Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la ... Université de Sciences Et Technologies Oran Mohamed ...

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Sciences Et Technologies Oran Mohamed Boudiaf
-USTO MBFaculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
POST-GRADUATION
Option : Conception Electrique
MEMOIRE DE MAGISTER
Présenté par
Fekairi
Zahéra
Effet des conditions initiales sur la propagation d’une décharge haute pression
Devant le jury composé de :
BELARBI AHMED WAHID
PROFESSEUR
FLITTI AICHA
PRESIDENT DE JURY
USTO_MB
MAITRE DE CONFERENCES A
ENCADREUR
USTO_MB
RIZOUGA MOHAMED
MAITRE DE CONFERENCES A
EXAMINATEUR
USTO_MB
HARFI NAIMA
MAITRE DE CONFERENCES A
EXAMINATEUR
USTO MB
PROMOTION 2011-2012
Dicton
DICTON
Salviati : -L'activité constante que vous autres vénitiens
déployez dans votre célèbre arsenal est une source
inépuisable d'interrogations et de recherches pour l'esprit
curieux, spécialement les travaux impliquant la mécanique ;
Sagredo : -Tout à fait. Moi-même, curieux par nature, je visite
souvent ce lieu pour le simple plaisir d'observer...
Dédicaces
DEDICACES
A la mémoire de mon très cher père
A ma très chère mère
A mes frères
A mes sœurs
A mes meilleures amies Salima et Nadia
Zahéra Fekairi
Remerciements
REMERCIEMENTS
Je remercie mon encadreuse Madame Flitti Aicha, Maitre de Conférences A à l’Université
des Sciences et de la Technologie d ’ Oran U STO , Département de Technologie des Matériaux,
Faculté de Physique pour ses conseils, suggestions et pour toutes les heures qu’ elle a
consacrées à diriger cette recherche. J’ aimerai lui dire aussi à quel point j ’ ai apprécié sa
générosité et sa disponibilité afin de mener à bien ce travail de recherche et surtout ses
qualités d ’ écoute et de compréhension.
J’ adresse tous mes remerciements à Monsieur Belarbi Ahmed Wahid, Professeur à
l ’Université des Sciences et de la Technologie d’ Oran U ST O , Département de
l ’Electrotechnique, Faculté de Génie Electrique pour avoir accepté de présider mon jury.
Monsieur Rizouga Mohamed et Madame Harfi Naima, Maîtres de Conférences A à
l ’Université des Sciences et de la Technologie d’ Oran U ST O , Département de
l ’Electrotechnique, Faculté de Génie Electrique m ’ ont fait l’ honneur d’ examiner, d’ évaluer et
juger cette thèse. Je tiens à les en remercier vivement.
M a reconnaissance et mes remerciements vont aussi vers tous les enseignants qui ont
participé à ma formation pendant ma première année de post graduation et au responsable de
la post graduation Conception Electrique.
J’ attribue une mention particulière à mon défunt père, ma mère, mes frères et sœurs pour
leur soutien moral en toutes circonstances.
Que mes proches trouvent ici le témoignage de toute mon affection.
3
|
Résumé
Fekairi Zahéra : Effet des conditions initiales sur la propagation d’une
décharge haute pression
Thèse de Magister de l’Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Spécialité : Conception Electrique.
RESUME
Ce travail de recherche est consacré à la modélisation numérique en 2D du transport des
particules (électrons et ions positifs) dans une décharge haute pression (décharge streamer
positif). La configuration des électrodes est de type plan plan et le gaz utilisé est l’ azote. On a
choisi le modèle fluide (couplage des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann :
équation de continuité et équation de transfert de la quantité de mouvement à l'équation de
Poisson). On a calculé la densité de courant dans les équations de continuité à l’ aide du
schéma numérique amélioré de Scharfetter et Gummel d’ ordre un (SG1). Le schéma a été
établi par Kulikovsky. La résolution de l'équation de Poisson est effectuée en 2D par la
méthode Biconjugate Gradient Stabilized (B IC G ST A B ). On a obtenu la densité électronique,
la densité ionique, le champ électrique axial, le champ électrique radial, la densité de charge
nette, le terme source et le courant électrique extérieur suivant l’ axe de propagation. Les
courbes ont été tracées en une dimension et en deux dimensions. On a aussi étudié l’ effet des
conditions initiales (effet du fond de préionisation, effet de la dispersion radiale et de la
tension) sur la propagation de la décharge streamer et ses caractéristiques.
MOTS CLES
Décharge haute pression ;
Streamer positif ;
Equation de Boltzmann ;
Equation de dérive-diffusion en 2D ;
Schéma de Scharfetter et Gummel d ’ ordre un (SG 1) ;
Equation de Poisson en 2D;
Champ de charge d’ espace ;
Méthode Biconjugate Gradient Stabilized (B IC G ST A B );
Effets des conditions initiales.
4
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|
Résumé
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5
Introduction générale
INTRODUCTION GENERALE
Le
travail
de
recherche
du
présent
mémoire
a
été
effectué
au
Département
de
l ’Electrotechnique, Faculté de Génie Electrique, Université des Sciences et de la Technologie
d’ Oran dans le cadre de la post graduation Conception Electrique.
Les travaux réalisés dans cette thèse s’ articulent particulièrement sur la modélisation
numérique bidimensionnelle du transport des particules chargées (électrons et ions positifs)
lors de la propagation d’une décharge haute pression soit une décharge de type streamer
positif dans l’ azote. Cette étude est motivée par le fait que les plasmas réactifs hors équilibre
générés par les décharges électriques dans l’ azote à la pressio n atmosphérique utilisent les
espèces actives et ne nécessitent pas le conditionnement du gaz.
Ce type de plasma présente actuellement beaucoup d’ intérêts pour les applications
environnementales (dépollution des gaz d’ échappements) et pour un large éventail d’ autres
applications industrielles (traitement de surface) et biomédicales (décontamination ou
stérilisation, biomatériaux). Comme ce type de décharge a une structure radiale très fine et se
développe rapidement, une attention particulière doit être portée à la stabilité des schémas
numériques utilisés pour calculer la densité de courant ou flux dans l’ équation de continuité et
la résolution de l’ équation de Poisson.
Le manuscrit de ce mémoire est structuré en quatre chapitres :
Le premier chapitre est consacré à un état de l’ art sur les plasmas thermiques et non
thermiques en distinguant les caractéristiques de chaque type de plasma. On évoque aussi les
différents mécanismes physiques impliqués dans les phases d’ initiation, de dé veloppement et
de propagation des décharges de type streamer positif et négatif. Quelques applications
industrielles (dépollution et traitement des effluents gazeux, traitement de l’ eau, génération
d’ ozone, traitement de surface) des plasmas froids sont aussi traitées en fin du premier
chapitre.
Dans le chapitre II, on discute les deux approches pour l'étude théorique des plasmas:
l’ approche microscopique ou particulaire et l’ approche macroscopique ou hydrodynamique.
L ’ approche qui consiste à résoudre les équations de Boltzmann électronique et ionique
couplées à l’ équation de Poisson permet une description fine du problème : elle donne accès
aux fonctions de distribution des vitesses des particules chargées. Cette approche qu’ on
qualifie d’ approche microscopique est utilisée plutôt dans des conditions relativement peu
Introduction générale
collisionnelles (c'est-à-dire où les libres parcours des particules chargées ne sont pas très
petits par rapport aux dimensions caractéristiques macroscopiques du problème).
Dans le cas des décharges électriques dans un gaz à haute pression (pression atmosphérique),
les méthodes microscopiques sont moins justifiées et plus difficiles à mettre en œuvre en
raison des temps de calcul très élevés qu’ elles impliquent. On a recours à une approche
macroscopique.
Dans le formalisme macroscopique, le transport des particules chargées est caractérisé par
des grandeurs moyennes que sont la densité et la vitesse moyenne. On parle de modèle fluide
à deux moments : ce modèle est basé sur le couplage entre les deux premiers moments de
l’ équation de Boltzmann (continuité et transfert de quantité de mouvement) et l’ équation de
Poisson. Lorsqu’ on simplifie l’ équation de transfert de la quantité de mouvement, le modèle
est dit modèle de dérive-diffusion.
Pour calculer le flux dans l’ équation de continuité en une dimension, on fait appel à
plusieurs schémas numériques (Lax-Wendroff, Scharfetter et Gummel normal et amélioré
d’ ordre zéro (SG0) et d’ ordre un (SG 1), Flux Corrected Transport L o w Phase Error (FCTLPE)). Les deux schémas développés par Kulikovsky utilisent la notion de nœuds virtuels et
l’ interpolation exponentielle sur les densités de charge.
Dans le chapitre III, on effectue des tests numériques visuels pour le choix du schéma
numérique qu’ on va utiliser pour le calcul du flux dans l’ équation de continuité.
Ces tests sont réalisés en comparant les performances numériques du schéma SG 1 avec le
reste des schémas. On a aussi calculé l’Erreur Relative Moyenne (test qualitatif) pour
départager entre les deux schémas SG0 et SG1. Comme on va effectuer la modélisation
bidimensionnelle de la décharge filamentaire haute pression, on a résolu l’ équation de
dérive-diffusion en 2D par la méthode des pas fractionnés (splitting method). Cette méthode
consiste à remplacer l’ équation de continuité en deux dimensions par une succession
d’ équations monodimensionnelles suivant les deux directions axiale et radiale de l’ espace. On
a aussi résolu l’ équation de Poisson par la méthode Biconjugate Gradient Stabilized
(B ICG STA B ).
Dans le chapitre IV, on couple de manière auto-cohérente entre l’ équation de continuité
en 2D où le flux est calculé par le schéma SG1 et l’ équation de Poisson en 2D (résolue par la
méthode BICGSTAB) pour obtenir le modèle 2D pour la simulation de la décharge streamer
positif
dans le gaz azote dans une configuration plan-plan. On valide le code 2D par
comparaison de nos calculs avec les travaux issus de la littérature (travaux de Dhali et
Williams).
On effectue aussi une étude paramétrique en changeant une seule condition initiale à la fois
(valeur du font de préionisation, valeur de la tension et valeur de la dispersion radiale) pour
voir l’ effet de ce changement sur la propagation et les caractéristiques de la décharge
streamer.
7
|
Chapitre I
CHAPITRE I : ETAT DE L ’ART
Chapitre I
SOMMAIRE
C h ap itre I
Page
Sommaire
9
1.1.
Introduction
11
1.2.
Histoire de la physique des plasmas
11
1.3.
Définition du plasma
12
1.4.
Génération et maintien des plasmas
13
1.5.
Paramètres physiques caractérisant les plasmas
14
1.5.1.
Libre parcours moyen
14
1.5.2.
Longueur de Debye
16
1.5.3.
Température du plasma
16
1.5.4.
Densité
17
1.5.5.
Distribution d’ énergie des électrons
17
1.5.6.
Paramètre du plasma
18
1.6.
Autre moyen de classification
18
1.7.
