLRQ
/LPLWHG·XQHVRPPH
lim f ( x ) =
A
A
A
+∞
−∞
+∞
lim g ( x ) =
A′
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
A + A′
+∞
−∞
+∞
−∞
?
x → x0
x → x0
lim ( f + g )( x ) =
x → x0
? on parle alors de forme indéterminée
Exemples
/LPLWHG·XQSURGXLW
lim f ( x ) =
A
A≠0
0
+∞ ou −∞
lim g ( x ) =
A′
+∞ ou −∞
+∞ ou −∞
+∞ ou −∞
lim ( fg )( x ) =
AA′
+∞ ou −∞
?
+∞ ou −∞
x → x0
x → x0
x → x0
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
Exemples
/LPLWHG·XQTXRWLHQW
lim f ( x ) =
A
A≠0
A
+∞ ou −∞
0
+∞ ou −∞
lim g ( x ) =
A′ ≠ 0
0
+∞ ou −∞
A′
0
+∞ ou −∞
A A′
+∞ ou −∞
0
+∞ ou −∞
?
?
x → x0
x → x0
lim ( f g )( x ) =
x → x0
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A , en appliquant la règle des signes.
ou : on décide de ±∞ suivant le signe de A′ , en appliquant la règle des signes.
Remarques :
•
Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : 0 + ou 0 − selon la règle des signes.
•
Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : +∞ ou −∞ selon la règle des signes. Exemples
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p6/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LPLWHVSDUFRPSDUDLVRQ
Soit f : I → \ .
Proposition 1 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≥ g ( x ) et lim g ( x ) = +∞ , alors :
x →+∞
lim f ( x ) = +∞ .
x →+∞
Démonstration
Exemple
Proposition 2 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = −∞ , alors :
x →+∞
lim f ( x ) = −∞ .
x →+∞
Démonstration
Théorème « des gendarmes » :
S’il existe deux fonctions g et h, un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) et
lim g ( x ) = A et lim h ( x ) = A , alors lim f ( x ) = A .
x →+∞
x →+∞
x →+∞
Démonstration
Exemple
Proposition 3 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que ∀x ≥ A, f ( x ) − A ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = 0 ,
x →+∞
alors : lim f ( x ) = A .
x →+∞
Démonstration
Proposition 4 :
S’il existe deux fonctions f et g et un réel A tels que ∀x ≥ A, g ( x ) ≤ f ( x ) ; si lim f ( x ) = A
x →+∞
et lim g ( x ) = A′ , alors A′ ≤ A .
x →+∞
Démonstration
Exemple
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p7/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LPLWHG·XQHIRQFWLRQFRPSRVpH
Théorème :
Soient x0 , A et A′ des nombres réels (« éventuellement » égaux à ±∞ ).
Soient f et g deux fonctions dont la composée g D f existe.
Si lim f ( x ) = A et si lim g ( x ) = A′ , alors lim ( g D f )( x ) = A′ .
x →A
x → x0
x → x0
Démonstration
Exemple
/LPLWHjO·LQILQLG·XQHIRQFWLRQSRO\Q{PHRXG·XQHIUDFWLRQUDWLRQQHOOH
Méthode :
Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où
les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression f ( x ) en factorisant
chaque polynôme par le terme de plus haut degré.
™ Cas d’une fonction polynôme
On cherche à calculer lim (− x 2 + ax + b ) avec a, b > 0 .
x →+∞
On a lim − x 2 = −∞ et lim (ax + b ) = +∞ ; la somme est indéterminée.
x →+∞
x →+∞
a b 

On transforme le polynôme : − x 2 + ax + b = x 2  −1 + + 2  .
x x 

a
b
= 0 et lim 2 = 0 ;
x →+∞ x
x →+∞ x
Or lim
a b 
a b 


Donc comme somme lim  −1 + + 2  = −1 et comme produit lim x 2  −1 + + 2  = −∞ .
x →+∞
x →+∞
x x 
x x 


D La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré
lim (− x 2 + ax + b ) = lim − x 2 = −∞
x →+∞
x →+∞
š Cas d’une fraction rationnelle
a − bx
avec a, b, c > 0 .
x →−∞ x 2 + c
On cherche à calculer lim
lim a − bx = +∞ et lim x 2 + c = +∞ ; le quotient est donc indéterminé.
x →−∞
x →−∞
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p8/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
a

a

x − b
− b

a − bx
x
 =1 x
 . Ainsi :
Pour x ≠ 0 , on a : 2
= 
c
c
x +c
x




x 2 1 + 2 
1 + 2 
 x 
 x 
a
c
a
c
= 0 et lim 2 = 0 , donc : lim − b = −b et lim 1 + 2 = 1 . Finalement :
x →−∞ x
x →−∞ x
x →−∞ x
x →−∞
x
lim
a
a
−b
−b
1
lim x
= −b et donc lim x
= 0−
x →−∞
x →−∞ x
c
c
1+ 2
1+ 2
x
x
D La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié
de ses termes de plus haut degré
a − bx
−bx
−b
= lim 2 = lim
=0
2
x →−∞ x + c
x →−∞ x
x →−∞ x
lim
/LPLWHVHWFRXUEHUHSUpVHQWDWLYHG·XQHIRQFWLRQ
(WXGHGHVEUDQFKHVLQILQLHV
Considérons une fonction f définie sur un domaine D f de \ . Soit Γ sa courbe
représentative.
Proposition 1 :
Si lim f ( x ) = ±∞ , alors la droite x = x0 est asymptote à la courbe Γ .
x → x0
Exemple
Proposition 2 :
Si lim f ( x ) = A , alors la droite y = A est asymptote à la courbe Γ .
x →±∞
Exemple
'LUHFWLRQDV\PSWRWLTXH
On recherche une direction asymptotique lorsque lim f ( x ) = ±∞ .
x →±∞
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p9/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
f(x)
P
(Γ)
M
D’après AZOULAY et AVIGNANT
D
O
x
La courbe Γ admet une direction asymptotique si la droite OM tend vers une position limite
lorsque le point M s’éloigne à l’infini sur Γ .
Le coefficient directeur de OM est
f (x )
f (x )
. S’il existe une direction asymptotique, alors
x
x
tend vers une limite finie A .
Si
f (x )
→ ±∞ lorsque x → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique dans la
x
direction Oy.
Exemples
$V\PSWRWHV
f(x)
y=ax+b
H P
D
D’après AZOULAY et AVIGNANT
M
(Γ)
O
x
La courbe Γ admet une asymptote oblique D d’équation y = ax + b , si la distance entre M et
la droite D ( MH ) tend vers 0 lorsque M s’éloigne à l’infini sur Γ .
La pente de D est :
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p10/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
a = lim
x →±∞
f (x )
x
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de D, on montre que f ( x ) − ax tend vers b lorsque
x → ±∞ , ou bien alors que f ( x ) − ax − b tend vers 0 lorsque x → ±∞ .
Si f ( x ) − ax → ±∞ , on dit que Γ admet une branche parabolique de pente a.
Exemple
&RQWLQXLWp
&RQWLQXLWpHQXQSRLQW&RQWLQXLWpVXUXQLQWHUYDOOH
Définitions :
Soit f une fonction définie sur I ⊆ \ . Soit x0 ∈ I .
•
On dit que f est continue en x0 si et seulement si lim f ( x ) = f ( x0 ) , c’est-à-dire si :
x → x0
∀ε > 0, ∃α > 0 tel que x ∈ I et x − x0 < α ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) ≤ ε
•
f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition x ≥ x0 (resp. x ≤ x0 ).
Conséquences :
•
f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x0 .
•
f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Exemple
2SpUDWLRQVVXUOHVIRQFWLRQVFRQWLQXHV
Propositions 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ et continues en x0 (resp. sur I).
(i)
∀α , β ∈ \ , α f + β g est continue en x0 (resp. sur I).
(ii)
Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors
1
est continue en x0 (resp. sur I).
g
(iii)
Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors
f
est continue en x0 (resp. sur I).
g
Exemples :
Toute fonction constante est continue sur \ .
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p11/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Les fonctions polynomiales sont continues sur \ . Autres
Remarques :
Pour démontrer qu’une fonction est continue, il suffit souvent de vérifier qu’il s’agit d’un
« mélange » de fonctions continues classiques, et les propositions précédentes ainsi que la
suivante s’appliquent.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ . Si f est continue en x0 (resp. sur I) et g
continue en f ( x0 ) , alors g D f est continue en x0 (resp. sur I).
La démonstration de cette proposition découle directement de celle du théorème 1.4.
Exemple
3URORQJHPHQWSDUFRQWLQXLWp
Si f est une fonction définie sur I \ {x0 } et si lim f ( x ) = a , on dit que g est un prolongement
x → x0
par continuité de f en x0 si et seulement si g ( x ) = f ( x ) ∀x ≠ x0 et g ( x0 ) = a .
Exemple
3URSULpWpVGHVIRQFWLRQVFRQWLQXHV
7KpRUqPHGHVYDOHXUVLQWHUPpGLDLUHV
Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . Alors, en supposant que
f (a ) < f (b ) , pour tout y tel que f (a ) ≤ y ≤ f (b ) , il existe au moins un élément x ∈ ]a, b[
tel que y = f ( x ) .
Remarque
Corollaire 1 :
Soit f continue sur [a, b] . Si f (a ) f (b ) ≤ 0 , alors ∃c ∈ ]a, b[ tel que f (c ) = 0 .
Démonstration
Application
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p12/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Exercice
Une personne parcourt à vélo une distance de 20 km en une heure.
Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une demi-heure pendant
lequel elle parcourt exactement 10 km.
Solution
Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
! Attention :
Si I a pour bornes a et b, celles de f ( I ) ne sont pas nécessairement f (a ) et f (b ) .
Exemple
7KpRUqPHGHODELMHFWLRQUpFLSURTXH
Théorème :
Si f : I → J est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J.
De plus, la fonction réciproque f −1 , de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la
même monotonie que f).
Remarques :
•
Les courbes représentatives de f et f −1 sont symétriques l’une de l’autre dans la symétrie
par rapport à la droite y = x parallèlement à la droite y = − x ; si le repère est orthonormé,
il s’agit de la symétrie orthogonale par rapport à la droite y = x . Exemple.
•
Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à
l’équation f ( x ) = 0 . Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.
3RXUDOOHUSOXVORLQ
Qu’est-ce qu’un nombre réel ? Théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème de Rolle
Notion d’équivalents (§ 7.3)
Continuité uniforme (§ 7.4.5)
Fonctions k-lipschitziennes (§ 7.4.6)
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p13/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
([HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
L’exemple présenté ci-après est extrait de LEFORT G. (1967) p111.
Pour exciter un tissu (nerf ou muscle), un courant
électrique doit avoir une intensité au moins égale
à une certaine valeur i qui dépend du temps t de
passage du courant ; on admet la formule
approchée :
Université de Montréal
Considérons la fonction définie par f : t → i0 +
i = i0 +
c
avec i0 , c des constantes positives
t
c
pour tout t > 0 .
t
lim f (t ) = i0
t →+∞
Cette limite à une signification biologique simple : quel que soit le temps de passage du
courant, son intensité est toujours supérieure à i0 ; ce nombre i0 est appelé la rhéobase.
lim f (t ) = +∞
t → 0+
On définit par ailleurs la chronotaxie, comme le temps θ de passage nécessaire pour qu’un
courant électrique d’intensité 2i0 excite le tissu : θ = c i0 .
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p14/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
4XHOTXHVWUXFV«
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d'une
fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l'écriture de cette fonction... afin de
pouvoir les appliquer !
Nous avons vu comment il est possible de connaître la limite à l'infini d'un polynôme ou d'une
fonction rationnelle. Voyons maintenant le cas particulier d’une fonction contenant une racine
carrée ou une valeur absolue.
/DTXDQWLWpFRQMXJXpH
Soit f une fonction définie sur \ + par f ( x ) = x + 4 − x .
f (0 ) = 0 . On cherche à déterminer lim f ( x ) .
x →+∞
lim
x + 4 = +∞
lim
x = +∞
x →+∞
x →+∞
Donc lim f ( x ) est de la forme indéterminée « ∞ − ∞ ».
x →+∞
L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée
f (x ) = x + 4 − x =
(
x+4 − x
)(
x+4 + x
)
x+4 + x
Le numérateur est alors du type (a − b )(a + b ) = a 2 − b 2 , d’où :
f (x ) =
lim
x →+∞
(x + 4) − x
x+4 + x
=
4
x+4 + x
x + 4 + x = +∞ , donc lim f ( x ) = 0
Graphe
x →+∞
/HVYDOHXUVDEVROXHV
Soit f une fonction définie sur \ \ {−1,1} par f ( x ) =
1− 2 x
1− x
.
On cherche à déterminer les limites de f ( x ) aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste ici à écrire différemment la valeur absolue de x selon que x est négatif
ou positif
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p15/16 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (06/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
x = − x si x < 0
x = x si x > 0
Les limites à déterminer sont les suivantes :
lim f ( x )
lim f ( x )
x →−1±
x →±∞
•
Commençons par regarder en +∞ :
x > 0 donc x = x et f ( x ) =
•
lim f ( x )
x →1±
1− 2x
−2 x
, donc lim f ( x ) = lim
=2
x →+∞
x →+∞ − x
1− x
En −∞ :
x < 0 donc x = − x et f ( x ) =
•
En −1+ :
x < 0 donc x = − x et f ( x ) =
•
1 + 2x
2x
, donc lim f ( x ) = lim
=2
x →−∞
x →−∞ x
1+ x
1 + 2x
−1
= −∞
, donc lim+ f ( x ) = lim+
x →−1
x →−1 1 + x
1+ x
En −1− :
On a toujours x < 0 donc x = − x et f ( x ) =
lim− f ( x ) = lim−
x →−1
•
x →−1
−1
= +∞
1+ x
1 + 2x
, mais cette fois-ci
1+ x
( x < −1)
En 1+ :
x > 0 donc x = x et f ( x ) =
•
( x > −1)
1− 2x
−1
, donc lim+ f ( x ) = lim+
= +∞
x →1
x →1 1 − x
1− x
( x > 1)
1− 2x
−1
, donc lim− f ( x ) = lim−
= −∞
x →1
x →1 1 − x
1− x
( x > 1)
En 1− :
x > 0 donc x = x et f ( x ) =
Voir le graphe
- Chapitre 2 : Limite – Continuité, p16/16 -
'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH'pULYDWLRQ²(WXGHGHIRQFWLRQV
Sandrine CHARLES (10/10/2001)
Introduction
1
Définition
1.1 Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle
1.2 Dérivées à gauche et à droite
1.3 Fonctions dérivées
1.4 Développement limité d’ordre 1
1.5 Lien entre dérivabilité et continuité
2
Propriétés des fonctions dérivables
2.1 Tangentes
2.2 Interprétation géométrique
3
Dérivées usuelles
4
Opérations sur les dérivées
4.1 Opérations élémentaires
4.2 Fonction inverse et quotient de fonctions dérivables
4.3 Composition
4.4 Fonction réciproque
4.5 Dérivées successives
5
Théorème de Rolle
6
Théorème des accroissements finis
6.1 Théorème
6.2 Théorème des accroissements finis généralisés
6.3 Règle de L’Hospital
6.4 Théorème du point fixe
7
Convexité
7.1 Définitions
7.2 Critères de convexités
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
8
Applications à l’étude des fonctions
8.1 Dérivation et extremums d’une fonction
8.2 Etude d’une fonction
8.3 Résolution de l’équation f ( x ) = a
9
Exemples d’application
9.1 En Biologie
9.2 En Physique
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p2/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH'pULYDWLRQ²(WXGHGHIRQFWLRQV
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons apporter quelques compléments sur la notion de dérivation, que
nous appliquerons à l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle. Ce chapitre fera très
largement appel aux notions développées aux chapitres 1 et 2.
D’un point de vue historique, c’est à D’Alembert que l’on doit la définition d'un nombre
dérivé au moyen de la notion naissante de limite, en tant que valeur limite, lorsque f est
fonction x, d'un taux d'accroissement, sous la forme :
lim
∆x → 0
∆f ( x )
f (x + h) − f (x )
= lim
h
→
0
∆x
h
Pour vous faire une idée de la notion de dérivation au travers d’un exemple concret de la vie
de tous les jours, nous vous encourageons à visiter le site suivant : Mise en Boîte.
Dans tout ce chapitre, on considèrera des fonctions définies sur I ⊆ \ où I est un
intervalle ouvert de \ .
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
15873 : un site dédié aux mathématiques utilitaires de tous niveaux, sous forme d'exercices
avec leurs solutions. Avec une partie "Aide Mémoire" (formulaire) pour les choses courantes.
Voir le formulaire des dérivées
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p3/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
1 Définition
On considèrera dans tout le chapitre 3 que I est un intervalle ouvert de \ .
1.1
Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle
Définition 1 :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . On dit que f est dérivable au point x0 si et seulement si la
quantité
f ( x ) − f ( x0 )
admet une limite finie lorsque x tend vers x0 .
x − x0
f ( x ) − f ( x0 )
;
x − x0
On note alors f ′ ( x0 ) = lim
x → x0
f ′ ( x0 ) est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en x0 .
Autres notations : D ( f )( x0 ) ou
df
( x0 )
dx
Remarque :
Une définition équivalente à la précédente s’obtient en posant x = x0 + h :
f ′ ( x0 ) = lim
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
Définition 2 :
Soit f : I → \ . On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
Exemple 1
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p4/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
1.2
Dérivées à gauche et à droite
Définition 3 :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point x0 si
et seulement si la quantité
f ( x ) − f ( x0 )
admet une limite finie lorsque x tend vers x0 par
x − x0
valeurs supérieures (resp. inférieures) :
f d′ ( x0 ) = lim+
f ( x ) − f ( x0 )
: dérivée à droite de f en x0 , notée aussi f +′ ( x0 ) .
x − x0
f g′ ( x0 ) = lim−
f ( x ) − f ( x0 )
: dérivée à gauche de f en x0 , notée aussi f −′ ( x0 ) .
x − x0
x → x0
x → x0
Proposition :
Soient f : I → \ et x0 ∈ I . f est dérivable au point x0 si et seulement si f est dérivable à
droite et à gauche en x0 , et f d′ ( x0 ) = f g′ ( x0 ) .
Cette proposition découle directement de la définition des limites à droite et à gauche.
Exemples 2
1.3
Fonctions dérivées
Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction f ′
qui a tout x de I associe f ′ ( x ) .
Remarque :
L’ensemble de définition de f ′ est le sous-ensemble de I sur lequel f est dérivable : D f ′ ⊆ I .
Exemple 3
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p5/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
1.4
Développement limité d’ordre 1
Définition :
Une fonction f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 s’il existe α ∈ \ et une
fonction ε définie sur un voisinage M de x0 tels que :
∀x ∈ M , f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 )α + ( x − x0 )ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0
x → x0
Proposition :
f est dérivable en x0 si et seulement si f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 . On a
alors :
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 )ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0 .
x → x0
Démonstration
Remarque :
L’écriture f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 )ε ( x ) met en évidence que la fonction
f ( x ) n’est pas trop différente du polynôme du premier degré :
P ( x ) = f ( x0 ) − x0 f ′ ( x0 ) +
f ′ ( x0 ) x
terme du 1er degré en x
Une constante
du moins tant que x est voisin de x0 .
Exemple :
Considérons la fonction définie par f ( x ) = ax 2 . On calcule aisément f ′ ( x ) = 2ax .
Il vient d’après la proposition précédente :
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 )ε ( x )
⇔ ax 2 = ax02 + 2ax ( x − x0 ) + ( x − x0 )ε ( x )
1.5
Lien entre dérivabilité et continuité
Théorème :
Soit f : I → \ . Si f est dérivable en x0 , alors f est continue en x0 .
Démonstration
! Attention : La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas
nécessairement la dérivabilité.
Exemples :
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p6/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
™
La fonction définie sur \ par f ( x ) = x est continue en 0 mais non dérivable en 0.
š
Considérons la fonction suivante :
1

