Induction MP*1- 2016/2017 1) Freinage par induction :

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MP*1- 2016/2017
Induction
1) Freinage par induction :
On considère la chute d’une tige horizontale conductrice, de masse m et de longueur 𝑎.
La tige, lâchée sans vitesse initiale, glisse sur deux rails verticaux
dipôle
𝑔
conducteurs distants de 𝑎. On suppose qu’il n’y a pas de frottement
entre la tige et les rails. Les rails sont reliés par un dipôle électrique.
⃗ ⊙
𝐵
⃗ uniforme et orthogonal aux rails et à la
On a un champ magnétique 𝐵
tige. On néglige le flux propre du système {rails + barre} devant le
flux extérieur. On suppose que la tige est en 𝑥 = 0 au temps 𝑡 = 0.
𝑥
1) Etudier le mouvement de la tige dans les cas où le dipôle est un conducteur
ohmique de résistance 𝑅, un condensateur de capacité 𝐶 et une bobine d’inductance 𝐿.
2) Tracer l’allure de la vitesse dans chaque cas, ainsi que le cas où il n’y a pas de
champ magnétique. Montrer que la vitesse est toujours plus faible que dans le cas d’absence
de champ magnétique.
2) Déplacement de deux barreaux :
On considère deux rails parallèles horizontaux 𝑇1 et 𝑇2 sur lesquels sont disposés deux
barreaux métalliques conducteurs. On maintient l’ensemble dans un champ magnétique
permanent et uniforme, dans un plan perpendiculaire aux plans des rails. Les barreaux ont
même masse 𝑚, même longueur 2𝑎 et même résistance 𝑅. On néglige les frottements.
Montrer que si l’on déplace l’un des barreaux d’une distance d, lorsque le mouvement
cesse, l’autre barreau s’est déplacé de la même distance 𝑑.
3) Oscillations d’une tige dans un champ magnétique
une tige conductrice, homogène, de masse 𝑚, de
moment d’inertie par rapport à l’axe 𝐴𝑧 : 𝐽, de
longueur 𝑙 est mobile sans frottement autour de
l’axe 𝐴𝑧 et effectue des oscillations de faible
amplitude. Etudier l’évolution du système.
4) Moteur linéaire :
𝐿
𝑔
𝐶
𝐴
𝑚, 𝑙
⃗ ⊙
𝐵
Un cadre 𝐶, carré, conducteur, de côté 𝑎 est plongé dans un champ magnétique
⃗ = 𝐵𝑜 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑥 − 𝜔𝑜 𝑡) 𝑢
𝑦
𝐵
⃗ 𝑧 . Il se déplace à la vitesse
𝜆
𝑣𝑜
constante 𝑣𝑜 = 𝑣𝑜 𝑢
⃗ 𝑥 , la normale au plan du cadre restant
⃗ ⊙
𝐵
parallèle à 𝑢
⃗ 𝑧 . On note 𝑅 la résistance du cadre et 𝐿 son
inductance propre.
𝑥
1) Calculer la force instantanée 𝐹 subie par 𝐶.
2) Quelle est sa valeur moyenne? A quelle condition a-t-on un moteur? On mettra en
évidence une valeur critique de 𝑣𝑜 .
2
3) Calculer la puissance moyenne 𝑃𝑚 de ce moteur et la puissance dissipée par effet
Joule 𝑃𝐽 . Commenter.
Un moteur linéaire est un moteur électrique de type asynchrone dont le « rotor » a été
« déroulé » de sorte qu'au lieu de produire un couple (rotation), il produise une force linéaire
sur sa longueur en installant un champ électromagnétique de déplacement.
Moteur linéaire industriel.
Train canadien se déplaçant grâce à
la bande d'aluminium que l'on voit
entre les voies.
Train Shangai Maglev. Sa vitesse
atteint 431 km/h.
5) Pince ampèremétrique :
Une bobine torique de rayon moyen 𝑅 est constituée de spires carrées de côté 2𝑎. Elle
comprend 𝑁 spires. Sa résistance est 𝑅𝑜 .
1) Avec une étude des symétries et l’aide du théorème d’Ampère, déterminer le champ
magnétique créé par le tore dans tout l’espace lorsque celui-ci est parcouru par un courant 𝑖.
2) En déduire le flux du champ magnétique du tore à travers une spire du tore, puis à
travers toutes les spires du tore.
3) On place sur l’axe 𝑧𝑧’ du tore un fil droit parcouru par un courant 𝐼. Quel est le flux
du champ magnétique créé par le fil à travers toutes les spires du tore ? Commenter le résultat.
4) On suppose que l’intensité du courant du fil varie et vaut 𝐼 (𝑡) = 𝐼𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 avec
𝐼𝑜 = 1 𝐴 et une fréquence de 50 𝐻𝑧. Le tore lui n’est relié à aucun générateur. Quelle est
𝜇 𝑎𝑁
𝑅+𝑎
l’intensité du courant induit 𝑖(𝑡) dans le tore. On posera 𝑀 = 𝑜𝜋 𝐿𝑛 𝑅−𝑎 . Que se passe-t-il
pour 𝑀𝑁𝜔 ≫ 𝑅𝑜 .Commenter.
La pince ampèremétrique est constituée d'une pince à
l'intérieur de laquelle on fait passer le conducteur traversé
par le courant dont on souhaite mesurer l'intensité. Son
principal intérêt est l'absence de contact physique et
d'ouverture du circuit pour y insérer un ampèremètre
classique.
6) Freinage d’une spire par induction :
On suspend une spire de centre O, de rayon 𝑎 à un fil 𝑂𝑂1. La masse de la spire est 𝑚,
3
son moment d’inertie par rapport à 𝑂𝑂1 est 𝐽, sa résistance est 𝑅 et on
néglige son coefficient d’auto-inductance.
On impose un champ magnétique uniforme, horizontal et
stationnaire. On lance la spire avec les conditions initiales 𝜃(0) =
̇ 𝜔𝑜 , 𝜃 étant l’angle entre le champ magnétique et la normale à
0, 𝜃(0) =
la spire.
1) Etablir l’équation différentielle du mouvement.
2) Pour quel angle 𝜃𝑓 la spire s’arrête-t-elle?
𝜃
1
𝑂1
𝑂
⃗ ⊙
𝐵
𝑠𝑖𝑛2𝜃
On donne ∫0 𝑓 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 = 2 (𝜃𝑓 − 2 𝑓 ).