Plasmas naturels et plasmas artificiels
20
1.7.1.
Plasmas dans la nature
20
1.7.2.
Plasmas artificiels ; décharges électriques
21
1.7.2.1.
Plasmas chauds ou thermiques
21
1.7.2.2.
Plasmas froids ou non thermiques
22
Coefficients caractéristiques des plasmas
23
1.8.1.
Mobilité
23
1.8.2.
Coefficient de diffusion
24
1.9.
Processus de collisions
24
1.9.1.
Collisions élastiques
25
1.9.2.
Collisions inélastiques
25
1.9.3.
Interactions inélastiques
26
1.10.
Caractéristiques du claquage dans les gaz
27
1.10.1.
Mécanisme de Townsend
28
1.10.2.
Loi de Paschen
29
1.10.3.
Mécanisme du streamer
30
1.10.3.1
Propagation du streamer positif
32
1.8.
9
|
Chapitre I
1.10.3.2.
Propagation du streamer négatif
36
1.11.
Applications des plasmas froids
37
1.11.1.
Dépollution et traitement des effluents gazeux
37
1.11.2.
Traitement de l ’ eau
38
1.11.3.
Génération d’ ozone
40
1.11.4.
Traitement de surface
41
Références bibliographiques
43
****
Chapitre I
1.1. Introduction
Les phénomènes de décharge électrique étudiés depuis près de deux siècles font l'objet de
recherches actives auprès des scientifiques. On peut s'étonner de cet état de fait mais on
comprend vite que cela n'est dû qu'à la très grande complexité du phénomène et des
mécanismes qui le constituent. Cependant, de grandes avancées ont été réalisées ces dernières
décennies dans l'amélioration des moyens de diagnostic des premiers instants de la décharge
et donc, dans l'étude des mécanismes d'initiation. Cela a permis d'accroître les connaissances
sur le phénomène décharge électrique et d'avancer dans les applications qui ont connu de plus
larges expansions.
Le présent chapitre est une introduction générale assez détaillée à la physique des plasmas,
des décharges électriques et de leurs applications industrielles qui sont très variées ; les
plasmas sont utilisés à différents titres : par exemple pour leurs hautes températures, parce
qu’ ils sont riches en espèces réactives chimiquement et également pour leurs propriétés
lumineuses [1].
1.2. Histoire de la physique des plasmas
A l ’ époque des Grecs, l ’ homme savait que le plasma était une constituante fondamentale de
la matière (plasma veut dire matière gélatineuse en grec). Toutefois, sa composition lui
échappait totalement. En 1870, le physicien anglais Sir W illiam Crookes a réussi à former une
nouvelle sorte de plasma à partir d’un arc électrique (figure (1.1)) dans un gaz.
A vec cette découverte, le début du vingtième siècle a connu des avancées significatives dans
le domaine des décharges haute pression. En 1900, Townsend a réalisé la première
modélisation d'une décharge correspondant au cas de la décharge luminescente (figure (1.2))
en champ uniforme.
L'idée que notre atmosphère est ionisée à partir d'une certaine altitude a été émise par
Appleton en 1925 : il a mis en œuvre l'étude des plasmas naturels devenue progressivement
l ’ étude des plasmas astrophysiques. L ’ appellation officielle du mot plasma a été initiée en
1928 par Langmuir à cause de sa similarité avec le plasma sanguin [2].
Après la deuxième guerre mondiale, les scientifiques ont compris qu’il y avait des moyens
de contrôler les réactions de fusion pour produire “ l ’ énergie du soleil” , solution ultime pour la
production de l’ énergie. La recherche sur les plasmas a été fortement boostée
avec des
retombées importantes dans plusieurs domaines.
11
Chapitre I
Depuis, la compréhension des plasmas a énormément progressé grâce à leurs nombreuses
applications
et grâce aussi aux besoins d’ en comprendre les propriétés physiques et
chimiques.
Figure (1.1) : Arc électrique, phénomène à haute pression.
Figure (1.2) : Décharge luminescente, phénomène à
basse pression.
1.3. Définition du plasma
En chauffant un solide, il fond et se transforme en liquide. Si on continue à chauffer ce
même liquide, on obtient un gaz. En continuant à lui fournir suffisamment d’ énergie pour que
l ’ énergie d’ agitation thermique des électrons soit comparable à leur énergie d’ ionisation, on
obtient ce qu’ on appelle un plasma ou quatrième état de la matière caractérisé par une
collection de particules chargées localisées dans l’ espace. M algré le fait que cet état soit le
moins connu, il compose 99% de toute la matière de l’univers [3].
Solide
AE
Liquide
AE
G az
AE
Plasma
12
|
Chapitre I
Un plasma est une collection d’ électrons, de radicaux libres, d’ions positifs et négatifs, de
photons de diverses énergies allant de l’ ultra violet à l ’infrarouge, d’ atomes libres et de
molécules dans des états neutres et excités (figure (1. 3)). Chaque particule chargée dans un
plasma interagit simultanément avec les autres grâce au long rayon d’ action de la force
électrique entre particules chargées. Ces interactions créent un comportement collectif qui
n’ existe pas dans les gaz neutres et procure au plasma des propriétés uniques [4].
Figure (1.3) : Schéma montrant la différence entre gaz neutre et plasma.
Un plasma s’ étudie à l ’interface de nombreux domaines de la physique et selon plusieurs
descriptions possibles :
>
Electromagnétisme ;
>
Physique atomique et moléculaire ;
>
Mécanique des fluides ;
>
Description particulaire (physique statistique) ;
>
Cinétique (moyenne sur les fonctions de distribution) ou fluide [5].
On trouve les plasmas dans les étoiles, dans l ’ionosphère, mais aussi dans notre vie
quotidienne (tubes d’ éclairage, nouveaux écrans de télévision, lampes à décharge, foudre,
boule à plasma) [6].
1.4. Génération et maintien des plasmas
L ’ application d’un champ électrique peut communiquer une énergie suffisante aux particules
les plus mobiles (les électrons). Ces derniers produisent des pairs électrons ions par collision
avec les espèces neutres selon le schéma réactionnel :
e- + A ^ i + 2e-
(R.1)
13
|
Chapitre I
Ou A désigne un atome ou une molécule neutre et i un ion positif. L ’ électron supplémentaire
produit peut à son tour être accéléré par le champ électrique et entrer en collision avec un
neutre de sorte qu’ on peut produire un plasma de densité finie par le mécanisme dit
mécanisme d’ avalanche électronique. La génération des plasmas par apport d’ énergie
électrique n’ est pas le seul processus pour les créer. L ’ apport direct de chaleur par élévation
de la température (plasmas thermiques) ou par absorption de photons énergétiques (photo­
ionisation) est un autre exemple de processus générateurs de plasmas.
La question qui peut être posée aussi est le maintien des plasmas. L ’ analyse de cet aspect
résulte de la
problématique gains/pertes. Les espèces chargées sont créées en volume par
ionisation mais perdues par diffusion vers les parois du réacteur (soit en surface soit en
volume) si des mécanismes de recombinaison des charges existent dans le plasma étudié. Le
maintien du plasma sur des temps suffisamment longs dépend de cet équilibre [7].
1.5. Paramètres physiques caractérisant les plasmas
Les plasmas sont caractérisés par les paramètres physiques suivants : le libre parcours
moyen, la longueur de Debye, la température du plasma, les densités des différentes
particules, la distribution d’ énergie des électrons et le paramètre du plasma.
1.5.1. L ib re parcours moyen
Pour décrire le rôle des collisions entre particules neutres et chargées, on utilise la notion de
libre parcours moyen entre deux collisions. Le libre parcours moyen l est défini comme étant
la distance en dessous de laquelle la trajectoire est soit une ligne droite, soit une courbe
déterminée entièrement par le seul champ collectif. On le calcule par une approche statistique
sur toutes les collisions possibles. Dans un gaz neutre, la trajectoire d’une particule est une
ligne brisée dont les tronçons ont une taille moyenne qu’ on appelle libre parcours moyen.
Dans un plasma, du fait de la présence d’ interactions avec des particules lointaines, la
trajectoire est complètement différente. La figure (1.4) représente schématiquement ce que
peut être une telle trajectoire : les particules peuvent s’ approcher les unes des autres mais ne
jamais se rencontrer. Dans ce cas, le libre parcours moyen est défini comme étant la distance
au bout de laquelle la trajectoire est significativement déviée sous l ’ effet d’un grand nombre
d’ interactions binaires mais lointaines [8].
14
|
Chapitre I
Le calcul l du libre parcours moyen est basé sur la diffusion de Rutherford qui permet de
déterminer la déviation d’une particule chargée par une autre en fonction du paramètre
d’ impact. Le libre parcours moyen est donné par la formule :
4nso(kTg)
2
----^
1
ne 4 l nA
( )
Où ln A est un paramètre qui varie peu suivant les différents types de plasmas (de 5 à 30
environ) ; n est la densité du plasma (n représente le nombre de particules neutres par unité de
volume), e la charge élémentaire, s0 la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann et Tg
la température du gaz.
Figure (1.4) : Allure de la trajectoire d ’un électron (ou d ’un ion) dans un plasma.
***L es distances caractéristiques sont représentées sur la figure (1.4) : 1 est le libre parcours
moyen, d distance moyenne entre particules est de l ’ ordre de n -1/3 et r0 est la longueur de
Landau d’une particule.
La longueur de Landau est calculée pour caractériser l ’ interaction binaire proche. La
longueur de Landau est la distance à laquelle il faut que deux particules s’ approchent pour
avoir une énergie potentielle d'interaction coulombienne égale à leur énergie cinétique
moyenne, kTg avec k et Tg définis précédemment, e et s0 définis aussi dans la formule (1.1).
La longueur de Landau est donnée par :
15
Chapitre I
e2
ro
(1-2)
4n£0kTg
La longueur de Landau r0 permet aussi de classifier les plasmas. On parle de plasmas
corrélés si la distance entre deux particules est inférieure à r0 soit Ep > Ec. Si la distance
entre deux particules est supérieure à r0, on parle de plasmas cinétiques soit Ec > Ep. E c et
E p sont respectivement les énergies cinétiques et potentielles.
La longueur de Landau représente la dimension de la particule du point de vue interaction
électrostatique.
1.5 .2. L on gueur de D ebye
La neutralité électrique des plasmas est vraie seulement de façon macroscopique. Le champ
électrique de chaque particule interagit avec les
charges
électriques
des particules
avoisinantes. La distance après laquelle le potentiel d’une particule est masqué par les charges
des particules autour est appelée longueur de Debye.
Cette longueur définie la sphère de D ebye dans laquelle la règle de neutralité peut être violée
et est approximée par la relation suivante :
A „=
nee2
(1.3 )
Où e, s0 et k sont déjà définis dans l ’ équation (1.1), Te est la température électronique et ne
la densité des électrons (nombre d’ électrons par unité de volume).
