Calcul algébrique élémentaire

Calcul algébrique élémentaire
Henri Roudier
Si l’on trouvera dans ce chapitre la plupart des définitions courantes qui sont celles de l’algèbre
moderne (réunies autrefois sous le masque des ”mathématiques modernes), on fera dans un premier
temps l’effort d’apprendre les règles élémentaires pratiques qui la gouvernent ; le vocabulaire devrait
être familier au lecteur : addition, multiplication, développer, factoriser.
NB. On suppose que le lecteur a quelque connaissance des ensembles de nombres usuels : N, Z, Q,
R, C.
a ∈ A se lit : ”a appartient à A” ou encore ”a est un élement de A”.
B ⊆ A se lit : ”l’ensemble B est inclus dans l’ensemble A” ; cela signifie que tout élément apparatenant à B appartient nécessairement à A.
∅ : note l’ensemble vide.
1
Nombres usuels
1.1
1.1.1
Jeu à deux opérations
L’ordinaire
Le calcul algébrique ordinaire, qui met en jeu addition et multiplication s’est inscrit jusque là dans un
des ensembles suivants : où sont définies les opérations familières que sont l’addition et la multiplication.
• N : ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, ... dont l’essence est dans le raisonnement par récurrence.
On y définit addition et multiplication, le 0 et le 1. On observera que :
si n est entier naturel strictement positif, il n’existe pas d’entier naturel n′ tel que n + n′ = 0.
• Z : ensemble des entiers relatifs. Il est constitué des entiers naturels et de leurs opposés. On
observera que si m est un entier différent de 0, il n’existe d’entier m′ tel que mm′ = 1 que dans les
cas où m = 1 ou −1.
• Q : ensemble des nombres rationnels ; il sont représentés par des fractions notées nd où d appartient
à N∗ et n appartient à Z. On suppose connu du lecteur les régles pratiques decalcul qui leur sont
attachées ainsi que la notion de fraction irréductible.
• D : ensemble des nombres décimaux..Il s’agit des rationnels qui se mettent sous la forme 10an où
n ∈ N et a ∈ Z ; ce sont les flottants du ”calcul numérique” mis en oeuvre dans les machines.
– Bien entendu : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q, les inclusions étant strictes.
– Bien entendu, la somme, la différence et le produit de deux éléments de N ( resp. Z , resp. D ,
resp. Q) est un élément de N ( resp. Z , resp. D , resp. Q). Par contre l’inverse d’un décimal n’est
pas nécessairement décimal ( 13 n’est pas un nombre décimal).
• R: ensemble des nombres réels. On démontre qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le
carré est égal à 2. On pourrait également démontrer que ramener la géométrie élementaire plane
aux calculs dans une repère se heurte à das difficultés analogues si l’on considère que abscisses et
ordonnées sont des rationnels. Ainsi il n’est pas sûr que, C (Ω, r) étant un cercle de centre Ω et
de rayon r > 0, une droite se trouvant à une distance de Ω inférieure à r coupe le cercle en deux
points ! La géométrie qu’on ”voit” n’est pas celle des rationnels. Si l’inclusion suivante est stricte
Q⊂R
elle ne donne pas la mesure de ce passage des uns aux autres.
• Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels.
1
• On suppose le lecteur averti des régles ordinaires qui gouvernent le calcul des nombres usuels.
Exercice 1 Que pensez-vous de la somme (du produit) d’un rationnel et d’un irrationnel ?
Que
de la somme (du produit) de deux irrationnels ? On pourra examiner des exemples tels
√ pensez-vous
√
2 − 1 et 2 + 1.
• Ensemble des nombres complexes. Inventés à la fin du XVI-ème siècle, ils interviennent alors dans
la résolution algébrique des équations, comme nombres ”imaginaires”. Là encore
R⊂C
Précisons que l’ordre naturel des nombres, noté , s’arrête aux réels et ne se prolonge pas aux
complexes.
1.1.2
Opposé
Mieux vaut connaitre les définitions qui se cachent derrière ce mot. Soit A un des ensembles précédents,
a et a′ deux éléments de A :
• a et a′ sont opposés si a + a′ = 0. On peut démontrer que si a admet un opposé, il en admet
un seul, noté .−a. On en déduit que − (−a) = a. On suppose connu du lecteur la définition de
a − b = a + (−) b et les règles qui vont avec.
• Jeu sur les différences – Ou comment faire entre sur la scène (x − α) et (y − β) dans l’expression
xy − αβ:
Il suffit de le .. vouloir :
ou aussi bien
xy − αβ = x (y − β) + βx − αβ = x (y − β) + β (x − α)
xy − αβ = (x − α) y + αy − αβ = (x − α) y + α (y − β)
1.1.3
Simplification. A propos du produit
Il est bien connu que si a est un nombre usuel a.0 = 0. (sauriez vous le démontrer? )
Réciproquement. On peut démontrer que, A étant un des ensembles précédents, quels que soiientr a
et b appartenant à A :
ab = 0 ⇒ (a = 0 ou b = 0)
On en déduit le résultat suivant qui est fondamental.
Théorème 1 Soit a, x, y trois nombres ”usuels”
(a = 0A et ax = ay) ⇒ x = y
Preuve1 – Il suffit d’observer que ax = ay équivaut à a (x − y) = 0.
1.1.4
Puissances
Soit A un des ensembles précédents .on définit les puissances successives d’un élement a de A de ”proche
en proche” en posant :
a0 = 1
a1 = a
a2 = a.a
pour tout n appartenant à N : an+1 = an a
On vérifie alors sans difficulté que pour tout m, n appartenant à N , tout a, b appartenant à A :
am+n
(ab)n
(1)
= am an ; (am )n
= an bn
Nous verrons que ces égalités ne se généralisent pas dans des structures de calcul plus ”compliquées”.
Exemple 1 Jeux avec −1. Soit n un entier naturel. Il faut savoir que (−1)n est égal à 1 si n est pair,
que (−1)n est égal à −1 si n est impair.
1 Observer
que la preuve n’a rien à voir avec l’existence éventuelle d’un inverse de a.
2
1.1.5
Développer / factoriser
Développer et factoriser sont les deux actions de base du calcul littéral.
Développer une expression revient à transformer un produit en une somme (ou une différence). Le
principe de base est celui de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
a (b + c) = ab + ac
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
Factoriser une expression revient à l’écrire sous la forme d’un produit ; en général, cela se fait en
”repérant” un facteur commun
ab + ac = a (b + c)
ab − a = a (b − 1)
Attention : cela dépend du cadre concret du calcul. Le débutant méditera devant les deux égalités :
10
10
1
2
2
x − x+1 = x 1−
+
3
3x x2
10
1
x2 − x + 1 = (x − 3) x −
3
3
Théorème 2 Soit r1 et r2 deux réels (resp complexes) Quel que soit z appartennant à C
z 2 − (r1 + r2 ) z + r1 r2 = (z − r1 ) (z − r2 )
Résultat qu’on retrouvera dans le cadre du ”second degré” et qu’il faut absolument connaitre.
Preuve – L’égalité précédente se prouve en développant (z − r1 ) (z − r2 ) et en regroupant les
termes de ce développement suivant les puissances de l”’objet” z qui joue un rôle un peu particulier.
Observer que lire l’égalité précédente de gauche à droite relève d’une factorisation ; après tout, on
aurait pu aussi bien observer que
z 2 − (r1 + r2 ) z + r1 r2 = z 2 − r1 z − r2 z + r1 r2 = z (z − r1 ) − r2 (z − r1 ) = (z − r1 ) (z − r2 )
1.1.6
Carrés et identités remarquables
On prendra très au sérieux l’exercice suivant.
Exercice 2 Soit z un entier relatif. Démontrer que z 2 = 4 ⇒ (z = 2 ou z = −2) .
Solution – cf plus bas...
Les identités remarquables ci-dessous donnent quelques outils classiques de développement et de
factorisation, suivant qu’on les lit de gauche à droite ou de droite à gauche...
Théorème 3 Les plus célèbres des identités remarquables : soit x et y, z des nombres complexes.
On dispose des égalités
Presqu’aussi connue
(x + y)2
= x2 + 2xy + y 2
(x − y)2
x2 − y 2
= x2 − 2xy + y 2
= (x + y) (x − y)
(x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx
Preuves – Développer (x + y)2 , (x + y) (x − y) en tenant compte de ce que xy = yx. Idem avec
(x + y + z)2 .
Théorème 4 Soit , a et b deux nombres complexes :
a2 = b2 ⇔ (a = b ou a = −b)
Preuve – Nous l’avons dit, si a = ±b, alors a2 = b2 . Réciproquement, vu ce qui précède :
a2 = b2 ⇔ a2 − b2 = 0 ⇔ (a + b) (a − b) = 0
Or (a + b) (a − b) = 0 ⇒ (a + b = 0 ou a − b = 0), cqfd.
• Par contre déduire l’égalité a = b de l’égalité a2 = b2 est une ERREUR GROSSIERE.
3
1.1.7
Vers l’égalité de Bernoulli
Théorème 5 Mieux vaut également savoir que, x et y étant des nombres complexes :
x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y2
x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y2
On dispose également de l’égalité
x4 − y4 = (x − y) x3 + x2 y + xy2 + y 3
Remarque –Par contre il est impossible
d’obtenir une égalité, valide pour tout x et tout y comme
x4 + y 4 = (x + y) x3 +??x2 y+??xy2 + y 3 . Si c’etait le cas que se passerait-il lorsque x = −y ?
1.1.8
Exercices
Si le principe élémentaire de tout calcul littéral est bien : développer/simplifier/factoriser, il faut
parfois savoir le contourner...
Exercice 3 Transformer x2 + 1 (x − 1) + (x + 1)2 .
Solution :
2
x + 1 (x − 1) + (x + 1)2 = ... = x x2 + 3 . Peut-on aller plus loin?
2
Exercice 4 Transformer x2 + 1 (x − 1) + (x − 1)
2
x + 1 (x − 1) + (x − 1)2 = .... = x (x − 1) (x + 1).
Exercice 5 Développer a0 + a1 x + a2 x2 b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 . On évitera de distribuer ”bêtement”.
La bonne méthode consiste à jouer le jeu des puissances de x : chercher le coefficient constant, les termes
mettant en jeu x, ceux mettant en jeu x2 , etc. cf section plus bas 6.2.1
a0 + a1 x + a2 x2 b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 = a0 b0 + (???) x + (???) x2 + (???) x3 + etc..
Solution :
Exercice 6 Factoriser p (x) = x3 − 3x2 + 2 en observant que p (1) = 0. On considèrera alors
p (x) − p (1) = ... = x3 − 1 + 3 x2 − 1 3
Variante : forcer le destin
x3 − 3x2 + 2 = (x − 1) x2 +??x+??
Exercice 7 Factoriser x5 − 3x4 + 2x2 .
Exercice 8 Plus généralement : soit p (x) = ax3 + bx2 + cx + d ; observer que, α étant un nombre
quelconque :
p (x) − p (α) = a x3 − α3 + b x2 −? + c???
D’où
p (x) − p (α) = (x − α) (???)
NB. On en déduit, ce qui n’est pas sans importance, que α est racine du polynôme p, i.e. p (α) = 0
si, et seulement si il est possible de mettre (x − α) en facteur dans p (x), c-à-d si est seulement si il existe
un polynôme q tel que, pour tout x :
p (x) − p (α) = (x − α) q (x)
Ceci est d’ailleurs vrai en général.
Exercice 9 Factoriser xy + x + y + 1.
