Cinématique et dynamique newtoniennes

Cinématique et dynamique
newtoniennes
Introduction:
Qu’est-ce que le mouvement?
Hypothèse:
Expérience:
On observe la nuit, des étoiles qui bougent.
Que peut-on dire ce cette observation?
Définitions.
Le mouvement: C'est l'ensemble des positions d'un
corps rigide (mobile) dans l'espace au cours du
temps.
On représente le mouvement d’un point d'un corps
rigide au cours du temps par sa trajectoire.
Le mouvement c'est le phénomène Physique (ce
qui se passe réellement) et la trajectoire sa
représentation ( sur du papier, la traînée d'un
avion...)
Pour l'étude d'un
mouvement,
il faut toujours fixer un
référentiel.
Définition d’un référentiel : Un
référentiel est un corps rigide de
référence.
On dit que le mouvement est
relatif.
Il dépend du référentiel.
Un objet rigide possède de nombreux points, il y
a donc un très nombre de mouvement à étudier.
On va modéliser un objet rigide en disant que
l’étude se fait de loin.
On peut donc considérer l’objet vu de loin
comme ponctuel!
En ce point (centre de gravité), toute la masse
de l’objet est concentrée.
Cela permet de simplifier l’étude du
mouvement.
Avec ce modèle, il n’y aura pas d’étude de
mouvement de translation et de rotation.
On étudiera simplement les trajectoires du point
mobile. Et on pourra caractériser le mouvement
du point mobile.
Etude du mouvement d’un point.
Pour cela il faut fixer le référentiel d’étude.
Dans le référentiel, on définit un repère d’espace
et de temps.
Une horloge et repère orthonormé liés au
mouvement.
On aura toujours une horloge qui ne dépendra
pas du mouvement car on va travailler en
mécanique Newtonienne.
On va fixer un repère d’espace dans ce
référentiel.
Un repère orthonormé est défini par une base
de vecteurs unitaires:
Suivant l’axe des x: 𝑖; l’axe des y: 𝑗; l’axe des z:𝑘
z
𝑘 𝑗
O
𝑖
x
y
Avec un tel repère on peut repérer des points
dans l’espace.
z
𝑧1
M( ,𝑦1 𝑧1 )
+
𝑘 𝑗
𝑥1
x
𝑖
𝑦1
y
On Définit un vecteur 𝑂𝑀, comme une
grandeur mathématique ayant:
• Une valeur que l’on appelle la norme ou
le module.
• Une direction (suivant une droite)
• Un sens (on va de A vers B)
Coordonné d’un vecteur dans un repère
orthonormé.
z
𝑂𝑀= 𝑥1𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘
𝑧1
M
+
𝑥1 𝑖
𝑥1
𝑘O 𝑗
𝑖
𝑦1 𝑗
x
𝑧1 𝑘
𝑦1
y
𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1 𝑘
Le vecteur
Est définit par ses coordonnées 𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1
On peut l’écrire:
Ou
𝑂𝑀
𝑥1
𝑦1
𝑧1
𝑂𝑀(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 )
Addition de vecteur dans un plan.
𝑢
𝑥
𝑢 +𝑥=
Méthode pour une addition:
Addition de vecteur dans un plan.
𝑢
𝑥
𝑢+ 𝑥
𝑥
Un mobile ponctuel en mouvement est défini
par:
Sa position: 𝑂𝑀.
Sa vitesse 𝑉 caractérisée par une valeur, une
direction et un sens.
𝑢 a pour coordonnés 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧
• Le vecteur 𝑥 a pour coordonnés 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧
• Le vecteur 𝑢 + 𝑥
• Le vecteur
1
1
1
2
2
2
A pour coordonnés 𝑥1 +𝑥2 ; 𝑦1 +𝑦2 ;
𝑧1 + 𝑧2
On définit la valeur de la vitesse moyenne du
point M dans le repère orthonormé:
La distance de O à M ∆(OM) divisée par la durée
du parcourt ∆𝑡
V(𝑀) =
∆(𝑂𝑀)
∆𝑡
On définit la vitesse instantanée comme la limite
de la vitesse moyenne quand ∆𝑡 tend vers zéro.
∆(𝑂𝑀)
𝑣 𝑀 = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
Cette définition correspond à la dérivée de
OM par rapport au temps.