Un gaz ionisé est considéré comme étant un plasma si et seulement si sa longueur de Debye
est beaucoup plus petite que les dimensions physiques du plasma et si le nombre de particules
dans la sphère de Debye est plus grand que l ’unité [9].
1.5.3. T em pérature du plasm a
La température du plasma est définie comme étant la moyenne des énergies de translation
des particules dans la décharge. Comme la masse des électrons est négligeable devant celle
des espèces lourdes, ces deux populations sont souvent considérées comme étant deux
systèmes avec un équilibre thermodynamique propre à chacun. Lorsqu’ on parle de plasma, on
parle de plusieurs températures (électronique, ionique et celle des neutres) qui peuvent être
toutes différentes.
16
Chapitre I
La température électronique est la plus importante pour déterminer et démontrer les
phénomènes dans le plasma : les électrons sont les agents les plus actifs pour l ’ ionisation du
gaz et la création de radicaux. En général, Te > > T; > Tn avec Te température électronique,
T; température ionique et Tn température des neutres, proche de la température ambiante.
1.5.4. Densité
Dans la majorité des cas, la densité des charges positives est à peu près égale à la densité de
charges négatives. Il existe toutefois certains types de plasma dits non-neutres composés
presque exclusivement d ’ électrons ou d’ ions (faisceaux d’ électrons). Les charges positives
sont généralement des ions, des atomes ou des molécules qui présentent une charge positive.
Les charges négatives, quant à elles, sont généralement des électrons, mais dans certains
milieux et avec des espèces électronégatives, on peut aussi avoir la formation d’ ions négatifs.
Une répartition uniforme des charges signifie en particulier qu’ il n’ y a pas de variation
locale importante de l ’intensité du champ électrique (figure (1.5)). Cependant, si une
perturbation survient et ne déplace qu’une seule charge, toutes les charges du voisinage vont
se mouvoir pour compenser l ’ écart local à l ’ équilibre ainsi créé. On peut conclure que le
plasma est constitué de particules capables d’un comportement collectif [8].
Figure (1.5) : Distribution spatiale très idéalisée des charges
positives et négatives dans le cas où les particules du plasma sont presque au repos.
1.5.5. D istribution d ’ énergie des électrons
Les électrons libres sont les espèces les plus énergétiques dans les plasmas. Ils obtiennent
l ’ énergie du champ électrique beaucoup plus rapidement que les ions. Si on considère
seulement les collisions élastiques, on peut les considérer thermiquement isolés des atomes et
molécules par leurs différences de masse. Les électrons accumulent assez d’ énergie cinétique
17
Chapitre I
pour effectuer des collisions inélastiques et produire l ’ionisation nécessaire pour soutenir la
décharge.
Les classes typiques de réactions dans le volume du plasma sont l ’ excitation, l ’ ionisation et
la dissociation par impact d’ électrons qui sont également les précurseurs de plusieurs autres
réactions très importantes impliquant strictement des particules lourdes dans le plasma telles
que l’ ionisation ou l ’ excitation métastable induite, les réactions ion-molécule et les
associations de radicaux.
Les réactions mettant en cause les électrons libres sont les plus déterminantes.
1.5.6. P aram ètre du plasm a
Le paramètre du plasma ND est le nombre de particules chargées présentes dans une sphère
de rayon la longueur de Debye. La théorie de Debye décrivant le plasma comme un fluide
exige que ND soit très grand :
4
*
Nd = - nÀDne
(1.4)
Cela signifie que la distance entre deux particules est très petite devant la longueur de Debye
[10].
1.6. Autre moyen de classification
Les plasmas sont généralement caractérisés par leur densité et leur température aussi. On
note une très grande variation de la densité (20 ordres de grandeur) et de la température (6
ordres de grandeur) entre les différentes sources plasma.
Les plasmas émettent de la lumière et ce rayonnement se présente sous forme de raies et
d’un continuum. Les raies sont caractéristiques des atomes, molécules et ions dans les
plasmas : si on utilise la spectroscopie, on peut identifier les espèces constituant le plasma [3].
18
|
Chapitre I
Eleclron
Denaity ( m '^ }
Figure (1.6) : Types de plasmas en fonction du régime densité-température.
Les plasmas de la figure (1.6)) sont repartis suivant la température et la densité des espèces
chargées (électrons) dans une gamme allant de la température ambiante à faible pression
jusqu’ à des températures pouvant atteindre plusieurs millions de degrés et des pressions
élevées correspondant aux plasmas de fusion [11].
On peut aussi caractériser les plasmas à partir de leur degré d’ ionisation qui est défini
comme suit [12] :
a =
ne + n
(1.5 )
Les paramètres ne et n ont été définis précédemment.
On parle de gaz faiblement ionisés lorsque a est inférieur ou égal à 10-4 (principales
interactions de type collisions électron -neutre) et de gaz partiellement voir fortement ionisés
lorsque a est supérieur à 10-4 et lorsque les interactions coulombiennes ne sont plus
négligeables (collisions électron-électron ou électron-ion).
19
Chapitre I
1.7. Plasmas naturels et artificiels
1.7.1. Plasm as dans la nature
L ’ état plasma regroupe des milieux très différents. A l ’ état naturel, les plasmas sont présents
partout dans l ’univers. L ’ionosphère est un exemple de plasma partiellement ionisé : atomes
et molécules neutres cohabitent avec les électrons et les ions et donnent lieu à un grand
nombre de réactions chimiques. Plus loin, l ’ ionisation est totale car la température est plus
élevée. Il en est de même dans beaucoup de plasmas astrophysiques [2].
Les plasmas naturels comme les étoiles, les aurores boréales, les éclairs, les flammes et la
foudre sont en équilibre thermodynamique [4].
Pour la foudre (figure (1.7)), on a démontré expérimentalement qu’ elle est un important
transfert de charges entre les nuages et le sol. Pour ce qui est des flammes (figure (1.8)), il est
intéressant de noter qu’ elles sont influencées par des objets chargés [3].
Figure (1.7) : La foudre.
I
20
Chapitre I
Figure (1.8) : Les flammes.
1.7.2. Plasm as artificiels ; décharges électriques
Les plasmas artificiels créés en laboratoire sont en général faiblement ionisés et sont créés en
appliquant un potentiel électrique à travers un gaz neutre [13]. Pour produire un plasma en
laboratoire, l ’ ionisation des atomes ou molécules est requise et elle se produit lorsqu’un atome
ou une molécule gagne assez d’ énergie à partir d’une source extérieure d’ excitation ou via
une collision avec une autre particule.
Un gaz contient toujours quelques électrons et ions formés à partir d’ une collision avec un
rayon cosmique ou une radiation radioactive avec le gaz.
Le champ électrique accélère ces charges libres et de nouvelles particules chargées peuvent
ensuite être créés lorsque les électrons entrent en collision avec des atomes et des molécules
dans le gaz ou avec les surfaces des électrodes. On a donc une avalanche de particules
chargées qui sont éventuellement équilibrées par des pertes de charges.
Dans l'industrie, on distingue deux familles de plasmas:
1.7.2.1. Plasm as chauds ou therm iques
Ils correspondent à des températures supérieures à 106 °K. Les ions ou atomes sont chauds
même si la température électronique est plus faible que pour un plasma froid [14]. Les
plasmas thermiques sont caractérisés par la seule température du gaz Tg, les autres
Chapitre I
températures (électronique, ionique et celle des neutres sont proches de celles du gaz voir
égales). Ces plasmas sont à l ’ équilibre thermodynamique local (ETL).
Ils peuvent être créés par une décharge continue (arc) ou par une décharge à haute fréquence,
par laser, par des torches à plasma ou par onde de choc à une pression suffisamment élevée
pour que la fréquence des collisions conduise à l ’ équipartition de l ’ énergie entre les diverses
sortes de particules qui les composent [15]. Ces plasmas ne sont pas réactifs et sont
uniquement gouvernés par les échanges d’ énergie [16]. Leur puissance varie de quelques
kilowatts à quelques mégawatts et ils nécessitent la mise en jeu de courants importants [17­
19].
1.7.2.2. Plasm as froids ou non therm iques
Depuis le début du 20ème siècle, les plasmas froids sont
étudiés pour leurs propriétés
spécifiques liées essentiellement au caractère hors équilibre thermodynamique des processus
physiques et chimiques y prenant place. Dans ce type de plasma, les électrons sont chauds et
les ions froids : la température des électrons Te est très grande devant celle du gaz Tg qui reste
assez proche de la température ambiante. Les plasmas hors équilibre peuvent être créés à
basse pression (micro-ondes, décharges continues) ou à pression atmosphérique (décharge
couronne, décharge luminescente, décharge à barrières diélectriques).
Les plasmas non thermiques peuvent aussi être générés par différents procédés tels que
l ’ injection dans un gaz neutre d’un faisceau d’ électrons [20] ou par les processus de décharge
électrique induits par l ’ application d’une différence de potentiel entre deux électrodes avec ou
sans la présence d’un champ magnétique. Dans la plupart des cas, les décharges électriques
sont établies à basse pression car elles sont plus faciles à obtenir et plus stables qu’ à la
pression atmosphérique [21].
Les plasmas froids sont des milieux faiblement ionisés : les taux d’ ionisation y sont très
faibles et prennent les valeurs de 10-5 à 10-1 [5]. Dans ce type de plasma, la majeure partie de
l ’ énergie n’ est pas convertie en chauffage du gaz mais en réactivité chimique par production
d’ espèces métastables, dissociées et ionisées [11].
La figure (1.9) regroupe les ordres de grandeur caractéristiques de quelques plasmas.
L ’ atmosphère dans laquelle on vit a une densité de neutres d’ environ 3 10
25 m-3 pour une
température de 273 °K.
22
Chapitre I
densité électronique (rrf )
Figure (1.9) : Ordre de grandeur des températures et des densités de quelques plasmas.
1.8. Coefficients caractéristiques des plasmas
1.8.1. M obilité
Le mouvement des particules chargées est une combinaison de l ’ activité thermique aléatoire
et de la dérive régulière imposée par les champs électriques.
La vitesse de dérive w est liée au champ électrique E par la mobilité |i :
w = [J.E
(1-6)
23
Chapitre I
La mobilité électronique ainsi calculée est une grandeur microscopique, elle diminue quand
la pression du gaz augmente. Elle est aussi fonction de l ’ énergie de l ’ électron mais les
modèles simples la traitent en tant que constante.
1.8.2. Coefficient de diffusion
Le coefficient de diffusion des ions est 4 ou 5 fois plus petit que celui des molécules neutres
à cause du potentiel d’ interaction ion-molécule neutre qui est supérieur à celui des molécules
entre elles puisque les ions peuvent, à distance, induire dans les molécules elles-mêmes des
dipôles électriques.
Le coefficient de diffusion des électrons est plus grand que celui des ions et des neutres, à
cause de leur faible masse.