4
1.1.9
Inverse
Soit A un des ensembles précédents (Z, Q, R, C), a et a′ deux éléments de A :
• a et a′ sont inverses si a.a′ = 1. On peut démontrer que si a admet un inverse, il en admet un seul,
−1
noté a−1 ou (dans la tradition a1 ). On en déduit que a−1 est inversible et que a−1
= a. On
observera que 0 n’est pas inversible. On suppose le lecteur familier avec la définition de
a
= ab−1 = b−1 a
b
et les règles qui vont avec (cf cependant exercice 12).
• On observera que si l’on se contente de calculer dans l’ensemble Z des entiers, seuls 1 et −1 sont
inversibles. De ce point de vue, 2 n’est pas inversible. C’est dans un des trois ensembles Q, R ou
C que se déploie le concept d’inverse. L’usage est de désigner par K un de ces trois ensembles de
nombres lorsqu’il s’agit de résultats mettant en jeu les ”quatre opérations”. K∗ désigne l’ensemble
des éléments de K différents de 0.
• On peut alors étendre la définition de an aux cas où a est différent de 0 et n un entier relatif en
posant dans le cas où n est un entier négatif (n < 0) :
−n
an = a−1
Moyennant quoi, on a également pour tout entier relatif n : (an )−1 = a−n . Les règles (1) se
généralisent sans difficulté. On observera ainsi que si cela a un sens, on a :
ak = an an−k
Exemple 2 Jeux avec −1. Soit n un entier. Il faut savoir que (−1)−n = (−1)n .
1.1.10
Exercices
Exercice 10 Transformer ou simplifier
2
21
−
3
7
+
16
9
=
Exercice 11 On suppose que n est un entier. Vrai ou faux ?
22n = (2n )2 ?
n
22n = 22 ?
( 2n )−1 = 2−n =
1
?
2n
2n + 2n = 2n+1 ?
Exercice 12 On suppose a et b différent de 0 ; démontrer (oui démontrer) que (ab)−1 = b−1 a−1 ..
−1 −1
Solution – De la méthode ! Démontrer que machin (ici ab) a pour inverse
truc
−1 −1
(ici b a ) revient
à démontrer que machin.truc = 1 ; dans le cas qui nous intéresse : (ab) b a
= .... = 1.
Exercice 13 Transformer ou simplifier (lorsque cela a un sens) :
1
a
1
+
1
b
= etc ;
1
a
1
−
1
b
= etc
Exercice 14 Additionner
1
1
+
= etc ;
x−y x+y
x2
1
1
+
= etc
2
−y
x+y
Exercice 15 On suppose a, b, c différents de 0. Transformer
ab + bc + ca = abc (???)
1
1
1
1
+
+
=
(???)
ab bc ca
abc
1
1 1 1
+ +
=
(???)
a b c
abc
5
Exercice 16 Transformer
2x + 3
2
??
= +
5x − 4
5 5x − 4
Une identité remarquable. Plus généralement, on donne les nombres réels a, b, c, d ; c = 0 : transformer
ax + b
a
δ
= +
f (x) =
cx + d
c x + dc
égalité où δ est à trouver.
a
Indication : calculer ax+b
cx+d − c .
Ce calcul permet par exemple d’étudier très simplement la fonction numérique
f :t→
at + b
ct + d
On peut ainsi en déduire :
– le comportement de f lorsque t tend vers +∞ (resp. −∞)
– les variations de f
– l’allure du graphe de f qui se déduit de celui de la fonction t → δt .
Proposition 6 Quelques ”identités remarquables” à connaitre – Soit x un nombre complexe ;
chaque fois que cela a un sens, on dispose des égalités
1
x (x + 1)
1
x (x − 1)
1
x2 − 1
=
=
=
1
1
−
x x+1
1
1
−
x−1 x
1
1
1
−
2 x−1 x+1
et plus généralement, si a = b, on a pour tout x distinct de a et de b :
1
1
1
1
=
−
(x − a) (x − b)
(a − b) x − a x − b
Preuve – Ces égalités s’obtiennent en allant de ”droite à gauche”.. Maisl il existe une technique
de calcul plus sophistiquée qui permet de généraliser ces résultats : elle est fondée sur la théorie des
”éléments simples”.
Exercice 17 Application à l’obtention de certaines primitives. Soit a ∈ R. On sait que x → ln |x − a|
1
sur tout intervalle inclus dans ]a, +∞[ ou dans ]−∞, a[. Donner, sur tout
est une primitive de x−a
intervalle où cela a un sens une primitive de
x→
1.1.11
1
1
; de x → 2
x (x − 1)
x −1
Équation du premier degré
Le résultat suivant ne tient en général que dans K = Q, R ou C.
Proposition 7 Soit a en est un élement de K∗ et b un élément de K. L’équation d’inconnue z :
a.z + b = 0
admet une solution et une seule, soit z = −a−1 .b = − ab
Preuve : a.z + b = 0 équivaut à a.z = −b puis à a−1 .a.z = a−1 .(−b), soit z = −a−1 .b.
Le couple (a, b) permet de définir le polynôme du premier degré f : z → az + b. Celui-ci admet donc
une et une seule racine dans K : il s’agit de −b
a .
NB. Si a = 0 et b = 0 l’équation n’a pas de solution. Si a = b = 0, tous les éléments de K sont
solutions.
6
2
L’ordre naturel des nombres
2.1
Retour aux sources. Relation d’ordre ; compatibilité
On sait qu’une relation d’ordre sur un ensemble E est une relation, sur E notée couramment ayant
les propriétés suivantes :
(i) Reflexivité : quel que soit x appartenant à E, x x
(ii) Transitivité : quels que soient x, y, z appartenant à E,
(x y et y z) ⇒ (x z)
(iii) Antisymétrie : quels que soient x, y appartenant à E
(x y et y x) ⇒ (x = y)
L’ordre est total si l’on peut toujours comparer deux éléments de E, c’est-à-dire si quels que soient
y, x appartenant à E, on a
x y ou y x
Or ce qui précède ne suffit pas à caractériser les ” habitudes ” de calcul sur les nombres rationnels ou
les nombres réels ; celles-ci supposent de plus l’ordre compatible avec opérations ; dans ce qui suit K
désigne Q ou R (* ou comme on le verra peut-être un jour un corps ordonné).
Proposition 8 Considérons la relation d’ordre ordre total sur K , notée ; elle est compatible avec
les opérations, c’est-à-dire que :
(iv) Quel que soit x appartenant à K, 0 x ⇔ −x 0 ;
(v) Quels que soient x, y, z appartenant à K, x + y x + z ⇔ y z ;
(vi) Quels que soient x, y appartenant à K, (0 x et 0 y) ⇒ 0 x.y.
(*) Q et R sont des corps ordonnés ; on peut se demander si le concept dépasse l’ensemble des
nombres réels ; en fait on peut démontrer que tout corps ordonné contient Q et est inclus dans R, à
condition toute fois de savoir exactement ce que sont l’un et l’autre.
On définit l’ordre ”strict” en posant a < b pour a b et a = b..
On suppose le lecteur familier avec la représentation ”graphqiue” des réels sur une droite ”graduée
orientée”.
2.1.1
Intervalles
Intervalles bornés : a b étant deux éléments de K, on a l’habitude de considérer les ensembles suivants
appelés intervalles d’extrémités a et b :
segment d’extrémités a et b : [a, b] = {x ∈ K | a x b} ; [a, b[ = {x ∈ K | a x < b} ;
]a, b] = {x ∈ K | a < x b} ; ]a, b[ = {x ∈ K | a < x < b} ;
Intervalles non bornés : a étant un élément de K, les intervalles d’extrémités a sont les ensembles
suivants:
[a, +∞[ = {x ∈ K | a x} ; ]a, +∞[ = {x ∈ K | a < x} ;
]−∞, a] = {x ∈ K | x a} , ]−∞, a[ = {x ∈ K | x < a} ; K = ]−∞, +∞[ .
Convention : l’ensemble vide est un intervalle.
L’observation ci-dessous est essentielle.
Proposition 9 Soit I est un intervalle non vide de K. Si a et b sont deux nombres appartenant à I,
alors tout nombre entre a et b appartient encore à I.
En d’autres termes un intervalle a ceci de particulier qu’il est d’un seul tenant.
Cela permet ainsi de montrer qu’un ensemble de nombres réels n’est pas un intervalle ; c’est le cas
de {a, b} lorsque a = b, de N ou de Z, de R∗ .
Nous verrons dans la suite que, dans le cadre des nombres réels, la propriété précédente caractérise
les intervalles .
Exercice 18 Dans quel cas la réunion de deux intervalles est-elle un intervalle ?
7
2.1.2
Règles de calcul
A partir des propriétés données plus haut, on démontre les règles habituelles du calcul sur les inégalités.
Proposition 10 On dispose des règles suivantes dans l’ensemble des nombres réels R.
(vii) Si 0 < a et x < y alors ax < ay
(viii) 0 x.y si et seulement si x et y sont de ”même signe”, i.e :
(0 x.y) ⇔ ((0 x et 0 y) ou (x 0 et y 0))
On en déduit que le carré d’un élément non nul est strictement positif ; on prendra garde à ce que
a b n’est pas équivalent à a2 b2 ; cependant :
Si a et b sont positif s, on dispose de l’équivalence : a b ⇔ a2 b2
Ce dernier résultat est pratique : comparer deux nombres positifs se fait souvent en comparant leurs
carrés.
• On se méfiera des inverses : s’il est clair que, quels que soient x, y appartenant à R) ,
0<x<y⇔0<
en revanche,
x<0<y⇔
1
1
<
y
x
1
1
<0< .
x
y
De même :
1
< x;
y
1
x et y étant négatifs, 1 < xy ⇔> x < .
y
x et y étant positifs, 1 < xy ⇔
• Par ailleurs il est bon de retenir que pour majorer un quotient d’éléments positifs, il suffit d’en
majorer le numérateur ou d’en minorer le dénominateur. Ainsi, quel que soit le réel x :
x>1⇒
1
1
1
1
=
−
x2
x (x − 1)
x−1 x
Connaissant la définition et les propriétés de √ (cf. plus bas) :
1
1
1
√
x>0⇒ √
√
√
2
x
2 x+1
x+ x+1
À BON ENTENDEUR SALUT ! – Il est indispensable de connaitre la règle suivante ; elle
s’établit à partir d’un ”tableau de signes”, mais il est ridicule de revenir à ce tableau chaque fois qu’on
1
est en présence d’une expression comme (t − r1 ) (t − r2 ) ou t−r
t−r2 .
Proposition 11 Soit r1 < r2 . Considérons la fonction numérique de la variable réelle t :
p : t → (t − r1 ) (t − r2 )
Si t ∈ ]r1 , r2 [ alors p (t) < 0.
Si t ∈ ]−∞, r1 [ ou si t ∈ ]r2 , +∞[, alors p (t) > 0.
La régle est la même avec f (t) =
t−r1
t−r2 .
8
2.1.3
Valeur absolue
Définition 1 La valeur absolue d’un nombre réel se définit en posant :
|x| = x si 0 x et |x| = −x si x 0
On notera au passage que pour tout nombre réel x :
| − x| = |x| ; x |x|
et quitte à nous répéter :
x = |x| si, et seulement si x 0.
Enfin si l’on introduit la fonction signe sg : R → R, définie par :
sg(x) = 1 si x > 0 ; sg(x) = −1 si x < 0 ; sg(0) = 0
il apparaît que : que pour tout nombre réel x :
|x| = sg(x)x, ou encore : x = sg(x) |x|
Quelques propriétés courantes qu’il vaut mieux connaître sur le bout des doigts
Proposition 12 Quels que soient x, y appartenant à R,
(viii) |xy| = |x| |y|
(ix) |x + y| |x| + |y| et il y a égalité si et seulement si x et y sont de même signe.