 f ( x ) = x sin , si x ≠ 0

x
 f (0 ) = 0
La question de la continuité et de la dérivabilité se pose en 0. Réponse.
2 Propriétés des fonctions dérivables
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de \ .
2.1
Tangentes
Définitions :
Soit f : I → \ dérivable en x0 . Alors f admet un développement limité d’ordre 1 en x0 :
f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) + ( x − x0 )ε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 et ε ( x0 ) = 0
x → x0
1.
2.
f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) est l’approximation polynomiale de degré 1 de f en x0 .
L’équation y = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 ) est l’équation de la tangente désignée par T à
la courbe représentative de f, au point x0 .
Le nombre dérivé f ′ ( x0 ) est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente.
Exemple 4
Propriétés :
Soit f : I → \ dérivable en x0 . Soit (Γ ) courbe représentative de f.
f ′ ( x0 ) est donc la pente de la tangente T à (Γ ) au point x0 .
(i)
Si f ′ ( x0 ) = 0 , alors T est une droite parallèle à l’axe des x ;
(ii)
Si lim f ′ ( x ) = ∞ , alors T est une droite parallèle à l’axe des y.
x → x0
Exemple 5
2.2
Interprétation géométrique
Soit A ( x0 , f ( x0 )) et M ( x, f ( x )) sur la courbe représentative (C) de la fonction f.
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p7/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Le taux d’accroissement
f ( x ) − f ( x0 )
correspond au coefficient directeur de la corde AM.
x − x0
Dire que f est dérivable en x0 revient à dire que la corde AM possède une position limite non
verticale (T) de coefficient directeur f ′ ( x ) quand x tend vers x0 , c’est-à-dire quand M tend
vers A.
(T) est la tangente à (C) au point d’abscisse x0 .
Ce qui précède est inspiré du chapitre 8 « Dérivation, connexité », une aide à l’interprétation géométrique de la notion de dérivée et de
tangente à une courbe sur le site M@ths En Prép@.
3 Dérivées usuelles
Un formulaire récapitulatif des dérivées les plus usuelles vous est proposé dans la rubrique
aides-mémoire.
•
Si f est constante sur un intervalle I ⊆ \ , alors ∀x ∈ I f ′ ( x ) = 0 .
•
Si f est définie comme la fonction identité, alors ∀x ∈ I f ′ ( x ) = 1 .
•
Si f est définie par f ( x ) = x n ( n ∈ `∗ ), alors ∀x ∈ \ f ′ ( x ) = nx n −1 .
•
Si f est définie par f ( x ) = exp ( x ) = e x , alors ∀x ∈ \ f ′ ( x ) = exp ( x ) = e x .
De même, si f ( x ) = ekx ( k ∈ \ ), alors ∀x ∈ \ f ′ ( x ) = ke kx .
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p8/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
•
Si f est définie par f ( x ) = ln x , alors ∀x ∈ \ +∗ f ′ ( x ) =
De même, si f ( x ) = ln x , alors ∀x ∈ \∗ f ′ ( x ) =
1
.
x
1
.
x
Enfin, si f ( x ) = ln (kx ) avec k > 0 , alors ∀x ∈ \ +∗ f ′ ( x ) =
1
.
x
•
Si f est définie par f ( x ) = sin x , alors ∀x ∈ \ f ′ ( x ) = cos x .
•
Si f est définie par f ( x ) = cos x , alors ∀x ∈ \ f ′ ( x ) = − sin x .
•
Si f est définie par f ( x ) = tan x , alors :
1
 π

.
∀x ∈ \ \ k , k ∈ ]  f ′ ( x ) = 1 + tan 2 x =
cos 2 x
 2

Application
4 Opérations sur les dérivées
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de \ .
4.1
Opérations élémentaires
4.1.1
Dérivée d’une somme
Proposition 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ et dérivables en x0 .
∀α , β ∈ \ , la fonction h = α f + β g est dérivable en x0 et h′ ( x0 ) = α f ′ ( x0 ) + β g ′ ( x0 ) .
Par extension, si f et g sont dérivables sur I, ∀α , β ∈ \ la fonction h = α f + β g est dérivable
sur I et h′ = α f ′ + β g ′ .
Démonstration
Exemple :
Soit f ( x ) = ln x + cos x . f est définie sur \ +∗ .
D’après le paragraphe 3, il vient f ′ ( x ) =
1
− sin x . Graphe.
x
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p9/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
4.1.2
Dérivée d’un produit
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ et dérivables en x0 .
Alors la fonction h = fg est dérivable en x0 et h′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g ′ ( x0 ) .
Par extension, si f et g sont dérivables sur I, h = fg est dérivable sur I et h′ = f ′g + fg ′ .
La démonstration de la proposition 2 se fait de manière tout à fait analogue à celle de la
proposition 1.
Exemple :
Soit la fonction définie sur \ par f ( x ) = x cos x .
Il vient f ′ ( x ) = cos x − x sin x . Graphe.
4.2
Fonction inverse et quotient de fonctions dérivables
Proposition 3 :
Soit g une fonction définie sur I ⊆ \ et dérivable en x0 .
Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors la fonction h =
g′ (x )
1
est dérivable en x0 et h′ ( x0 ) = − 2 0 .
g
g ( x0 )
Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction h =
h′ = −
1
est dérivable sur I avec
g
g′
.
g2
Exemple :
Soit la fonction définie sur \ +∗ \ {1} par g ( x ) =
(ln x )′ =
1
. g ne s’annule pas sur \ +∗ \ {1} .
ln x
1
1
Il vient g ′ ( x ) = −
. Graphe.
x
x ln 2 x
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p10/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Proposition 4 :
Soient f et g deux fonctions définies sur I ⊆ \ et dérivables en x0 .
Si g ( x0 ) ≠ 0 , alors la fonction h =
h′ ( x0 ) =
f
est dérivable en x0 et
g
f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − f ( x0 ) g ′ ( x0 )
g 2 ( x0 )
.
Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction h =
h′ =
f
est dérivable sur I avec
g
f ′g − fg ′
.
g2
Exemple 6
4.3
Composition
Proposition 5 :
Soient f : I → \ et g : J → \ deux fonctions telles que f (I ) ⊆ J .
Si f est dérivable en x0 et si g est dérivable en y0 = f ( x0 ) , alors g D f est dérivable en x0 et
( g D f )′ ( x0 ) = f ′ ( x0 )( g ′ D f )( x0 ) .
Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors g D f est dérivable est
dérivable sur I et ( g D f )′ = f ′. ( g ′ D f ) .
Exemple 7
4.4
Fonction réciproque
Proposition 6 :
Soit f : I → J une fonction strictement monotone et dérivable en x0 tel que f ′ ( x0 ) ≠ 0 .
f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque f −1 : J → I .
Alors f −1 est dérivable en y0 = f ( x0 ) et ( f −1 )′ ( y0 ) =
1
1
=
.
f ′ ( x0 ) ( f ′ D f −1 )( y0 )
Par extension, si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f −1 est dérivable sur J et ( f −1 )′ =
Exemple 8
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p11/22 -
1
.
f ′ D f −1
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
4.5
Dérivées successives
4.5.1
Définitions
Définitions 1 :
Soit f : I → \ . On note f (0) = f .
On suppose que la fonction f (n −1) existe et est dérivable de I dans \ .
(
On définit alors la fonction f ( ) = f (
n
•
•
n −1)
)′ .
Si la fonction f (n ) : I → \ existe, on dit que f est n-fois dérivable sur I.
f
(n )
est appelée dérivée n-ième de f sur I. f
(n )
dn f
est également notée D ( f ) ou
.
dx n
n
Remarques :
•
On utilise souvent les notations suivantes : f (2) = f ′′ et f (3) = f ′′′ .
•
On désigne générale f ′ par dérivée première et f ′′ par dérivée seconde.
•
Si f est n-fois dérivable sur I, alors ∀k ∈ {0,! , n}, f (k ) est (n − k ) -dérivable sur I, et en
( ))
particulier continue si k < n . Pour tout k ∈ {0,! , n}, on a alors f ( ) = f (
n
k
(n − k )
.
Exemple 9
4.5.2
Pour aller plus loin
5 Théorème de Rolle
Théorème :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé [a, b] ,
- f admet une dérivée pour toute valeur de l’intervalle ouvert ]a, b[ ,
- f est telle que f (a ) = f (b ) ;
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert ]a, b[ telle que f ′ (c ) = 0 .
! Attention ! Il n’y a pas obligatoirement unicité du point c.
Une idée de la démonstration
Interprétation graphique :
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p12/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Si une fonction prend la même valeur en deux points distincts a et b ( f (a ) = f (b ) ), alors il
existe un point de l’intervalle ]a, b[ où la tangente est horizontale.
Exemple 12
6 Théorème des accroissements finis
6.1
Théorème
Théorème des accroissements finis (Généralisation du théorème de Rolle) :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé [a, b] ,
- f est dérivable sur ]a, b[ ,
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert ]a, b[ telle que :
f (b ) − f (a ) = (b − a ) f ′ (c ) ⇔ f ′ (c ) =
f (b ) − f (a )
b−a
! Attention ! Comme pour le théorème de Rolle, il n’y a pas nécessairement unicité de c.
Interprétation géométrique :
Soient A et B les points de coordonnées respectives (a, f (a )) et (b, f (b )) .
f (b ) − f (a )
est le coefficient directeur de la droite (AB).
b−a
f ′ (c ) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe représentative de f au point c.
B Le théorème des accroissements finis permet de dire qu’il existe au moins un point c de
]a, b[ où la tangente T est parallèle à (AB).
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p13/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Démonstration
Exemple d’utilisation
Soient f et g deux fonction définies pour x > 0 par :
f ( x ) = ln (1 + x ) − ln x −
1
1
et g ( x ) = ln (1 + x ) − ln x −
1+ x
x
Montrons que g ( x ) < 0 < f ( x ) . Réponse.
6.1.1
Sens de variations des fonctions
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ .
Propriétés :
(i)
f est constante sur [a, b] ⇔ ∀x ∈ [a, b] f ′ ( x ) = 0
(ii)
f est croissante sur [a, b] ⇔ ∀x ∈ [a, b] f ′ ( x ) ≥ 0
(iii)
f est décroissante sur [a, b] ⇔ ∀x ∈ [a, b] f ′ ( x ) ≤ 0
Exemple 13
Remarque :
Il existe des fonctions pour lesquelles, au voisinage de certains points x0 , f n’est ni croissante
ni décroissante, ni même croissante d’un côté et décroissante de l’autre, et qui pourtant
admettent une dérivée f ′ ( x0 ) en ces points. Voir… !
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p14/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
6.1.2
Inégalités des accroissements finis
Théorème 1 :
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ .
S’il existe deux réels m et M tels que ∀x ∈ [a, b] , m ≤ f ′ ( x ) ≤ M , alors
m (b − a ) ≤ f (b ) − f (a ) ≤ M (b − a )
Théorème 2 :
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ .
S’il existe un réel M tels que ∀x ∈ [a, b] , f ′ ( x ) ≤ M , alors
f (b ) − f (a ) ≤ M b − a
Démonstrations
Conséquence :
D’après ces deux inégalités, pour c ∈ [a, b] donné et pour tout x ∈ [a, b] , il vient :
-
Si c < x , alors m ( x − c ) ≤ f ( x ) − f (c ) ≤ M ( x − c )
-
Si c > x , alors
m (c − x ) ≤ f (c ) − f ( x ) ≤ M (c − x ) ⇔ M ( x − c ) ≤ f ( x ) − f (c ) ≤ m ( x − c )
Ainsi, la fonction f est toujours encadrée, sur l’intervalle [a, b] , par deux droites d’équations
y = M ( x − c ) + f (c ) et y = m ( x − c ) + f (c ) .
Exemple d’utilisation 14
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p15/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
6.2
Théorème des accroissements finis généralisés
Théorème :
Soient f et g deux fonctions vérifiant les conditions suivantes :
- f et g sont définies et continues sur [a, b] ,
- f et g sont dérivables sur ]a, b[ ,
- g ′ ( x ) ne s’annule pas sur ]a, b[ ,
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert ]a, b[ telle que :
f (b ) − f (a )
g (b ) − g (a )
=
f ′ (c )
g ′ (c )
! Attention ! Il n’y a pas nécessairement unicité du point c.
Démonstration
6.3
Règle de L’Hospital
6.4
Théorème du point fixe
Théorème :
Soit f une fonction continue de [a, b] dans [a, b] , alors ∃c ∈ [a, b ] tel que f (c ) = c .
Si de plus f est dérivable sur [a, b] et que ∀x ∈ [a, b] f ′ ( x ) ≤ k < 1 , alors c est unique.
Exemple 17
7 Convexité
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de \ .
7.1
Définitions
Une fonction est dite convexe si son graphe à la forme suivante : courbe (C).
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p16/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Les coordonnées des différents points de la courbe sont :
A (a, f (a ))
B (b, f (b ))
N ( xh , f ( xh ))
M ( xh , hf (a ) + (1 − h ) f (b ))
avec
xh = ha + (1 − h )b
La convexité de f signifie que pour tout h ∈ [0;1] , l’ordonnée de N est inférieure ou égale à
celle de M.
Lorsque h décrit [0;1], N parcourt l’arc (AB ) , tandis que M parcourt la corde [AB] .
Ainsi, dire que f est convexe signifie que pour tous les points de la courbe entre A et B, la
corde [AB] est « au-dessus » de l’arc (AB ) .
Définition :
f : I → \ est dite convexe sur I si et seulement si :
∀h ∈ [0;1] , ∀ (a, b )∈ I 2 , f (ha + (1 − h )b ) ≤ hf (a ) + (1 − h ) f (b )
Exemples 18
Propositions 1 :
(1)
∀ (a, b, c )∈ I 2 tels que a < b < c ,
f (b ) − f (a ) f (c ) − f (a ) f (c ) − f (b )
≤
≤
b−a
c−a
c −b
(Inégalité des trois points)
(2)
∀a ∈ I , Ta : I \ {a} → \ définie par Ta ( x ) =
f ( x ) − f (a )
est croissante.
x−a
Ces propositions sont équivalentes à la définition.
Définition 2 :
f : I → \ est dite concave si (− f ) est convexe.
Exemple :
La fonction définie sur \ par f ( x ) = − x 2 est concave. Voir graphe précédent.
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p17/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Proposition 2 :
Les fonctions affines définies sur \ par f ( x ) = α x + β , dont la courbe représentative est une
droite, sont à la fois convexes et concaves sur \ .
Démonstration
Proposition 3 :
Soient f1 , f 2 , …, f n des fonctions définies de I dans \ , et convexes sur I. Alors
∀α1 ,α 2 ,! ,α n ∈ \ , la fonction g = α1 f1 + α 2 f 2 + ! + α n f n définie de I dans \ , est aussi
convexe.
7.2
Critères de convexités
Proposition 4 (caractérisation de la convexité par la dérivée première) :
Soit f : I → \ dérivable. Alors f est convexe si et seulement si f ′ est croissante sur I.
Conséquence (tangente à la courbe d’une fonction convexe) :
Soit f : I → \ dérivable et convexe. Alors pour tout x0 ∈ I , on a :
∀x ∈ I , f ( x ) ≥ f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ′ ( x0 )
Autrement dit, la courbe représentative de f est partout au-dessus des tangentes.
Exemple 19
Proposition 5 (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) :
Soit f : I → \ deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement f ′′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ I .
Exemple :
Considérons à nouveau la fonction définie sur \ par f ( x ) = x 2 .
f ′′ ( x ) = 2 ≥ 0 sur \ tout entier.
Définition 3 :
Soient f : I → \ deux fois dérivable et x0 ∈ I , différent des bornes. On dit que x0 est un
point d’inflexion si f ′′ s’annule et change de signe au point x0 ;
On dit que la courbe représentative de f « traverse » la tangente au point x0 .
Exemple 20
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p18/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
8 Applications à l’étude des fonctions
8.1
Dérivation et extremums d’une fonction
Proposition :
Soit f : I → \ une fonction dérivable sur I. Soit x0 ∈ I , et différent des bornes.
Si f possède un extremum local en x0 , alors f ′ ( x0 ) = 0 .
Remarque :
Le terme d’extremum local s’emploie lorsque la notion d’extremum n’est valable que dans un
intervalle J ⊂ I .
Exemples 21
! Attention ! La réciproque de la proposition précédente est fausse.
Contre-Exemple
8.2
Etude d’une fonction
8.2.1
Plan d’étude
On s’intéresse ici à une fonction f : D f → \ avec D f ⊆ \ .
$Chercher D f le domaine de définition de f.
%Chercher les symétries éventuelles (fonction paire ou impaire ainsi que symétrie par
rapport à la droite y = x ). De telles symétries permettent de réduire l’intervalle d’étude.
&Rechercher, quand c’est simple, les points particuliers de la courbe, c’est-à-dire
correspondant à x = 0 ou f ( x ) = 0 .
'Déterminer le sens de variation de f.
Pour cela on utilise les propriétés de paragraphe 6.1.1 en calculant la dérivée de f.
Etudier le signe de f ′ ( x ) . Rechercher les extremums : f ′ ( x ) = 0 .
Rechercher les points à tangente particulière : f ′ ( x ) = 0 ou lim f ′ ( x ) = ±∞ .
x → x0
(Calculer si possible la dérivée seconde f ′′ ( x ) . Rechercher les points d’inflexion
(changement de signe de f ′′ ( x ) ), et repérer les domaines de convexité et de concavité de
la courbe représentative.
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p19/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)Dresser le tableau de variation de f résumant les résultats précédents.
Compléter le tableau en cherchant les limites de f ( x ) aux bornes des intervalles, et
lorsque x → ±∞ .
*Rechercher les asymptotes parallèles aux axes ou obliques, préciser la position du graphe
par rapport aux asymptotes.
+Tracer le graphe en utilisant éventuellement les éléments de symétrie ou de périodicité.
8.2.2
Exemple
Étudier les variations de la fonction définie par f ( x ) =
2x
. Tracer le graphe.
x+3
Réponse
8.3
Résolution de l’équation f ( x ) = λ
Ce paragraphe est traité d’un point de vue pratique en s’inspirant de l’ouvrage de Misset et al
(p134).
Question
Soit la fonction définie sur \ par f ( x ) = x3 + x + 2 . Montrer que l’équation f ( x ) = 1 admet
une unique solution dans \ , et déterminer un encadrement à 10−2 près de cette solution.
Méthode
Pour répondre à la question précédente, trois étapes sont nécessaires :
(i)
Etudier les variations de la fonction f ;
(ii)
Montrer qu’il existe un intervalle [a, b] sur lequel f est dérivable et strictement
monotone, et tel que λ ∈ f
([a, b]) .
(iii)
Montrer simultanément que sur D f \ [a, b ] f ( x ) ≠ λ ;
(iv)
Déterminer un encadrement de la solution à l’aide d’une calculatrice (ou d’un
ordinateur !).
Résolution
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p20/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
9 Exemples d’application
9.1
En Biologie
L’exemple présenté ci-après est tiré d’un TP de biochimie d’une classe de Terminale option Biologie-Génie Biochimique ; ce TP et bien
d’autres sont disponibles à l’adresse suivante : http://wwwusers.imaginet.fr/~dhirou/tp.html.
L’activité d’une enzyme (par exemple la β-galactosidase) est fortement influencée par le pH
du milieu réactionnel (d’où l’utilisation de milieux tamponnés pour mesurer des activités
catalytiques). C’est au pH optimum que l’activité est la plus grande, aux pH d’arrêt l’activité
est nulle. Les variations de pH peuvent modifier la conformation de la protéine soit en la
dénaturant (pH extrêmes) soit en induisant des changements réversibles (faibles variations
autour du pH optimum).
De même, l’activité enzymatique dépend de la température, la température critique
correspond à la limite à partir de laquelle l’activité baisse, suite à la dénaturation de l’enzyme.
On note V la vitesse d’une réaction catalysée par la β-galactosidase, exprimée en unités
enzymatique. On admet alors la relation suivante :
V=
1
1 + 0.1(pH − 7.5 ) + 0.1(pH − 7.5 )
2
La représentation graphique de cette relation V – pH est la suivante :
On constate qu’il existe une vitesse maximale pour une certaine valeur du pH.
Posons g ( x ) = 1 + 0.1( x − 7.5 ) + 0.1( x − 7.5 ) et f ( x ) =
2
1
. Alors V = f (pH ) .
g (x )
On obtient pour la dérivée (cf. § 4.2.) :
f ′ (x ) = −
g′(x )
0.1 + 0.2 ( x − 7.5 )
1.4 − 0.2 x
=−
=
2
2
2
g (x )
1 + 0.1( x − 7.5 ) + 0.1( x − 7.5 )2 
1 + 0.1( x − 7.5 ) + 0.1( x − 7.5 )2 