On a toujours deux coefficients de diffusion un longitudinal DL et le deuxième transversal,
Dt aussi bien pour les électrons que pour les autres particules. Les paramètres de transport
relatifs aux électrons sont calculés par résolution numérique directe de l ’ équation de
Boltzmann.
Le champ électrique uniforme est suffisamment faible pour considérer que les ions sont en
équilibre thermique avec les molécules du gaz.
Les ions sont donc supposés thermalisés à la température du gaz, ce qui est toujours valable
lorsque la température électronique Te est très supérieure à celle du gaz Tg quelle que soit la
pression considérée.
Dans ces conditions, les coefficients de diffusion sont déduits des mobilités réduites
correspondantes et donnés par la relation d’Einstein :
D _ kpTg
e
(1.7 )
Comme les ions sont beaucoup plus lourds que les électrons, leurs mobilités sont nettement
plus faibles (d’un rapport de 100 à 5000) et les coefficients de diffusion des ions sont très
2
3
nettement inférieurs à ceux des électrons (facteur 102 à 103 selon la pression considérée).
1.9. Processus de collisions
Les rencontres la plus communes dans
collisions binaires.
un gaz entre les paires de particules sont dites
Il existe deux types de collisions :
,==■ =,
24
Chapitre I
1.9.1. Collisions élastiques
Elles sont responsables de la conduction et de la diffusion de la chaleur. Elles conduisent
essentiellement à un changement de trajectoire des particules et à un transfert de l’ énergie
cinétique sans modification des énergies internes [12].
erapide
+ A lent ^ emoins rapide + A moins lent
(R 2 )
Dans une collision élastique, les électrons de masse m ne peuvent pas céder beaucoup
d'énergie aux particules plus lourdes de masse M ; l ’ énergie cédée dépend aussi de l ’ angle de
déviation et les vitesses peuvent changer en module ou en direction.
1.9.2. Collisions inélastiques
Elles sont responsables de changements au niveau de l ’ énergie interne des molécules. Ces
collisions participent à la réactivité chimique des plasmas [13]. On peut avoir les réactions
suivantes :
erapide
+ A ^ eplus lent + A
(R 3)
^ eplus lent + A* + eP
(R 4 )
Contrairement aux collisions élastiques, les collisions inélastiques nécessitent un seuil ou un
minimum d’ énergie. Le tableau (1.1) montre les interactions que l ’ électron peut subir avec les
molécules (ou les atomes) du gaz.
Réactions
Description
ep + A ^ A + e p
dispersion élastique
ep + A ^ A+ + e p + e P
ionisation
eP + A ^ A* + eP
excitation
eP + A* ^ eP + A + hv
eP + A* ^ A+ + eP + e P
eP + AB ^ A + B + eP
eP +
A+
+
B ^ A
+
B
désexcitation
ionisation en deux étapes
fragmentation
recombinaison de volume
Evidence
électrons thermiques
conductivité
émission légère
efficacité d’ ionisation
analyse résiduelle de gaz
plasma faible et en équilibre
Tableau (1.1): Réactions en phase gazeuse impliquant des électrons.
Chapitre I
1.9.3. Interactions inélastiques
A - Excitation
Lorsqu’un atome (ou une molécule) absorbe suffisamment d’ énergie pour qu’un de ses
électrons (en général, le plus éloigné du noyau) passe à un niveau d’ énergie supérieur, on dit
que cet atome (ou cette molécule) est excité : son énergie interne est accrue de la différence
d ’ énergie :
AU = eV*
(1.8)
Où V* représente le potentiel d’ excitation.
Les molécules (ou les atomes) d’un gaz peuvent être excités par différentes interactions, on
peut citer par exemple :
>
La température peut exciter les molécules (ou les atomes) du gaz mais avec des
valeurs assez élevées ;
>
On peut aussi exciter une molécule (ou un atome) par l ’ absorption d’un photon ;
A + hv ^ A*
>
(R .5)
Les électrons qui arrivent avec des énergies cinétiques supérieures à l ’ énergie du seuil
d’ excitation (E > eV*) peuvent exciter les atomes (ou les molécules) du gaz
diffuseur.
erapide + A ^ eplus lent + A
(R .6)
B-Ionisation
Lorsqu’ un atome (ou une molécule) a absorbé suffisamment d’ énergie pour qu’un de ces
électrons puisse s’ échapper à l ’infini, on dit que cet atome (ou cette molécule) est ionisé ; son
énergie interne s’ accroit de l ’ énergie d’ ionisation :
AU = eVi
(1.9)
On a aussi : Vi > V*
On peut avoir le phénomène d’ ionisation dans les cas suivants:
> Le gaz chaud peut s’ioniser efficacement par l'énergie cinétique du mouvement
aléatoire des particules suivant la réaction :
26
Chapitre I
A + B (+) ^ A+ + B (+) + eP
(R. 7)
La photo-ionisation est toujours associée au rayonnement U V profond, sauf dans le cas des
interactions entre les photons et les neutres toujours excités (provisoires) dans les états les
plus élevés ;
A + hv ^ A+ + e P
(R.8)
A* + hv ^ A+ + eP
(R .9)
>
Le processus principal d'ionisation résulte des impacts d'énergie élevée entre les
électrons et les atomes. Ainsi, un électron avec l'énergie cinétique plus grand que
eVi pour des espèces particulières peut ioniser ces espèces :
lent + e lent
(R. 10)
C - A ttachem ent d'électron (et form ation d'ion négatif)
Suite à une collision, un électron libre peut être capturé par une particule neutre formant
ainsi un ion négatif. Le phénomène observé est l ’ attachement.
Les électrons peuvent perdre pratiquement toute leur énergie cinétique par ce type de
collision avec les molécules (ou les atomes) du gaz.
Ce processus dépend de l'énergie de l ’ électron et de la nature du gaz :
A + e
^ A
+ hv
AB* + e P ^ A P + B
(R. 1 1 )
(R. 12)
La particule neutre absorbe la totalité de l'énergie cinétique transportée par l ’ électron plus
l'énergie de liaison libérée au cours de l ’ attachement.
1.10. Caractéristiques du claquage dans les gaz
Les claquages électriques visibles à l’ œil nu par l ’ étincelle ou la décharge produite
correspondent au moment où le champ électrique dépasse la valeur seuil nécessaire à
l ’ amorçage de la décharge. Les mécanismes de claquage dans les gaz sont principalement :
>
Le mécanisme de Townsend ;
>
Le mécanisme du streamer.
27
Chapitre I
1.10 .1. M écanism e de Townsend
Plusieurs études ont été menées pour expliquer les différents mécanismes mis en jeu lors de
la formation, du développement et de la propagation de la décharge de Townsend. A u début
du siècle, Townsend a établi une théorie pour l ’ obtention d’une décharge auto-entretenue.
Cette théorie trouve sa limite à haute pression. Par la suite, à partir des années 1940, Loeb,
M eek et Raether ont proposé un nouveau modèle de propagation de l ’ avalanche électronique.
Le régime des décharges de Townsend est caractérisé par une croissance quasi-verticale du
courant pour une valeur de tension appelée tension disruptive. Cette croissance correspond au
passage d’un régime où la multiplication des électrons est principalement gouvernée par
l ’ ionisation par impact d’ électrons sur les molécules du gaz à un régime ou l ’ essentiel de la
multiplication est assurée par l ’ augmentation du flux d’ électrons extraits par bombardement
ionique de la cathode.
Dans le régime de Townsend, la charge d’ espace générée par le plasma est faible et le champ
électrique reste égal au champ géométrique (ou laplacien).
Les décharges de Townsend s’ entretiennent sans aucune autre source extérieure de création
d’ électrons que celle émise par la tension appliquée [15].
Le premier coefficient de Townsend ou coefficient d’ionisation a représente le nombre
d’ électrons (ou ions positifs) crées par un électron par élément de longueur le long d’une ligne
de force du champ appliqué. Une expression empirique donnée par l ’ équation (1.10) donne la
valeur du coefficient
a avec les constantes A et B déterminées expérimentalement :
(1.10 )
Townsend a défini l’ intensité du courant qui traverse la décharge :
I = I0ead
( 1 .1 1 )
Où I0 est le courant généré par les électrons germes naturellement présents dans l'air, d est la
distance entre les électrodes et a a été défini auparavant. Le facteur ea d représente le nombre
de paires d’ ions produites par une avalanche électronique traversant l ’ espace inter- électrodes.
Si on augmente la tension appliquée, les processus d’ émission secondaire (photo-ionisation,
bombardement ionique) entrent en jeu : création d’ électrons par les particules issues des
processus primaires d’ ionisation ou d’ excitation par impact électronique.
28
Chapitre I
Les processus d’ émission secondaire sont d’ autant plus efficaces pour la multiplication des
avalanches qu’ ils se produisent à la cathode : les électrons sont ainsi accélérés sur tout
l ’ espace inter- électrodes jusqu’ à l ’ anode fournissant une ionisation plus importante qu’un
électron provenant du milieu de l ’ espace inter- électrodes.
En tenant compte de ce processus, l ’ amplification du courant peut s’ écrire :
ea d
I = S
- y ( e a d - 1)
( 1 ' 12)
Où I0 a été défini auparavant, y est le second coefficient de Townsend : il exprime le
nombre d'électrons secondaires extraits de la cathode par bombardement ionique.
Le coefficient y dépend du matériau de la cathode et du type de gaz. L'effet des ions positifs,
des photons et des métastables sur l'émission d'électrons secondaires est communément inclus
dans ce même coefficient.
A partir de ces équations, Townsend a pu établir la condition d'apparition d'une décharge
disruptive autonome (claquage) dans un gaz (critère d'auto-entretien):
1
p
y ( ead p
1) = 1
La décharge est non-entretenue si 1 —
(1 .1 3 )
y
( ead — 1 ) reste inférieur à 1 : les ions positifs
formés dans l'avalanche électronique doivent extraire au moins un électron à la cathode pour
qu'une nouvelle avalanche puisse se produire.
Le mécanisme proposé par Townsend permet d'expliquer de manière théorique la loi
empirique de Paschen décrivant la tension nécessaire à l'apparition d'une décharge disruptive
en fonction du produit pd:
B pd
Vs = ---------------- ---------- ^
ln (A pd) - ln[ln(1 + y )]
(1.14)
1.10.2. L o i de Paschen
A la fin du XIXème siècle, Paschen mène des expériences pour déterminer l'influence de la
pression sur les caractéristiques des décharges électriques dans les gaz. Il établit une loi
empirique de comportement des gaz connue sous le nom de loi de Paschen. Cette loi stipule
que la tension disruptive d'un gaz (tension à partir de laquelle une décharge est observée)
entre deux électrodes parallèles dépend de la valeur du produit de la pression du gaz avec la
distance inter- électrodes [22].
29
|
Chapitre I
Vs
Homogène
\
Filamentaine
1
I
1000
P*d (torr.cm)
100
Figure (1.10): Courbe de Paschen: tension disruptive Vs en fonction du produit p. d.