Preuve de (ix) – On démontre l’inégalité sur les carrés soit (x + y)2 (|x| + |y|)2 ou encore
x + y 2 + 2xy |x|2 + |y|2 + 2 |xy|, qui se ramène à x.y |xy| . On observe de plus qu’il y a égalité si
et seulement si xy = |xy| c’est-à-dire si x et y sont de même signe.
2
Proposition 13 Quels que soient x, y, a appartenant à R :
(xi) r étant strictement positif,
|x| r ⇔ (x r et − x r) ⇔ −r x r
|x − y| r ⇔ x − r y x + r
(xii) ||x| − |y|| |x − y|
(xiii) |x − y| |x − a| + |y − a|
Preuves abrégées
(xi) est évidente (faire au besoin un dessin ! ) .
(xii) x = x − y + y, donc |x| |x − y| + |y|, soit |x| − |y| |x − y| ; en inversant les rôles on a
également |y| − |x| |y − x|.
(xiii) Observer que : |x − y| = |x − a + a − y| |x − a| + |a − y| .
Exercice 19 Soit x et k deux nombres réels ; démontrer
(xiv) Si |x| k < 1, alors 0 < 1 − k |1 + x| 1 + k.
Solution D’après (xii) : ||1 + x| − 1| |1 + x − 1| = |x| k ; donc −k |1 + x| − 1 k.
Egalement utiles
Proposition 14 Quels que soient x, y, a, b, k appartenant à R
(xv) |xy − ab| |y| |x − a| + |a| |y − b|
Preuve abrégée
Observer d’abord comment l’on introduit x − a et y − b dans le jeu du calcul : (cf. plus haut) :
xy − ab = y (x − a) + a (y − b)
|xy − ab| |y| |x − a| + |a| |y − b|
Proposition 15 (”élémentaire mon cher Watson”)
(xvi) Soit x ∈ R :
|x| < x2 ⇔ x > 1 ; |x| > x2 ⇔ |x| < 1
(xvii) Soit n ∈ N, x ∈ R :
x 0 ⇒ |x|n = xn ; x < 0 ⇒ |x|n = (−1)n xn .
9
2.2
(*) Majorants et minorants2
Dans cette section K = Q ou R.
2.2.1
Ensemble majoré, minoré, borné
Définition 2 Soit S un sous-ensemble non vide de K, α un élément de K. α est un majorant de S si,
quel que soit x appartenant à S
xα
On dit S majoré lorsque S est vide ou admet (au moins) un majorant.
Bien entendu si α majore S, tout élément de K, supérieur ou égal à α majore encore S. On notera
dans la suite M ajor(S) l’ensemble des majorants de S.
Définition 3 Soit S un sous-ensemble non vide de K, α un élément de K. α est un minorant de S si
quel que soit x appartenant à S
αx
On dit S minoré lorsque S est vide ou admet (au moins) un minorant.
Bien entendu si α minore S, tout élément de K, inférieur ou égal à α minore encore S. On notera
dans la suite M inor(S) l’ensemble des minorants de S.
Définition 4 Enfin, on dit S borné lorsque S est vide ou à la fois majoré et minoré ; il est facile de
voir que S est borné si et seulement si il existe un élément positif de K, soit M tel que, quel que soit x
appartenant à S :
|x| M
Définition 5 Soit S un sous-ensemble non vide de K, M un élément de K ; on dit que S admet M
comme maximum (ou plus grand élément) si M appartient à S et majore S.
Soit S un sous-ensemble non vide de K, m un élément de K ; on dit que S admet m comme minimum
(ou plus petit élément) si m appartient à S et minore S.
Bien entendu si maximum (resp. minimum) il y a, il y en a un seul (cela se démontre : faites le ! )
Notations : max(S) et min(S) .
2.2.2
Exemples et commentaires
Soit x, y, a, b des éléments de K :
• max(x, 0) =
1
2
(x + |x|) et min(x, 0) =
max(a, b) =
1
2
1
2
(x − |x|). Plus généralement :
(a + b + |a − b|) et min(a, b) =
1
2
(a + b − |a − b|)
• Tout sous-ensemble fini de K est borné et admet un maximum et un minimum. Cela vient du fait
que l’ordre de K est total. Le lecteur pourra démontrer effectivement ce ré sultat et s’interroger
sur les divers algorithmes effectifs permettant de trouver le maximum et le minimum ainsi que
leur ”rapidité” (la question est fort difficile...).
On prendra garde à ce que cela n’est pas toujours vrai dans le cas d’un ensemble infini ou d’une
suite. Plus généralement le débutant se méfiera des ” raisonnements ” qui sont ceux d’une ” intuition ” fondée sur l’idée d’ensemble fini.
Ainsi : un ensemble de nombres réels peut être majoré (respectivement minoré..) sans avoir de
maximum (resp. de minimum..). C’est le cas de l’intervalle ]0, 1[ majoré par tous le nombres supérieurs ou égaux à 1, minoré par?? ; cependant, il n’admet ni maximum, ni minimum.
2 Cette
section peut être sautée en première lecture.
10
• Voici quelques observations essentielles :
(i) Un sous-ensemble non vide de K, soit S, n’est pas majoré si et seulement si quel que soit a
appartenant à K, il existe un élement de S qui est strictement supérieur à a.
(ii) K n’est ni majoré, ni minoré. En effet quel que soit x appartenant à K, x+1 et x−1 appartiennent
encore à K et x − 1 < x < x + 1.
(iii) [a, +∞[ n’est pas majoré.
(iv) Un sous-ensemble non vide de K, soit, S est sans maximum si, quel que soit x appartenant à S,
il existe un élément de S qui est strictement supérieur à x.
Ainsi, N n’a pas de maximum : en effet si n appartient à N, n + 1 appartient encore à N. Nous
verrons un peu plus tard que N, vu comme sous-ensemble de R, n’est pas majoré, ce qui ne veut pas
dire la même chose....
(v) a < b étant deux éléments de K, tout intervalle d’extrémités a et b est borné. Cela ne veut pas
dire que tout sous-ensemble borné est un intervalle. Précisons de plus que :
Le segment [a, b] admet a pour minimum et b pour maximum.
Cela ne veut pas dire pour autant que tout sous-ensemble ayant un minimum et un maximum est
un intervalle.
Un ensemble peut être majoré sans avoir de maximum. C’est le cas de l’intervalle [a, b[ qui n’a pas
de maximum ; en effet, si a x < b, on a encore a a x < 12 (x + b) < b. (faire un DESSIN)
Un ensemble
sans avoir de minimum. Plutôt que de répéter l’exemple précédent,
peut être minoré
considérons S = n1 | n ∈ N∗ . S est borné, admet 1 pour maximum mais n’admet pas de minimum :
1
en effet s’il existait un entier m tel que, quel que soit m appartenant à N on ait m
n1 , on aurait en
1
1
particulier m
< m+1
ce qui est faux.
11
3
3.1
L’affaire des racines carrées. Second degré
Le problème
Le problème des carrés a un caractère abstrait universel. Nous l’examinons dans le cadre relativement
familier des nombres rationnels, réels ou complexes.
Théorème 16 Soit K = Q, R ou C, α ∈ K. On s’intéresse à l’équation d’inconnue z appartenant à K :
z2 = α
(2)
Si α = 0, cette équation admet une et une seule solution. Si α est différent de 0, de deux choses l’une :
• Ou bien cette équation n’admet pas de solution.
• Ou bien cette équation admet exactement deux solutions : celles-ci sont opposées.
Preuve – Le cas où α = 0 est immédiat. Sinon, de deux choses l’une :
• Ou bien l’équation (2) n’admet aucune solution dans K.
• Ou bien l’équation (2) admet au moins une solution : soit β ∈ K tel que β 2 = α. Dans ces conditions :
z 2 − α = z 2 − β 2 = (z − β) (z + β) .
Par conséquent z 2 − α = 0 si et seulement si z = β ou z = −β.
NB. Un lecteur attentif observera que la démonstration est valide dans Z.
Définition 6 Dans ces conditions, on appelle racines carrées de α les deux éléments β et −β (s’ils
existent) dont le carré est égal à α.
Définir alors LA RACINE CARREE PRINCIPALE de α revient à distinguer l’une des deux
solutions de l’équation (2) au moyen d’une règle qui dépend de l’ensemble des nombres dans lequel on
√
1
travaille (cf. plus bas pour le cadre des nombres réels). On note celle-ci suivant les cas α ou α 2 (la
notation en exposant se justifiera plus tard ; elle est commode pour des raisons que l’on devine).
ATTENTION ! En pratique, on peut parler des deux√racines carrées de α sans plus de précision.
Et l’on parle de LA racine carrée de α lorsque qu’il s’agit de α c’est-à-dire de la racine carrée principale
de α. En principe le contexte premet de lever toute ambigüité.
Exemple 3 – Dans Z, 4 admet comme racines carrées 2 et −2.
– Dans Q, 2 n’admet pas de racine carrée.
√
√
– Dans R, 2 admet deux racines carrées. L’une est notée 2 (laquelle ? ) ; l’autre est − 2.
– Dans C, −1 admet deux racines carrées. L’une est notée i (laquelle ? ) ; l’autre est −i.
3.1.1
Le cadre réel
C’est dans le cadre réel que le problème général se résout (théoriquement) de manière commode et
qu’il devrait être familier au lecteur. Rappelons que le carré d’un nombre réel est positif (c’est une
conséquence de la vieille régle des signes..). La réciproque n’est nullement évidente à démontrer (elle
tient à la construction des nombres réels) : nous admettrons ici que tout nombre réel positif est le
carré d’au moins un nombre réel. Dans ces conditions :
Théorème 17 (et définition) Soit α ∈ R.
• Si α < 0 il n’existe pas de nombre réel dont le carré est égal à α.
√
• Si α = 0, il existe un nombre réel et un seul dont le carré est égal à 0 : il s’agit de 0. On pose 0 = 0.
• Si α > 0, il existe exactement deux nombres réels dont le carré est égal à α ; l’un est strictement
positif, l’autre est est strictement négatif. On appelle racine carrée (sous-entendu
principale) de α, celui
√
de ces deux nombres qui est strictement positif ; on note ce nombre a.
En résumé, soit α un nombre réel 0 :
(β =
√
α) si β 0 et β 2 = α
12
Quelques régles indispensables
– De la méthode : c’est en revenant à la definition ci-dessus
√
qu’on prouve l’égalité truc = machin
√
√ √
Proposition 18 Si a et b sont deux nombres réels positifs, alors ab = a b.
√ √ 2
√ √
√ 2 √ 2
Preuve – Il suffit de s’assurer que a b 0 et que
a b = ( a)
b = ab.
Proposition 19 Si a est un réel strictement positif alors a1 = √1a .
2
Preuve – Il suffit de s’assurer que √1a > 0 et que √1a = √1 2 = a1
( a)
√ 1
Variante : vérifier que a a = ... = 1 ; par conséquent ....
√ 2
Valeur absolue et √ – Bien entendu, si a 0, alors ( a) = a. Inversement, introduisant la
fonction signe sg définie par :
sg (a) = 1 si a 0 et sg (a) = −1 si a < 0
on dispose du résultat suivant.
Proposition 20 Si a est un réel quelconque
√
a2n = |a|n .
√
a2 = |a| = sg (a) a. Plus généralement, n étant un entier
Une identité remarquable
Proposition 21 Dans le cas où x et y sont des réels POSITIFS :
√
√ 2
√
x ± y = x ± 2 xy + y
√ 2
√
√ 2
√ √
√ 2
x ± y = ( x) ± 2 x y + y = ...??
