quantum

M´ecanique Quantique II
Cours de troisi`eme ann´ee 1
Ruth Durrer
D´epartement de Physique Th´eorique de l’Universit´e de Gen`eve
Quai E. Ansermet 24, 1211 Gen`eve 4, Suisse
Manuscrit r´edig´e par Cyril Cartier
2004 – 2005
1Version : 11 novembre 2008

Table des mati`eres
1 Sym´etries, moment cin´etique et spin 4
1.1 Invariance sous rotation et moment cin´etique pour des particules
sans spin (s= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les repr´esentations irr´eductibles du groupe des rotations . . . . . 8
1.2.1 Les harmoniques sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Automorphismes de Wigner et repr´esentations projectives . . . . 14
1.4 Le groupe SU(2) comme recouvrement universel de SO(3) . . . . 16
1.5 S´erie de Clebsch-Gordan et le caract`ere d’une repr´esentation . . 20
1.5.1 Preuve intuitive du th´eor`eme de Clebsch-Gordan . . . . . 20
1.5.2 Le caract`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles et addi-
tion de moments cin´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Particules avec spin, l’´equation de Pauli . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Th´eorie des perturbations 31
2.1 Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Atome d’h´elium : ´etat fondamental . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Atome d’hydrog`ene : effet Stark . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Atome d’hydrog`ene : couplage spin-orbite et effet Zeemann 39
2.2.4 Para–h´elium et ortho–h´elium . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 Atome d’hydrog`ene : structure hyperfine . . . . . . . . . . 48
2.3 Th´eorie des perturbations avec d´ependance temporelle . . . . . . 52
2.3.1 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Amplitudes de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3 Perturbations statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.4 L’approximation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.5 Autres m´ethodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . 62
3 Th´eorie de la diffusion 67
3.1 Diffusion stationnaire par un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.1 La section efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Etats stationnaires de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 La diffusion d’un ´electron par un atome neutre . . . . . . 72
3.2.2 Le potentiel de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Les op´erateurs de Møller Ω±et la matrice S. . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Calcul perturbatif de la matrice S. . . . . . . . . . . . . 79
2

3.3.2 Amplitude de diffusion et section efficace . . . . . . . . . 81
3.3.3 Le th´eor`eme optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.4 Les ´equations de Lippmann et Schwinger (~= 1) . . . . . 84
3.3.5 D´ecomposition partielle de l’onde diffus´ee . . . . . . . . . 88
3.3.6 Le th´eor`eme optique (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.7 R´esonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 La th´eorie de Dirac 94
4.1 Rappel sur le groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Le groupe de Lorentz de la m´ecanique quantique . . . . . . . . . 99
4.3 Les repr´esentations de dimension finie de SL(2,C), le calcul des
spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Irr´eductibilit´e et compl´etude des rep. D(n
2,m 2). . . . . . . 108
4.3.2 Repr´esentations de L↑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 Champs de spineurs et ´equations de champs covariantes . . . . . 115
4.4.1 Op´erateurs de diff´erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 Equations de champs covariantes . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5 Alg`ebre de Dirac-Clifford, les termes covariants bi-lin´eaires . . . 123
4.5.1 Alg`ebre de Dirac-Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5.2 Les combinaisons bi-lin´eraires . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6 L’´equation de Dirac en pr´esence d’un champ ´electromagn´etique . 129
4.6.1 Transformations de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6.2 Equation de 2`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.7 Limite non-relativiste de l’´equation de Dirac . . . . . . . . . . . . 131
4.7.1 Une ´equation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7.2 Le facteur gyromagn´etique : Ov
c. . . . . . . . . . . . . 132
4.7.3 Le couplage spin-orbite : Ov
c2. . . . . . . . . . . . . . 133
4.8 La structure fine de l’atome d’hydrog`ene . . . . . . . . . . . . . . 136
4.9 Solutions de l’´equation de Dirac libre . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9.1 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.9.2 Ondes sph´eriques de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.10 Le probl`eme des solutions `a ´energie n´egative et la conjugaison de
charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Annexe 149
A.1 Notation spectroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2 Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.3 Deux solutions de l’´equation de Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . 151
A.3.1 Les ´etats principaux de l’atome d’hydrog`ene . . . . . . . . 151
A.3.2 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.4 Matrices de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.4.1 Propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.4.2 Repr´esentation (chirale) de Weyl . . . . . . . . . . . . . . 154
A.4.3 Repr´esentation de Dirac-Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliographie 156
3