Ainsi f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 7 . Par conséquent le pH optimum est égal à 7.
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p21/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (10/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
9.2
En Physique
L’exemple ci-après est extrait de Misset et al. (p138).
On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui débite sur
un résistor de résistance R variable. On note P la puissance dépensée dans le résistor et i
l’intensité du courant.
On a les relations suivantes :
E = (r + R )i et P = Ri 2
Les unités sont les suivantes :
E en volts (V)
R, r en ohms (Ω )
(U
5
P en watts (W)
i en ampère (A)
En supposant E = 3V et r = 0.5 Ω , on peut exprimer P comme une fonction de R :
P = f ( R ) avec f (R ) =
9R
(R + 0.5)
2
Voici la représentation graphique de la fonction f :
On constate que la puissance est maximale pour une certaine valeur de R.
Recherchons cette valeur R0 telle que f (R0 ) = Pmax .
f ′ (R ) =
−9 R + 4.5
(R + 0.5)
3
f ′ (R ) = 0 ⇔ R0 = 0.5
La résistance à laquelle la puissance dépensée dans le résistor est maximale est égale à
R0 = 0.5 Ω . La puissance alors dépensée vaut à Pmax = 4.5 W .
- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p22/22 -
'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
Sandrine CHARLES (19/10/2001)
1
2
3
4
5
Fonctions polynômes élémentaires.................................................................................2
1.1
Fonctions polynômes de degré 1 ............................................................................2
1.2
Polynômes du second degré ...................................................................................4
1.3
Fonctions homographiques.....................................................................................6
Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses..............................................9
2.1
Définitions ..............................................................................................................9
2.2
Fonctions trigonométriques ..................................................................................12
2.3
Fonctions trigonométriques inverses ....................................................................15
2.4
Les formules de Simpson (ou formules d’additions)............................................17
2.5
Généralisation.......................................................................................................17
2.6
Un exemple d’application en Biologie .................................................................18
2.7
Vers d’autres sites….............................................................................................20
Fonctions logarithme et exponentielle..........................................................................20
3.1
Introduction ..........................................................................................................20
3.2
La fonction logarithme népérien...........................................................................20
3.3
La fonction exponentielle .....................................................................................22
3.4
Exemples d’utilisation en Biologie.......................................................................24
Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses .....................................................27
4.1
Définition des fonctions hyperboliques................................................................27
4.2
Etude des fonctions hyperboliques .......................................................................27
4.3
Formules usuelles .................................................................................................29
4.4
Définition des fonctions hyperboliques réciproques ............................................30
Fonctions puissances ....................................................................................................33
5.1
Définition..............................................................................................................33
5.2
Fonction um ...........................................................................................................34
5.3
Croissances comparées .........................................................................................35
5.4
Un exemple d’application en Biologie : la relation allométrique.........................35
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
,QWURGXFWLRQ
L’objectif de ce chapitre est de donner des exemples d’utilisation en Biologie des fonctions
réelles d’une variable réelle les plus usitées : les fonctions linéaires, les fonctions
homographiques, les fonctions trigonométriques, les fonctions hyperboliques, les fonctions
logarithme et exponentielle, et les fonctions puissance.
Chaque paragraphe sera consacré à un type de fonction et sera organisé en deux parties : la
première présentera de brefs mais indispensables rappels sur la fonction, en s’appuyant sur les
notions développées dans les précédents chapitres (1, 2 et 3) ainsi que sur des représentations
graphiques ; la seconde partie s’attachera, dans la mesure du possible, à donner une
illustration en Biologie du type de fonction étudié.
)RQFWLRQVSRO\Q{PHVpOpPHQWDLUHV
)RQFWLRQVSRO\Q{PHVGHGHJUp
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et β et définie pour tout x ∈ \ par :
f ( x ) = α x + β avec α ≠ 0
•
La fonction polynôme de degré 1 f a une dérivée première constante égale à α ; elle est
strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0 .
•
Il découle de la définition que :
∀x1 , x2 ∈ \ , on a f ( x1 ) − f ( x2 ) = α ( x1 − x2 )
¹ L’ accroissement d’une fonction polynôme de degré 1 ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) sont
proportionnels à ceux de la variable ( x1 − x2 ) .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p2/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
¹α=
f ( x1 ) − f ( x2 )
est appelé pente de la fonction polynôme de degré 1
x1 − x2
•
β = f (0 ) ; si β = 0 , on dit que la fonction est linéaire.
•
Le graphe d’une fonction polynôme de degré 1 est une droite de pente α passant par le
point de coordonnées (0, β ) ; β est l’ordonnée à l’origine.
$SSOLFDWLRQLQWHUSRODWLRQOLQpDLUH
L’interpolation linéaire d’une fonction f dans un intervalle [x1 ; x2 ] est la fonction polynôme
de degré 1 ϕ prenant les mêmes valeurs que f aux bornes de l’intervalle [x1 ; x2 ] :
ϕ ( x1 ) = f ( x1 )
ϕ ( x2 ) = f ( x2 )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p3/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Revoir l’exemple en Biologie présenté au Chapitre 1, §7.
3RO\Q{PHVGXVHFRQGGHJUp
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels a, b, c
et définie par :
f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0
La fonction f est continue et dérivable en tout point : f ′ ( x ) = 2ax + b .
La dérivée seconde est constante et égale à 2a.
f admet un extremum en x = −
2
b
 b  4ac − b
: f −  =
.
2a
4a
 2a 
Lorsque x tend ±∞ , f admet pour limite ±∞ selon le signe de a.
La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole :
Nous ne reviendrons pas ici sur la recherche des racines d’un polynôme du second degré.
Rappelons simplement que :
-
Si ∆ = b 2 − 4ac < 0 , alors ax 2 + bx + c = 0 n’admet aucune racine réelle ;
-
Si
x0 = −
∆ = b 2 − 4ac = 0 , alors
ax 2 + bx + c = 0
b
;
2a
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p4/36 -
admet une racine double :
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
-
Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , alors ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines :
−b − b 2 − 4ac
x1 =
2a
Dans ce cas x1 + x2 =
−b + b 2 − 4ac
x2 =
2a
−b
c
et x1 x2 = .
a
a
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes), il est raisonnable de
considérer qu’en première approximation, la relation du taux de croissance de la population
avec la température de l’environnement est un polynôme du second degré :
µ = aT 2 + bT + c
Les valeurs de a, b et c vont dépendre de l’espèce considérée.
Remarquons que d’un point de vue biologie, il faut nécessairement que µ ≥ 0 , ce qui n’est pas
nécessairement le cas pour T.
On sait qu’il existe pour chaque individu un optimum de croissance ( Topt ), ainsi que des
températures minimale ( Tmin ) et maximale ( Tmax ) de croissance en deça et au-delà desquelles
il n’y a plus de croissance. Ainsi, les paramètres a, b et c doivent vérifier les équations
suivantes :
µ ′ (Topt ) = 0
µ (Tmin ) = µ (Tmax ) = 0
Ce qui implique pour les trois températures cardinales Topt , Tmin et Tmax :
Topt = −
b
2a
Tmin =
−b − b 2 − 4ac
2a
Tmax =
−b − b 2 − 4ac
2a
Chez la bactérie Methylosinus trichosporium, qui est à la fois méthanotrophe et mésophile, on
connaît approximativement Topt = 23°C qui correspond à µ max = 0.012 h -1 et Tmin = 9°C
(Kevbrina et al., 2001).
D’après le modèle polynomial, on en déduit que Tmax doit être égal à 37°C, ce que l’on vérifie
presque expérimentalement puisqu’en fait Tmax = 37°C .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p5/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
On obtient le graphe suivant, où la relation µ = f (T ) n’est représentée que pour des valeurs
positives de µ, c’est-à-dire pour T ∈ [9°C ; 37°C ] :
Relation µ = f (T ) pour la bactérie Methylosinus trichosporium
Données extraites de Kevbrina M.V., Okhapkina A.A., Akhlynin D.S., Kravchenko I.K., Nozhevnikova A.N. et Gal’chenko
V.F. (2001) Growth of Mesophilic Methanotrophs at low Temperatures. Microbiology, 70(4), 384-392.
)RQFWLRQVKRPRJUDSKLTXHV
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s :
h (x ) =
ax + b
avec c ≠ 0
cx + d
Si c = 0 , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1.
•
•
d  d


L’ensemble de définition de h est Dh =  −∞; −  *  − ; +∞  (il faut cx + d ≠ 0 ).
c  c


lim h ( x ) =
x →±∞
a
(voir Chapitre 2, § 1.5)
c
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p6/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
•
•
Les limites à droite et à gauche de −
-
Si ad − bc > 0 , alors
-
Si ad − bc < 0 , alors
lim + h ( x ) = −∞ et
 d
x → − 
 c
lim + h ( x ) = +∞ et
 d
x → − 
 c
lim − h ( x ) = +∞
 d
x → − 
 c
lim − h ( x ) = −∞
 d
x → − 
 c
La fonction h est continue et dérivable sur Dh :
h′ ( x ) =
•
d
dépendent du signe de ad − bc :
c
ad − bc
(cx + d )
2
: le sens de variation de h dépend du signe de ad − bc
-
Si ad − bc > 0 , alors la fonction h est croissante ;
-
Si ad − bc < 0 , alors la fonction h est décroissante ;
-
Si ad − bc = 0 , la fonction h est constante et égale à
-
Si ad − bc ≠ 0 , deux cas de figure peuvent se présenter (voir Figures)
a b
=
c d
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour
asymptote les deux droites d’équation x = −
d
a
et y = ; le point d’intersection des deux
c
c
asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe.
8QH[HPSOHHQ%LRORJLHG·DSUqV/HJD\HWDOS
Une réaction enzymatique peut se symboliser par le schéma suivant :
E
S 
→P
qui se lit : « le substrat S est transformé par l’enzyme E en un produit P ».
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p7/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Quantitativement, on décrit l’évolution d’une telle réaction par sa cinétique exprimée en terme
de vitesse de réaction V :
V =−
d [S ] d [P ]
=
avec t le temps de réaction
dt
dt
où [S ] est la concentration en substrat S et [P ] la concentration en produit P.
On peut raisonnablement considérer que la vitesse V suit la relation suivante :
V=
Vmax [S ]
K M + [S ]
= V ([S ]) avec Vmax et K M des constantes strictement positives
On suppose vérifiées les conditions suivantes :
A t = 0 , on a [S ] = S0 et [P ] = 0
∀t ≥ 0 , on a [S ] + [P ] = S0 : [P ] = S0 − [S ]
Mathématiquement, le domaine de définition de V est DV = ]−∞; − K M [ ∪ ]− K M ; +∞[ , mais
biologiquement, il faut que V ≥ 0 . Comme [S ] ≥ 0 (c’est une concentration), on étudie V sur
l’intervalle [0; +∞[ .
V0 = V ([S ] = 0 ) = 0
lim V = Vmax
[S ]→+∞
Vmax représente la vitesse maximale de réaction. Le graphe de V en fonction de [S ] présente
une asymptote d’équation V = Vmax .
K M est égal à la concentration en substrat correspond à une vitesse V =
V ([S ] = K M ) =
Vmax
2
V est continue et dérivable sur [0; +∞[ :
V′ =
dV
Vmax K M
=
>0
d [S ] (K M + [S ])2
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p8/36 -
Vmax
:
2
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
La fonction V est strictement croissante sur [0; +∞[ :
)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVHWWULJRQRPpWULTXHVLQYHUVHV
'pILQLWLRQV
G G
G
G
G G
On considère un repère orthonormé (O, e1 , e2 ) , c’est-à-dire tel que e1 ⊥ e2 et e1 = e2 = 1 .
Définitions 1 :
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur le quel on définit un
sens de parcours.
Le sens est positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre : on dit le sens
trigonométrique direct.
Le sens est négatif est le sens des aiguilles d’une montre : c’est le sens trigonométrique
indirect.
Remarque : Ces définitions ne sont en fait par rigoureuses au sens mathématique, puisque le
sens trigonométrique direct ne peut en théorie être défini que dans \3 .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p9/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Définition 2 :
Soit M un point du cercle trigonométrique. On appelle mesure en radians de l’angle
OI , OM ) , le réel α M
(n
p (de I vers M).
égal à la longueur de l’arc orienté IM
D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Remarque :
Si M et N ont même position sur le cercle trigonométrique, alors α M = α N + 2kπ avec k ∈ ] .
Le graphe ci-dessous donne quelques valeurs remarquables d’angles :
D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Définitions 3 :
Soit M un point du cercle trigonométrique.
On appelle sinus de l’angle α M l’ordonnée du point M.
On appelle cosinus de l’angle α M l’abscisse du point M.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p10/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Pour tout angle α , on a les relations suivantes (voir graphe ci-dessus) :
sin α = sin (α + 2kπ ) , k ∈ ]
cos α = cos (α + 2kπ ) , k ∈ ]
sin (−α ) = − sin α
cos (−α ) = cos α
sin (α + π ) = − sin α
cos (α + π ) = − cos α
cos 2 α + sin 2 α = 1
Vous trouverez une liste d’autres relations dans l’aide mémoire « trigonométrie ».
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p11/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHV
Fonction sinus
Du latin sinus = pli, cavité
✪
Elle est définie sur \ par f ( x ) = sin x
Elle est impaire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (sin )′ ( x ) = cos x .
 π
π 
Elle est strictement croissante sur 0;  et strictement décroissante sur  ; π  .
 2
2 
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1 (puisqu’elle est 2π -périodique)
- les symétries de centres (kπ , 0 ) (puisqu’elle est impaire)
- les symétries d’axes x =
π
+ kπ
2
Version animée :
D’après le site de X. Hubaut (Université de Bruxelle)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p12/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Fonction cosinus
du latin cum = avec donnant en français co = associé et sinus = pli
Elle est définie sur \ par f ( x ) = cos x
Elle est paire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (cos )′ ( x ) = − sin x .
Elle est strictement croissante sur [−π ;0] et strictement décroissante sur [0; π ].
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1
π