Preuve –
Exercice 20 Soit x et y deux nombres réels positifs. Prouver que
√
xy 1
2
(x + y).
Variations de √
√
√
Proposition 22 Soit a et b deux nombres réels positifs : a b ⇔ a b.
√
√
Preuve – Élémentaire mon cher Watson :
a et b étant POSITIFS, les comparer revient à
comparer leurs carrés.
√
Exercice 21 Vérifier que pour tout x ∈ R : x2 + 1 > x.
3.1.2
Simplifier....
Exercice 22 On suppose a < b. Simplifier A = (x − a)
x−b
x−a .
Solution – Observer que A n’est défini que si et x = a et (x − a) (x − b) 0, (autrement dit si
x < a ou x b), et que A est du signe de x − a. Or :
x−b
2
2
A = (x − a)
= (x − a) (x − b)
x−a
Par conséquent : A = sg (x − a) (x − a) (x − b).
La manière dont nous avons simplifié A est assez générale. On pourra retenir ce qu’il en est sous la
forme suivante :
Lemme 23 Soit f (x) et g (x) deux expressions réelles dépendant de la variable réelle x. Soit X un
sous-ensemble de R. On suppose que pour x ∈ X, g (x) est positif et que f 2 (x) g (x) se ”simplifie” sous
la forme suivante : f 2 (x) g (x) = h (x) ; bien entendu h (x) est positif. Dans ces conditions, on a pour
tout x ∈ X :
f (x) g (x) = sg (f (x)) h (x).
Preuve – Il suffit d’observer que A (x) = f (x) g (x) est du signe de f (x) et que
A2 (x) = f 2 (x) g (x) = h (x) .
Par conséquent : A (x) = h (x) si f (x) 0 ; A (x) = − h (x) si f (x) < 0.
13
3.1.3
Le cadre complexe
2
Nous démontrerons plus tard que tout nombre complexe est un carré. Par exemple3 3 + 4i = (2 + i) .
√ 2 √ 2
Tout nombre réel
√ strictement négatif est ainsi un carré. Ainsi, soit a < 0 : a = i −a = −i −a .
Par convention i −a est la racine carrée principale de −a. Nous reviendrons sur la question dans le
chapitre consacré aux nombres complexes.
3.1.4
Le ”coup” des quantités conjuguées
√
√
Le vocabulaire
vient
de
√
√ l’algèbre ; traditionnellement il concerne les expressions réelles a + b et a − b
√
√
ou a + b et a − b. On a ainsi :
√
√ √ √
√ √ a+ b
a − b = a − b.
a + b a − b = a2 − b et
• Par conséquent, chaque fois que cela a un sens, on dispose des égalités
√
√
1
a− b
a2 − b
√ = 2
√
ou encore a − b =
a −b
a+ b
a+ b
ainsi que des égalités :
1
√ =
√
a+ b
• Variantes
Par exemple, pour tout x 0 :
√
√
√
√
a− b
a−b
√
ou encore a − b = √
a−b
a+ b
√
√ √
√ x+1− x
x + 1 + x = 1 d’où
√
√
1
x+1− x= √
√
x+1+ x
Ou encore :
√ √ a − b a + b = a2 − b d’où :
√
a2 − b
√ =a− b
a+ b
Ou encore, pour tout x appartenant à R.
1
x2 + 1 − x = √
2
x +1+x
Le lecteur se fera un plaisir d’inventer d’autres exemples.
3.2
Polynôme du second degré
Soit K un des trois ensembles Q, R, C, (a, b, c) une famille de trois éléments de K, telle que a = 0. Elle
permet de définir le trinôme
f : z → f (z) = az 2 + bz + c.
Nous regardons pour le moment f comme une fonction de K dans K. On lui associe l’équation d’inconnue
z appartenant à K :
az 2 + bz + c = 0
(3)
dont une solution éventuelle s’appelle racine de f .
3 Notre
exemple est beaucoup trop simple.
14
3.2.1
Forme canonique et factorisation
Le calcul suivant est universel : quel que soit z appartenant à K :
2
b
c
b
b2 − 4ac
2
2
f (z) = az + bz + c = a z + z +
=a
z+
−
a
a
2a
4a2
PRECISION : il faut savoir faire cette transformation aussis vite que le vent du désert ! .
Dans ces conditions, introduisons le le discriminant de f.
∆ = b2 − 4ac
La discussion suivante s’impose naturellement.
Théorème 24 Les notations étant définies plus haut :
• Soit ∆ est un carré, c’est-à-dire qu’il existe un élément δ dans K tel que
∆ = δ2.
Dans ce cas f (z) se factorise4 sous la forme suivante : quel que soit z appartenant à K :
b+δ
b−δ
2
f (z) = az + bz + c = a z +
z+
.
2a
2a
On en déduit que l’équation (3) admet deux solutions (confondues si ∆ = 0) :
z1 =
−b − δ
−b + δ
, z2 =
.
2a
2a
(4)
• Soit ∆ n’est pas un carré ; dans ce cas f (z) ne se factorise pas et n’admet pas de racine dans K.
Preuve
1. Supposons qu’il existe un élément δ dans K tel que ∆ = δ 2 . Dans ces conditions ,quel que soit
z appartenant à K :
2
2
b
b
b+δ
b−δ
∆
δ2
f (z) = a
z+
z+
− 2 =a
z+
− 2 =a z+
2a
4a
2a
4a
2a
2a
2. Réciproquement, supposons que f admette une racine z1 dans K : f (z1 ) = 0. Vu que, quel que
soit z appartenant à K :
2
b
∆
1
f (z) = z +
− 2
a
2a
4a
b 2
de l’égalité f (z1 ) = 0, on tire ∆ = 4a2 z1 + 2a
, i.e. ∆ est un carré.
On en déduit que si ∆ n’est pas un carré, f (z) n’admet pas de racine dans K et ne se factorise pas5 .
cqfd.
Remarques – Rappelons que dans le cas où ∆ = 0, soit ∆ admet deux ”racines carrées opposées”,
soit ∆ n’admet pas de racine carrée et que :
• Lorsque K = C, ∆ admet toujours deux ”racines carrées opposées” (cf. chapitre sur C).
• Lorsque K = R, c’est le cas si et seulement si ∆ > 0.
√
√
√
La tradition fait intervenir ∆ (resp. −∆) dans les formules où ∆ note la racine carrée (principale) de ∆. Rappelons cependant qu’il suffit d’écrire ∆ comme un carré pour aboutir ; il n’est pas
toujours nécessaire de déterminer la racine carrée (principale) de ∆ ; cela peut même être une perte de
temps. En effet il faut de toute manière faire intervenir les deux racines carrées de ∆. Le lecteur s’en
persuadera dans l’exercice suivant.
4 Il faudrait préciser le sens de ”factoriser” : dans ce cadre, factoriser f revient à l’écrire comme produit de deux
polynômes du premier degré.
Nous démontrerons un peu plus bas dans un cadre plus général que f admet z1 comme racine si et seulement s’il est
possible de ”mettre en facteur” z − z1 dans f (z)
5 cf. note précédente.
15
Exercice 23 Soit t ∈ R. Chercher les racines réelles du polynôme
f (x) = x2 + 2x + cos2 t
Solution – On pourra passer par la forme canonique :
f (x) = x2 + 2x + cos2 t = (x + 1)2 − 1 − cos2 t = (x + 1)2 − sin2 t = (x + 1 + sin t) (x + 1 − sin t)
ou bien calculer ∆ = 4 1 − cos2 t = (2 sin t)2 ; d’où les deux racines
−1 − sin t et − 1 + sin t
√
Bien entendu ∆ = 2 |sin t| ; mais discuter ici le signe de sin t a priori est SANS INTERET.
3.2.2
Identification des coefficients
Proposition 25 Soit (a1 , b1 , c1 ) et (a2 , b2 , c2 ) deux familles de trois éléments de K : l’égalité
a1 z 2 + b1 z + c1 = a2 z 2 + b2 z + c2
est valide pour tout z appartenant à K si, et seulement si
a1 = a2 et b1 = b2 et c1 = c2
Preuve – Supposons l’égalité vraie pour tout z et posons : a = a1 − a2 , b = b1 − b2 , c = c1 − c2 .
Si l’un de ces trois scalaires est différent de 0, l’équation
az 2 + bz + c = 0
admet au plus deux solutions. Or par hypothèse cette équation admet pour solution l’ensemble de tous
les nombres appartenant à K. D’où le résultat.
La réciproque est immédiate.
Remarques
1. Observons que l’hypothèse est extrèmement forte ; en fait il suffit que l’égalité
a1 z 2 + b1 z + c1 = a2 z 2 + b2 z + c2
soit valide pour trois valeurs distinctes : on en déduit que : (a1 = a2 et b1 = b2 et c1 = c2 ).
2. Nous verrons dans le chapitre sur les polynômes qu’il s’agit là d’un cas particulier et que cette
règle se généralise à des polynômes de degré quelconque.
3.2.3
Somme et produit des racines
1. Compte tenu de l’égalité suivante, valide pour tout z appartenant à K,
(z − z1 )(z − z2 ) = z 2 − (z1 + z2 )z + z1 z2
ce qui précède montre que lorsque f (z) = az 2 + bz + c admet z1 et z2 comme racines, on a
−b
c
et z1 z2 =
a
a
Pour obtenir cela il suffit de raisonner par ”identification” des coefficients dans l’égalité valide pour tout
z appartenant à K,
a(z 2 − (z1 + z2 )z + z1 z2 ) = az 2 + bz + c
z1 + z2 =
Il est également possible d’obtenir les deux égalités demandées directement à partir des formules explicites du paragraphe précédent donnant z1 et z2 .
2. On comprend dès lors pourquoi le problème classique ” trouver deux nombres, connaissant leur
somme s et leur produit p”, se ramène à résoudre l’équation du second degré
z2 − s z + p = 0
de discriminant s2 − 4p.
• Dans le cadre complexe, le problème admet pour solutions les couples (z1 , z2 ) et (z2 , z1 ) où z1 et
z2 sont les deux racines (confondues si s2 = 4p) de l’équation.
• Dans le cadre réel le problème n’a de solution que si s2 − 4p 0.
16
Exercice 24 Soit t ∈ R∗ . Factoriser x2 − t + 1t x + 1.
Exercice 25 Soit t ∈ R. Factoriser x2 − (et + e−t ) x + 1. (et = exp(t))
3.2.4
Cadre réel : R
Supposons que (a, b, c) soit une famille de trois nombres réels.et que a = 0. Considérons le polynôme du
second degré
f (x) = ax2 + bx + c.
La mise sous forme canonique de f (x) montre que :
• Si a > 0, on a pour tout x appartenant à R :
f (x) = a
b
x+
2a
2
∆
− 2
4a
−
∆
4a
b
b
l’égalité ayant lieu si et seulement si x = − 2a
(minimum en − 2a
)
• Si a < 0, on a pour tout x appartenant à R :
f (x) = a
b
x+
2a
2
∆
− 2
4a
−
∆
4a
b
b
l’égalité ayant lieu si et seulement si x = − 2a
. (maximum en − 2a
)
Signe des racines réelles – Les formules précédentes montrent que :
• x1 et x2 sont du même signe si et seulement si
somme, i.e. celui de - ab .
c
a
≥ 0.; dans ce cas, leur signe est celui de leur
• x1 et x2 sont de signes contraires si et seulement si
c
a
< 0.
Signe de f (x)
1. Lorsque l’équation f (x) = 0 admet pour racines x1 et x2 le signe de f (x) dépend de la position
de x par rapport à ces deux racines : il s’agit du signe de a(x − x1 )(x − x2 ). On doit savoir6 que :
• f (x) est du signe de a lorsque x est à l”’extérieur” des racines.