Chapitre 1
Sym´etries, moment
cin´etique et spin
Les r´eponses aux questions physiques ne doivent pas d´ependre de l’orien-
tation du syst`eme de coordonn´ees choisie pour les calculer. Cette prescription
d´etermine la transformation des champs classiques et quantiques sous rotation.
Dans le cadre de la physique classique, un champ (qui peut avoir plusieurs
composantes, d´ecrivant un vecteur ou un tenseur `a chaque point) se transforme
sous rotation de telle mani`ere `a former une repr´esentation du groupe des ro-
tations, SO(3). En m´ecanique quantique, par contre, certains champs se trans-
forment, sous rotation des axes de coordonn´ees, comme les composantes de
spineurs ; ainsi, ils forment des repr´esentations de SU (2) plutˆot que de SO(3).
C’est ce que l’on se propose de montrer, entre autres, dans ce chapitre d’intro-
duction [1,2,3,4,5,6].
Notation :
⋆ GL(n, C) = {M|M= matrices n×ncomplexes avec det (M)6= 0}
(matrices non-singuli`eres complexes).
⋆ GL(n, R) = {M|M= matrices n×nr´eelles avec det (M)6= 0}
(matrices non-singuli`eres r´eelles).
⋆ SL(n, C) = {M∈GL(n, C)|det (M) = +1}
(matrices unimodulaires complexes).
⋆ SL(n, R) = {M∈GL(n, R)|det (M) = +1}
(matrices unimodulaires r´eelles).
⋆ O(n) = R∈GL(n, R)|RTR= 1In
(matrices orthogonales).
⋆ SO(n) = {R∈O(n)|det (R) = 1}
(rotations en ndimensions).
⋆ U(n) = {S∈GL(n, C)|S∗S= 1In}
(matrices unitaires).
⋆ SU(n) = {S∈U(n)|det (S) = 1}.
Soit M∈GL(n, C) une matrice non-singuli`ere complexe. Nous d´enotons
par M−1sa matrice inverse, par MTsa matrice transpos´ee, par ¯ Msa matrice
complexe conjugu´ee et par M∗=¯ MTsa conjugu´ee hermitienne.
4

Chap. 1 : Sym´etries, moment cin´etique et spin 5
D´efinition 1.0.1 Un groupe de matrices G⊂GL(n, C)qui d´ecrit une surface
polynˆomiale r´eguli`ere dans Cn2est appel´e un groupe de Lie.
Une surface polynˆomiale dans Cmest une surface Squi est donn´ee par un
nombre de conditions polynˆomiales,
S={x∈Cm|P1(x) = P2(x) = ···=Pk(x) = 0}, k < m . (1.1)
La surface Sest r´eguli`ere si les polynˆomes P1(x),···, Pk(x) peuvent ˆetre choisis
tels que le rang de la matrice ∂Pj
∂xiest maximal pour tout x∈S. Le nombre
(m−k) est la dimension de la surface S. Elle peut ˆetre param´etris´ee localement
par (m−k) param`etres ; ceci est une cons´equence du th´eor`eme des fonctions
implicites.
Un exemple d’une condition polynˆomiale est P(M) = det (M)−1. Elle est
non-d´eg´en´er´ee si la matrice ∂P (M)
∂Mij ≡Pij (M)6= 0 pour tout Mavec P(M) = 0.
La d´efinition donn´ee d’un groupe de Lie n’est pas la d´efinition g´en´erale abs-
traite, mais elle suffit pour les besoins de ce cours. Tous les groupes donn´es en
page 4sont des groupes de Lie.
D´efinition 1.0.2 Soit G⊂GL(n, C)un groupe de Lie. L’alg`ebre de Lie cor-
respondant `a Gest donn´ee par
G={M|matrice n×ntelle que exp (tM)∈G , ∀t∈R}.(1.2)
Ici, exp (tM ) est d´efini par
exp (tM ) = 1 + tM +1
2(tM)2+··· 1 n!(tM)n+··· .(1.3)
Il est relativement facile de d´emontrer que Gest un espace lin´eaire (r´eel) de
la mˆeme dimension que celle du groupe de Lie G, et que pour M, N ∈ G, nous
avons [M, N ]≡MN −N M ∈ G. De plus, si S∈Get M∈ G, alors SM S−1∈ G
(pour plus de d´etails, voir [7]).
1.1 Invariance sous rotation et moment cin´etique
pour des particules sans spin (s= 0)
Dans l’espace de Hilbert, H=L2(R3), une particule sans spin n’est pas
repr´esent´ee par un unique vecteur complexe Ψ ∈H, mais par un rayon unitaire,
not´e [Ψ] :
[Ψ] = eiαΨ|α∈R,.(1.4)
Un ´el´ement Ψ ∈[Ψ] est appel´e une fonction d’onde. Le produit scalaire entre
deux fonctions d’onde Φ,Ψ∈Hest d´efini par l’application (·,·) : H→C,
(Φ,Ψ) :=Zd3x¯ Φ(x)Ψ(x).(1.5)
Evidemment, (Φ,Ψ) = (Ψ,Φ). De plus, nous avons les propri´et´es (Φ,Ψ1+ Ψ2) =
(Φ,Ψ1) + (Φ,Ψ2) et (Φ1+ Φ2,Ψ) = (Φ1,Ψ) + (Φ2,Ψ). Finalement, si a∈C,
(Φ, aΨ) = a(Φ,Ψ) et (aΦ,Ψ) = ¯a(Φ,Ψ).