Le mécanisme de Townsend ne s'applique pas aux plasmas quand le nombre d’ électrons
8
3
dans l’ avalanche dépasse un seuil critique (10 électrons par cm ) avant d’ atteindre l ’ anode,
l ’ accumulation
de
charges
d’ espace
locales
engendre
un
mécanisme
de
claquage
complètement différent.
>
Les décharges ont une structure très inhomogène en espace, apparaissant souvent sous
la forme de micro-décharges. Elles peuvent être ramifiées et
sont également non
stationnaires avec de faibles durées de vie ;
>
Pour des produits
p. d
supérieurs à 50-300 torr.cm, le matériau n'influe plus sur la
tension disruptive. Cela montre que le bombardement ionique n'est plus un phénomène
essentiel, puisque celui-ci dépend fortement du matériau ;
>
Le claquage que prévoit la théorie de Townsend repose sur le temps de dérive des ions
entre l'anode et la cathode. Le claquage de type streamer est beaucoup plus rapide.
Les travaux qui suivirent ceux de Townsend (Loeb et Raether principalement) ont amené à
identifier le phénomène à l'origine des décharges à pression atmosphérique : le streamer.
1.10.3. M écanism e du stream er
La théorie des streamers a été développée suite aux travaux de Loeb, M eek et Raether en
1940 [23-24]. Les nombreuses expériences menées par les groupes de Raether sur les
décharges planes et de Loeb sur les décharges couronnes ont mis en évidence avant la phase
30
|
Chapitre I
de claquage (formation d’une étincelle) de pulses de courant ayant des durées largement
inférieures au temps caractéristique de dérive des électrons et des ions.
Ces pulses de courant durent en général moins d'une centaine de nanosecondes, ont des
intensités de l'ordre de quelques dizaines à quelques centaines de milliampères et sont
accompagnés d'une émission lumineuse moins intense que celle caractérisant les étincelles.
Cette émission dessine un canal ayant un rayon de l ’ ordre d’une centaine de microns qu'on
appelle micro-décharge.
Le claquage commence d'abord par la formation d'une avalanche. Celle-ci se développe
jusqu'à ce que le champ de charge d'espace devienne plus important que le champ
géométrique ou Laplacien.
Le champ de charge d'espace pilote la dynamique de la décharge. On obtient une onde
d'ionisation qui se propage sous l'effet de son propre champ de charge d'espace. L ’ onde
d'ionisation est appelée streamer.
Un nombre important de travaux ont été menés pour bien caractériser la transition
avalanche-streamer. Des modèles semi analytiques associés à des mesures de taille des
avalanches ont montré que la transition a lieu à partir du moment où l'avalanche contient entre
108 et 109 électrons.
Comme la propagation d'un streamer ne dépend que de son propre champ de charge
d'espace, elle peut avoir lieu aussi bien vers la cathode que vers l ’ anode. On distingue donc
deux types de streamers : les streamers anodiques et les streamers cathodiques.
31
|
Chapitre I
Figure (1.11) : Principe du streamer.
1.10.3.1. P ropagation du stream er positif
Le streamer est constitué d’un canal faiblement ionisé. Ce canal se propage à une vitesse
•
8
1
d’ environ 10 cm s- . Le streamer positif (cathode directed streamer ou CDS) a la particularité
de se propager en sens contraire des électrons (de l ’ anode vers la cathode). Cette
caractéristique a nécessité le développement de nouvelles théories pour pouvoir expliquer le
sens de propagation.
A - Prem ière avalanche électronique
Si on considère un gaz contenu entre deux électrodes, il peut exister dans ce gaz en l ’ absence
de tout champ électrique appliqué un certain nombre de charges créées par des mécanismes
32
Chapitre I
naturels tels que le rayonnement ultraviolet ou la radioactivité ou par des mécanismes
artificiels tel que le bombardement par l ’ultraviolet pour pouvoir extraire des électrons.
Si on applique une différence de potentiel entre deux électrodes, on va accélérer les électrons
libres environnants. Le champ de claquage dans l’ air est de l ’ ordre de 30 k V cm-1. Une telle
valeur permet à un électron libre de gagner en moyenne une énergie de quelques électrons
volts entre deux collisions. Il peut alors ioniser les molécules présentes dans le gaz (figure
(112 )).
Dans le cas d’un gaz neutre, les électrons libres sont produits comme on l ’ a vu auparavant
avec un taux de un électron par cm3 et par seconde. Il en résulte une densité initiale très basse
d’ environ 103 à 106 cm-3. Les ions négatifs peuvent devenir une source conséquente
d’ électrons par détachement [25].
A '
=
e.
e
\
/
+
î
e.
C
'
=
=
Figure (1.12) : Multiplication des électrons par avalanche électronique.
Lorsque les premiers électrons ont acquis suffisamment d’ énergie, ils ionisent les molécules
du gaz, et produisent ainsi d’ autres électrons. On a la formation de la première avalanche.
33
|
Chapitre I
Figure (1.13) : Accélération des électrons par le champ électrique.
Les électrons ainsi créés sont fortement accélérés par le champ électrique, et laissent derrière
eux les ions positifs
trop lourds pour se mouvoir sur les échelles de temps considérées
(figure (1.13)).
Figure (1.14) : La charge d ’espace forme un dipôle qui renforce localement le champ
appliqué.
Cette séparation engendre la création d’une charge d’ espace qui peut être considérée comme
un dipôle. Le dipôle génère son propre champ électrique qui est d’ autant plus intense que
l ’ avalanche se multiplie.
34
Chapitre I
Dans la zone entre les parties positive et négative du dipôle, le champ créé par la charge
d’ espace s’ oppose au champ géométrique appliqué. Mais en tête d’ avalanche, il le renforce
amplifiant ainsi l ’ accélération des électrons.
Lorsque l ’ avalanche atteint l ’ anode, les électrons plongent dans le métal.
B- De l’ avalanche prim aire au stream er : form ation d ’ avalanches secondaires
Pour que l ’ avalanche primaire puisse se transformer en streamer, elle doit avoir acquis une
amplification suffisamment élevée. Cette condition est atteinte lorsque l ’ avalanche primaire a
o
généré 10 électrons. Cela signifie que le champ induit par le dipôle est équivalent du champ
appliqué. Le critère est dit critère de M eek [26].
Un streamer est en fait constitué d’une tête positive qui se propage de proche en proche. A
l ’ extrémité de la tête, le champ induit vient amplifier le champ appliqué. L a tête est donc une
zone attractrice d ’ électrons. Le procédé le plus validé actuellement pour la création de
nouveaux électrons est la photo- ionisation. Les électrons secondaires sont accélérés vers la
tête et neutralisent la zone positive (figure (1.15)).
Ces électrons laissent derrière eux une nouvelle tête positive et des espèces excitées. De
nouveau, les espèces photo-ionisent le gaz, et ainsi de suite.
La tête positive se propage alors de proche en proche jusqu’ à la cathode.
c
1
1
Figure (1.15) : La distorsion du champ en tête du streamer accélère les électrons vers la tête.
Les nouveaux électrons sont produits par photo-ionisation.
35
I
Chapitre I
A la fin de la propagation, un canal faiblement conducteur est établi entre les électrodes. La
densité des électrons peut y atteindre 1014 à 1015 cm-3 et le rayon du canal étant d’ environ 100
p,m [27-28].
C - Jonction à la cathode
Lorsque le streamer arrive à faible distance de la cathode, la différence de potentiel entre la
charge d'espace et l'électrode est élevée, et la zone est donc soumise à un champ électrique
très intense, qui induit une ionisation importante du milieu.
La cathode est alors soumise à un bombardement intensif des différentes espèces créées par
avalanches électroniques. L'émission secondaire d'électrons qui en résulte (liée au second
coefficient de Townsend) est principalement due à trois processus:
>
L ’ effet photo-électrique : les photons d'énergie supérieure au travail de sortie du
matériau de la cathode permettent une extraction instantanée des électrons. La
longueur d'onde caractéristique de ces photons est située dans l ’ultraviolet.
>
Le bombardement ionique : les ions positifs formés en grand nombre à proximité de la
cathode n'ont pas assez d'énergie pour un processus d'émission thermoïonique, mais la
neutralisation des ions à la surface du métal donne lieu à l'émission d'électrons
secondaires.
>
L ’ effet Penning : en phase gazeuse, la collision d'une espèce métastable avec une
particule peut conduire à l'ionisation de cette dernière, si l'énergie d'excitation dépasse
le potentiel d'ionisation de la particule.
1.10.3.2. P ropagation du stream er négatif
Si le critère de M eek est atteint à proximité de la cathode au lieu de l ’ anode, il y a formation
d’un streamer négatif. Il s’ agit d’une tête négative, qui se propage donc dans le même sens
que les électrons. Les électrons en tête sont accélérés dans la zone d’ amplification du champ,
tandis que les électrons à l ’ arrière sont dans une zone de champ plus faible et contribuent à la
neutralisation du canal.
Il
faut noter que dans ce cas, une propagation sans émission de photons est possible. Les
électrons de la tête du streamer sont accélérés dans le très fort gradient de charge d’ espace et
36
|
Chapitre I
sont piégés électrostatiquement par les ions positifs formant un canal de plasma quasi-neutre,
le canal du streamer.
1.11 Applications des plasmas froids
La technologie des plasmas froids est basée sur la dissociation des gaz à température
ambiante par des électrons énergétiques pour produire des espèces chimiques actives qui sont
très réactives dans le gaz et avec les surfaces exposées.
Les procédés plasmas froids sont impliqués dans des applications industrielles telles que la
dépollution des effluents gazeux (traitement des fumées d’usine et des gaz d’ échappement des
automobiles), le traitement de l ’ eau, la stérilisation du matériel médical (tels que les
endoscopes) et le contrôle des flux gazeux.
1.1 1 .1 . Dépollution et traitem ent des effluents gazeux
La réglementation concernant la qualité de l'air devient de plus en plus contraignante et les
rejets directs dans l'atmosphère d'effluents gazeux polluants vont devenir impossibles.
Ces composés peuvent présenter des natures chimiques très différentes : acides, alcools,
aldéhydes, amines aromatiques, cétones, esters, produits soufrés et font partie de ce qui est
communément appelé les composés organiques volatils (COV) [29].
Tous les polluants se trouvent dans les locaux industriels, en sortie des cheminées
industrielles, dans l'environnement proche des usines ou en sortie de pots d'échappement des
véhicules de transport [30].
L ’ utilisation des procédés plasmas est considérée comme un complément, voire une
alternative aux procédés classiques de traitement des gaz pollués. Les plasmas non thermiques
ou hors équilibre génèrent dans le milieu gazeux pollué différentes espèces excitées et
radicalaires de préférence dans le rapport stœchiométrique du polluant à éliminer.
Ce sont ces espèces actives qui initient une série de réactions chimiques aboutissant à la
transformation des polluants.
Les techniques utilisant les plasmas froids sont basées sur différents procédés à la pression
atmosphérique comme l ’ irradiation ou bombardement par faisceaux d’ électrons, les décharges
couronnes et les décharges à barrières diélectriques.