• f (x) est du signe de− a lorsque x est entre les racines.
2. On observera que les règles précédentes permettent de ”situer” un nombre réel par rapport aux
racines de f (x) sans calculer celles-ci. Il suffit de remarquer que, dans le cas où a > 0 :
• si f (x) < 0, alors x est entre les racines ;
• si f (x) > 0, alors x est à gauche des racines si x < −b
a , à droite des racines si x >
On laisse le lecteur écrire les résultats dans le cas où a < 0.
−b
a .
3. Lorsque l’équation f (x) = 0 n’admet pas de racine, f (x) est toujours du signe de a. Cela tient à
ce que ∆ est négatif et que, pour tout x ∈ R :
2
b
∆
f (x) = a
x+
− 2 .
2a
4a
6 cf.
plus haut.
17
3.2.5
(*) Une généralisation7
Le calcul conduisant à la forme canonique se généralise aux ”polynômes homogènes de degré 2”. Considérons
f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
où (a, b, c) ∈ K3 . Dans le cas où a = 0, l’on a de manière immédiate
b
c 2
2
2
2
f (x, y) = ax + bxy + cy = a x + xy + y
a
a
2 2
2 2
b
c
b − 4ac
b
b
2
−
y
=a
x+ y −
y2
f (x, y) = a
x+ y −
2a
4a2 a
2a
4a2
1. Si b2 − 4ac est un carré, soit δ tel que δ 2 = b2 − 4ac ; on factorise f (x, y) sous la forme :
2 2 b
δ
b−δ
b+δ
2
2
ax + bxy + cy = a
x+ y −
y2 = a x +
y
x+
y
2a
2a
2a
2a
2. Sinon, il est impossible de factoriser f (x, y) sous une forme analogue (même raisonnement que
plus haut).
On observera que dans le cadre des nombres réels, le calcul précédent permet de determiner le signe
de f (x, y).
Remarque – Il est possible de faire un calcul analogue lorsque c est différent de 0 en inversant les
rôles joués par x et y.
Lorsque a = c = 0 on peut laisser l’objet tel quel ( si par exemple, on s’intéresse dans le cadre réel
à son signe, c’est ce qu’il y a de mieux à faire ! ) Si par contre, on désire l’écrire comme combinaison
linéaire de deux carrés, il suffit d’observer que
1
xy =
(x + y)2 − (x − y)2
4
7 Ce
paragraphe peut attendre uen seconde lecture.
18
3.3
Exercices venus des neiges d’antan (cadre R)
3.3.1
Retour aux origines... (ou presque)
Exemple 4 Un problème d’école (AL KWARIZMI, IX-éme siècle) – Des racines et des biens que je
possède égalent des nombres : un bien et 10 de ses racines reviennent à 39 dirhams ; en trouver le
montant.
La solution est la suivante :
Tu divises en deux le nombre de ses racines, soit 5.
Ceci, tu le multiplies par lui même, soit 5 × 5 = 25
Tu ajoutes à cela la somme de 39 dirhams : 25 + 39 = 64
Tu prends la racine : 8
Tu soustrais la moitié du nombre des racines soit : 8 − 5 = 3.
Donner la solution sous forme ”moderne”.
Exercice 26 Plus généralement, on s’intéresse à l’équation
√
aX + b X = c où a, b, c > 0
que l’on sait réduire sous la forme
ax2 + bx = c
La résoudre...
Exercice 27 m est un paramètre réel. Résoudre dans R l’équation
(m + 2) x2 − mx + m − 1 = 0
Démontrer que ses racines (lorsqu’elles existent) vérifient une relation indépendante de m.
Solution abrégée – Deux cas a priori.
1. m = −2 ; on est devant l’équation du premier degré 2x − 3 = 0 trop dur !
2. m = −2 ; c’est cette fois une équation du second degré.
Commençons par calculer le discriminant :
∆ (m) = −3m2 − 4m + 8
Il s’agit encore d’un polynôme du second degré (variable m) qui a pour racines réelles
√ √ 2
2
m1 = − 1 + 7 et m2 = − 1 − 7
3
3
Donc ∆ (m) 0 si et seulement si m ∈ [m1 , m2 ]. On observera en passant8 que m1 < −2 < m2 .
Dans ce cas l’équation a deux racines réelles qui sont
√
√
m+ ∆
m− ∆
et x2 =
x1 =
2(m + 2)
2(m + 2)
3. Pour répondre à la dernière question, le mieux est de passer par la somme et le produit des deux
racines soit
2
3
s =?? = 1 −
et p =?? = 1 −
m+2
m+2
et d’éliminer m dans ces relations ; d’où
1
1
1
1
= (1 − s) et
= (1 − p)
m+2
2
m+2
3
On en déduit que
1
2
(1 − s) =
1
3
(1 − p) soit
1
1
(1 − x1 − x2 ) = (1 − x1 x2 ) .
2
3
8 En
effet ∆ (−2) =??? > 0 et le coefficient de m2 est ...? ? ; donc −2 est entre les racines...
19
3.3.2
Désagréments avec √ ?
– Les exercices ci-dessous ont parfois laissé un souvenir ”désagréable” aux lycéens. Mais un peu de
méthode et d’observation permet d’en venir à bout. Evidemment, cela suppose connue la définition de
√
et que l’on ait compris que a = b n’est pas équivalent à a2 = b2 .
Soit (a1 , a2 , b1 , b2 , c) une famille de cinq nombres réels tels que a1 et a2 soient différents de 0. On
cherche à résoudre l’équation d’inconnue réelle x
a1 x + b1 − a2 x + b2 = c
(5)
• On commencera par observer que x vérifie nécessairement a1 x+b1 0 et a2 x+b2 0 ; cela permet
de localiser les solutions éventuelles dans un intervalle I, voire de montrer qu’il n’y a pas de solution.
Une simple observation (sans aucun calcul) permet parfois de montrer qu’il n’y a pas de solution.
• L’usage est de raisonner par analyse-synthèse. On cherche alors à se ”débarasser” des √ en passant
aux carrés sans faire apparaitre d’expression ”parasite” ; de ce point de vue, il est un peu plus simple
de ré-écrire l’équation (5) sous la forme
a1 x + b1 = a2 x + b2 + c
Dans ces conditions, si x est solution, on a NECESSAIREMENT
a1 x + b1 = a2 x + b2 + c2 + 2c a2 x + b2
soit encore
(a1 − a2 ) x + b1 − b2 − c2 = 2c a2 x + b2
• L’observation peut éventuellement montrer qu’il n’y a pas de solution ; sinon, en passant de
nouveau au carré, on constate que x est NECESSAIREMENT solution d’une équation du second degré.
• Une fois cette équation résolue, reste à examiner si les solutions de celle-ci vérifient ou non l’équation
(5).
Exercice 28 Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
√
√
x+2− x−1 =1
Solution abrégée – Nécessairement x ∈ ?? ; l’équation se ré-écrit sous la forme
√
√
x+2 = x−1+1
√
En passant aux carrés, on constate que nécessairement : 1 = x − 1 soit encore x =?? ; reste à s’assurer
que ?? est bien solution de l’équation du départ.
Exercice 29 Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
√
√
x−1− x+2 =1
Solution abrégée – Il n’y a pas de solution. Cela se prouve sans aucun calcul.
Exercice 30 Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
√
√
x+2− x−1 =2
Solution abrégée – Même procédure ; on constate que si x est solution nécessaierement
√
−1 = 4 x − 1
Conclusion?
Exercice 31 Résoudre l’équation d’inconnue réelle x
√
√
4x + 3 − x + 1 = 1
Solution abrégée – Nécessairement x ?? et :
√
√
4x + 3 =
x+1+1
.....
2
9x + 2x − 3 = 0
Conclusion? une seule solution x =
√
2 7−1
.
9
20
4
Somme, produit et compagnie
Les calculs concernent les nombres usuels. A désigne ici Z ou Q ou R ou C.
Soit p q deux entiers relatifs ; l’ensemble des entiers compris au sens large entre p et q est noté
[p..q] :
[p..q] = {p, p + 1, ..., q} = {k ∈ Z | p k q}
(*) Paragraphe pouvant attendre une ”seconde lecture”.
4.1
4.1.1
Principes généraux
Compteur et indice
Le lecteur devrait être familier avec le fait qu’addition et multiplication s’étendent à des familles finies
de nombres.
• Qu’entend-on par famille finie (ou encore liste, ou encore suite finie)?
Soit n ∈ N∗ . A tout entier k de [1..n] associons un nombre xk ; on obtient ainsi la famille de
nombres notée
(x1 , ..., xn ) = (xk )1 kn
dite famille indéxée par[1..n] . En fait k → xk est une fonction définie sur [1..n] à valeurs dans A.
La variable, ici k, est appelée indice
Dans le cadre informatique, xk est codé sous la forme x [k]. La variable, ici k, est appelée compteur.
• On observera que l’indice k est encore une variable ”muette” ; son rôle est simplement de se voir
affecter toutes les valeurs entières de [1..n] En d’autres termes, peu importe la lettre utilisée pour
la noter (ou presque... mieux vaut éviter x)
(xk )1 k n = (xi )1 i n
• Attention : on parle de famille de n nombres ; mais cela ne suppose pas les xi nécessairement
distincts. Par exemple, soit a ∈ A ; si pour tout k on a xk = a, on obtient une famille de n nombres
tous égaux à a : (a)1 k n .
• De manière plus générale, soit p q deux entiers relatifs, n = q − p + 1, (xi )p i q une famille de
n éléments de A indexée par [p..q]. En changeant l’indexation, c’est-à-dire en posant i = p + k − 1
où k ∈ [1..n], il apparaît que (xi )p iq = (xp+k−1 )1k n .
• Soit n ∈ N. L’usage est courant de considérer ansi une famille de nombres indéxée par [0..n] :
(xk )0 k n . Attention il s’agit d’une famille de n + 1 nombres.
• De gauche à droite ou de droite à gauche. – Il est intéressant à partir de la famille
(xk )1 k n = (x1 , x2 , ..., xn )
de considérer la famille des élements rangés dans ”l’ordre inverse” : il s’agit de
(xn−k+1 )1 k n = (xn , xn−1 , ..., x1 )
On observera qu’il est plus agréable de considérer
(xk )0 k n = (x0 , x1 , ..., xn ) et (xn−k )0 k n = (xn , xn−1 , ..., x0 )
• De manière encore plus générale, soit n ∈ N∗ , I un ensemble de n élements : I = {i1 , i2 , ..., in }
(attention les ik sont distincts). On peut également considérer une famille de nombres, notée cette
fois (xi )i∈I en associant à chaque i de I un nombre noté xi .
• Pair/impair – Par exemple, soit n ∈ N∗ ; considérons une famille de nombres (xk )0 kn indéxée
par [1..n] ; on peut classer les éléments de cette famille suivant la parité de k ; on obtient ainsi
deux familles
(x2q )0 2q n et (x2q+1 )0 2q+1n
21
On observera que si l’on souhaite faire défiler les éléments de chaque famille comme ci-dessous,
par exemple celle indexée par les pairs
x0 , x2 , ..., x2q , ....x??
on est conduit à distinguer deux cas :
– Cas où n est pair ; posons n = 2m ; alors :
(x2q )0 2q 2m
= (x0 , x2 , ..., x2m ) = (x2q )0 q m
(x2q+1 )0 2q+1 2m
= (x1 , x3 , ..., x2m−1 ) = (x2q+1 )0q m−1
(observer que q étant un entier : 0 2q + 1 2m équivaut à 0 q m − 1.