3) Calculer l’énergie totale dissipée par effet Joule dans la spire. Conclure.
7) Solénoïde dans l’ARQS :
Un solénoïde infini, de section circulaire de rayon 𝑎, comprend 𝑛 spires par unité de
longueur, chacune étant parcourue par un courant sinusoïdal d’intensité 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑜 cos(𝜔𝑡). On
suppose que le courant varie assez lentement pour se placer dans l’ARQS.
1) Ecrire les équations de Maxwell dans l’ARQS.
2) Quelle est l’expression du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde ?
3) En déduire qu’il règne dans le solénoïde un champ électrique induit par les
variations du courant, de la forme 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸(𝑟, 𝑡)𝑢
⃗ 𝜃 en coordonnées cylindriques d’axe 𝑧.
Expliciter la fonction 𝐸(𝑟, 𝑡).
4) On place sur l’axe z dans le solénoïde un barreau cylindrique conducteur de
longueur ℎ, de rayon 𝑏 et de conductivité 𝛾. Quelle est la puissance dissipée par effet Joule
dans ce cylindre.
8) Principe d’un moteur asynchrone :
Une spire plane, de surface 𝑆, de résistance 𝑅 et d’inductance 𝐿, peut tourner librement
autour de l’axe 𝑂𝑧. Elle est soumise à un champ magnétique dont la norme reste égale à
⃗ = 𝐵𝑜 𝑢
𝐵𝑜 mais dont la direction tourne au cours du temps: 𝐵
⃗ (𝑡) où 𝑢
⃗ (𝑡) est un vecteur
unitaire, orthogonal à 𝑂𝑧, faisant l’angle 𝜑𝑜 (𝑡) = 𝜔𝑜 𝑡 avec le vecteur 𝑢
⃗ 𝑥 . La spire est animée
d’un mouvement de rotation uniforme à la vitesse angulaire 𝜔. L’angle entre la normale à la
spire et le vecteur 𝑢
⃗ 𝑥 est 𝜑(𝑡) = 𝜔𝑡 + 𝛽
1) Déterminer, en régime permanent, le moment des forces de Laplace s’exerçant sur
la spire puis leur moyenne temporelle. Commenter.
2) Effectuer un bilan énergétique. Le couplage électromécanique est-il parfait?
Interpréter.
Indications :
1) Freinage par induction :
Dans les trois cas, orienter le circuit, calculer le flux extérieur et appliquer la loi de Faraday ;
exprimer la force de Laplace en fonction de 𝑖(𝑡) ; pour le conducteur ohmique, 𝑖(𝑡) = 𝑒(𝑡)/
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑖(𝑡)
𝑅, pour le condensateur, 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑡 ; pour la bobine, 𝐿 𝑑𝑡 = 𝑒(𝑡).
2) Déplacement de deux barreaux :
Calculer le flux du champ extérieur à travers le circuit et appliquer la loi de Faraday ; puis
appliquer la loi de la quantité de mouvement à chaque barreau ; il faut travailler avec le
barreau qui n’est soumis à aucune force extérieure.
3) Oscillations d’une tige dans un champ magnétique :
4
Un oscillateur mécanique (le pendule) et un oscillateur électrique (circuit 𝐿, 𝐶) sont couplés
⃗.
par le champ 𝐵
Ecrire les équations électrique et mécanique. On obtient un système d’équations couplées en
𝜃 et 𝑖. Il faut établir l’équation aux pulsations propres.
4) Moteur linéaire :
1) Il faut calculer le flux à travers le cadre dans une position 𝑥(t) du centre d’inertie du cadre,
en déduire la fem induite en négligeant l’auto-induction puis trouver l’expression du courant
induit dans le cadre ; on peut alors calculer les actions de Laplace sur les côtés du cadre ; 2)
On aura un moteur si la puissance de cette force est positif.
5) Pince ampèremétrique :
⃗ (𝑀) = 𝐵(𝑟, 𝑧)𝑢
1) L’étude des symétries montre que 𝐵
⃗ 𝜃 puis appliquer le théorème d’Ampère
en circulant sur un cercle d’axe 𝑧 ; 2) Découper chaque spire en surface élémentaire 𝑑𝑆 =
𝑑𝑟𝑑𝑧, puis intégrer ; 3) Remarquer que le champ d’un fil infini est très voisin de celui du tore
à l’intérieur de celui-ci, donc inutile de recommencer les calculs ; 4) Appliquer la loi de
Faraday en tenant compte du flux extérieur et du flux propre ; résoudre dans le cas du régime
établi en posant 𝑖(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; si 𝑀𝑁𝜔 ≫ 𝑅𝑜 , le courant induit est proportionnel
au courant du fil mais dans un rapport 1/𝑁.
6) Freinage d’une spire par induction :
1) Etablir l’équation électrique en calculant le flux du champ magnétique extérieur à travers la
spire, puis en appliquant la loi de Faraday ; appliquer la loi du moment cinétique ; le couple
⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ ; 2) Intégrer
appliquer à une spire dans un champ magnétique extérieur est ⃗ = 𝑀
l 'équation différentielle, du début à l’arrêt de la spire ; 3) Multiplier l’équation électrique par
𝑖(𝑡)𝑑𝑡 et l’équation mécanique par 𝜃̇(𝑡)𝑑𝑡.
7) Solénoïde dans l’ARQS :
2) Dans l’ARQS les solutions du magnétisme sont les mêmes que celles des régimes
permanents ; 3) Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday et calculer la circulation de 𝐸⃗ sur un
cercle d’axe 𝑧 ; 4) Le champ 𝐸⃗ crée une densité de courant 𝑗 induit ; utiliser la puissance
volume de la force électromagnétique et intégrer sur le cylindre.
8) Principe d’un moteur asynchrone :
1) Calculer le flux du champ magnétique tournant à travers la spire, en déduire la fem induite
dans la spire puis le courant induit dans la spire ; le moment des actions de Laplace s’exerçant
  