- les symétries de centres  + kπ , 0 
2

- les symétries d’axes x = kπ
Fonction tangente
du latin tangere, tangentis = toucher
sin x
π

= tan x
Elle est définie sur \ \  + kπ , k ∈ ]  par f ( x ) =
cos x
2

Elle est impaire et π -périodique.
1
π

Elle est dérivable sur \ \  + kπ , k ∈ ]  avec (tan )′ ( x ) = 1 + tan 2 x =
.
cos 2 x
2

 π π
Elle est strictement croissante sur  − ; 
 2 2
Sa courbe est invariante par :
G
- les translations de vecteur kπ e1
- les symétries de centres (kπ , 0 )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p13/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Fonction cotangente
du latin cum = avec donnant en français co = associé et tangente
Elle est définie sur \ \ {kπ , k ∈ ]} par f ( x ) =
cos x
1
=
= cot x
sin x tan x
Elle est impaire et π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (cot )′ ( x ) = −1 − cot 2 x = −
1
.
sin 2 x
Elle est strictement décroissante sur ]0; π [
Un nouveau regard…
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p14/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVLQYHUVHV
π
 π

La fonction sinus est bijective de tout intervalle  − + 2kπ ; + 2kπ  k ∈ ] vers [−1;1] ;
2
 2

 π π
elle admet donc une fonction réciproque définie de [−1;1] vers  − ; 
 2 2
 π π
Ainsi, pour tout x ∈ [−1;1] il existe un unique y ∈  − ;  tel que sin y = x .
 2 2
Par définition, ce nombre y est appelé arc sinus x, et noté y = arcsin x .
Fonction arcsinus
 π π
arcsin : [−1;1] →  − ; 
 2 2
x 6 y = arcsin x
Elle est par construction définie, continue et impaire sur [−1;1] .
Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule selon la règle établie au chapitre 3 §4.4 pour les fonctions réciproques :
(arcsin )′ ( x ) =
1
1
1
1
=
=
=
(cosD arcsin )( x ) cos y 1 − sin 2 y 1 − x 2
Elle est donc strictement croissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Représentation graphique de la fonction arcsinus
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p15/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Fonction arccosinus
arccos : [−1;1] → [0; π ]
(par un raisonnement analogue au précédent)
x 6 y = arccos x
Elle est définie, continue et paire sur [−1;1] .
Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
(arccos )′ ( x ) = −
1
1 − x2
Elle est donc strictement décroissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Représentation graphique de la fonction arccosinus
Fonction arctangente
 π π
arctan : ]−∞; +∞[ →  − ; 
 2 2
x 6 y = arctan x
Elle est définie, continue et impaire sur ]−∞; +∞[ .
Son graphe se déduit de celui de tagente par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
(arctan )′ ( x ) =
1
1 + x2
La fonction arctangente est donc strictement croissante sur ]−∞; +∞[ .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p16/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Représentation graphique de la fonction arctangente
Relations fondamentales :
arcsin x + arccos x =
π
2
arctan x + arc cot x =
π
avec y = arccotx ⇔ x = cot y
2
y ∈ ]0, π [
Démonstration
/HVIRUPXOHVGH6LPSVRQRXIRUPXOHVG·DGGLWLRQV
Les formules de Simpson et bien d’autres sont répertoriées dans le formulaire
« trigonométrie » de la rubrique aide-mémoire. On les utilise pour transformer des sommes de
sinus ou de cosinus en produits de sinus ou de cosinus. Ces formules trouvent des applications
pour la calcul intégral (voir Chapitre 5).
Vers d’autres applications des formules de Simpson…
*pQpUDOLVDWLRQ
A l’aide des théorème de fonctions composées, il est facile d’obtenir les propriétés de
fonctions s’écrivant comme combinaison des fonctions trigonométriques précédentes. Ainsi :
(sin [u ( x)])′ = u′( x) cos [u( x)]
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p17/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(cos [u ( x)])′ = −u′( x) sin [u ( x)]
u′( x)
2
[u ( x)]
(tan [u( x)])′ = cos
u′( x)
2
[u( x)]
(cot [u ( x)])′ = − sin
8QH[HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
/HSUREOqPHGHODFKqYUH
/DWHPSpUDWXUHGHO·HDXGDQVOH5K{QH
Les variations de température dans l’eau du Rhône sont cycliques, dépendent de la saison, et
sont directement liées aux variations cycliques de la dureté de l’eau, mesurée en mg/L de
CaC03 (carbonate de calcium).
Par exemple, on peut imaginer la relation suivante, si t désigne le temps et D la dureté de
l’eau:
D = α cos (ω t + ϕ ) + β = f (t )
t est dite variable de contrôle (sa variation influence celle de D) ;
D est dite variable dépendent (ses variations dépendent de celles de t) ;
α , ω , ϕ , β sont des paramètres, dont les valeurs dépendent de l’endroit et/ou du moment où
sont mesurées les variations de D. Les valeurs de ces paramètres peuvent aussi varier d’une
année à l’autre, voire d’une saison à l’autre.
f est définie sur \ ; elle est 2π -périodique.
f ′ (t ) = −αω sin (ω t + ϕ )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p18/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
La représentation graphique d’une telle fonction, pour des valeurs quelconques des
paramètres α , ω , ϕ , β est la suivante :
Des mesures de D ont été effectuées sur une durée totale d’un an (Carrel G., 1986) :
De telles mesures étant réalisées, il peut-être intéressant de savoir quelle fonction f permet de
décrire l’évolution de la dureté de l’eau dans le temps. Il s’agit alors de trouver les valeurs des
paramètres α , ω , ϕ , β telles que la courbe représentative de D = f (t ) passe « au mieux »
entre les points. On parle dans ce cas d’ajustement d’une courbe (ou d’un modèle) à des
données expérimentales.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p19/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Une telle analyse est possible à l’aide des logiciels Maple ou R et donne les résultats
suivants :
α = 34.24
ω = 0.022
ϕ = −1.71
β = 159.1
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
15873 : un site dédié aux mathématiques utilitaires de tous niveaux, sous forme d'exercices
avec leurs solutions. Avec une partie "Aide Mémoire" (formulaire) pour les choses courantes.
Voir le formulaire trigo
)RQFWLRQVORJDULWKPHHWH[SRQHQWLHOOH
,QWURGXFWLRQ
C’est dans le but de simplifier les calculs trigonométriques de l'astronomie que Neper invente
les logarithmes (le terme est de lui, du grec logos = logique, raison et arithmos = nombre).
Il en expose le fonctionnement dans deux traités : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
(1614), puis Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (posthume, 1619) soit :
« Description (resp. Construction) de la Règle Admirable des Logarithmes ».
/DIRQFWLRQORJDULWKPHQpSpULHQ
Comme la fonction x 6
1
est dérivable sur ]0; +∞[ , elle admet une primitive sur cet
x
intervalle (donc une infinité) ; en particulier on peut trouver une primitive qui s’annule en
x =1.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p20/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Définition :
La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction x 6
]0; +∞[ sur ]0; +∞[ et qui s’annule en
1
définit de
x
x =1.
•
La fonction logarithme népérien est donc définie sur ]0; +∞[ par ln : x 6 ln x .
•
ln1 = 0
•
Pour tout α ∈ ]0; +∞[ , l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe y =
1
x
et les droites d’équation x = 1 et x = α correspond exactement au calcul suivant :
α
1
α
A = ∫ dx = [ln x ]1 = ln α si α ≥ 1
x
1
1
1
1
A = ∫ dx = [ln x ]α = − ln α si 0 < α < 1
α x
Propriétés :
Pour tout a, b ∈ ]0; +∞[ et pour tout p ∈ \ , alors :
(i) ln (ab ) = ln a + ln b
1
(ii) ln   = − ln b
b
a
(iii) ln   = ln a − ln b
b
(iv) ln (a p ) = p ln a
Démonstration
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p21/36 -
Voir
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
•
1
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ : ∀x > 0 , (ln )′ ( x ) =
x
•
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[
•
lim+ ln x = −∞
x →0
lim ln x = +∞
x →+∞
lim
x →1
ln x
= 1 (par définition de la dérivée)
x −1
Remarque
Aller vers… : Le point de vue géométrique de X. Hubaut est une autre façon de retenir la
définition de la fonction logarithme népérien.
u′ ( x )
La fonction ln o u : (ln D u )′ ( x ) =
u (x )
/DIRQFWLRQH[SRQHQWLHOOH
Théorème :
La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur \ .
Par conséquent, ∀a ∈ \ , l’équation ln x = a admet une unique solution x0 ∈ ]0; +∞[ (voir
figure ci-dessus).
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p22/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
En particulier, si on prend a = 1 , on appelle e l’unique réel strictement positif dont le
logarithme népérien vaut 1 : ln e = 1 .
e est appelé la base du logarithme népérien. Cette notation e a été introduite par Euler en
1736.
Conséquence :
L’équation ln x = a admet une unique solution x0 = e a . En effet : ln (e a ) = a ln e = a .
Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note :
e : x 6 e x ou exp ( x )
•
La fonction exponentielle est définie sur \ .
•
∀x ∈ \ , e x > 0
•
∀x ∈ \ et ∀y ∈ ]0; +∞[ : e x = y ⇔ x = ln y
ln (e x ) = x
eln y = y
Propriétés :
Pour tout a, b ∈ \ et pour tout p ∈ \ , alors :
(i) ea +b = e a eb
(iii) ea −b =
(ii) e− b =
1
eb
(iv) (ea ) = e ap
p
ea
eb
e 4 x −1
Exemple : x +3 = e 4 x −1− x −3 = e3 x − 4
e
•
La fonction exponentielle est dérivable sur \ : (exp )′ ( x ) = exp ( x )
•
La fonction exponentielle est strictement croissante de \ sur ]0; +∞[
•
lim e x = 0+
x →−∞
lim e x = +∞
x →+∞
ex
= +∞
x →+∞ x
lim
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p23/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
La fonction exp o u : (expD u )′ ( x ) = u ′ ( x )(expD u )( x ) ⇔ (eu )′ = u ′eu .
([HPSOHVG·XWLOLVDWLRQHQ%LRORJLH
/DIRQFWLRQH[SRQHQWLHOOH
L’exemple qui suit est extrait de Lomen et Lovelock, 1999, p51.
Pendant la première moitié du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques (« collared
dove ») envahissent l’Europe d’Est en Ouest. Cet oiseau était très rare en Grande-Bretagne
avant1955. L’invasion de cette espèce en Grande-Bretagne est d’un intérêt tout particulier
pour les ornithologues ce qui les a conduit à faire des recensements de populations réguliers
entre 1955 et 1964.
On peut raisonnablement supposer que le nombre de tourterelles turques est proportionnel au
nombre d’endroit où l’espèce est recensée. Ainsi, les relevés ornithologiques de l’époque
fournissent les données suivantes :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p24/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Temps
(année)
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
Nombre
de lieux
recensés
1
2
6
15
29
58
117
204
342
501
On constate que l’augmentation du nombre de lieux où la tourterelle turque a été recensée
augmente de façon exponentielle sur les 10 années de mesure. Ainsi, on peut considérer que :
N = α eβ t
Si t désigne l’année et N le nombre de lieux où la tourterelle turque a été recensée. Les
paramètres α , β sont choisis pour décrire « au mieux » la série de données.
Une transformation logarithmique permet d’écrire :
ln N = ln α + β ln t
Ainsi, la représentation de ln N en fonction de t est une droite, ce que permet de vérifier le
graphe ci-dessous :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p25/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/DIRQFWLRQORJLVWLTXH
L’exemple qui suit est extrait de Lomen et Lovelock, 1999, p42.
Dans le tableau ci-dessous, on peut voir l’évolution dans le temps de la taille moyenne d’un
plan de tournesol :
Temps
Taille
(jours)
(cm)
7
17.93
14
36.36
21
67.76
28
98.10
35
131
42
169.50
49
205.50
56
228.30
63
247.10
70
250.50
77
253.80
84
254.50
On constate que pour de faibles valeurs du temps, la taille augmente de façon linéaire, puis
que pour des temps plus important la croissance ralentit.
La fonction logistique est la plus classique pour décrire ce genre de données expérimentales.
Si on désigne par T la taille du plan de tournesol et par t le temps, on peut alors écrire :
T (t ) =
T0
(1 − T0 α )e−αβ t + T0 α
En choisissant au mieux les valeurs des paramètres α , β ,T0 , on peut construire la courbe qui
« passe au mieux » entre les points expérimentaux :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p26/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVK\SHUEROLTXHVHWK\SHUEROLTXHVLQYHUVHV
'pILQLWLRQGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHV
Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch x :
ch x =
e x + e− x
2
De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh x :
sh x =
e x − e− x
2
On constate que ch x + sh x = e x et que ch x − sh x = e− x . Il vient alors immédiatement :
ch 2 x − sh 2 x = 1
(1)
Par analogie avec les fonctions trigonométriques, on définit la tangente hyperbolique, notée
th x (ou bien tanh x ) par :
th x =
sh x e x − e − x e 2 x − 1
=
=
ch x e x + e − x e 2 x + 1
On utilise quelquefois la co-tangente hyperbolique, notée coth x , et définie par :
coth x =
1
sh x
=
th x ch x
Les deux relations suivantes découlent immédiatement de la relation (1) :
1
= 1 − th 2 x
2
ch x
(WXGHGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHV
(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) FK[ ch x =
1
= coth 2 x − 1
2
sh x
e x + e− x
2
D=\
ch (− x ) = ch x
La fonction paire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à (Oy ) .
ch 0 = 1
lim ch x = +∞
x →+∞
(ch x )′ = sh x
: la fonction est strictement croissante sur \ +
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p27/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) VK[ sh x =
e x − e− x
2
D=\
sh (− x ) = − sh x
La fonction impaire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
sh 0 = 0
lim sh x = +∞
x →+∞
(sh x )′ = ch x
: la fonction est strictement croissante sur \ +
sh x
Remarque : (sh )′ (0 ) = 1 entraîne que lim
= 1.
x →0 x
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p28/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) WK[ th x =
sh x e x − e − x e 2 x − 1
=
=
ch x e x + e − x e 2 x + 1
D=\
th (− x ) = − th x
La fonction impaire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
th 0 = 0
lim th x = 1
x →+∞
La droite y = 1 est asymptote en +∞
(th x )′ =
1
> 0 : la fonction est strictement croissante sur \ +
2
ch x
Remarque : lim
x →0
th x
 1 sh x 
= lim 
 = 1.
x
→
0
x
 ch x x 
)RUPXOHVXVXHOOHV
Dans la rubrique aides-mémoire, vous trouverez un formulaire récapitulatif des formules
usuelles impliquant les fonctions hyperboliques.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p29/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
'pILQLWLRQGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHVUpFLSURTXHV
'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGXFRVLQXVK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du cosinus hyperbolique se note arg ch x et se définit par :
y = arg ch x 
 x = ch y
⇔
avec x ≥ 1 
avec y ≥ 0
arg ch x est une fonction continue, croissante et bijective de [1; +∞[ sur [0; +∞[ .
(arg ch x )′ =
1
x2 −1
Expression logarithmique de argchx
De la définition précédente, il vient 2 x = e y + e − y . Si on pose Y = e y , alors Y 2 − 2 xY + 1 = 0 ,
ce qui conduit par résolution de cette équation du second degré à Y = x + x 2 − 1 . Ainsi :
(
arg ch x = ln x + x 2 − 1
)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p30/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGXVLQXVK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du sinus hyperbolique se note arg sh x et se définit par :
y = arg sh x ⇔ x = sh y pour tout x ∈ \
arg sh x est une fonction continue, croissante et bijective de \ sur \ .
(arg sh x )′ =
1
x2 + 1
Expression logarithmique de argshx
De la définition précédente, il vient 2 x = e y − e− y . Si on pose Y = e y , alors Y 2 − 2 xY − 1 = 0 ,
ce qui conduit par résolution de cette équation du second degré à Y = x + x 2 + 1 . Ainsi :
(
arg sh x = ln x + x 2 + 1
)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p31/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGHODWDQJHQWHK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du tangente hyperbolique se note arg th x et se définit par :
y = arg th x 
 ⇔ x = th y
avec -1 < x < 1
(arg th x )′ =
1
1 − x2
Expression logarithmique de argthx
Par une démarche analogue aux précédente, on obtient :
arg th x =
1  1+ x 
ln 