– Cas où n est impair ; posons n = 2m + 1 ; alors :
(x2q )0 2q 2m+1
= (x0 , x2 , ..., x2m ) = (x2q )0 q m
(x2q+1 )0 2q+1 2m+1
4.1.2
Opérateur
= (x1 , x3 , ..., x2m+1 ) = (x2q+1 )0q m
Soit n ∈ N∗ , (xk )1 k n une famille de n éléments de A. Dans un cadre très élémentaire, l’usage est de
considérer la somme des éléments de cette famille de nombres en posant brutalement :
n
xk = x1 + ... + xn .
k=1
Mais un peu de réflexion montre qu’on ne peut s’arrêter à cela. Comment par exemple ”programmer”
le calcul effectif de cette somme? Que représenteraient les ”...” dans un programme de calcul effectif?
Définition 7 On définit pour tout m de [1..n] la somme m
k=1 xk , ”de proche en proche” en posant :
1
k=1
et pour tout m de [1..n − 1] :
m+1
k=1
• Le calcul de Sn =
n
k=1 xk
xk =
xk = x1
m
k=1
(6)
xk + xm+1
se programme sous la forme suivante (k étant un compteur)
Initialisation : S := 0
Pour k := 1 à n, faire
x := une certaine fonction de k
S := S + x
fin
• Un exemple ”naïf ” : dans le cas où tous les xi sont égaux à a : ni=1 xi = ni=1 a = na.
• De manière plus générale, soit p q deux entiers relatifs, n = q − p + 1, (xi )p i q une famille de
n éléments de A indexée par [p..q]. En changeant l’indexation, c’est-à-dire en posant i = p + k − 1 où
k ∈ [1..n], il apparaît que (xi )p i q = (xp+k−1 )1 k n . Cela permet définir qi=p xi en posant :
q
i=p
xi =
n
k=1
xp+k−1 .
Par exemple, sommer la famille de n + 1 éléments (xi )0i n revient encore à poser :
n
i=0
xi =
n+1
k=1
xk−1 .
Remarque – Peu importe la ”lettre” utilisée comme ”compteur” :
tout de même éviter la lettre x...). On pourra donc aussi bien écrire :
q
k=p
xk =
q−p+1
k=1
22
xp+k−1
q
i=p xi
=
q
k=p xk
(mieux vaut
4.1.3
Généralisations
Définition 8 De manière encore plus générale, soit I = {i1 , ..., in } un ensemble fini d’indices comportant n éléments et (xi )i∈I une famille de n éléments de A indexée par I. On pose
i∈I
xi =
n
k=1
xik
Pourquoi est-ce que cela a un sens? Parce que le résultat obtenu ne dépend pas de l’ordre
dans lequel se fait le calcul. Cela tient à l’associativité et à la commutativité de l’addition.
• Par exemple, il revient au même de sommer de ”gauche à droite”, ou de droite à gauche, la famille
(xk )1 k n ; cela conduit à la règle suivante
n
k=1
n
n
Variante :
k=0 xk =
k=0 xn−k.
• Pour les mêmes raisons, on posera
xk =
xk =
p k q
n
k=1
(7)
xn−k+1
xk =
k∈[p..q]
q
k=p
xk
Ainsi −m k −1 xk = 1 k m x−k .
• On pourra même utiliser la convention suivante : si E = {x1 , ..., xn } est un sous-ensemble fini
d’éléments de A, on pose :
n
x=
xk
x∈E
k=1
Il s’agit tout simplement de la somme des éléments de E.
• Enfin, lorsque I est vide, on pose par convention
xi = 0
i∈I
(cf. phase d’initialisation dans la procédure donnée plus haut).
Par exemple, si p > q, l’on a :
p k q xk = 0..
• Une ”expression” classique dans laquelle n est un entier naturel.
m
xk =
xk si n = 2m est pair
k=1
1 k n
2
1 k n
2
4.2
xk
=
m
k=1
xk si n = 2m + 1 est impair
Produit
Dans cette section, on se limite au cadre des nombres complexes.
4.2.1
Définition
Soit n ∈ N,∗ (zk )1 k n une famille de n nombres complexes. On définit le produit m
k=1 zk (noté
naïvement z1 ....zm ) exactement comme on l’a fait dans le cas de la somme. On pose pour cela :
m
1
m+1
zk = z1 et pour tout m appartenant à [1..n − 1] ,
zk =
zk zm+1
k=1
k=1
k=1
De manière un peu plus générale, si p et q sont deux entiers relatifs tels que p q, on pose :
zk =
p k q
Exemple 5 Cas où tous les zk sont égaux à a :
q+1
Variante :
0 k q a = a
q−p+1
j=1
zp+j−1
1k n a
23
= an .
Exemple 6 Factorielle : soit n un entier naturel, n! est le produit des entiers compris entre 1 et n ; ou
encore, on pose par convention 0! = 1 ; 1! = 1 et pour tout n 2 :
n! = 1.2...n =
k
1 k n
Bien entendu : (n + 1)! = n! (n + 1).
Enfin, soit I = {i1 , ..., in } est un ensemble fini d’indices comportant n éléments et (zi )i∈I une famille
de n nombres complexes indexée par I, on pose
n
zi =
zik
i∈I
k=1
Encore une fois, cela a un sens parce que, vu l’associativité et la commutativité de la multiplication, le
résultat obtenu ne dépend pas de l’ordre dans lequel se fait le calcul.
Par convention :
i∈∅ zi = 1. (initialisation des informaticiens)
4.3
Règles de calcul :
Le débutant considèrera qu’il a affaire pour le moment à des nombres réels ou complexes. En principe
p et q désignent deux entiers relatifs tels que p q.
4.3.1
Décalage d’indice
Ces premières régles ne sont que des variations autour de la définition.
La régle la plus simple
q
k=p
xk+1 =
q+1
k=p+1
xk ;
q
k=p
xk−1 =
q−1
k=p−1
xk
(8)
La première égalité vient de ce que k + 1 ∈ [p..q] si, et seulement si k ∈ [p + 1..q + 1] ; etc.
q−1
q
Attention : il y a de nombreuses variantes. Ainsi :
k=p xk+1 =
k=p+1 xk .
Compliquons – L’idée générale est la suivante : poser k = j + d, soit j = k − d ; l’observation
suivante
pk q ⇔p−d j =k−dq−d
conduit à l’égalité :
p k q
xk =
xj+d =
p−d j q−d
xk+d
(9)
p−d k q−d
La dernière égalité est obtenue en réutilisant la lettre k comme compteur.
• On peut évidemment ”échanger” les rôles ; cela donne :
xk =
xk−d
p−d k q−d
(10)
p k q
• En voici un exemple assez courant que l’on pourra utiliser dans les deux sens.
xk =
xk+m
(11)
xk−m
(12)
−m km
0 k 2m
ou encore
xk =
−m k m
0 k 2m
(observer que l’on somme une famille de 2m + 1 éléments).
24
4.3.2
Régles élémentaires
• Addition
q
k=p
xk +
q
k=p
yk =
q
k=p
(xk + yk ) ou
q
i=p
xi +
q
j=p
yj =
q
k=p
(xk + yk )
(les indices muets du premier membre peuvent être notés différemment).
Variante : I étant un ensemble fini, on a i∈I xi + i∈I yi = i∈I (xi + yi ) .
q
q
• Homogénéité : si λ est un élément de A qui ne dépend pas de k :
λxk = λ
xk .
k=p
k=p
Variante : I étant un ensemble fini, on a :
i∈I λxi = λ
i∈I xi .
q
• Si a ne dépend pas de k et p q :
a = (q − p + 1) a.
k=p
n
n
Exercice 32 Simplifier Sn = k=1 k = k=0 k.
Solution abrégée (Gauss) – Sn = nk=0 k = nk=0 (n − k) ; par conséquent 2Sn = nk=0 (k + n − k) =
(n + 1) n. Finalement
n
k = 12 n (n + 1)
k=1
4.3.3
Télescopage. Règle de perturbation
Ces deux régles, fort précieuses, permettent de ”simplifier” bon nombre de ”sommes classiques. Elles
sont également issues de la définition.
Commençons par observer que, p et q étant deux entiers relatifs tels que p q, alors :
q
q
xk = xp +
xk
k=p
k=p+1
(les obsessionnels feront la démonstration en raisonnant par récurrence sur n = p − q + 1)
Proposition 26 (Télescopage) – Si p et q sont deux entiers relatifs tels que p q, alors
q
(xk+1 − xk ) = xq+1 − xp
k=p
ou encore
q
k=p
(13)
(14)
(xk − xk+1 ) = xp − xq+1
Preuve – Naïvement
q
(xk+1 − xk ) = (xp+1 − xp ) + (xp+2 − xp+1 ) + ... + (xq − xq−1 ) + (xq+1 − xq )
k=p
Plus sérieusement, il suffit d’observer que
q+1
q
q
(xk+1 − xk ) =
xk+1 −
xk
k=p
k=p
k=p
q
q+1
q
xk+1 =
xk = xq+1 − xp +
k=p
k=p+1
k=p
xk .
La règle suivant , un peu moins connue que la précédente, en est très proche. Elle peut d’ailleurs s’y
ramener.
Proposition 27 (Perturbation *) – Si p et q sont deux entiers relatifs tels que p q, alors :
q
q
xk + xq+1 = xp +
xk+1
(15)
k=p
En particulier
n
k=0
k=p
xk + xn+1 = x0 +
n
k=0
xk+1
Preuve – Il suffit de revenir à la définition et d’observer que
q+1
q+1
q
q
xk + xq+1 =
xk = xp +
xk = xp +
k=p
k=p
Exercice 33 Soit n ∈ N∗ . Simplifier Sn =
k=p+1
n
k=1
ln 1 + k1 .
25
k=p
xk+1 .
4.3.4
Une identité remarquable : l’égalité de BERNOULLI
Les formules qui suivent sont d’un usage très courant. Il faut savoir les écrire et les appliquer aussi vite
que le vent du désert. Une pratique raisonnable de l’algèbre élémentaire qui les ignorerait n’a aucun
sens.
Théorème 28 Égalité de BERNOULLI. Soit n ∈ N, (a, b) ∈ C2 . on a :
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
k=0
(16)
an−k bk
Preuve – Il suffit de multiplier chaque terme an−k bk par a − b et de procéder à un télescopage :
n n
an−k bk =
(a − b)
an−k+1 bk − an−k bk+1
k=0
k=0
n =
an+1−k bk − an+1−(k+1) bk+1
k=0
= an+1 − bn+1
On notera la petite astuce d’écriture courante : n − k = n + 1 − (k + 1) .
NB. On rencontrera aussi bien l’égalité sous la forme : an − bn = (a − b)
Corollaire 29 En particulier, soit n ∈ N ; quel que soit z appartenant à C :
1 − z n+1 = (1 − z)
On en déduit que, quel que soit z appartenant à C :
z = 1 ⇒
n
k=0
n
k=0
zk =
n−1
k=0
an−−1k bk
zk
(17)
1 − z n+1
1−z
Illustrations
• Soit (a, b) ∈ C2 , en substituant −b à b dans (16), on obtient :
n
(−1)k an−k bk
an+1 + (−1)n bn+1 = (a + b)
k=0
ce qui donne lorsque n = 2m c’est-à-dire lorsque 2m + 1 est IMPAIR :
a2m+1 + b2m+1 = (a + b)
Mais rien de mieux si n + 1 est pair.
2m
k=0
(−1)k a2m−k bk
• En particulier si z = 1 (resp. z = −1)
n
n
1
z n+1
1
(−1)n+1 z n+1
=
zk +
;
=
(−1)k z k +
k=0
k=0
1−z
1−z 1+z
1−z
Exercice 34 Que pensez vous de un = 0, 9999....9 (9 est écrit n fois) lorsque n tend vers l’infini ?