sur la spire est donné par l’expression   M  B ; 2) Exprimer la puissance des actions de
Laplace et les pertes par effet Joule.
Solutions :
1) Freinage par induction :
𝑚𝑔𝑅
Pour le conducteur ohmique 𝑥̇ (𝑡) = 𝑎2 𝐵2 (1 − 𝑒𝑥𝑝 (−
𝑚𝑔𝑅
𝑚+𝐶𝑎2 𝐵2
𝑡 ; pour la bobine 𝑥̇ (𝑡) = −
𝑚𝑔√𝐿
𝑎𝐵
𝑠𝑖𝑛
𝑎𝐵
√𝐿
𝑡𝑎2 𝐵2
𝑅𝑚
) ; pour le condensateur 𝑥̇ (𝑡) =
𝑡.
2) Déplacement de deux barreaux :
La loi de la quantité de mouvement donne pour le barreau qui n’est pas soumis à une force
𝑑𝑣
extérieure : 𝑚 𝑑𝑡1 = −𝑖𝑎𝐵 = (𝑣1 − 𝑣2 )𝑎2 𝐵 2 ; en intégrant on a 𝑚(𝑣1𝑓 − 𝑣1𝑖 ) =
((𝑥1𝑓 − 𝑥2𝑓 ) − (𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖 )) 𝑎2 𝐵 2 = 0.
3) Oscillations d’une tige dans un champ magnétique :
5
Equation aux pulsations propres :  4   2 (12  22  32 )  1222  0 avec 12 
1
;
LC
3B 2 l 2
3g
; 32 
4mL
2l
4) Moteur linéaire :
 4 B 2 a 2   o