2  1− x 
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p32/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQVSXLVVDQFHV
'pILQLWLRQ
Définition :
Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque m ≠ 0 et
définie sur \ +∗ par :
f m ( x ) = x m = e m ln x
L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m :
-
Si m > 0 , alors lim+ x m = 0 et lim x m = +∞
-
Si m < 0 , alors lim+ x m = +∞ et lim x m = 0
x →+∞
x →0
x →+∞
x →0
Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout x > 0 :
( f m )′ ( x ) = mx m−1
Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m :
Propriété :
( x1 x2 )
m
= x1m x2m
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p33/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
)RQFWLRQXP
Définition :
m étant un réel et u une fonction définie et strictement positive sur une partie D ⊆ \ , la
fonction u m est définie sur D par :
u m ( x ) = (u ( x ))
m
D’après le théorème de dérivation d’une fonction composée (Chapitre 3, § 4.3), il vient :
Proposition :
m étant un réel et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de \ ,
alors la fonction u m est dérivable sur I et :
(u )′ = m u′ u
m
m −1
Exemple 1
Cas particulier :
Soient m ∈ \ et f une fonction définie sur ]−1; +∞[ par f ( x ) = (1 + x ) : f (0 ) = 1 .
m
f est dérivable sur ]−1; +∞[ et f ′ ( x ) = m (1 + x )
m −1
avec f ′ (0 ) = m . Ainsi, par définition de la
dérivabilité de f en 0, on obtient :
(1 + x )
lim
m
x →0
x
−1
=m
Ceci peut encore s’écrire (1 + x ) = 1 + mx + xε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 .
m
x →0
La fonction x 6 1 + mx constitue donc une approximation affine de la fonction x 6 (1 + x )
m
au voisinage de 0.
Proposition :
m étant un réel ≠ 1 et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de
\ , alors la fonction u ′ u m admet pour primitive sur I la fonctiont :
1 m +1
u
m +1
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p34/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&URLVVDQFHVFRPSDUpHV
Théorème :
ln x
ex
=
0
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
•
Si m > 0 , alors lim
•
Si m < 0 , alors lim
ln x
ex
=
+∞
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
Démonstration
Remarque :
Pour x > 0 , en écrivant x m e − x =
xm
, on obtient si m > 0 :
ex
lim x m e− x = 0
x →+∞
Exemple 2
8QH[HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLHODUHODWLRQDOORPpWULTXH
L’allométrie est l’étude des tailles relatives des différentes parties d’un organisme, sous
l’influence de la croissance. Classiquement, on cherche à relier la taille et le poids d’un
individu.
On doit à Huxley (1932) la relation (ou équation) allométrique de base :
Y =α X β
où X représente par exemple le poids et Y la taille. α et β sont deux paramètres réels dont la
valeur va dépendre de l’espèce étudiée.
L’intérêt de cette relation est que l’on peut la linéariser :
Y = α X β ⇔ ln Y = α + β ln X
Ainsi, vous verrez dans votre cours de Probabilités – Statistiques en 2ème année de Deug SV,
comment on peut obtenir des estimations des paramètres α et β à partir d’un jeu de données
expérimentales.
Huxley donne l’exemple de la relation qui existe entre le poids des pinces de crabes
(« fiddler-crab » et leur masse corporelle.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p35/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Voici une représentation graphique des données expérimentales brutes :
Voici une représentation graphique des données transformées en logarithme népérien :
La droite bleue permet de vérifier la linéarité de la relation entre les deux grandeurs, poids des
pinces de homard, et masse corporelle, en coordonnées logarithme népérien.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p36/36 -
'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH3ULPLWLYHV,QWpJUDWLRQ
Sandrine CHARLES (09/10/2001)
Introduction
Un exemple en Biologie
Vers d’autres sites…
1
2
3
4
Primitives
1.1
Définitions - Théorème fondamental
1.2
Primitives des fonctions usuelles
1.3
Linéarité
1.4
Fonctions composées
La notion d’intégrale
2.1
Intégrale d’une fonction
2.2
Intégrale et primitive
2.3
Premières propriétés
Intégrales et inégalités
3.1
Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
3.2
Inégalités de la moyenne
3.3
Valeur absolue d’une intégrale
Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1
Utilisation des primitives usuelles
4.2
Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
4.3
Changement de variable
4.4
Cas des fractions rationnelles
4.5
Cas simples de fonctions trigonométriques
4.6
Cas complexes de fonctions trigonométriques et hyperboliques
4.7
Intégrations par parties
4.8
Cas des fonctions de la forme P ( x )eα x avec P ( x ) polynôme
4.9
Compléments
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
5
Méthodes de calcul approché d’intégrales
5.1
Méthode des rectangles
5.2
Méthode des trapèzes
5.3
Autres méthodes
6
Applications du calcul intégral
7
Exemples d’application en Biologie
7.1
Un exemple en Démographie
7.2
Un exemple en Médecine
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p2/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH3ULPLWLYHV²,QWpJUDWLRQ
,QWURGXFWLRQ
Ce chapitre repose sur les notions abordées aux chapitres 1 à 4, en particulier le chapitre 3 sur
les dérivées. Le chapitre 5 revient sur la définition des primitives et intégrales, et donne toute
une liste de « recettes » pour le calcul d’intégrales « non élémentaires ».
Le formulaire des primitives contient une liste des plus usuelles. Il est donc obligatoire de le
connaître. Le contenu du chapitre 5 permet d’aborder des intégrales jugées au premier abord
plus difficiles. Le programme de Deug SV correspond au premier niveau de lecture de ce
cours. Pour ceux qui voudrait aller plus loin, vous trouverez au travers de nombreux liens,
matière à vous satisfaire.
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Tout au long de ce chapitre, nous essaierons d’illustrer les différentes notions abordées, en
traitant un exemple d’application en Médecine, dans lequel intervient la fonction suivante :
f (t ) = 3e −0.1t
f est définie sur l’intervalle [0; 20] et relie la quantité d’un certain médicament dans le sang
après injection au temps t, pendant une période de 20h qui suit l’injection.
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
http://perso.wanadoo.fr/math.15873/primitives.htm
3ULPLWLYHV
Dans tout le chapitre 5, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de \ .
'pILQLWLRQV7KpRUqPHIRQGDPHQWDO
Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction f : I → \ . On dit que F : I → \ est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si ∀x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) .
Exemple 1
Un exemple en Biologie
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p3/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. La fonction G : I → \ est aussi
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C ∈ \ telle que ∀x ∈ I ,
G (x ) = F (x ) + C .
Remarque : Une fonction ne peut pas avoir une seule primitive ; il est donc « interdit » de
parler de la primitive d’une fonction.
Démonstration
Exemple 3
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈ \ .
Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que G ( x0 ) = y0 ; elle est donnée par
G = F − F ( x0 ) + y0 .
En particulier, H = F − F ( x0 ) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 .
Remarque : La formule H = F − F ( x0 ) peut paraître troublante…en effet, H est une fonction
bien définie et F est une quelconque des primitives de f : quel que soit le choix de F, H reste
inchangée.
Exemple 4
Un exemple en Biologie
Théorème fondamental :
Si f : I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
3ULPLWLYHVGHVIRQFWLRQVXVXHOOHV
Le formulaire des primitives vous propose une liste de primitives des fonctions usuelles, qu’il
est impératif de connaître par cœur.
Exemples 5
¹ Nous allons voir dans la suite que la plupart des théorèmes que nous avons démontré pour
la dérivation (chapitre 3) fournissent des théorèmes sur les primitives.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p4/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/LQpDULWp
Nous avons vu que si f et g sont dérivables sur I, alors ∀α , β ∈ \ la fonction h = α f + β g
est dérivable sur I avec h′ = α f ′ + β g ′ (cf. chapitre 3, § 4.1).
Il en découle la proposition suivante :
Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, ∀α , β ∈ \ , la fonction α F + β G est une
primitive sur I de la fonction α f + β g .
Cette proposition découle directement des propriétés de dérivation d’une somme de fonctions
et du produit d’une réel par une fonction (Chapitre 3, § 4.1).
Exemple 6
)RQFWLRQVFRPSRVpHV
Nous avons également vu au chapitre 3 ( § 4.3) que si u est dérivable sur I et G dérivable sur
′
J, alors G D u est dérivable sur I et que ∀x ∈ I , G (u ( x )) = u′ ( x )G′ (u ( x )) .
(
)
La proposition suivante découle donc directement du théorème de dérivation des fonctions
composées :
Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur intervalle J tel
que ∀x ∈ I , u ( x )∈ J .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
f ( x ) = u′ ( x )× g (u ( x )) est la fonction F définie par F ( x ) = G (u ( x )) .
Ce théorème, appliqué lorsque g est une fonction usuelle, permet de rechercher les primitives
de nombreuses fonctions f dérivables sur I. Exemple 7.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p5/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
/DQRWLRQG·LQWpJUDOH
,QWpJUDOHG·XQHIRQFWLRQ
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I.
Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors, ∀x ∈ I G ( x ) = F ( x ) + C avec C ∈ \ .
Ainsi, ∀a, b ∈ I G (b ) − G (a ) = F (b ) + C − F (a ) − C = F (b ) − F (a ) .
Ce nombre est donc indépendant du choix de la primitive.
Définition 1 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
Soient a, b ∈ I . Alors le nombre F (b ) − F (a ) est appelé intégrale de f sur [a, b] .
Remarque : On peut remarquer que F (b ) − F (a ) ne dépend pas du choix de la primitive F
parmi l’infinité des primitives de f.
Interprétation géométrique
Considérons la fonction f définie sur [a, b ] = [1;3] par f ( x ) = − x 2 + 6 x − 3 .
Voici la courbe représentative de f :
Désignons par $ l’aire en bleu clair sous la courbe bleue.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p6/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Découpons l’intervalle [a, b] en n intervalles plus petits de longueur ∆x =
x0 = a
x1
x2
#
xi
xi +1
#
xn = b
∀i xi +1 − xi = ∆x
(A)
(B)
avec 5 intervalles entre a et b
•
b−a
:
n
avec 15 intervalles entre a et b
On désigne alors par $ − l’expression suivante :
n −1
$ − = f (a ) ∆x + f ( x1 ) ∆x + ! + f ( xi ) ∆x + ! + f ( xn −1 ) ∆x = ∑ f ( xi )( xi +1 − xi )
i=0
⇒ $ − représente alors la somme de tous les rectangles rouges
Il est clair que $ − < $ et que $ − est d’autant plus proche de $ que ∆x est petit (Fig. A).
•
On désigne alors par $ + l’expression suivante :
n
$ + = f ( x1 ) ∆x + ! + f ( xi +1 ) ∆x + ! + f (b ) ∆x = ∑ f ( xi )( xi +1 − xi )
i =1
⇒ $ + représente alors la somme de tous les rectangles verts.
Il est clair que $ + > $ et que $ + est d’autant plus proche de $ que ∆x est petit (Fig. B).
Par conséquent $ − < $ $ + et on définit l’intégrale de f sur I par :
b
$ = lim $ = lim $ = ∫ f ( x ) dx
−
∆x → 0
+
∆x → 0
a
Remarque
dx désigne un ∆x infiniment petit : dx = lim ∆x
xi → xi+1
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p7/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit f : [a, b ] → \ une fonction positive admettant une primitive sur [a, b] et (C) sa courbe
représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations x = a et x = b
b
est (A ) = ∫ f ( x ) dx , exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
a
d’après Misset et al
.
Exemple 8
Un exemple en Biologie
Définition 3 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
L’intégrale de f sur [a, b] (définition 1) se note
b
∫ f ( x ) dx . Ainsi :
a
b
F (b ) − F (a ) = ∫ f ( x ) dx que l’on note aussi  F ( x ) a
b
a
b
∫ f ( x ) dx se lit « somme de a à b de f ( x ) dx ».
a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p8/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Historiquement, on doit une telle définition à Riemann qui donna son nom aux sommes dites
de Riemann
∑ f ( x )( x
i +1
i
− xi ) . On parle alors d’intégrale de Riemann.
i
La façon dont nous venons de définir l’intégrale d’une fonction sur un intervalle revient à
minorer ou à majorer l’intégrale par une somme de rectangles ; on parle de méthode des
rectangles. Nous verrons ultérieurement d’autres méthodes d’approximation numérique des
intégrales (chapitre 5, § 5).
b
Remarque :
∫ f ( x ) dx est un nombre réel (voir définitions 1 et 2). Pour des raisons qui restent
a
encore mystérieuses on dit que « l’on intègre f par rapport à la variable x sur l’intervalle
[a, b] ».
Bien évidemment, le symbole x n’a pas de rôle particulier (c’est une variable « muette ») et
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx représente la même quantité que ∫ f (t ) dt
b
ou
∫ f (u ) du .
a
Conséquences des définitions 1 et 3 :
a
(i)
a

 ∫ f ( x ) dx = F (a ) − F (a )
a

∫
f ( x ) dx = 0
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
a
(ii)
∫
b
b
a
 F (b ) − F (a ) = − (F (a ) − F (b ))
Exemple 9
Un exemple en Biologie
,QWpJUDOHHWSULPLWLYH
Définition 4 :
Soit une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I.
On note
∫ f ( x ) dx l’ensemble des primitives de f.
Exemple 10
Un exemple en Biologie
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p9/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Proposition :
Soient une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I et x0 ∈ I .
x
La fonction F définie sur I par l’intégrale F ( x ) =
∫ f (t )dt
est l’unique primitive de f sur I
x0
qui s’annule en x0 .
Démonstration
Exemple 11
3UHPLqUHVSURSULpWpV
/LQpDULWp
Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] . ∀α , β ∈ \ :
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx
Remarque :
On dit que l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales.
Démonstration
1
1
 x3   x 2 
1
Exemple : ∫ ( x − x ) dx = ∫ x dx − ∫ xdx =   −   = −
6
 3 0  2 0
0
0
0
1
1
2
1
2
6LJQHGHO·LQWpJUDOH
Propositions :
(i)
Soit f une fonction continue sur [a, b] .
Si ∀x ∈ [a, b] , f ( x ) ≥ 0 (resp. ≤ 0 ), alors
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 (resp. ≤ 0 ).
a
(ii)
Soit f une fonction continue sur [a, b] . Si ∀x ∈ [a, b] , f ( x ) ≤ g ( x ) , alors :
b
∫
a
b
f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
a
Démonstration
Exemple 12
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p10/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Un exemple en Biologie
Par extension, si f, g et h sont trois fonctions intégrables sur [a, b] telles que f ≤ g ≤ h sur
b
b
b
a
a
a
[a, b] , alors ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x ) dx ≤ ∫ h ( x ) dx .
Ainsi, si on ne connaît pas de primitive de la fonction g, on peut malgré tout obtenir un
encadrement de son intégrale sur [a, b] .
5HODWLRQGH&KDVOHV
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] . Alors ∀c ∈ [a, b] :
b
∫
a
c
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Ce théorème découle immédiatement de la définition de l’intégrale. F étant une primitive de f
sur [a, b] , pour tout c ∈ [a, b] , on a : F (c ) − F (a ) + F (b ) − F (c ) = F (b ) − F (a ) .
π 2
Exemple :
∫
π 2
0
cos xdx =
−π 2
∫
−π 2
cos xdx +
∫ cos xdx
0
Un exemple en Biologie
,QWpJUDOHVHWLQpJDOLWpV
9DOHXUPR\HQQHG·XQHIRQFWLRQVXUXQLQWHUYDOOH
Définition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] ( a < b ). On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] , le
b
1
réel µ =
f ( x ) dx .
b − a ∫a
Interprétation graphique :
Dans le cas d’une fonction positive, la valeur moyenne d’une fonction est le réel µ tel que
l’aire du rectangle de hauteur µ et de base (b-a) (rose + violet) soit égal à l’aire sous la courbe
(rose + bleu).
Les aires des domaines D1 (bleu) et D2 (violet) sont identiques.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p11/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Exemple 13
Théorème (théorème de la moyenne) :
Soit f une fonction continue sur [a, b] ( a < b ). Il existe c ∈ [a, b] tel que :
b
∫ f ( x ) dx = (b − a ) f ′ (c )
a
,QpJDOLWpVGHODPR\HQQH
Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur [a, b] .
b
(i)
Si m ≤ f ≤ M , alors m (b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M (b − a ) .
a
b
(ii)
Si f ≤ M , alors
∫ f ( x )dx ≤ M b − a .
a
Démonstration
Interprétation graphique :
Voir figure ci-dessous
Dans le cas d’une fonction positive sur [a, b] et m > 0 , l’inégalité de la moyenne (i) traduit le
fait que l’aire du domaine D (
base (b – a) (
+
) comprise entre l’aire du rectangle de hauteur m et de
), et l’aire du rectangle de hauteur M et de même base (
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p12/27 -
).
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Remarque :
L’inégalité de la moyenne (i) correspond en fait à l’inégalité des accroissements finis
appliquée à l’intégrale fonction de sa borne supérieure, définie par F ( x ) =
x
∫ f ( x )dx .
x0
9DOHXUDEVROXHG·XQHLQWpJUDOH
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] . On a alors :
b
∫
a
b
f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
0pWKRGHVGHFDOFXOH[DFWG·LQWpJUDOHV
8WLOLVDWLRQGHVSULPLWLYHVXVXHOOHV
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
b
Ainsi, le calcul de
∫ f ( x ) dx
revient généralement à justifier l’existence d’une primitive F de
a
f sur
[a, b] ,
puis à calculer F à l’aide du tableau des primitives usuelles ; on a alors
b
immédiatement
∫ f ( x )dx = F (b ) − F (a ) .
a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p13/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
2
Exemple 14 : Calculer
∫ xe
x2 2
dx .
Réponse.
−1
,QWpJUDWLRQSDUGpFRPSRVLWLRQHQVRPPHOLQpDULVDWLRQ
On a vu précédemment (Chapitre 5, § 2.3.1) que :
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx
Par généralisation, on obtient aisément que :
n
 n