L ’ irradiation par faisceaux d’ électrons permet d’ oxyder les NOX et SO2 en HNO3 et HSO4,
ces derniers étant ensuite neutralisés par l’ adjonction d’une base. Ils forment
des résidus
37
|
Chapitre I
solides récupérés par des filtres mécaniques ou des précipitateurs électrostatiques et sont
ensuite valorisés en tant que sels minéraux fertilisants [31].
Les décharges électriques pulsées à la pression atmosphérique telles que les décharges à
barrières diélectriques ou les décharges couronne, sont très efficaces pour l ’ élimination les
COV à faible concentration dans l ’ air ambiant.
Pour le traitement de ces polluants, la nature inhomogène du plasma n’ est pas un problème
et le régime peut être de type filamentaire (D BD ou couronne) avec association de catalyseurs
ou streamers [32].
Le principe des réacteurs de dépollution par plasma froid est le suivant : par dissociation des
molécules du gaz (ici majoritairement l ’ azote, l’ oxygène et la vapeur d’ eau) lors de collisions
électroniques directes, des espèces extrêmement réactives (radicaux, molécules excitées
peuvent conduire à leur décomposition et oxydation. L ’ objectif est de dégrader les composés
organiques volatils et réagir chimiquement sur les polluants afin de les oxyder en CO2 [33].
Une solution actuellement à l'étude, consiste à associer un catalyseur d’ oxydation totale à un
plasma hors-équilibre afin d’ obtenir une purification des effluents à basse température.
Dans ces conditions, la compréhension des processus cinétiques provoquant l'élimination des
molécules polluantes est rendue particulièrement délicate. Une méthode d'étude alternative
consiste à utiliser une décharge pré-ionisée, permettant l'obtention d'un plasma homogène.
Dans ce cas le catalyseur est placé en aval de la décharge et bénéficie des espèces, telle que
l'ozone, créées dans le plasma pour terminer l'oxydation du polluant déjà initiée par la
décharge.
Le fait de disposer d'un plasma homogène permet d'effectuer une analyse fine de la
cinétique, par confrontation des mesures aux prédictions des modèles auto- cohérents
couplant physique de la décharge et chimie du plasma et de mieux comprendre la composition
du mélange gazeux arrivant au contact du catalyseur en fonction des paramètres tels que
l'énergie électrique déposée dans la décharge et la composition du mélange de gaz avant
traitement .
1.11.2 . Traitem ent de l’ eau
Lorsqu’un streamer est généré dans l ’ eau, on observe les effets physiques et chimiques
suivants :
38
|
Chapitre I
>
Pendant le temps écoulé entre l ’ application de la tension et l ’ apparition de
l ’ impulsion de courant, le liquide est soumis à un champ électrique élevé ; ce champ
peut détruire les micro-organismes c ’ est à dire une stérilisation du milieu [34] ;
>
Une impulsion de courant corrélée à une impulsion de lumière émise (de l’U V au
visible) et à des ondes de choc ;
>
Les électrons énergétiques produisent l ’ionisation, la dissociation et l ’ excitation des
molécules d’ eau ; il se produit des radicaux très réactifs comme O, OH, H et HO2 ;
>
A plus long terme, les radicaux se recombinent pour former des molécules oxydantes
(H 2 O 2 ) et/ou réagissent sur les molécules présentes.
**L a dégradation des polluants par une décharge streamer peut directement être causée par les
radicaux OH, un des oxydants les plus puissants.
Figure (1.16) : Illustration des différents effets produits par une décharge streamer dans
l ’eau.
On peut aussi traiter l ’ eau en utilisant le principe de l’ ozonisation soit utiliser l ’ ozone pour la
purification suivant le schéma qui suit :
39
|
Chapitre I
Figure (1.17) : Traitement de l ’eau par plasma froid.
1.11.3 . G énération d ’ ozone
A cause de sa courte durée de vie, l ’ ozone est généré sur site grâce à un générateur d’ ozone.
A l’ échelle industrielle, l ’ ozone est produit par le procédé de décharge froide (décharge
couronne qui utilise un champ élevé ou décharge à barrière diélectrique DBD). L ’ ozone est
produit à partir de l’ oxygène en tant que résultat direct de la décharge.
L'efficacité de la production d'ozone par décharge électrique dépend, surtout dans le cas des
D B D de l'intensité des micros décharges. Cette intensité est influencée par un certain nombre
de facteurs tels que la largeur de l ’ espace, la pression du gaz, le type des électrodes (métal et
diélectrique), l'énergie d'alimentation et l'humidité. [35].
La synthèse de l'ozone est réalisée par la réaction chimique suivante :
O + O2 + M ^ O3 + M ^ O3 + M
(R. 13)
A vec :
M molécule d’ oxygène ou molécule d’ azote si l ’ air est utilisé ;
O3 molécule d’ ozone dans un état excité.
Cette réaction est favorisée par des pressions élevées (1-3 bars) et des basses températures
du gaz. La production d'ozone a fait l'objet de nombreuses recherches qui ont abouti à la
réalisation de réacteurs industriels largement utilisés de nos jours [36-37].
Les plus grandes installations de génération d’ ozone pour la désinfection de l'eau atteignent
des niveaux de puissance de plusieurs mégawatts et produisent quelques tonnes d'ozone par
jour.
A cause du coût élevé de l ’ oxygène pur, beaucoup de petits générateurs d’ ozone utilisent
l ’ air comme gaz d’ alimentation [38].
Chapitre I
Figure (1.18) : Principe d ’un ozoneur.
Figure (1.19) : Système industriel de production d ’ozone.
1.11.4 . Traitem ent de surface
La préparation des surfaces est une phase essentielle dans l ’ assemblage par collage. Elle a
comme objectif d’ éliminer les contaminants et les couches superficielles de faible cohésion.
Chapitre I
Des traitements plus poussés permettent de modifier la chimie de surface afin d’ augmenter la
tension superficielle et de favoriser la création de liaisons chimiques avec l ’ adhésif.
Les traitements de surface du fait qu’ ils sont respectueux de l’ environnement constituent
une application importante des plasmas froids [39-41]. A u cours des vingt dernières années,
les difficultés rencontrées pour contrôler le plasma et le traitement de surface à pression
atmosphérique ont poussé les chercheurs à développer les procédés fonctionnant à basse
pression.
Si la pression diminue, le libre parcours moyen augmente et des plasmas homogènes sont
facilement réalisés.
L ’ industrie de la microélectronique utilise les procédés plasma basse pression à toutes les
étapes de la fabrication des circuits intégrés. Un traitement à basse pression ne peut
s’ effectuer que lot par lot : le traitement des pièces qui doivent être mises sous vide est
discontinu et la taille des réacteurs limite la dimension des objets traités.
Néanmoins l ’ étude des procédés plasmas se poursuit car ils sont une alternative possible aux
traitements chimiques dont les effluents sont difficiles à recycler. Parmi les recherches qui se
font, il y a celles qui concernent le traitement de surface par plasmas à pression
atmosphérique.
42
|
Chapitre I
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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Chapitre II
CHAPITRE II : MODELISA TION
MA THEMA TIQUE DU SYSTEME
Chapitre II
SOMMAIRE
C h ap itre II
Page
Sommaire
47
2.1.
Introduction
48
2.2.
Principe d'un modèle complet d'une décharge électrique
48
2.3.
Equation de Boltzmann ; fonction de distribution
49
2.4.
Equilibre du champ local
52
2.5.
Différents modèles mathématiques
53
2.5.1.
Modèles microscopiques (cinétiques)
54
2.5.2
Modèles fluides (macroscopiques)
55
2.5.2.I.
Concept
55
2.5.2.2.
Equations utilisées dans le modèle fluide
56
Modèles hybrides
58
2.6.
M odèle de dérive-diffusion utilisé dans ce travail
58
2.7.
Résolution numérique de l’ équation de dérive-diffusion
59
2.8.
Importance du choix du flux
61
2.9.
Schémas numériques étudiés
62
2.9.1.
Schéma de Lax-W endroff
62
2.9.2.
Schéma de Scharfetter-Gummel classique
63
2.9.3.
Schéma de Scharfetter et Gummel amélioré d’ ordre zéro
67
2.9.4.
Schéma de Scharfetter et Gummel amélioré d’ ordre un
68
2.9.5.
Schéma Flux Corrected Transport L o w Phase Error
68
5*C5*C5*C5*C
Références bibliographiques
74
2.5.3.
Chapitre II
2.1. Introduction
Un modèle permet de décrire les phénomènes de la nature à l’ aide d’ équations
mathématiques validées. Les solutions du modèle permettent d’ interpréter et d’ analyser les
résultats d’une expérience en modifiant par exemple des données opératoires et géométriques.
Dans la plupart des cas, la solution analytique d’un modèle n’ est accessible qu’ après un
nombre important de simplifications et d’hypothèses réductrices. Il faut donc opter pour la
résolution numérique [1].
La simulation numérique des plasmas repose en premier lieu sur la description auto­
cohérente du couplage entre phénomènes de transport des particules chargées (dans notre cas
électrons et ions positifs : le gaz utilisé est l’ azote) et champ électrique. Cette première étape
du modèle est nécessaire et constitue le modèle électrique.
Du modèle électrique, on peut
déduire les taux de production des espèces actives qui
constituent les termes source d’un modèle de la chimie du plasma décrivant l’ interaction de
ces espèces et l’ évolution de leur concentration.
Ce modèle cinétique doit inclure une représentation des écoulements du gaz. La chimie du
plasma et les écoulements peuvent donc être regroupés dans un modèle cinétique et
hydrodynamique.
2.2. Principe d’un modèle complet d’une décharge électrique
Un
modèle
complet
d’une
décharge
électrique
haute
pression
est
un
modèle
multidimensionnel s'appuyant sur les éléments suivants:
>
Une description des phénomènes de transport électronique et ionique dans l'espace
inter-électrodes avec des termes de création de particules chargées, à partir de l'état
fondamental des atomes ou molécules du mélange ;
>
Le calcul auto-cohérent du champ électrique au sein de la décharge par la résolution
numérique de l’ équation de Poisson ;
>
La prise en compte des mécanismes de création et disparition de particules chargées
autres que ceux mentionnés dans le premier point : ionisation à partir d'états
métastables ou autres espèces générées par la décharge, attachement, recombinaison;
cela nécessite une description de la cinétique du milieu couplée à celle des
phénomènes de transport des particules chargées ;
48
i
|
Chapitre II
> La description de l'évolution de la température, de la pression et de la vitesse
d'écoulement locales du gaz sous l'effet de la dissipation de l'énergie électronique et
ionique.
Un tel modèle est impossible à réaliser en pratique. Le travail de la modélisation le plus
important est de rechercher une représentation plus simple et approximative des phénomènes
afin de rendre le problème soluble.