 2vo t

 a 
 vo  sin 2   sin 2 
 o t ux ;
1) F  o

R  2
 

 

2 2

 
2 B a   o

 a  
 vo  sin 2  ux ; on a un moteur si  P  F  .vo  0 donc si
2)  F  o

R  2
 

 22 
2 B a 2   o

  o

 a 
 vo  sin 2   ; on peut vérifier que
 vo   0 ; 3)  PJ  o


R  2
 
 2


 P    Pop    PJ  .
5) Pince ampèremétrique :
⃗ (𝑀) = 𝜇𝑜 𝑁𝑖 𝑢
⃗ (𝑀) = ⃗0 sinon ; 2) 𝜑𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒 = 𝜇𝑜 𝑎𝑁𝑖 𝐿𝑛 𝑅+𝑎 ;
1) 𝐵
⃗ si 𝑀 est dans le tore et 𝐵
2𝜋𝑟 𝜃
𝜋
𝑅−𝑎
2
2
𝜑𝑡𝑜𝑟𝑒 =
𝜇𝑜 𝑎𝑁 2 𝑖
𝑅+𝑎
𝐿𝑛 𝑅−𝑎 = 𝑀𝑁𝑖;
𝜋
𝜔 2 𝑀2 𝑁𝐵𝐼𝑜
3)
𝜔𝑀𝑅 𝑁𝐵𝐼
𝜑𝑓𝑖𝑙→𝑡𝑜𝑟𝑒 =
𝜇𝑜 𝑎𝑁𝐼
𝜋
𝑅+𝑎
𝐿𝑛 𝑅−𝑎 = 𝑀𝐼 ;
4)
𝐼
𝑖(𝑡) = − 𝑅2 +𝜔2 𝑀2 𝑁2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑅2 +𝜔𝑜2 𝑀2𝑁𝑜2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; si 𝑀𝑁𝜔 ≫ 𝑅𝑜 𝑖(𝑡) = − 𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 .
𝑜
𝑜
6) Freinage d’une spire par induction :
𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜋 2 𝑎4 𝐵2
𝜋 2 𝑎 4 𝐵2
1
1) 𝐽𝜃̈ = − 𝑅 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝜃̇ ; 2) 𝐽𝜔𝑜 = 2𝑅 (𝜃𝑓 − 2 𝑓 ) ; 3)𝑊𝐽 = 2 𝐽𝜔𝑜2 , l’énergie
mécanique s’est convertie en effet Joule.
7) Solénoïde dans l’ARQS :
𝑟
𝑏4
⃗ 𝑖𝑛𝑡 = 𝜇𝑜 𝑛𝐼𝑜 cos(𝜔𝑡)𝑢
2) 𝐵
⃗ 𝑧 ; 3) 𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝜔𝜇𝑜 𝑛𝐼𝑜 sin(𝜔𝑡) ; 4) < 𝑃𝐽 >= 𝛾ℎ𝜋𝜔2 𝜇𝑜2 𝑛2 𝐼𝑜2
2
8) Principe d’un moteur asynchrone :
2
2

Bo S 2 R(   o ) 
 Bo S 2 R(   o )
e

P

1)    
;
2)
;
z
2( R 2  L2 (  o ) 2
2( R 2  L2 (   o ) 2
Bo S 2 R(   o ) 2
 PJ 
.
2( R 2  L2 (   o ) 2
2
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