λ
f
x
dx
=
λk ∫ f k ( x ) dx
∑
k k ( )
∫a  ∑
k =1

k =1
a
b
b
1 

Exemple d’utilisation 15 : Calculer ∫  x −
 dx .
x


1
2
Réponse.
&KDQJHPHQWGHYDULDEOH
&DVJpQpUDOGHVLQWpJUDOHV
Théorème :
Soient φ : [a, b ] → \ une fonction de classe C 1 (continue et telle que ) strictement monotone
et f : φ (a ), φ (b ) → \ une fonction continue sur φ (a ), φ (b ) . Alors :
φ (b )
∫
φ (a )
b
f ( x ) dx = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt
a
avec x = φ (t ) et dx = φ ′ (t ) dt .
Remarque 1 :
Dans le théorème précédent, on a φ ([a, b ]) = φ (a ), φ (b ) , c’est-à-dire que φ est bijective de
[a, b] sur
φ (a ), φ (b ) .
Remarque 2 :
Si F est une primitive de f, alors on peut écrire :
b
∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt = (F D φ )(t )
b
a
= F (φ (b )) − F (φ (a ))
a
Cas particuliers :
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p14/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
b
φ ′ (t ) dt = eφ (t ) 
φ (t )
∫e
a
b
φ ′ (t )
b
a
∫ φ (t ) dt = ln φ (t ) 
b
a
a
 φ n +1 (t ) 
′
φ
t
φ
t
dt
=
(
)
(
)


∫a
 n + 1 a
b
b
n
1
Exemple : Calculer
∫
1 − x 2 dx .
Réponse
0
$SSOLFDWLRQDXFDOFXOGHVSULPLWLYHV
Théorème :
Soient φ une fonction bijective de classe C 1 de J sur I et f une fonction continue sur I.
Si F ( x ) = ∫ f ( x ) dx (F est une primitive de f), alors :
F φ (t ) = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt
Autre formulation :
Si G est une primitive de ( f D φ )φ ′ sur J, alors G D φ est une primitive de f sur I :
G ( x ) = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt avec x = φ (t ) et dx = φ ′ (t ) dt
Il vient G (φ (t )) = ∫ f ( x ) dx
&KDQJHPHQWVGHYDULDEOH©SUDWLTXHVª
&RQVpTXHQFHV
X Si
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , alors ∫ f (α x )dx =
Y f paire ⇒
a
∫
−a
Z f impaire ⇒
F (α x )
+ C avec α ≠ 0
α
a
f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
0
a
∫ f ( x ) dx = 0
−a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p15/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
[
π 2
π 2
0
0
∫ f (sin x, cos x ) dx = ∫ f (cos t ,sin t ) dt .
En effet, le remplacement de sin x par cos x ne change pas l’intégrale entre 0 et π 2 d’une
fonction de sin x et cos x . Le changement de variable correspondant est x = π 2 − t .
π 2
En particulier,
∫ sin
π 2
n
xdx =
0
\ f T-périodique ⇒
∫ cos
n
tdt .
0
a +T
T
b +T
b
a
0
a +T
a
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ou bien encore ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx
Exemples 21
1
 x5 x3

14
(1) ∫ ( x + x − 1) dx = 2 ∫ ( x + x − 1) dx = 2  + − x  = −
15
5 3
0
−1
0
1
1
4
3π 2
(2)
∫
2
4
sin (2 x ) dx
π 2
=
N
avec a =π
2
π
π
1

sin (2 x ) dx =  cos (2 x ) = 0 ;
∫
2
0
20
La fonction sin (2x ) est π -périodique.
&DVGHVIUDFWLRQVUDWLRQQHOOHV
Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme
P (x )
Q (x )
où P ( x ) et Q ( x ) sont des
polynômes à coefficients dans \ (ou ^ ).
Sauf cas particuliers (qui confirment que la première méthode à essayer doit toujours être le
changement de variable), par exemple :
3x2 + 2 x − 1
u′
3
2
∫ x3 + x 2 − x dx = ∫ u dx = ln x + x − x + C
l’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p16/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
'pFRPSRVLWLRQHQpOpPHQWVVLPSOHV
¾Si d ° (Q ) ≤ d ° ( P ) , on peut effectuer la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
en x, et une nouvelle fraction rationnelle
P1 ( x )
Q (x )
où d ° (Q ) ≥ d ° (P1 ) .
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de
P1 ( x )
Q (x )
.
¾Si d ° (Q ) ≥ d ° ( P ) , et α i étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle xi , β i celui des
deux racines complexes conjuguées de x 2 + pi x + qi = 0 avec pi2 − 4qi < 0 , alors :
P (x )
Ai
Bi x + Ci
=∑
+∑
γi
Q (x )
( x − xi )
(x2 + p x + q
i
i
)
δi
avec 1 ≤ γ i ≤ α i et 1 ≤ δ i ≤ β i
Les sommes sont prises pour chacune des racines réelles et des couples de racines
complexes conjuguées.
Cette décomposition s’appelle la décomposition en éléments simples de
Exemple 22 : Décomposer en éléments simples
P (x )
Q (x )
=
dx
∫ ( x − x )γ
Q (x )
1
.
x −x
.
Réponse
4
,QWpJUDWLRQG·XQpOpPHQWVLPSOHGHODIRUPH ∫
Il s’agit de calculer
P (x )
dx
( x − x0 )
γ
pour γ entier ≥ 1 .
0
Deux cas peuvent se présenter :
(1) γ = 1 :
dx
∫ ( x − x ) = ln x − x
+C
0
0
(2) γ ≠ 1 :
dx
∫ ( x − x )γ = ∫ ( x − x )
−γ
0
0
Exemple 23 : Calculer
( x − x0 )
dx =
1−γ
1− γ
+C
3x + 1
dx .
2
−1
∫x
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p17/27 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
,QWpJUDWLRQG·XQpOpPHQWVLPSOHGHODIRUPH
Il s’agit de calculer F ( x ) = ∫
(x
Ax + B
+ px + q )
δ
2
(x
Ax + B
2
+ px + q )
δ
dx pour δ entier ≥ 1 , avec p 2 − 4q < 0 .
Le mieux est de procéder selon les quatre étapes suivantes :
(0) S’armer de patience… !
(1) Faire apparaître dans Ax + B la dérivée de x 2 + px + q :
Ax + B =
A
Ap
(2 x + p ) + B −
2
2
A
2x + p
Ap 
dx

dx +  B −
∫ 2
δ
∫
2
2 ( x + px + q )
2  ( x + px + q )δ

Ainsi, F ( x ) =
C’est-à-dire F ( x ) =
du
∫ uδ
A du
dx
+ λ∫
δ
δ
∫
2 u
(x 2 + px + q )
est l’intégrale d’un élément simple de la forme précédente (voir § 4.4.2).
∫
Reste donc à calculer
(x
dx
2
+ px + q )
δ
(2) Décomposer x 2 + px + q en une somme de carrés :
2
p
p2
p
p2

2
2
> 0 ( p 2 − 4q < 0 )
x + px + q =  x +  + q −
= t + k où t = x + et k = q −
2
4
2
4

2
∫
(x
dx
2
+ px + q )
δ
(3) Calculer
∫
(t
=∫
(t
dt
2
+ k2 )
δ
dt
2
+ k2 )
Si δ = 1 , alors
δ
∫t
2
dt
1
t
= arctan  
2
+k
k
k
Si δ ≠ 1 , alors on pose tan u =
∫
(t
dt
2
+k
t
t
soit u = arctan   . Ainsi, on obtient :
k
k
(1 + tan u ) du = k cos
∫ 1 + tan u
∫
(
)
2
)
2 δ
=k
1− 2δ
2
δ
1− 2δ
2δ − 2
udu
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p18/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
∫ cos
2δ − 2
udu s’obtient par linéarisation et/ou changement de variable (§ 4.3.).
(4) Rassembler tous les résultats intermédiaires précédents pour calculer F ( x ) .
Exemple 24 : Calculer
∫x
2
x+2
dx .
+ x +1
1
Exemple 26 : Calculer I = ∫
0
Réponse
dx
.
x + 1− x
Réponse
,QWpJUDWLRQG·XQHIRQFWLRQUDWLRQQHOOHGH sin x HW cos x &DVVLPSOHVGHIRQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHV
Soit f une fonction trigonométrique de la forme f ( x ) = sin p x cos q x . Le changement de
variable qui doit être utilisé va dépendre de la parité de p, q.
On cherche à calculer : F ( x ) = ∫ sin p x cos q xdx
On pose t = sin x
Cas n°1 : q est impair
q −1
F ( x ) = ∫ sin p x cos q xdx = ∫ sin p x cos q −1 x cos xdx = ± ∫ t p (1 − t 2 ) 2 dt
Exemple : ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − t 2 ) dt = t −
2
+ si cos x > 0

− si cos x < 0
2t 3 t 5
2sin 3 x sin 5 x
+ + C = sin x −
+
+C
3
5
3
5
On pose t = cos x
Cas n°2 : p est impair
⇒ même principe que dans le cas n°1.
Exemple : ∫ sin 3 x cos 4 xdx = ∫ (t 2 − 1)t 4 dt =
t7 t5
cos7 x cos5 x
− +C =
−
+C
7 5
7
5
Cas n°3 : p et q sont pairs et positifs
On diminue le degré en utilisant les formules :
sin 2 x =
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
et cos 2 x =
2
2
On recommence alors comme précédemment avec sin r 2 x et cos s 2 x .
Exemple : ∫ cos 4 xdx =
1
sin 4 x sin 2 x 3 x
+
+ +C
(cos 4 x + 4 cos 2 x + 3)dt =
∫
8
32
4
8
Cas n°4 : p et q sont pairs (ou impairs), l’un au moins étant négatif
On pose t = tan x
Exemple d’application du § 4.5 :
cos3 x
™ Calculer I1 = ∫ 4 dx
sin x
Réponse
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p19/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&DVFRPSOH[HVGHIRQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVHWK\SHUEROLTXHV
Exercice
,QWpJUDWLRQVSDUSDUWLHV
Si l’intégrale cherchée ne peut pas être obtenue par utilisation d’une primitive usuelle, il peut
être commode de la transformer en une ou plusieurs autres intégrales que l’on sait calculer.
Cette méthode n’est à utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué.
,QWpJUDWLRQSDUSDUWLHV
Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions dérivables sur un même intervalle [a, b] et f une fonction
continue sur [a, b] telle que f ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) . Alors :
b
∫
a
b
b
f ( x ) dx = ∫ u ( x )v′ ( x ) dx = u ( x )v ( x ) a − ∫ u ′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
Remarque :
Cette technique permet dans la pratique d’intégrer ou de simplifier certaines intégrales où
f ( x ) est le produit d’une fonction u de dérivée simple et d’une fonction w facile à
intégrer ; dans ce cas, on prendra v′ = w .
1
Exemple 16 : Calculer
∫
0
x
dx .
x +1
Réponse.
Cas particuliers
Exemples 17
2
™ Calculer
∫x
2
ln xdx
Réponse
∫ ( x + 2 )sin xdx
Réponse
1
π
š Calculer
0
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p20/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
,QWpJUDWLRQSDUSDUWLHVVXFFHVVLYHV
Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions de classe C n sur un même intervalle [a, b] . On a alors
l’égalité suivante :
b
 n −1

k (k )
n
(n − k )
u
x
v
x
dx
=
(
)
(
)
( x ) + (−1) ∫ u (n ) ( x )v ( x ) dx
 ∑ (−1) u ( x )v
∫a
 k =0
a
a
b
(n )
b
•
b
b
Si n = 2 , alors ∫ u ( x )v′′ ( x ) dx = u ( x )v′ ( x ) − u ′ ( x )v ( x ) a + ∫ u ′′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
b
•
b
Si n = 3 , alors ∫ u ( x )v′′′ ( x ) dx = u ( x )v′′ ( x ) − u ′ ( x )v′ ( x ) + u ′′ ( x )v ( x ) a − ∫ u ′′′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
La démonstration de cette proposition se fait par récurrence.
Exemple 18
0
Calculer I = ∫ x 2 1 − xdx par deux intégrations successives puis en appliquant l’égalité de la
−1
proposition précédente. Vérifier que les résultats sont identiques.
Réponse
&DVGHVIRQFWLRQVGHODIRUPH P ( x )eα x DYHF P ( x ) SRO\Q{PH
On cherche ici à calculer F ( x ) = ∫ P ( x )eα x dx
Lorsque le degré de P est petit, on peut utiliser des intégrations par parties successives (en
nombre égal au degré de P), en posant u ( x ) = P ( x ) .
Par contre, si le degré de P est élevé, il est recommandé d’utiliser une méthode de coefficients
indéterminés, c’est-à-dire que l’on cherche F ( x ) = Q ( x )eα x avec deg Q = deg P .
Exemple 29 : Calculer I = ∫ ( x3 − 2 x + 1)e− x dx
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p21/27 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&RPSOpPHQWV
0pWKRGHVGHFDOFXODSSURFKpG·LQWpJUDOHV
Lorsque la primitive de f ( x ) ne peut pas être calculée de façon simple, ou que cela demande
b
des calculs trop longs, on est alors amené à calculer
∫ f ( x ) dx
de manière approchée à l’aide
a
d’une méthode numérique.
Nous présentons dans ce paragraphe les méthodes graphiques les plus classiques.
Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle [a, b] et
xk + xk +1
sa courbe
2
b
représentative ; On cherche une valeur approchée de
∫ f ( x ) dx .
a
L’idée de départ, commune aux méthodes graphiques qui vont nous intéresser, est que l’on
partage l’intervalle d’intégration [a, b] en n intervalles égaux [xk ; xk +1 ] de longueur h =
avec x0 = a et xn = b .
Les points Ak ont pour coordonnées ( xk , f ( xk )) ;
Les points Bk ont pour coordonnées ( xk , 0 ) .
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p22/27 -
b−a
,
n
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
On désigne par g k une approximation de la fonction f sur les intervalles [xk ; xk +1 ] .
b
Ainsi, on peut décomposer
f ( x ) dx en
∫
a
valeur approchée de I k : J k =
xk +1
∫
n −1
xk +1
k =0
xk
∑ I k avec I k =
∫ f ( x ) dx . On prend alors comme
g k ( x ) dx .
xk
Le choix de la fonction g k conduit à l’une des trois méthodes présentées ci-dessous.
0pWKRGHGHVUHFWDQJOHV
Cette méthode est directement inspirée de la définition des intégrales.
 x + xk +1 
On prend comme fonction g k , la fonction constante f  k
 qui correspond à la valeur
2


de f au point milieu de l’intervalle [xk ; xk +1 ] .
 x + xk +1 
Ainsi, on a J k = f  k

2


xk +1
 xk + xk +1 
 xk + xk +1 
 ( xk +1 − xk ) = hf 
.
2
2



∫ dx = f 
xk
La valeur approchée de I est alors donnée par (voir figure ci-dessous) :
IJ=
b − a n −1
∑
n k =0
 x + xk +1 
f k

2


- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p23/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Remarque : cette méthode avait déjà été présentée sous un autre point de vue au début de ce
chapitre 5 (§ 2.1).
0pWKRGHGHVWUDSq]HV
On prend comme fonction g k , la fonction affine égale à f aux points extrêmes de l’intervalle
[xk ; xk +1 ] ; graphiquement, cela revient à considérer des trapèzes au lieu des rectangles de la
figure précédente. J k est alors égale à l’aire du trapèze Ak Bk Bk +1 Ak +1 .
Ainsi J k =
h
 f ( xk ) + f ( xk +1 ) , ce qui conduit à l’approximation suivante :
2
IJ=
n −1
b−a 

f
a
+
2
( ) ∑ f ( xk ) + f (b )