Exercice 35 Soit P : x → P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Soit α ∈ K. Mettre en évidence un polynôme Q tel que, pour tout x :
P (x) − P (α) = (x − α) Q (x)
En déduire que si α est une racine de P , alors on peut mettre en facteur x − α dans P (x) c’est à dire
qu’il existe un polynôme Q tel que pour tout x :
P (x) = (x − α) Q (x)
26
4.3.5
Somme et encadrements. Cadre : R
La pratique ordinaire des inégalités, suppose parfaitement assimilées les règles suivantes.
Tous les résultats indiqués concernent des familles de nombres réels.
Règle 1 La plus simple repose sur la ”sommation” de plusieurs inégalités :
• Soit m et n deux entiers tels que m n : si pour tout k ∈ [m..n], on a ak bk alors :
n
n
ak bk
k=m
• En particulier (n − m + 1) minm k n (ak ) k=m
n
k=m ak
• Dans le cas où am am+1 ... an , l’on a :
n
(n − m + 1) am k=m
(18)
(n − m + 1) maxm k n (ak )
ak (n − m + 1) an
• Plus généralement, si I est un ensemble fini, l’on dispose de la règle suivante : si pour tout i
appartenant à I, ai bi , alors
ai bi
i∈I
i∈I
Remarque – Bien sûr la réciproque
de (18) est
fausse. On notera cependant au passage que dans
le cas où pour tout k, ak bk l’égalité nk=m ak = nk=m bk n’est possible que si pour tout k, ak = bk
Enfin la règle sur la valeur absolue d’une somme de deux nombres réels se généralisent sous la forme
suivante
Règle 2 Soit n ∈ N∗ ; (x1 , ...., xn ) étant une famille de n nombres réels, on a :
n
n
xk |xk |
k=1
k=1
Preuve – On a démontré plus haut l’inégalité si n = 1 ou 2. On
On démontre enfin (19) le dernier résultat par récurrence pour n 2 en observant que :
n
n
n+1 n
=
x
x
+
x
x
|xk | + |xn+1 |
+ |xn+1 | k
k
n+1
k
k=1
4.3.6
k=1
k=1
k=1
Applications
Exercice 36 En observant que pour tout x > 1 :
1
1
<
x2
x (x − 1)
prouver que pour tout n ∈ N∗ :
n
k=1
1
2
k2
Solution abrégée – Il suffit d’observer que pour tout k 2 :
1
1
1
1
<
=
−
k2
k (k − 1)
k−1 k
Par conséquent :
n
k=1
n
n
1
1
1
1
1
=1+
1+
− =1+1− <2
2
2
k=2 k
k=2 k − 1
k
k
n
Exercice 37 En observant que pour tout x > 0 :
1
1
√ >√
√ =??
2 x
x+1+ x
prouver que pour tout n ∈ N∗ :
n
k=1
√
1
√ 2 n+1−1
k
27
(19)
Solution abrégée – Il suffit d’observer que
n
√
2 n+1−2= 2
k=1
n
k=1
4.4
√
k+1−
√ 1 √
x+1+ x
=
√
√
x + 1 − x. Par conséquent :
n
√ k =2
n
1
1
√
√
√ k=1
x+1+ x
k
√
√
√
k+1− k =2 n+1−2
k=1
n
n
1
1
√ 2
√ =2
√
k=1
k=1
k
k+1+ k
Règles de tris et regroupements :
Supposons que I soit un ensemble fini que l’on ”decoupe” suivant deux sous-esemble disjoints I1 , I2 ,
i.e tels que I = I1 ∪ I2 et I1 ∩ I2 = ∅. Tout indice i appartient soit à I1 , soit I2 (ou ”exclusif”). Soit
(xi )i∈I une famille de nombres indexée par I. Dans ces conditions
xi =
xi +
xi
i∈I
i∈I1
i∈I2
(*) Plus généralement : Soit Ω un ensemble fini. (Ωk )1 k n détermine une partition de Ω, i.e. si
tout élément de Ω appartient à l’un des Ωk et à un seul, on a
n (20)
xi =
xi
i∈Ω
k=1
i∈Ωk
L’égalité (20) est encore fondée sur l’associativité et la commutativité de l’addition.
Voici les cas les plus courants. Évidemment leur utilisation dépend du contexte.
NB. Il ne s’agit pas d’apprendre par coeur des formules, mais de les retrouver à chaque fois dans
un contexte particulier. Cela ne dispense pas de répeter le geste technique qui conduit au résultat.
4.4.1
Scinder une somme en deux
Soit (p, m, n)une famille de trois entiers tels que p < m < n. Il devrait être clair que [p..m] ∪ [m + 1..n]
et [p..m] ∩ [m + 1..n] = ∅ .Par conséquent
n
m
n
x=
xk +
xk
k=p
4.4.2
k=p
k=m+1
(*) Indices pairs et impairs
Considérant une famille de nombres (xk )p kq indexée par k appartenant à [p..q] ; en regroupant
les termes d’indices pairs (x2i )p 2i q , puis les termes d’indices impairs, (x2i++1 )p 2i+1 q , on obtient
l’égalité suivante.
q
xk =
x2i +
x2i+1 =
x2i +
x2i+1
k=p
p 2i q
p
q
2 i 2
p2i+1 q
p−1
q−1
2 i 2
q2
p
q x2i a bien un sens, mais n’est égal à
Attention :
x que dans le cas où p et q sont pairs.
i
i= p2 2i
2
2
En effet, le compteur i ne prend que des valeurs entières...
• Par exemple, si n = 2m + 1 est impair
2m+1
m
m
xk =
x2i +
x2i+1 =
x2i +
x2i+1
k=1
1 2i 2m+1
• De même, si i n = 2m est pair :
2m
xk =
x2i +
k=1
1 2i 2m
2n+1
k=0
0 2k 2n
(−1)k zk
= ... =
x2i+1 =
1 2i+1 2m
Exemple 7 Deux égalités élémentaires
2n
(−1)k zk =
z2k −
k=0
i=1
1 2i+1 2m+1
n
k=0
m
z2k+1 =
0 2k+1 2n
z2k −
n
28
i=1
k=0
z2k+1
i=0
x2i +
n
k=0
m−1
i=0
z2k −
x2i+1
n−1
k=0
z2k+1
On pourrait tout aussi bien considérer
2n
(−1)k zk =
z2k −
k=1
1 2k 2n
z2k+1 =
1 2k+1 2n
n
k=1
z2k −
n−1
k=0
z2k+1
Exemple 8 Voici une application des plus classiques Le regroupement ”pair/impair” est déteminé par
la valeur de (−1)k . Soit n un entier supérieur ou égal à 1, (zk )1k 2n une famille de 2n nombres.
complexes. On dispose de l’égalité
n
2n
2n
(−1)k zk = 2
z2k −
zk
(21)
k=1
k=1
k=1
Solution – Quelle que soit la manière dont on s’y prend, il est de bonne méthode de regrouper
les termes d’indices pairs puis ceux d’indices impairs dans les deux sommes suivantes :
2n
zk =
z2k +
z2k+1
k=1
2n
k=1
2 2k 2n
(−1)k zk
=
2 2k 2n
2 2k+1 2n
z2k −
z2k+1
2 2k+1 2n
En additionnant ces deux égalités, les termes d’indices impairs disparaissent et l’on obtient immédiatement le résultat demandé :
2n
2n
n
zk +
(−1)k zk = 2
z2k = 2
z2k .
k=1
k=1
2 2k 2n
Exercice 38 On pose, pour tout n ∈ N∗ : Hn =
2n
k=1
4.4.3
n
1
k=1 k .
(−1)k
k=1
Etablir l’égalité :
1
= Hn − H2n .
k
Regroupement par paires de termes consécutifs
Ceci concerne en général des sommes mettant en jeu une famille comptant un mombre pair d’éléments.
La transformation est utile lorsque pour une raison ou une autre la somme de deux termes consécutifs
se révèle intéressante.
• Somme de 2m termes
2m
m
xk =
(x2k−1 + x2k )
k=1
• Somme de 2m + 2 termes
2m+1
k=0
Exercice 39 Simplifier Sn =
n
k
k=1 (−1)
k=1
xk =
k.
m
k=0
(x2k + x2k+1 )
Solution abrégée – Il suffit de faire le calcul lorsque n est pair. On observera que la somme de
deux termes consécutifs est égale à 1. Par conséquent :
2m
m
m
S2m =
(−1)k k =
(− (2k − 1) + 2k) =
1=m
k=1
k=1
k=1
Enfin dans le cas où n est impair, on a tout simplement
S2m+1 = S2m − (2m + 1) = −m − 1
Variante : pourquoi ne pas jouer à pair - impair ?
2m
m
m−1
m
m−1
S2m =
(−1)k k = ... =
2k −
(2k + 1) = 2
k−2
k−m=m
k=1
k=1
k=0
k=1
k=0
On constate que le calcul est un peu plus long...
n
(−1)k (ak + b)en fonction de n :
Exercice 40 Soit n ∈ N∗ , (a; b) ∈ C2 . Simplifier Sn =
k=1
n
n
Indication – Commencer par observer que Sn = a
(−1)k k + b
(−1)k .
k=1
29
k=1
4.4.4
(*) Symétrie par rapport au centre
La transformation suivante est utile lorsque pour une raison ou une autre il est intéressant de regrouper
le terme d’indice k avec le terme d’indice n − k et de considérer la somme zk + zn−k .
• Somme de 2m + 1 termes (m ∈ N) – Deux variantes
2m
m−1
s
zk = zm +
(zk + z2m−k )
k=0
k=0
2m
m
zk = zm +
(zm+k + zm−k )
k=0
k=1
Les preuves sont données pour les curieux.
Preuve de la première identité – Il suffit d’observer que
m−1
2m
2m
2m
zk =
zk + zm +
zk et
k=0
k=0
k=m+1
k=m+1
zk =
m−1
k=0
z2m−k
(cf. égalité (7)
Preuve de la deuxième identité – Il suffit d’utiliser l’identité (11) puis d’observer qu’un entier
k de [−m..m] est soit dans [−m.. − 1], soit égal à 0, soit dans [1..m]
2m
zk =
zm+k =
zm+k + zm +
zm+k
k=0
=
m
−m k m
k=1
zm−k + zm +
−m k −1
m
k=1
1 k m
zm+k = zm +
m
k=1
(zm+k + zm−k )
Bien entendu, la deuxième identité peut également se déduire de la première.
• Somme de 2m + 2 termes (m ∈ N) – Deux variantes également qui se démontrent de manière
analogue
m
2m+1
zk =
(zk + z2m+1−k )
k=0
k=0
m
2m+1
zk =
(zm+1+k + zm−k )
k=0
k=0
Preuve de la première identité – Le lecteur se fera un plaisir de l’établir ! .