2.3. Equation de Boltzmann ; fonction de distribution
Le modèle électrique d’une décharge et du plasma associé décrit le couplage entre
phénomènes de transport des particules chargées et champ électrique.
L ’ interaction entre particules chargées et électrons ainsi que le circuit extérieur doivent
également pris en considération. Dans un plasma, les phénomènes de transport des particules
chargées sont décrits par l’ équation de Boltzmann.
L ’ équation de Boltzmann est une équation de continuité dans l’ espace des phases positionvitesse (r, v) qui permet de déterminer la fonction de distribution des vitesses des particules
f(r, v, t) en tout point de l’ espace et à chaque instant.
Cette équation permet d’ établir le bilan des variations de la fonction de distribution des
particules chargées soumises à des forces extérieures : champ électrique et collisions électronneutre et ion-neutre.
On peut déduire les variations spatiales des grandeurs moyennes : densité n (r ,t), vitesse
moyenne dirigée v (r ,t), énergie moyenne s(r,t) et fréquences moyennes des différents
processus de collision [2].
Si la variation élémentaire d f de la fonction de distribution s’ effectue de manière continue
dans l’ espace des vitesses, elle correspond à la différentielle totale de la fonction de
distribution:
(2 .1)
L ’ équation (2.1) peut s’ écrire aussi :
(2.2)
49
Chapitre II
L ’ équation (2.2) est connue sous le nom d’ équation de Boltzmann [3-4]. Elle comprend
différents termes explicités de la façon suivante :
df
— :
Représente le taux local de variation de f au point (r,v) en fonction du temps ;
d f dr
— — : Représente le terme de variation de f suite à la diffusion des ions positifs ou des
électrons, ou encore la tendance du gaz à se relaxer vers un état d’ équilibre ;
d f dv
— — : Représente l’ action de forces extérieures sur les particules avec :
dv
— :
Accélération des forces extérieures dues à l’ action du champ électrique.
dr
V = dt
a =
dV
dt
(2.3)
(2.4)
Le nombre dn de particules situées dans l’ élément de volume dr. dV de l’ espace des phases
centré autour des vecteurs r et v est donné par la relation:
dn (r, V, t) = f( r, V, t) drdV
(2.5)
De sorte que le nombre total n ( r, V, t) de particules d’un type donné situées dans l’ élément de
volume dr de l’ espace des positions soit égal à:
n ( r,t) = / f( r, V,t) dV
(2.6)
Les relations (2.5) et (2.6) définissent la fonction de distribution des vitesses f( r,V, t ) ,
solution de l’ équation de Boltzmann, qui, malgré sa complexité apparente, n’ est qu’une
équation de continuité dans l’ espace des phases ( r,V) traduisant le fait que le nombre de
particules dans un élément de volume de cet espace varie en raison du mouvement libre de ces
particules (éventuellement en présence d’un champ) et aussi sous l’ effet des collisions [5].
La fonction de distribution f( r,V, t) est une grandeur difficilement accessible à l’ expérience
et le nombre de particules étudiées étant important, on utilise des grandeurs moyennes.
La vitesse moyenne d’une particule est donnée par:
50
Chapitre II
<w)
=
ïïîi t ô
v f ( r ,v ,t) dv
/
(2.7)
Pour toute autre grandeur X, on peut définir sa valeur moyenne par:
<x)
x f r, v, t dv
(2.8)
= n c k f
La cinétique de chacune des populations des particules chargées (électrons, ions positifs dans
le gaz azote qu’ on va considérer) est décrite par une fonction de distribution des vitesses
solution de l’ équation de Boltzmann.
Pour les électrons:
dfe
dfe
ô fe
ôfe
_ N
—— = —- + v — r + a — ^ = C ( fe)
dt
dt
dr
dv
dfp
ôfp _^dfp
^ d fp
Pour les ions p o sitifs:—— = — - +
+ a — r = C (fp)
dt
ar
dv
p
dt
v —r
^
(2.9)
(2.10)
Dans un plasma, les collisions entre les particules chargées peuvent être importantes vu le
potentiel autour des charges. L ’ interaction ou collision entre les particules est déterminée par
le champ électrique créé par la charge d’ espace.
Le calcul du champ électrique doit être fait de façon précise durant l’ évolution des particules
chargées.
En raison du rôle fondamental du champ électrique et pour pouvoir le déterminer, une
méthode numérique alliant précision et rapidité doit être sélectionnée :
>
Précision, car pour chaque écart de la valeur réelle du champ, il y a répercussion sur
l ’ évolution des espèces ;
>
Rapidité car le champ électrique doit être calculé quatre fois durant un unique pas de
temps, afin d’ interpréter toute les variations de densité de particules chargées.
Quand la charge d’ espace est suffisamment importante pour modifier le champ extérieur
comme c ’ est le cas notamment pour les décharges filamentaires, l’ équation de Boltzmann doit
être couplée à l’ équation de Poisson.
L ’ équation de Poisson pour le calcul du champ électrique s’ écrit:
AO = -
£ — £o £r
e(np - ne)
£
(2 .1 1 )
(2 .12 )
51
Chapitre II
E = -A O
(2 .13 )
O représente le potentiel et e la charge élémentaire portée par l’ électron. s, s0 et sr
représentent respectivement la permittivité du milieu, la permittivité du vide et la permittivité
relative ; dans notre cas, sr est pris égal à un. ne et np sont respectivement la densité des
électrons et des ions positifs. L ’ équation (2.13) permet d’ estimer le champ électrique à partir
du potentiel appliqué.
Si un modèle prend en compte le couplage entre la cinétique des particules chargées et la
distribution du champ électrique, on dit que le modèle est auto-cohérent (au sens électrique du
terme).
La résolution numérique d’un tel système est très complexe et bien trop lourde pour une
utilisation à des fins de modélisation, où le facteur temps tient une place prépondérante. Les
résultats doivent être obtenus de manière plus rapide et moins coûteuse que les résultats
expérimentaux. Des hypothèses simplificatrices sont introduites au niveau de la dépendance
spatiale et temporelle des paramètres permettant la description de l’ évolution des particules.
Parmi ces hypothèses, on a celle qui consiste à supposer l’ existence d’un régime d’ équilibre.
2.4. Equilibre du champ local
On considère le cas où le champ appliqué à un système est constant et uniforme. On admet
dans une telle situation que les propriétés macroscopiques des particules chargées étudiées
sont indépendantes de la position et du temps et sont uniquement fonction du champ appliqué.
Les particules sont en équilibre avec le champ électrique et le système est en régime
hydrodynamique.
Le régime hydrodynamique (ou régime d’ équilibre avec le champ local) est un état
d’ équilibre dans lequel les pertes d’ énergie au cours des collisions sont compensées par le
gain d’ énergie suite aux collisions et aux forces extérieures. On note que cet état est différent
de l’ équilibre thermodynamique local dans lequel, en l’ absence de forces extérieures et au
bout d’un temps suffisamment long, l’ ensemble des particules d’un système tend vers une
situation caractérisée par une distribution de M axw ell à la température du gaz. C ’ est le
résultat stable d ’un bilan équilibré entre les processus directs et inverses. Cela ne risque pas
de se produire dans le milieu qui nous intéresse (plasma froid non thermique produit par
décharge filamentaire) où la température des électrons est très supérieure à celle des ions, ellemême supérieure à celle des neutres.
i
52
|
Chapitre II
En fait, le bilan des énergies gagnée et perdue n’ est pas rigoureusement nul, ce qui implique
que l’ équilibre n’ est jamais réalisé surtout quand le champ varie dans le temps et/ou dans
l ’ espace. Une approximation valable consiste à admettre l’ équilibre si la variation du champ
électrique le long d’un libre parcours moyen À est faible.
1d E
—— trés inférieur à À 1
E dx
( 2.14)
La variable x repère la position de la particule le long de la direction du champ électrique.
Si cette relation est valable, la description de la décharge peut s’ effectuer (même lorsque E
dépend de la position et du temps) en utilisant les valeurs des paramètres de transport calculés
à l’ équilibre lorsque le champ électrique est constant.
Dans ces conditions, les grandeurs macroscopiques dépendent de la position et du temps
uniquement par l’ intermédiaire de la variation spatiale ou temporelle du champ électrique
réduit local E/n où n est la densité du gaz. Cette approximation consiste à considérer que la
fonction de distribution atteint un état d’ équilibre quasi instantanément en réponse à
l’ application du champ électrique. Cette hypothèse est valide si la durée de relaxation de la
fonction de distribution en énergie et en quantité de mouvement des espèces chargées est
faible devant toute variation caractéristique du champ électrique dans la décharge [6].
2.5 Différents modèles mathématiques
Le couplage de l’ équation de Boltzmann à l’ équation de Poisson rend le problème difficile à
résoudre. C ’ est pourquoi il existe une hiérarchie de modèles physiques correspondant à
différents degrés d’ approximation des phénomènes.
Suivant les conditions et le niveau de détail ou de précision requis, l’un des modèles qu’ on va
citer sera adapté au problème qu’ il faut résoudre. On a trois modèles mathématiques :
>
Modèles cinétiques (microscopiques) ;
>
Modèles fluides (macroscopiques) ;
>
Et modèles hybrides.
De façon générale, ces modèles permettent la détermination :
>
Des paramètres électriques de la décharge,
c'est-à-dire les variations
spatio­
temporelles du champ électrique, du courant et du potentiel et également la
détermination de la puissance dissipée ;
Chapitre II
>
Des profils de densités et des fonctions de distribution en énergie des espèces
chargées, avec les variations spatio-temporelles correspondantes ;
>
Des taux (ou fréquences) des divers processus de collision tels l’ ionisation,
l’ attachement, l’ excitation ou la dissociation [7].
2.5.1. M odèles m icroscopiques (cinétiques)
Dans un modèle microscopique, les phénomènes de transport électronique et ionique sont
décrits par la résolution de l’ équation de Boltzmann où l’ inconnue est f(r,V ,t) ou fonction de
distribution. Il faut résoudre simultanément l’ équation de Boltzmann pour les électrons et
pour les ions positifs et l’ équation de Poisson.
L ’ équation de Boltzmann spatiotemporelle ne peut pas être résolue de façon pratique et
rapide par des méthodes de différences finies ou d’ éléments finis. On a donc recours à des
méthodes particulaires dans lesquelles on considère un nombre fini de particules (quelques
milliers) que l’ on suppose représentatif de l’ ensemble des électrons et des ions [8-9].
Tout en résolvant l’ équation de Poisson à intervalles de temps réguliers, on suit les
trajectoires individuelles de chacune de ces particules dans l’ espace des phases.
On peut procéder aussi à des simplifications qui portent sur le nombre de dimensions qui
peut être réduit par symétrie, l’ approximation des termes de collision ou l’ approximation de la
fonction de distribution dans l’ espace des vitesses en polynômes de Legendre.
Une façon indirecte de résoudre l’ équation de Boltzmann consiste à simuler sur un
ordinateur puissant les trajectoires et les collis ions d’un nombre déterminé de particules (107)
ou groupe de particules.
