** EXERCICES
Dynamique du point matériel 156
** EXERCICES
1.5
D
5, 5
kg
ABC
) !"( "$ %
"
'
EE
&' &
10 /
tours mn
.)*:
/%" &" &"
)/%" " -
./%"
/- - " &'/" &'" &"
0" .$1
1
9,8
gms
=.
Exercice 5.1
Un corps
D
de masse
5, 5
kg
(figure ci-dessous) se
déplace sans frottement sur la surface d’un cône
ABC
,en tournant autour de l’axe
'
EE
avec une
vitesse angulaire de
10 /
tours mn
.Calculer :
a/ la vitesse linéaire du corps,
b/ la réaction de la surface sur le corps,
c/ la tension du fil,
d/ la vitesse angulaire nécessaire pour rendre nulle la
réaction du plan.
On prend
1
9,8
gms
=
60
°
E
'
E
A
C
D
4,5
m
B
.52
2" & $ &3 4 05 :
1/' * !" )6" * 7
&"" &"-" 8 * !:
(
)
12 31 232
4
mm ml mml
+=
2/)6" " 3 " 2" *.
Exercice 5.2
En considérant les forces de frottement comme
négligeables ainsi que la masse de la poulie,
1/ montrer que la barre
AB
dans la figure ci-
dessous sera en équilibre à condition que l’équation
suivante soit vérifiée :
(
)
12 31 232
4
mm ml mml
+= ,
2/ trouver la force que le couteau exerce sur la
barre.
3
m
2
m
1
m
O
1
l
2
l
A
B
Dynamique du point matériel 157
.53
" $ 4 05 3 " $7
" &5 9 7- " ".
"" * !" * : *
(
)
a
(
)
b
.
Exercice 5.3
Dans cet exercice on néglige les forces de
frottement ainsi que les masses des poulies et celles
des fils que nous considérons comme inextensibles.
Trouver les accélérations des corps de la figure ci-
dessous dans les deux cas
(
)
a
et
(
)
b
.
3
m
2
m
1
m
(
)
a
3
m
2
m
1
m
(
)
b
.54
!" ;
5
N
6 <
! = >
35
=°
.- 4 " 7
0.80
.$1
2
10
gms
=.
/7&' " &'/" " ? " @
)/725 4 " A&@
./72" &A"
35
°
@
/725 4 " "
35
°
@
Exercice 5. 4
La figure ci-dessous représente un corps dont le
poids est
5
N
et qui repose sur un plan rugueux
incliné de
35
=°
.Le coefficient de frottement
statique est
0.80
.On prend
2
10
gms
=.
a/ Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que le
corps décolle ?
b/ Quelle est la force de frottement statique
maximale?
c/ Quelle est la force normale pour
35
°
?
d/ Quelle est la force de frottement statique pour une
inclinaison de
35
°
?
m
Dynamique du point matériel 158
.55
!" ;
8
N
6 <
! = )
35
=°
.- 4 " 7
0.40
.$1
2
10
gms
=/7&' " &'/" " " &
&; @
)/72" &A"
35
=°
@
./725 4 "
35
=°
@
/7B"
35
=°
@
Exercice 5.5
La figure ci-dessous représente un corps dont le
poids est
8
N
et qui repose sur un plan rugueux
incliné de
35
=°
.Le coefficient de frottement
cinétique est
0.40
.On prend
2
10
gms
=.
a/ Quel doit être l’angle d’inclinaison pour que le
corps glisse avec une vitesse constante ?
b/ Quelle set la force normale pour une inclinaison
de
35
=°
?
c/ Quelle est la force de frottement pour
35
=°
?
d/ Quelle est l’accélération pour une inclinaison
de
35
=°
?
m
.56
?6
B
3
kg
C
A
5
kg
) !".( D
"
A
' <$" " ./-
" " " 4 7
""
0, 2
0,1
.
/ 3 " &A 2" 7
- " EF ? &" 8"' @
)/@&A 2" G$7 8 B" 7
./" B 7
B
2" * 25 : $F
" & G/* 2$" &A
A
& @
"
B
@
Exercice 5.6
Un corps
B
de masse
3
kg
est placé sur un autre
corps
A
de masse
5
kg
(figure ci-dessous). On
suppose qu’il n’y a pas de frottement entre le corps
A
et la surface sur laquelle il repose Les coefficients de
frottement statique et cinétique entre les deux corps
sont respectivement
0, 2
et
0,1
.
a/ Quelle force maximale peut-on appliquer à chaque
corps pour faire glisser le système en maintenant
ensemble les deux corps ?
b/ Quelle est l’accélération quand cette force
maximale est appliquée ?
c/ Quelle est l’accélération du corps
B
si la force est
plus grande que la force maximum ci-dessus et est
appliquée au corps
A
?et appliquée au corps
B
?
B
A
F
.57
& :-6
2
m
& 8
1
m
&" :-6 ; %
&' = 0
8 ?.H -
"
1
m
2
m
7
2
h
%
1
m
=" "
Exercice 5.7
On pose une masse
2
m
sur une masse
1
m
,puis on
pose l’ensemble sur un plan incliné d’un angle
par
rapport à l’horizontal. Le coefficient de frottement
cinétique entre
1
m
et
2
m
est
2
h
,et entre
1
m
et la
Dynamique du point matériel 159
7
1
h
.