2n 
k =1

$XWUHVPpWKRGHV
Il existe de nombreuses autres méthodes : méthode du point milieu, méthode de Simpson…
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p24/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
$SSOLFDWLRQVGXFDOFXOLQWpJUDO
Une des applications est celle du calcul de l’aire d’un domaine.
Prenons un exemple : on cherche à calculer l’aire du domaine D défini par :
D = {( x, y )∈ \ 2 / 0 ≤ x ≤ 1 et x 2 ≤ y ≤ x}
Dessinons d’abord le domaine D.
L’aire du domaine D correspond à la différence entre l’aire du triangle ABC (
l’aire sous la courbe de x 2 (
):
A = I1 − I 2
1
1
0
0
A = ∫ xdx − ∫ x 2 dx
1
1
 x 2   x3 
A=   − 
 2 0  3 0
A=
1 1 1
− = u.a.
2 3 6
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p25/27 -
+
) et
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
([HPSOHVG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
8QH[HPSOHHQ'pPRJUDSKLH
L’évolution de la taille de la population du Botswana ces 25 dernières années est représentée à
l’aide des données ci-dessous :
Temps
(année)
Nombre
d’habitants
(millions)
1975
0.755
1980
0.901
1985
1.078
1990
1.285
2001
1.6
La fonction exponentielle permet de décrire cette évolution et l’on obtient la relation
suivante :
P = 0.7835e0.0291t
Si on désigne par P la taille de la population du Botswana et par t l’année ( t = 0
correspondant à 1975).
On peut ainsi calculer le temps de doublement de la population, c’est-à-dire la valeur θ de t
telle que P (t + θ ) = 2 P (t ) :
P (t + θ ) = 2 P (t )
8
0.7835e
0.0291(t +θ )
= 2 × 0.7835e0.0291t
8
e
0.0291θ
=2
8
θ 24 années
Supposons qu’en 2001, certains habitants craignent cette augmentation massive de la
population prévue d’ici 25 ans ; en effet, selon l’équation précédente, la taille de la population
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p26/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
aura doublé par rapport à celle de 2001 en 2025 pour passer à 3.2 millions d’habitants. On
peut raisonnablement imaginer que ces habitants vont alors chercher à émigrer vers d’autres
pays.
L’intégrale du taux d’émigration sur 25 ans est égal à l’émigration totale pendant cette
période.
Si on suppose qu’un quart de la population de 2001 (soit 0.4 millions d’habitants) va émigrer
ces 25 prochaines années, et si on suppose que le taux d’émigration a va augmenter de façon
linéaire pendant cette période, il vient :
25
∫ atdt =
0
1.6
4
Nous en déduisons que le taux d’émigration a est égal à : a = 0.0128 , exprimé en millions
d’habitants par an.
8QH[HPSOHHQ0pGHFLQH
Considérons la fonction f définie sur [0; 20] par :
f (t ) = 3e −0.1t
f relie la quantité d’un certain médicament dans le sang au temps t, pendant les 20h qui
suivent l’injection.
On peut calculer la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10
premières heures :
µ=
10
1
f (t ) dt = 3 (1 − e−1 ) 1.8964 u .
10 ∫0
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p27/27 -
'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH(TXDWLRQV'LIIpUHQWLHOOHV
Sandrine CHARLES (20/10/2001)
Introduction
1
Généralités
2
Equations différentielles du premier ordre
3
4
5
2.1
Equations différentielles du premier ordre à variables séparables
2.2
Equations différentielles du premier ordre homogènes
2.3
Un exemple en Biologie
Equations différentielles linéaires du premier ordre
3.1
Equation différentielle linéaire sans second membre (SSM)
3.2
Equation différentielle linéaire avec second membre (ASM)
3.3
Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants
Compléments sur les équations différentielles du premier ordre
4.1
Equation de Bernoulli
4.2
Equation de Riccati
Equations différentielles linéaires du second ordre
5.1
Cas des équations incomplètes
5.2
Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre
5.3
Equations différentielles d’ordre 2 linéaires sans second membre à coefficients
constants
5.4
Equations différentielles d’ordre 2 linéaires avec second membre « simple » et à
coefficients constants
6
Solutions particulières
7
Exemples d’applications en Biologie
7.1
Exemple en Démographie
7.2
Exemples en Ecologie
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH(TXDWLRQV'LIIpUHQWLHOOHV
,QWURGXFWLRQ
(http://handy.univ-lyon1.fr/service/cours/info_deug/deug.int/semestr.1/equadiff/equa.html)
La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVIIème siècle.
Encouragé par Huygens à étudier les mathématiques, Leibniz sera l’inventeur en 1686, en
même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral (Nova methodus pro maximis et
minimis, 1684-86).
•
A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de
problèmes d'origine mécanique ou géométrique, comme par exemple :
-
Mouvement du pendule circulaire,
-
Problème du mouvement de deux corps s'attirant mutuellement suivant la loi de la
gravitation Newtonnienne.
-
Problème de l'étude de mouvements de corps "élastiques" (tiges, ressorts, cordes
vibrantes).
-
Problème de l'équation de la courbe (appelée chaînette) décrivant la forme prise par
une corde, suspendue aux deux extrémités et soumise à son propre poids ; beaucoup
pensaient à tort que c'était une parabole, mais ce problème fût résolu en 1691 par
Bernouilli.
•
Vers 1700, beaucoup de ces problèmes étaient déjà partiellement ou totalement résolus et
quelques méthodes de résolution mises au point. Ensuite, les mathématiciens se sont
progressivement intéressés à des classes de plus en plus larges d'équations différentielles.
Assez curieusement, les équations différentielles linéaires à coefficients constants sans
second membre, qui apparaissent maintenant comme les plus simples, ne furent résolues
qu'en 1739 par Euler. Il ne faut pas oublier que, pour les mathématiciens de cette époque,
le maniement de la fonction exponentielle n'était pas encore familier.
Ä
Dans la phase que nous venons de décrire, les mathématiciens s'attachent au calcul
effectif d’une solution, à l'aide de ce que nous appelons maintenant les fonctions
élémentaires, ce que nous allons faire dans ce chapitre 6.
•
Vers 1870 Fuchs, puis Poincaré, vont inaugurer un nouveau champ de recherche. Le
calcul effectif des solutions est la plupart du temps impossible, mais on peut chercher à
déduire de l'examen a priori de l'équation les propriétés des solutions.
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p2/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
•
Enfin, le développement moderne des moyens de calcul ajoute à cette panoplie la
possibilité de calculer numériquement, dans un temps raisonnable, des solutions
approchées très précises d'équations différentielles ou d'explorer les propriétés que l'on
peut attendre des solutions.
Ä
Dès le début du XXième siècle, les équations différentielles ont trouvé de nombreuses
applications dans les Sciences de la Vie, lorsqu’est apparue la nécessité de relier le sujet
biologique réel et la représentation qu’on en donne à travers un objet mathématique, que
l’on appelle un modèle mathématique. Par exemple en démographie, les équations
différentielles sont utilisées pour décrire l’évolution de la taille de la population d'un pays
qui présente les caractéristiques suivantes : par an, le taux de renouvellement est de 20
pour 1000 habitants, et le taux de mortalité est de 15 pour 1000 habitants. Nous
reviendrons sur la formalisation mathématique de ce problème à la fin du paragraphe 2.
*pQpUDOLWpV
Définition 1 :
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs
n
y, y′, y′′,! , y ( ) d’une fonction inconnue et de ses dérivées au point x.
On rappelle que :
-
y′ =
dy
désigne la dérivée première de la fonction y par rapport à sa variable x ;
dx
-
y′′ =
d2y
désigne la dérivée seconde de la fonction y par rapport à sa variable x ;
dx 2
-
y( ) =
n
dny
désigne la dérivée n-ième de la fonction y par rapport à sa variable x.
n
dx
On dit que l’équation différentielle est d’ordre n si elle contient la dérivée n-ième de y, et pas
celles d’ordre supérieur :
(
)
-
(En ) :
-
(E1 ) : F ( x, y, y′ ) = 0
est une équation différentielle d’ordre 1
-
(E2 ): F ( x, y, y′, y′′ ) = 0
est une équation différentielle d’ordre 2
n
F x, y, y′, y′′,! , y ( ) = 0
est une équation différentielle d’ordre n
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p3/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Définition 2 :
Une solution d’une équation différentielle est une fonction f continue et dérivable (jusqu’à
l’ordre n pour une équation d’ordre n) dans un intervalle I donné, et telle que pour toute
valeur x de I, les valeurs de f et de ses dérivées vérifient l’équation.
Par exemple, la fonction f est une solution de l’équation ( E1 ) si :
∀x ∈ I , F ( x, f ( x ), f ′ ( x )) = 0
La fonction f est une solution de l’équation (E2 ) si :
∀x ∈ I , F ( x, f ( x ), f ′ ( x ), f ′′ ( x )) = 0
Définitions 3 :
•
La courbe représentative de la solution d’une équation différentielle est une chronique ou
courbe intégrale.
•
Résoudre ou intégrer une équation différentielle c’est trouver toutes ses solutions.
L’équation différentielle la plus simple est l’équation :
y′ = φ ( x )
Remarques :
•
Les solutions de cette équation sont les primitives de la fonction φ ; mais si pour une
fonction φ continue nous savons que ces primitives existent, nous ne pouvons pas
toujours en donner une expression simple à l’aide des fonctions élémentaires.
•
Une équation différentielle admet une infinité de solutions (c’est le cas en particulier de
l’équation y′ = φ ( x ) ). Pour trouver la solution particulière du problème étudié, il faut
tenir compte des conditions particulières (ou conditions initiales) que doit satisfaire la
solution. Ainsi pour une équation du premier ordre comme ( E1 ) , la condition initiale sera
en général que la solution f prend la valeur y0 en x0 : f ( x0 ) = y0 .
Exemple :
Considérons l’équation y′ = φ ( x ) .
Soit Φ ( x ) la primitive de φ .
Les solutions de l’équations sont donc les fonctions Φ ( x ) , et il n’existe qu’une seule solution
particulière telle que Φ ( x0 ) = y0 .
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p4/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Application :
x2
.
2
Soit y′ = x . Alors φ ( x ) = x avec ses primitives Φ ( x ) =
Les solutions sont donc les fonctions
x2
+ C avec C ∈ \ une constante.
2
Pour chercher la solution particulière telle que Φ ( x0 ) = y0 on écrit :
Φ ( x0 ) = y0 ⇔
x02
x2
+ C = y0 ⇔ C = y0 − 0
2
2
Ainsi, la solution particulière recherchée est la fonction définie par Φ p ( x ) =
x2
x2
+ y0 − 0 .
2
2
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUH
Les équations différentielles d’ordre 1, on dit aussi du premier ordre, ne font intervenir que
des dérivées premières : F ( x, y, y′ ) = 0 .
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUHjYDULDEOHVVpSDUDEOHV
La forme générale de ces équations est :
y′ = f ( x ) g ( y ) ⇔
Ainsi, on peut écrire
dy
= f (x ) g ( y )
dx
dy
= f ( x ) dx , ce qui revient à calculer deux primitives :
g (y)
dy
∫ g ( y ) = ∫ f ( x ) dx ⇔ G ( y ) = F ( x ) + C
avec C ∈ \ une constante
Exemples :
Résoudre l’équation y′ = −
x
y
Résoudre l’équation y′ = y ln x
Résoudre l’équation y′ =
6
y4
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p5/22 -
Réponse
Réponse
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUHKRPRJqQHV
dy
 y
 y
La forme générale de ces équations est y′ = f   ⇔
= f  .
dx
 x
 x
L’astuce consiste à poser u =
On pose u =
Ainsi,
y
pour se ramener à une équation à variables séparables.
x
y
⇔ y = xu
x
dy
du
=u+x
(u est en effet une fonction de x), c’est-à-dire :
dx
dx
f (u ) = u + x
du
dx
Ceci qui permet alors d’écrire :
du
dx
=
f (u ) − u x
On est donc bien ramené au cas précédent.
Exemples :
Résoudre l’équation y′ =
x2 + y 2
xy
Résoudre l’équation xyy′ = y 2 − x 2
Réponse
Réponse
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Cherchons à décrire au moyen d’une équation différentielle l’évolution de la taille de la
population d'un pays qui présente les caractéristiques suivantes : par an, le taux de
renouvellement est de 20 pour 1000 habitants, et le taux de mortalité est de 15 pour 1000
habitants.
Soit N (t ) la taille de la population l’année t, exprimée en milliers d’habitants.
La variation annuelle de la taille de la population peut être quantifiée à l’aide de la quantité
dN (t )
. Ainsi, on peut écrire, par le jeu d’une balance entre renouvellement naturel et
dt
mortalité :
dN (t )
= aN (t ) − bN (t ) = rN (t )
dt
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p6/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
avec :
-
a le taux de renouvellement de la population a = 20 °
-
b le taux de mortalité de la population b = 15 °
-
r le taux d’accroissement absolu de la population : r = 5 °
°°
°°
;
;
°°
.
Pour connaître l’évolution de N en fonction de t, il faut maintenant résoudre :
dN
= rN
dt
(E )
Il s’agit d’une équation différentielle à variable séparable qui s’intègre simplement :
dN
dN
= rN ⇔
= rdt
dt
N
∫
dN
= ln N + C1
N
∫ rdt = rt + C
2
ln N = rt + C2 ⇔ N (t ) = Ke rt
La valeur de K dépend de la condition initiale choisie. Si on suppose que N (t = 0 ) = N 0 , il
vient :
N (t ) = N 0 e rt
Voici la représentation graphique de la relation N en fonction de t pour différentes valeurs de
N0 :
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p7/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVGXSUHPLHURUGUH
Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est de la forme y′ + f ( x ) y = g ( x ) .
On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre si g ( x ) = 0 (SSM).
On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre si g ( x ) ≠ 0 (ASM).
La fonction g ( x ) est le second membre de l’équation. L’équation SSM est encore appelée
équation homogène.
(TXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUHVDQVVHFRQGPHPEUH660
Nous considérons dans ce paragraphe des équations de la forme :
(E0 ) :
y′ + f ( x ) y = 0
Ces équations SSM sont à variables séparables et aisément intégrables sous réserve de
pouvoir calculer la primitive de la fonction f :
dy
= − f ( x ) dx
y
⇔ ln y = − F ( x ) + C
y′ + f ( x ) y = 0 ⇔
⇔ y = Ke
− F (x )
Exemples :
Résoudre l’équation y′ + e x y = 0
Réponse
Résoudre l’équation y′ = y 3e x
Réponse
(TXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUHDYHFVHFRQGPHPEUH$60
Nous considérons dans ce paragraphe des équations de la forme :
(E ) :
y′ + f ( x ) y = g ( x )
Ces équations ASM se résolvent en deux temps :
(1) On intègre d’abord l’équation SSM pour obtenir : y1 = Ke − F (x )
(2) On résout l’équation ASM, soit en recherchant une solution particulière y p de ( E ) (voir
§ 3.2.1), soit en utilisant la méthode de variation de la constante (voir § 3.2.2).
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p8/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
5HFKHUFKHG·XQHVROXWLRQSDUWLFXOLqUH
Supposons que l’on dispose d’une solution particulière y p de ( E ) , alors la solution générale
de ( E ) est la fonction définie par y = y1 + y p = Ke
− F (x )
+ yp .
Vérification :
Soit y = y1 + y p = Ke
− F (x )
+ y p . Montrons qu’une telle fonction est bien solution de ( E ) .
y p est une solution particulière de ( E ) , elle vérifie donc y′p + f ( x ) y p = g ( x ) .
Par ailleurs, y′ = − Kf ( x )e
− F (x )
+ y′p , donc :
y′ + f ( x ) y = − Kf ( x )e
−F x
+ y′p + f ( x )  Ke ( ) + y p 
−F x
−F x
= − Kf ( x )e ( ) + Kf ( x )e ( ) + y′p + f ( x ) y p
= y′p + f ( x ) y p
= g (x )
y = y1 + y p = Ke
− F (x )
− F (x )
+ y p est bien solution de ( E ) .
Cette méthode repose entièrement sur la connaissance de y p qui n’est pas toujours facile à
obtenir. La méthode de variation de la constante (§3.2.1) est par contre beaucoup plus
générale.
Exemple :
Résoudre l’équation y′ + xy = x 2 + 1
Réponse
0pWKRGHGHYDULDWLRQGHODFRQVWDQWH
On utilise cette technique lorsqu’on ne peut pas trouver de solution particulière de ( E ) . On
résout dans ce cas l’équation SSM qui fournit y1 = Ke − F (x ) .
On rappelle que ( E ) s’écrit y′ + f ( x ) y = g ( x ) .
On prend alors comme fonction inconnue
y
, ce qui revient à faire de K, qui était constante
y1
pour l’équation SSM, une fonction inconnue de ( E ) .
Autrement dit, on fait varier la constante.
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p9/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
En posant dans ( E ) , y = K ( x )e
− F (x )
, on obtient :
y′ + f ( x ) y = g ( x )
−F x
−F x
−F x
⇔ K ′ ( x )e ( ) − f ( x ) K ( x )e ( ) + f ( x ) K ( x )e ( ) = g ( x )
−F x
⇔ K ′ ( x )e ( ) = g ( x )
⇔ K ′ ( x ) = g ( x )e F (x )
Ainsi, par intégration et sous réserve que l’on puisse calculer une primitive de g ( x )e
F (x )
, on
obtient :
K ( x ) = ∫ g ( x )e
F (x )
dx
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle ( E ) s ‘écrit :
y=e
− F (x )
∫ g ( x )e
F (x )
dx
Exemples :
Résoudre l’équation y′ −
y
= x2
x
Résoudre l’équation ( x 2 + 1) y′ + 3 xy = x 2
Réponse
Réponse
(TXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUHGXSUHPLHURUGUHjFRHIILFLHQWVFRQVWDQWV
Nous considérons cette fois-ci des équations différentielles linéaires du premier ordre à
coefficients constants, c’est-à-dire de la forme :
(E ) :
y′ + ay = g ( x ) avec a ∈ \ une constante.
Ce cas est un cas particulier des équations différentielle du premier ordre que nous avons vu
au paragraphe 3.2. En effet, nous avons ici f ( x ) = a .
Ainsi, après avoir résolu l’équation SSM, la méthode précédente s’applique, soit avec
recherche d’une solution particulière, soit par variation de la constante.
Cependant, avec les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients
constants, la solution particulière y p s’obtient parfois simplement :
-
Si g ( x ) = P ( x ) un polynôme de degré n, alors y p = Q ( x ) un polynôme de
degré n ;
-
Si g ( x ) = emx P ( x ) , alors on pose y p = e mx z , et z devient la fonction inconnue de
l’équation différentielle z ′ + (a + m ) z = P ( x ) : on est ramené au cas précédent.
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p10/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Exemples :
Résoudre l’équation y′ − 2 y = x3 + 1
Réponse
Résoudre l’équation y′ − 2 y = e 2 x ( x 2 − 3 x + 2 )
Réponse
&RPSOpPHQWVVXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUH
Nous allons voir dans ce paragraphe quatre types d’équations différentielles du premier ordre,
pour lesquelles il existe des méthodes permettant de les simplifier
(TXDWLRQGH%HUQRXOOL
Une équation de Bernoulli est de la forme y′ = A ( x ) y + B ( x ) yα avec α ∈ \ .
Lorsque α = 0 ou que α = 1 , une telle équation est linéaire.
Pour α ≠ 0,1 , on peut s’arranger pour qu’elle le devienne ; on écrit :
y′y −α = A ( x ) y1−α + B ( x )
 y1−α ′
1−α
Or, on peut remarquer que y′y −α = 
 . Donc en posant z = y , il vient :
1−α 
z′ = A ( x ) z + B ( x )
On est donc ramené à une équation linéaire que l’on sait résoudre.
Exemple :
Résoudre l’équation y′ = xy + xy 2
(TXDWLRQGH5LFFDWL
Une équation de Riccati est de la forme y′ = A ( x ) y 2 + B ( x ) y + C ( x ) .
On ne peut la résoudre que si l’on connaît a priori une solution particulière y p .
On pose alors y = y p + z , ce qui permet d’arriver à :
z′ = A ( x ) z 2 + D ( x ) z
Il s’agit d’une équation de Bernoulli (voir ci-dessus).
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p11/22 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVGXVHFRQGRUGUH
Les équations différentielles d’ordre 2 sont de la forme générale F ( x, y, y′, y′′ ) = 0 .
Comme pour les équations différentielles d’ordre 1, on distingue les équations différentielles
d’ordre 2 sans et avec second, puis les équations différentielles d’ordre 2 linéaires, sans et
avec second membre.
La différence avec les équations différentielles d’ordre 1, tient au fait que la solution générale
dépend cette fois-ci de deux constantes d’intégration.
Ainsi, pour déterminer la solution particulière d’un problème donné, il faudra disposer de
deux conditions initiales, qui sont le plus souvent : f ( x0 ) = y0 et f ′ ( x0 ) = z0 , si f ( x ) est
une solution de l’équation différentielle.
&DVGHVpTXDWLRQVLQFRPSOqWHV
$EVHQFHGH\ F ( x, y′, y′′ ) = 0 L’astuce consiste ici à poser z = y′ , ce qui permet de se ramener à F ( x, z , z ′ ) = 0 , qui est une
équation différentielle d’ordre 1.
Ainsi, on résout si c’est possible d’abord F ( x, z , z ′ ) = 0 , ce qui donne z = f ( x, C1 ) ; puis on
résout y′ = z , ce qui permet finalement d’obtenir y = F ( x, C1 ) + C2 .
Exemple :
Résoudre l’équation ( x 2 + 1) y′′ + xy′ = 0
Réponse
$EVHQFHGH[ F ( y, y′, y′′ ) = 0 On pose encore y′ = z , d’où y′′ =
dz dz dy dz
= . = .z ce qui nous ramène à considérer z
dx dy dx dy
comme une fonction inconnue de y. On est ainsi ramené à l’équation :