En math on dérive toujours par rapport à x, il est
donc inutile de le préciser, c’est pour cela que
l’on écrit symboliquement f’
En physique on peut dériver par rapport à de
nombreux paramètres, c’est pour cela qu’il faut
le préciser.
Ecriture d’une dérivée en physique:
Si on dérive OM par rapport à x on écrit:
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑥
Si c’est par rapport au temps on écrit:
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
Coordonnée d’une vitesse instantanée:
La valeur de la vitesse instantanée:
𝑣 𝑀 =
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
avec OM(x, y, z)
On a donc
Vecteur vitesse
𝑣 𝑀
fixes
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
( , , )
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
car les vecteurs de bases sont
• Le vecteur Vitesse:
𝑣 𝑀
𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑖+
𝑑𝑦 𝑑𝑧
j+ k
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Dans le plan à 2 dimensions (x, z)
𝑣 𝑀
𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑖+
𝑑𝑧
k
𝑑𝑡
Tracer ce vecteur:
Tr
En déduire la norme ou la valeur de la vitesse.
Pour tracer le vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse est une dérivée;
On sait que la dérivée est représentée par une
tangente au point de dérivation de la courbe.
La vitesse instantanée au point M est la tangent
à la courbe au point M.
On définit l’accélération moyenne comme:
Par analogie l’accélération instantanée est défini
par la dérivée de la vitesse instantanée par
rapport au temps.
∆𝑣𝑀 (𝑡)
𝑎𝑀 (𝑡) = lim
∆𝑡→0 ∆𝑡
Quelle est l’unité de l’accélération?
Un mouvement rectiligne et uniforme signifie:
Le point matériel a une trajectoire rectiligne, il
se déplace suivant une droite.
Le mouvement uniforme, c’est que la valeur
(norme ou module) de la vitesse est constante.
Son accélération est nulle.
Un mouvement circulaire et uniforme signifie:
Le point matériel a une trajectoire circulaire, il
se déplace suivant un cercle.
Le mouvement uniforme, c’est que la valeur de
la vitesse est constante. (mais pas le vecteur)
L’accélération, se fait suivant la direction du
rayon, avec un sens de l’extérieur vers l’intérieur.
On parle d’accélération centripète.
Il faut toujours adapter le référentiel au
mouvement et qu’il soit utilisable par tout le
monde!
Pour cela il faut utiliser un référentiel Galiléen:
C’est un référentiel, dans lequel, le principe
d’inertie est applicable.
Le principe d’inertie dit qu’un objet (référentiel)
isolé ou pseudo-isolé garde son mouvement de
translation rectiligne et uniforme.
Isolé signifie que l’objet n’est soumis à aucune
force.
Pseudo-isolé, signifie que les forces qui agissent
sur lui se compensent.
Application:
Une salle:
La Terre
Le Soleil
Un train
Tous les référentiels en translation rectiligne et
uniforme par rapport à un référentiel galiléen
sont galiléens.
Etude du mouvement de la Planète Mercure
dans le référentiel héliocentrique.
Ce référentiel, possède un repère d’espace
centré sur le Soleil dont les 3 axes se dirigent
vers 3 étoiles
On trace les vecteurs vitesse.
Puis variation de vitesse.
En première vous avez vu qu’il existait une
interaction ou force qui agissait sur les masses.
La force gravitationnelle.
𝐺𝑀𝑠 𝑀𝑚
La valeur est 𝐹𝑠/𝑀 = 𝑟2
La direction de la planète Soleil.
Sens de la planète vers le Soleil.
On voit que le vecteur accélération et la force
gravitationnel ont même direction et même
sens.
L’accélération et la force résultante sont des
grandeurs proportionnelles.
On définit une nouvelle grandeur physique:
Le vecteur quantité de mouvement:
𝑝=m𝑣
Quelle est son unité?
Plus la quantité de mouvement est grande, plus
il est difficile d’arrêter le mobile.
Le principe fondamental de la dynamique (PFD)
ou deuxième loi de Newton.
Une force, c’est une action pouvant produire
une modification du mouvement d’un système
physique.
Toutes les forces qui agissent sur un mobile
peuvent être confondues en une force
résultantes. (addition vectoriel)
La résultante des forces est proportionnelle à
l’accélération pour des mobiles à masse
constante.
𝐹𝑎 𝑏 =m. 𝑎
Si la masse n’est pas constante, il faut
généraliser cette formule.
𝐹𝑎 𝑏 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Si on développe la formule on retombe sur la
formule précédente.