Preuve de la deuxième identité
2m+1
zk =
zm+k =
zm+k +
zm+k
k=0
=
m
k=0
zm−k +
−m k m+1
m+1
k=1
zm+k =
−m k 0
m
k=0
zm−k +
m
k=0
1 k m+1
zm+1+k =
m
k=0
(zm+1+k + zm−k )
Exemple 9 Soit (zk )0 k2m une famille de 2m + 1 nombres complexes. Imaginons que zk et z2m−k
soient conjugués ; en particulier zm est réel et
m−1
m−1
m−1
2m
zk = zm +
(zk + z2m−k ) = zm +
(zk + zk ) = zm + 2
Re zk
k=0
k=0
k=0
k=0
9
Exercice 41 (*) C’est le cas lorsqu’on linéarise cos t . Ainsi
2m
1 2m
1
cos2m t = 22m
+
2m
m
2
k cos 2 (m − k) t
2m
0 k m−1
Solution
termes de la somme
symétriques par rapport
au terme d’indice m sont conjugués ,:
: Les
i2(m−(2m−k))t
2m
2m i2(k−m)t
i2(m−k)t
il s’agit de 2m
e
et
de
e
=
e
. On obtient ainsi :
k
2m−k
2k
2m
2m
2m i(2m−k)t −ikt
i2(m−k)t
1
1
cos2m t = 21n eit + e−it
= 22m
e
= 22m
k e
k e
0 k 2m
=
=
9 cet
1
22m
1
22m
2m
m
2m
m
+
1
22m
0 k m−1
+
1
22m
0 k m−1
2m i2(m−k)t
−i2(m−k)t
e
+
e
k
2m
k
0 k2m
cos 2 (m − k) t
exercice suppose connu la formule du binôme et la pratique de l’exponentielle complexe.
30
4.5
Règles de calcul :
Dans cette section, on se place dans le au cadre des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant
la plupart des règles et des définitions reste valide dans le cadre d’un anneau commutatif.
Les régles de calcul sont analogues à celles gouvernant l’opérateur Σ. Sans entrer dans le détail des
démonstrations (ce sont les mêmes que celles concernant l’opérateur Σ) donnons les règles essentielles :
.
Soit p et q deux entiers relatifs, (xk )p k q , (yk )p k q , (zk )p kq des familles de complexes indexées
par k ∈ [p..q]
• p k q xk p k q yk = p k q xk yk .
m
z
= p k q zkm . Le résultat reste valable si m est un
• Si m est un entier naturel
k
p k q
entier négatif et tous les éléments de la famille (zk )p k q sont différents de 0.
• p k q a = aq−p+1 .
• Télescopage : tous les éléments de la famille zk étant différents de 0,
zk+1
zq+1
=
zk
zp
p k q
• Tri et regroupement. Si J1 et J2 donnent une partition de J alors
zi =
zi
zi
i∈I
Par exemple :
Exemple 10 n! =
0 k n zk
n
k=1
k.
=
0 k n
2
z2k
i∈J1
0 k n−1
2
i∈J2
z2k+1
Exercice 42 Produit des pairs et des impairs – Soit n ∈ N∗ . Vérifier que
2.4.... (2n) =
1 k n
(2k) = 2n n! et 1.3.5..... (2n + 1) =
Solution abrégée – La première égalité est immédiate :
(2k) =
2.
1 k n
1 k n
1 k n
1k n
1 k n
(2n + 1)!
2n n!
k = 2n n!
La transformation du deuxième produit se fait en observant que :
(2n + 1)! =
q=
(2k)
1 q 2n+1
(2k + 1) =
1 k n
(2k + 1) .
Exemple 11 Symétrie par rapport au centre. (Une situation classique). Supposons avoir factorisé le
polynôme de degré 2m : P : z → P (z) sous la forme suivante ; quel que soit z :
P (z) =
(z − αk )
1k 2m
les αk étant des complexes deux à deux distincts. Il peut arriver que chaque α2m−k soit conjugué de αk .
Dans ces conditions, quel que soit z :
P (z) =
(z − αk ) (z − α2m−k ) =
(z − αk ) (z − αk ) =
z 2 − 2 Re αk + |αk |2
1 k m
1k m
1k m
31
4.6
4.6.1
Le binôme : Pascal Newton Leibniz
Coefficients binomiaux10
Soit n et p deux entiers naturels. On sait que le nombre de sous-ensembles
comportant p éléments d’un
ensemble en dénombrant n est donné par le nombre noté Cnp ou np ce nombre entier vérifie les propriétés
suivantes (elles doivent être connues) :
• np = 0 si p > n. n0 = 1
• Relation de Pascal – Lorsque cela a un sens, on dispose de l’égalité :
n+1
n
n
=
+
.
p+1
p+1
p
(22)
Preuve abrégée – Si n = 0, c’est évident. Si n ∈ N∗ , soit E un ensemble de n + 1 éléments.
Fixons un élément a de E. Cela permet de distinguer parmi les sous-ensembles à p + 1 élements de E :
n ; car obtenir un sous-ensemble de ce type revient à
– Ceux où ne se trouve pas a : il y en a p+1
obtenir un sous-ensemble à p + 1 éléments de E\{a}.
– Ceux où se trouve a : il y en a np ; car obtenir un sous-ensemble de ce type revient à réunir {a} à
un sous-ensemble à p éléments de E\{a}.
D’où l’égalité (25).
• Pour tout p appartenant à [0..n] :
n
n!
1 =
=
(n − k + 1)
p
p! (n − p)!
p!
(23)
1 k n
Preuve abrégée – On peut établir la formule (23) via un raisonnement de dénombrement. Nous
l’établirons ici en raisonnant par récurrence sur n et en utilisant l’égalité de Pascal. Si n = 1, l’égalité
est immédiate. Supposons que pour un certain n, l’égalité (23) acquise pour tout p appartenant à [0..n].
Passons au rang n + 1 ; si p = 0, il n’y a rien à prouver. Sinon, on a alors pour tout p appartenant à
[1..n + 1] :
n+1
n
n
n!
n!
=
+
=
+
p
p! (n − p)! (p − 1)! (n − p + 1)!
p
p−1
n!
1
1
=
+
(p − 1)! (n − p)! p n − p + 1
n!
n+1
(n + 1)!
(n + 1)!
=
=
=
(p − 1)! (n − p)! p (n − p + 1)
p! (n − p + 1)!
p! (n + 1 − p)!
• Pour tout p appartenant à [0..n] :
n
n
=
.
p
n−p
(24)
Il suffit d’observer que dans un ensemble à n éléments, il y a autant de sous-ensemble à p éléments
que de sous-ensemble à n − p éléments (puisque choisir p éléments revient à choisir les n − p éléments qui
restent). L’égalité se déduit également de la formule (23).
• Égalité d’absorption – On observera ainsi que, lorsque cela a un sens,
n
n n−1
n
n−1
=
ou encore p
=n
.
p
p p−1
p
p−1
Preuve – Il suffit d’observer que n − p = n − 1 − (p − 1)
n
n!
n (n − 1)!
n n−1
=
=
.
=
p
p! (n − p)!
p (p − 1)! ((n − 1) − (p − 1))!
p p−1
Il est possible de démontrer cette égalité par un raisonnement de dénombrement.
1 0 On
reviendra sur ces résultats dans le chapitre consacré au dénombrement.
32
(25)
Triangle de Pascal Voici le tableau donnant les premiers coefficients du célèbre triangle de Pascal.
Les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0
3 3 1 0 0 0
4 6 4 1 0 0
5 10 10 5 1 0
6 15 20 ?? ?? ??
La case dont le numéro de ligne est n et le numéro de colonne est k contient
de la régle suivante
n
n k + k+1
= n+1
k+1
n
k . Il est construit à partir
Exercice 43 Vérifier que
1 + 3 + 6 + 10 =???
Plus généralement, démontrer que n étant supérieur ou égal à k
p k k + 1 k + 2
n
n+1
=
+
+
+ ... +
=
k
k
k
k
k
k+1
k p n
Il s’agit de la somme des termes de la colonne numéro k numérotés de k à n
Comme l’égalité de Bernoulli. l’identité du binôme est fondamentale.
Théorème 30 Soit n ∈ N∗ , (a, b) un couple de nombres complexes . On a :
n
(a + b) =
n k n−k
a b
.
k=0 k
n
(26)
Preuve n◦ 1 – Récurrence sur n. L’identité est sans histoire dans le cas où n = 1. Si on la suppose
acquise pour n, on alors
n
n
n k n−k
n k+1 n−k n
n k n−k+1
(a + b)n+1 = (a + b) (a + b)n = (a + b)
a b
=
a b
+
a b
k=0 k
k=0 k
k=0 k
Or n − k = n + 1 − (k + 1) ; d’où
n k+1 n−k n k+1 n+1−(k+1)
b
= k a b
k a
Un décalage d’indice sur la première somme donne donc :
n n
n n
n+1 n k+1 n+1−(k+1)
b
=
ak+1 bn−k =
a
ak bn+1−k
k=0 k
k=0 k
k=1 k − 1
Par conséquent :
n+1 n n n
ak bn+1−k +
ak bn+1−k
k=1 k − 1
k=0 k
n n n n
=
ak bn+1−k + an+1 + bn+1 +
ak bn+1−k
k=1 k − 1
k=1 k
n n n
= bn+1 +
+
ak bn+1−k + an+1
k=1
k−1
k
n n + 1
= bn+1 +
ak bn+1−k + an+1
k=1
k
n+1 n + 1
=
ak bn+1−k
k=0
k
n+1
On a utilisé l’égalité de Pascal et le fait que 1 = n+1
= n+1 .
0
(a + b)n+1
=
33
Preuve n◦ 2 : (voir cours de dénombrement)... Il suffit d’observer que lorsqu’on développe le produit
(a + b)n = (a + b) (a + b) ... (a + b)
n f ois
on trouve une somme S de termes de la forme ak bn−k (où k ∈ [0..n] ). L’entier k étant fixé, il suffit de
compter les termes correspondants : ils s’obtiennent en ”choisisant a dans k ”(....)” et b dans les n − k
”(...)” restantes.
Ou si l’on préfère... Imaginons qu’on dispose de n boites où sont rangées une lettre a et une lettre
b (et un signe + entre les deux..) ; tout revient à choisir k boites parmi n : celles où se trouvent a, les
n − k boites restantes livrant b. On rencontre ainsi dans la somme S le produit ak bn−k exactement nk
fois. D’où le résultat annoncé.
Exemple 12 Il faut savoir développer aussi vite que le vent du désert les égalités suivantes
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(a + b)
3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)
4
= ???
(a + b)
5
= ???
Remarque 1 On a aussi bien (toujours si n ∈ N∗ )
n
(a + b) =
Cela tient à ce que
n
n
=
.
k
n−k
n n−k k
a
b
k=0 k
n
Corollaire 31 On a aussi bien (toujours si n ∈ N∗ )
n
(a − b) =
n n−k k n
n−k n
(−1)
a
b =
(−1)
ak bn−k =
k=0
k=0
k
k
n
k
Corollaire 32 En particulier (toujours si n ∈ N∗ ), quel que soit z appartenant à C :
(1 + z)n =
Exercice 44 Démontrer que
Exercice 45 Démontrer que
n
k=0
n
n
n k
n
k z ; ∀z ∈ C, (1 − z) =
k=0
n
k=0 k
0 2k+1 n
n
2k + 1
Exercice 46 Calculer successivement en fonction de n :
n
n
n
A1 =
k ; A2 =
k2 ; A3 =
k=1
n k
k z
(27)
= 2n .
n
=
2k
0 2k n
(−1)k
k=1
= 2n−1
k=1
k3 ; ... Aq =??
à partir de l’observation suivante :
– Calcul de A1 : (n + 1)2 = nk=0 (k + 1)2 − k2 = ... = nk=0 (2k + 1) = ... = 2A1 + n + 1.
– Calcul de A2 : (n + 1)3 = nk=0 (k + 1)3 − k3 = ... = nk=0 ??k2 +??k+?? = ... =??A2 +??A1 +??
n(n+1)(2n+1)
.
6
n 4
(n + 1) = k=0 (k
On en déduit : A2 =
– Calcul de A3 :
On en déduit : A3 =
n2 (n+1)2
.
4
4
+ 1) − k4 = ...vogue la galère
34