" B )*.
< 8:
12 2
2
1
2 0,3 , 8 ,
5 , 60 , 9,8
hh mkg
mkg g ms
== =
==°=
surface inclinée il est
1
h
.
Calculer les accélérations des deux masses.
Application numérique :
12 2
2
1
2 0,3 , 8 ,
5 , 60 , 9,8
hh mkg
mkg g ms
== =
==°=
2
m
1
m
.58
"
A
B
7 * !"
""
10
kg
5
kg
.4 ->"
A
&"" ?
7
0, 20
.3 " D 2" & 3
H &" .>" &IJ &" *
C
? "
A
" ." B )* $F &
-
C
.
Exercice 5.8
Les masses des corps
A
et
B
sur la figure ci-dessous
sont respectivement
10
kg
et
5
kg
.Le coefficient de
frottement de
A
avec la table est
0, 20
.La masse
de la poulie est négligeable. Le fil est inextensible et
de masse négligeable. Trouver la masse minimale de
C
qui empêche
A
de bouger.
Calculer l’accélération du système si on soulève
C
.
C
A
B
9.5
3 & & K$
m
&= &
0
v
?J
&'"
&6 &$" " ?6 8 ?.
I/ :
1/ F" 3 8 &" &" 'F
".B" $= )F
(
)
at
.
)*:
2/&"
(
)
vt
.
3/?6"
(
)
OM t
.
4/& "
max
OA x
=.
5/A B4
max
z
&$" I <$" .
II / :
.'" 4 &" &" ?6
B"
.
fkv
=
.
Exercice 5.9
Un point matériel de masse
m
est lancé avec une
vitesse initiale
0
v
faisant un angle
avec
l’horizontale. Il est soumis au champ de gravitation
terrestre.
I. Le tir a lieu dans le vide :
1. Isoler le point matériel et lui appliquer le principe
fondamental de la dynamique. Calculer alors
l’accélération
(
)
at
.
Calculer :
2. la vitesse
(
)
vt
.
3. la position
(
)
OM t
.
4. la distance
OA
.
5. l’altitude maximale
max
z
atteinte par ce projectile.
II. Le tir a lieu dans l’air :
Le point matériel est soumis à un frottement
Dynamique du point matériel 160
1/ F" 3 8 &" &" 'F
".
2/D-
a
>
dv
dt
J * L %
&"" &6" &"-":
dv k
vg
dt m
+=
3/&A" &" &-!" 2-" MF
(
)
vt
.
& &5 "F N 2 G$7 * L
L
m
vg
k
=
.
4/?6" MF
(
)
OM t
. )*
B-!" $7.
5/&A" )*
s
t
2$" &$" 3 O "
S
" ;H M 7"
s
x
s
z
.
6/ " * 7
t
.
III/ :
" P " -" !" *
"":
1/Q" " ) .(
2/E3" " ).'" .(
visqueux du type
.
fkv
=
:
1. Isoler le point matériel et lui appliquer le principe
fondamental de la dynamique.
2. En remplaçant
a
par
dv
dt
,montrer que l’on
obtient l’équation différentielle suivante :
dv k
vg
dt m
+=
.
3. En déduire l’expression vectorielle de la vitesse
instantanée
(
)
vt
.Montrer que celle-ci tend vers une
valeur limite L
m
vg
k
=
.
4. En déduire la position
(
)
OM t
.Ecrire les
expressions des composantes de ce vecteur.
5. Calculer l’instant
s
t
pour lequel le projectile
atteint le sommet
S
de la trajectoire et en déduire les
coordonnées
s
x
et
s
z
correspondants.
6/ Démontrer que la trajectoire a une asymptote
lorsque
t
.
III.Synthèse graphique :
Tracer qualitativement sur un même graphique la
trajectoire dans les deux cas suivants :
1. le tir a lieu dans le vide (pas de frottement).
2.le tir a lieu dans l’air (frottement visqueux).
0
v
O
X
.501
5KJ 2 ?6 7
2
Rm
=
7'
O
* 0 .3 & 8"'
m
"
&" 3; ;1 :
0
M
KJ * &-5"
2".
1/&" &6" &"-" ) E;* &" G$7
54'H 4 - * 354'
7 2"
µ
.
2/ !:
/&" &" &" *
M
& -"
&'"
0
MOM
=&5/-" -
()
21cos
vRg
=%
)/&'" $= MF
0
3* "
%&" R5 %2" &" I
./&" )*
0
v
& " .
Exercice 5.10
Une demi sphère de rayon
2
Rm
=
et de centre
O
repose sur un plan horizontal. Une particule de
masse
m
,partant du repos du point
0
M
situé en haut
de la demi sphère, glisse sous l’action de son poids.
1/ Ecrire l’équation différentielle du mouvement de
la particule au cours de son glissement, sachant que le
coefficient de glissement sur la surface de la sphère
est
µ
.
2/ En négligeant les frottements :
a/ démontrer que la vitesse acquise au point
M
défini par l’angle
0
MOM
=est donnée par
l’expression
()
21cos
vRg
=,
b/ en déduire alors l’angle
0
sous lequel la particule
quitte la surface de la sphère, discuter le résultat,
c/ calculer la vitesse
0
v
correspondante.
3/ Au moment où la particule quitte le point
M
avec
6
7
8
9
10
11
1
/
11
100%