dz 
dy
F  y, z , z  = 0 avec dx =
z
dy 

Exemple :
Résoudre l’équation 2 yy′′ = y′2 + 1
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p12/22 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG·RUGUHOLQpDLUHVVDQVVHFRQGPHPEUH
On appelle ainsi une équation différentielle de la forme :
y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0
Ces équations ne se résolvent que si l’on dispose d’une solution particulière y p .
Remarque :
y p = e x est solution particulière de toute équation différentielle de la forme :
A ( x ) y′′ + B ( x ) y′ + C ( x ) y = 0
à condition que A ( x ) + B ( x ) + C ( x ) = 0 .
Connaissant y p , on pose y = y p z , z devenant la nouvelle fonction inconnue de x. Il en
résulte :
y′ = y′p z + y p z ′
y′′ = y′′p z + 2 y′p z ′ + y p z ′′
Ainsi :
y′′ + a ( x ) y′ + b ( x ) y = 0
⇔ y′′p z + 2 y′p z ′ + y p z ′′ + a ( x )( y′p z + y p z ′ ) + b ( x ) y p z
⇔ y p z ′′ + (2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ + ( y′′p + a ( x ) y′p + b ( x ) y p ) z
=0
car y p est solution
On pose alors u = z ′ ce qui ramène à une équation différentielle d’ordre 1 à variables
séparables :
y p z ′′ + (2 y′p + a ( x ) y p ) z ′ = 0
⇔ y p u ′ = − (2 y′p + a ( x ) y p )u
⇔
 2 y′p

du
= −
+ a ( x ) dx
 y

u
 p

Ainsi, ln u = −2 ln y p − ∫ a ( x ) dx = −2 ln y p − A ( x ) + C ⇔ u = C1
Reste à résoudre z ′ = C1
e A(x )
.
yp
e A(x )
, c’est-à-dire z = C1 F ( x ) + C2 , ce qui conduit finalement à la
yp
solution générale de l’équation différentielle de départ :
y = y p (C1 F ( x ) + C2 )
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p13/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Exemple :
Résoudre l’équation ( x + 1) y′′ − (2 x − 1) y′ + ( x − 2 ) y = 0
Réponse
(TXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV G·RUGUH OLQpDLUHV VDQV VHFRQG PHPEUH j
FRHIILFLHQWVFRQVWDQWV
On désigne ainsi une équation différentielle de la forme :
(E ) :
y′′ + ay′ + by = 0 avec a, b ∈ \ des constantes
(WXGHGXFDVR a = 0 •
Si b = 0 , alors ( E ) devient y′′ = 0 , ce qui donne y = C1 x + C2 .
•
Si b > 0 , on peut poser b = ω 2 avec ω > 0 , ce qui conduit à y′′ + ω 2 y = 0 . Cette équation
admet deux solutions particulières simples y p1 = sin (ω x ) et y p 2 = cos (ω x ) . La solution
générale de ( E ) est donc y = C1 sin (ω x ) + C2 cos (ω x ) .
•
Si b < 0 , on pose alors b = −ω 2 avec ω > 0 , ce qui conduit à y′′ − ω 2 y = 0 . Cette équation
admet deux solutions particulières simples y p1 = eω x et y p 2 = e −ω x . La solution générale de
(E ) est donc
y = C1eω x + C2 e −ω x .
(WXGHGXFDVR a ≠ 0 On revient donc à ( E ) : y′′ + ay′ + by = 0 .
En inspirant de ce qui précède, on peut imaginer de chercher des solutions sous la forme
y = e rx avec r une constante.
En remplaçant y = e rx dans ( E ) puis en simplifiant par erx , on obtient l’équation :
ϕ (r ) = r 2 + ar + b = 0 : équation caractéristique de ( E )
La nature des solutions de ( E ) dépend alors de la nature des solutions de ϕ (r ) = 0 .
On note ∆ = a 2 − 4b le discriminant de l’équation caractéristique.
•
Si ∆ = a 2 − 4b > 0 , alors ϕ (r ) = 0 admet deux racines réelles distinctes r1 , r2 , et
(E )
admet deux solutions particulières y p1 = er1x et y p 2 = er2 x . La solution générale de ( E ) est
donc y = C1er1x + C2 e r2 x .
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p14/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
•
Si ∆ = a 2 − 4b = 0 , alors ϕ (r ) = 0 admet une racine double r0 = −
a
et
2
(E )
admet la
solution particulière y p = e r0 x . En posant y = e r0 x z , on montre que la solution générale de
(E ) est
•
Si
y = (C1 x + C2 ) er0 x .
∆ = a 2 − 4b < 0 , alors ϕ (r ) = 0
admet deux racines complexes conjuguées
r1,2 = α ± i β . La solution générale de ( E ) s’écrit alors y = eα x (C1 sin β x + C2 cos β x ) .
Exemple :
Résoudre l’équation y′′ − 2 y′ + y = 0
Réponse
(TXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG·RUGUHOLQpDLUHVDYHFVHFRQGPHPEUH©VLPSOHª
HWjFRHIILFLHQWVFRQVWDQWV
On appelle dans ce paragraphe des équations différentielles de la forme :
y′′ + ay′ + by = f ( x )
Ces équations ASM se résolvent en deux temps :
(3) On intègre d’abord l’équation SSM (§ 5.3.) ; on obtient y1 .
(4) On résout l’équation ASM en recherchant une solution particulière y p de
(E )
(voir
Chapitre 6 § 6) et dans ce cas y = y p + y1 .
Nous allons voir à partir d’un exemple, comment mettre en œuvre la recherche d’une solution
particulière.
Considérons l’équation suivante :
(E ):
y′′ − 2 y′ + y = 2 x 2 − x − 1
Résolution de l’équation SSM : voir exemple ci-dessus :
y1 = (C1 x + C2 )e x
On cherche alors une solution y p sous la forme y p = ax 2 + bx + c ,c’est-à-dire une
solution particulière de la forme du second membre ; on cherche alors les coefficients a,
b, et c pour que y p soit solution de ( E ) :
y p = ax 2 + bx + c
y′p = 2ax + b
y′′p = 2a
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p15/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Ainsi :
y′′p − 2 y′p + y p = 2a − 2 (2ax + b ) + ax 2 + bx + c
= ax 2 + (b − 4a ) x + c + 2a − 2b
En identifiant, ax 2 + (b − 4a ) x + c + 2a − 2b avec g ( x ) = 2 x 2 − x − 1 , on obtient :
a=2
b=7
c=9
On en déduit que y p = 2 x 2 + 7 x + 9 est une solution particulière de ( E ) .
On conclut que la solution générale de ( E ) est y = y p + y1 , c'est-à-dire:
y = (C1 x + C2 )e x + 2 x 2 + 7 x + 9
6ROXWLRQVSDUWLFXOLqUHV
Nous allons résumer dans un tableau les solutions particulières possibles dans le cas
d’équations différentielles avec un second membre (ASM) « simple ».
Equation différentielle du premier
ordre linéaire à coefficients
Solution particulière
constants :
Soit φ (r ) = r + a l’équation caractéristique
y′ + ay = f ( x )
Second membre de la forme :
f ( x ) = P ( x ) avec d ° P = n
y p = xk P (x )
k = 0 si 0 n’est pas solution de l’équation φ (r ) = 0
k = 1 si 0 est solution de l’équation φ (r ) = 0
Second membre de la forme :
f ( x ) = eα x P ( x ) avec d ° P = n
y p = x k eα x P ( x )
k = 0 si α n’est pas solution de l’équation φ (r ) = 0
k = 1 si α est solution de l’équation φ (r ) = 0
Second membre de la forme :
f ( x ) = A cos β x + B sin β x
y p = C cos β x + D sin β x
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p16/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Equation différentielle du premier
ordre linéaire à coefficients
Solution particulière
constants :
Soit φ (r ) = r 2 + ar + b l’équation caractéristique
y′′ + ay′ + by = f ( x )
Second membre de la forme :
f ( x ) = P ( x ) avec d ° P = n
y p = xk P (x )
k = 0 si 0 n’est pas solution de l’équation φ (r ) = 0
k = 1 si 0 est une racine de l’équation φ (r ) = 0
k = 2 si 0 est racine double de l’équation φ (r ) = 0
Second membre de la forme :
f ( x ) = eα x P ( x ) avec d ° P = n
y p = x k eα x P ( x )
k = 0 si α n’est pas solution de l’équation φ (r ) = 0
k = 1 si α est une racine de l’équation φ (r ) = 0
k = 2 si α est racine double de l’équation φ (r ) = 0
([HPSOHVG·DSSOLFDWLRQVHQ%LRORJLH
([HPSOHHQ'pPRJUDSKLH
Il est possible de décrire au moyen d’une équation différentielle l’évolution de la taille de la
population d'un pays qui présente les caractéristiques suivantes : par an, le taux de
renouvellement est de 20 pour 1000 habitants, et le taux de mortalité est de 15 pour 1000
habitants.
Soit N (t ) la taille de la population l’année t, exprimée en milliers d’habitants.
La variation annuelle de la taille de la population peut être quantifiée à l’aide de la quantité
dN (t )
.
dt
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p17/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Ainsi, on peut écrire, par le jeu d’une balance entre renouvellement naturel et mortalité :
dN (t )
= aN (t ) − bN (t ) = rN (t )
dt
avec :
-
a le taux de renouvellement de la population a = 20 °
-
b le taux de mortalité de la population b = 15 °
-
r le taux d’accroissement absolu de la population : r = 5 °
°°
°°
;
;
°°
.
Pour connaître l’évolution de N en fonction de t, il faut maintenant résoudre :
dN
= rN
dt
(E )
Il s’agit d’une équation différentielle à variable séparable qui s’intègre simplement :
dN
dN
= rN ⇔
= rdt
dt
N
∫
dN
= ln N + C1
N
∫ rdt = rt + C
2
ln N = rt + C2 ⇔ N (t ) = Ke rt
La valeur de K dépend de la condition initiale choisie. Si on suppose que N (t = 0 ) = N 0 , il
vient :
N (t ) = N 0 e rt
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p18/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Voici la représentation graphique de la relation N en fonction de t pour différentes valeurs de
N0 :
([HPSOHVHQ(FRORJLH
&URLVVDQFHSRQGpUDOHG·XQRUJDQLVPH
Pendant une période t = 0 à t = t1 du développement d’un organisme, on admet que la vitesse
de croissance pondérale est proportionnelle à son poids. On obtient alors ‘équation suivante :
dp
= kp avec p le poids (en g) et k le taux d’accroissement
dt
(I)
Le temps est exprimé en jours.
On sait d’autre part qu’à t = 0 , p = p0 .
Cette équation à variables séparables s’intègre facilement (voir ci-dessus) :
p (t ) = p0 ekt
A l’aide de mesure faites sur un grand nombre d’individus, on a obtenu les résultats suivants :
A t = 0 , p = p0 = 1 g
A t = 10 jours , p = 2.718 g
Ces données expérimentales permettent d’estimer une valeur pour k : k 0.1 ( jours ) .
−1
On peut ainsi tracer grossièrement l’évolution du poids de l’organisme au cours de la
croissance (courbe rose) :
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p19/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Cependant, il paraît peu probable que la croissance pondérale de l’organisme considère soit
aussi rapide, et surtout illimitée. On est alors amené à proposer une autre équation, qui fait
intervenir un terme de ralentissement de la croissance :
dp
= kp
− α
p2
N
N
dt croissance ralentissement
Cette équation est aussi à variables séparables :
dp
dp
= p (k − α p ) ⇔
= dt
dt
p (k − α p )
Pour intégrer l’équation, il faut alors faire une décomposition en éléments simples :
1
1
α
=
+
p (k − α p ) kp k (k − α p )
Ainsi :
dp
1 dp α
dp
+ ∫
= dt
p k k −α p ∫
∫ p (k − α p ) = k ∫
ln p − ln (k − α p ) = kt + C
p
= Ce kt
k −α p
On obtient finalement :
p (t ) =
k
 k

α +  − α  e − kt
 p0

- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p20/22 -
(II)
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
Une rapide étude de cette fonction permet de voir que :
p (0 ) = p0 (ce que l’on attendait) et lim p (t ) =
t →+∞
k
α
Enfin, par un raisonnement simple, on montre que pour des temps petits (proches de t = 0 ),
on a p (t ) = p0 ekt . Ceci signifie que les courbes intégrales des équations (I) et (II) sont
confondues pour des valeurs de t faibles (voir courbe bleue).
3UREDELOLWpGHUHQFRQWUH
On désigne par f la densité de probabilité de rencontre entre deux animaux dans des
conditions déterminées (par exemple en laboratoire). On suppose que cette densité de
probabilité est fonction du temps :
f (t ) =
1
(t + 1)e−t
2
Une rapide étude de fonction conduit à la représentation graphique suivante :
On peut alors calculer la probabilité p que deux animaux se rencontrent entre les instants t1 et
t2 à l’aide de l’intégrale suivante :
t2
p = ∫ f (t ) dt
t1
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p21/22 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (20/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
+∞
Ainsi,
∫ f (t )dt
est nécessairement égale à 1 (probabilité que deux animaux se rencontrent
0
entre t = 0 et l’infini) :
+∞
∫
0
1
f (t ) dt =
2
+∞
∫ (t + 1)e
−t
dt
0
Ce calcul s’effectue à l’aide d’une intégration par partie :
On pose u (t ) = t + 1 et v′ (t ) = e − t . Il vient u′ (t ) = 1 et v (t ) = −e− t .
Ainsi,
1
2
+∞
−t
∫ (t + 1)e dt =
0
+∞
1
1
 − (t + 1)e − t  −
0
2
2
+∞
∫e
−t
dt . En tenant compte du fait que
0
lim e −t = 0 , on obtient :*
t →+∞
+∞
∫ f (t ) dt = 1
0
Pour revenir aux équations différentielles, on peut chercher à résoudre l’équation suivante :
f ′′ + 2 f ′ + f = 0
L’équation caractéristique est φ (r ) = r 2 + 2r + 1 = (r + 1) , ce qui conduit immédiatement à la
2
solution générale :
f ( x ) = (C1 x + C2 )e− x
Si on cherche la solution particulière telle que f (0 ) =
1
et f ′ (0 ) = 0 , on retrouve
2
exactement :
f (x ) =
1
( x + 1)e− x
2
- Chapitre 6 : Equations Différentielles, p22/22 -