C ’ est ce que font les codes PIC : Particules In Cell qui forment un sous ensemble des
méthodes dites de Monte Carlo.
La qualité de la statistique dépend du nombre de particules pris en compte.
L ’ inconvénient de ces modèles est la durée de calcul très élevée ainsi que la taille mémoire
nécessaire pour suivre un nombre représentatif de particules.
A la pression atmosphérique, ce nombre doit être important pour décrire correctement les
phénomènes et, dans le cas de l’ étude des décharges électriques, il devient rapidement très
grand à cause des avalanches électroniques qui démultiplient le nombre d’ espèces chargées.
i
54
|
Chapitre II
2.5.2. M odèles fluides (m acroscopiques)
2.5.2.1. C oncept
Un fluide est un milieu matériel continu, déformable et qui peut s'écouler. La continuité du
milieu est vérifiée si le nombre de particules physiques contenues dans un volume élémentaire
est suffisamment grand pour que l’ on puisse négliger toute fluctuation de ce nombre [10].
Le volume élémentaire est donc choisi suffisamment grand pour contenir un nombre
représentatif de particules (permettant le calcul d’une moyenne) et suffisamment petit pour
être traité d’un point de vue macroscopique.
D ’ après les études auxquelles ont procédé Eichwald [11], Pancheshnyi [12] et Hallac [13],
on peut dire que la densité des électrons à pression atmosphérique dans le canal d’un streamer
est de l’ ordre de 10
2 0
2 2
à 10
3
.
3
m" . Ainsi, un volume élémentaire de 1p,m renferme entre 100 et
10000 électrons [14]. Ce même volume contient plus de 107 molécules neutres.
Ces valeurs valident la possibilité de moyenner les grandeurs physiques microscopiques
(vitesse instantanée, section efficace, fonction de distribution e tc...) et assurent que les
grandeurs moyennes macroscopiques (densité, vitesse moyenne, énergie moyenne) obtenues
sont peu fluctuantes pour un instant et une position donnée.
On peut considérer aussi qu’un milieu est continu si toute distance caractéristique du fluide
est très grande devant le libre parcours moyen (À) des particules [1].
Pour simuler le développement des décharges, on utilise plutôt un modèle fluide pour le
transport des espèces. La justification d’un tel choix est que le libre parcours moyen des
particules (< 1 p,m pour les électrons) est très petit devant les dimensions du système (de
l’ ordre du centimètre) [15].
Le modèle fluide est donc le plus couramment utilisé pour modéliser le plasma froid (c'est-àdire pour résoudre approximativement les équations de Boltzmann) en raison de sa grande
souplesse et de la rapidité relative des calculs qu’ il permet : il décrit le plasma de décharge en
fonction de quantités macroscopiques locales : densité, vitesse moyenne, pression et flux de
chaleur. Ces grandeurs moyennes sont calculées grâce aux trois premiers moments de
l’ équation de Boltzmann :
>
L ’ équation de continuité ;
>
L ’ équation de transfert de la quantité de mouvement;
>
L ’ équation de l’ énergie.
i
55
|
Chapitre II
Les particules sont chargées, il convient de coupler le système à l’ équation de Poisson qui va
donner le champ électrique en fonction de la charge [16-17].
La représentation fluide est directement limitée par le degré de simplification de la fonction
de distribution des vitesses des particules chargées. En général, les grandeurs moyennes sont
déterminées à partir de la résolution des deux ou trois premiers moments de l’ équation de
Boltzmann.
2.5.2.2 Equations utilisées dans le modèle fluide
A - E quation de continuité
La description macroscopique du transport des particules chargées se fait par la résolution
des trois premiers moments de l'équation de Boltzmann (équations de continuité, de transfert
de quantité de mouvement et d'énergie).
Même si le modèle est transitoire, on s’ intéresse uniquement à des échelles de temps
relatives au mouvement des ions ou des neutres.
Dans ces conditions, les dérivées d’ ordre supérieur par rapport au temps peuvent être
négligées. Le flux des particules chargées peut s'écrire sous la forme d'un terme de dérive et
d'un terme de diffusion lorsque l'on néglige l'inertie des électrons.
Si on néglige le terme de diffusion, l'équation de transport de quantité de mouvement est
réduite à un terme de gain dû au champ électrique et un terme de pertes dû aux collisions.
En multipliant l’ équation (2.2) par 1 et en intégrant dans l’ espace des vitesses, on obtient le
premier moment qui correspond à l’ équation de continuité:
dn
_
dn
— + Vrnv = (— ) œll
(2 .15 )
n et nV représentent respectivement la densité des particules et le flux de particules. Pour une
espèce donnée, le terme (dn/ d t)coll représente la variation de la densité des particules sous
l’ effet des collisions. L ’ expression du terme source va être donnée plus tard.
Chapitre II
B - E quation de transfert de la quantité de mouvem ent
En multipliant l’ équation (2.2) par 2 et en intégrant dans l’ espace des vitesses, on obtient le
deuxième moment qui correspond à l'équation de transfert de la quantité de mouvement
simplifiée :
dnm v
——
_
dv
+ nm (vV r) v + v ( Vrnmv.) + VrP - nF = (m n — ) œii
(2 .16 )
F représente les forces extérieures exercées sur les particules, P est le tenseur de pression
cinétique correspondant à la densité d ’ énergie d’ agitation thermique.
Cette équation
représente la variation temporelle totale de la quantité de mouvement sous l’ effet des forces
extérieures, de la pression cinétique et des collisions.
P =m
v - v
v - v fdv
(2 .17 )
C -E quation de conservation d ’ énergie
De la même façon qu’ on a
obtenu les équations de conservation de particules ou de
quantité de mouvement, on peut déduire l’ équation de conservation de l’ énergie en multipliant
par 1/2mv2 l’ équation de Boltzmann et en l’ intégrant dans l’ espace des vitesses.
Bien que cette équation soit importante pour certains aspects de la physique des plasmas, elle
est d’ intérêt limité pour le traitement des ondes, qui est un point important ici.
dn£
5
_
— + - Vr. ( n£v) + VrQ - eE = - n u £
(2.18)
A vec e la charge élémentaire, u i la fréquence d’ échange d’ énergie par collision, E le champ
électrique et Q le flux de chaleur.
D -Ferm eture du système des équations de transport
En considérant les puissances de la vitesse d’ ordre supérieur à deux, on obtient un grand
nombre d’ équations de transport dans la suite de celles décrites ci-dessus. Dans ce cas,
l’ avantage apporté par des équations de transport plus facile à résoudre que l’ équation de
Boltzmann est perdu en raison du grand nombre d’ équations à résoudre.
57
Chapitre II
Cela n’ a pas d’ intérêt puisque le but est la résolution de l’ équation de Boltzmann. On se
limite donc dans la plupart des cas aux deux ou trois premiers moments de l’ équation de
Boltzmann.
Dans tous les cas, le nombre d’ inconnues est supérieur au nombre d’ équations. On peut
fermer le système moyennant des approximations telles que l’ hypothèse du champ local ou de
l’ énergie locale.
On se limite dans notre étude aux deux premiers moments de l’ équation de Boltzmann. Dans
ce cas, la fermeture nécessite deux approximations.
La première approximation consiste à négliger les termes de gradients de densité d ’ ordre
supérieur afin d’ obtenir une équation simplifiée du transfert de la quantité de mouvement et la
seconde correspond à l’ hypothèse du champ local.
2.5.3. M odèles hybrides
Le but du modèle hybride est de concilier les avantages des modèles microscopiques et des
modèles macroscopiques en traitant par exemple certaines régions de la décharge (chute
cathodique) par un modèle particulaire (microscopique) et d’ autres régions (lueur négative ou
il y a beaucoup plus de collisions) par un modèle fluide (macroscopique) [7].
Ce type de modèle est qualifié d’ hybride puisqu’ il est de type fluide pour les électrons froids
du plasma et de type microscopique pour les électrons rapides.
Les électrons rapides sont traités par une méthode de Monte Carlo.
2.6. Modèle de dérive diffusion utilisé dans ce travail
L ’ équation de transport de la quantité de mouvement est généralement simplifiée grâce à
l’ équation de dérive-diffusion qui détermine la vitesse moyenne des particules chargées sans
avoir à résoudre la totalité de l’ équation. La vitesse moyenne obtenue par cette approximation
comprend un terme de dérive issu de l’ équilibre entre l’ application d ’une force électrique et
une force de friction (modélisant les collisions entre particules chargées et neutres) ainsi
qu’un terme de diffusion. Le second moment de l’ équation de Boltzmann est donc obtenu en
écrivant le flux sous la forme:
nV = nw (E) - D (E)Vr
(2 .19 )
i
58
|
Chapitre II
Les paramètres w (E ) et D(E) sont respectivement la vitesse de dérive et le coefficient de
diffusion de la particule transportée qui dépend de la position et du temps à travers le champ
local E (r,t).
L ’hypothèse du champ local se traduit par w (r, t) = w (E (r,t)). En effet, dans le cas des
décharges haute pression, on admet habituellement que les particules sont en équilibre avec le
champ électrique.
En remplaçant l’ équation (2.19) dans l’ équation de continuité (2.16), on obtient:
dn
/5n\
— + Vr( nw (E) - D (E) Vrn) = ( — j = v (E) n + S
(2.20)
L ’ équation (2.20) prend la même forme pour les électrons et les ions positifs. Elle est dite
équation de dérive-diffusion car elle est constituée d’un terme de dérive (du premier ordre par
rapport à la dérivée spatiale) et d’un terme de diffusion (du second ordre par rapport à la
dérivée spatiale).
Dans le terme de droite, v(E ) représente la fréquence d’ ionisation directe des molécules, S
est un terme source global qui rend compte de la disparition et production des électrons et des
ions positifs par l’ intermédiaire de divers processus collisionnels [18]. L ’ équilibre avec le
champ est supposé réalisé.
Il n’ est en général pas possible de résoudre d’une manière analytique l’ équation (2.20) pour
chaque espèce chargée, il est donc nécessaire de faire appel à des méthodes numériques. Un
schéma numérique adapté à la modélisation des streamers et des gradients de densité associés
doit avoir les propriétés suivantes :
>
Positivité de la solution ;
>
Absence d’ oscillations parasites ;
>
Diffusion numérique minimale ;
>
Caractère conservatif ;
>
Possibilité de traiter l’ évolution des profils comportant des variations spatiales
brusques et les problèmes de choc ;
^
Rapidité de restitution de la solution.
2.7.Résolution numérique de l’équation de dérive-diffusion
La spécificité de l'utilisation de l'équation de continuité (équation (2.20)) est de présenter
selon les valeurs respectives de la vitesse de dérive et du coefficient de diffusion, des types de
59
Chapitre II
solution extrêmement différents. Si la diffusion prédomine, la solution de l’ équation de
dérive-diffusion est de type parabolique. Dans ce cas et si le coefficient de diffusion est
constant, une distribution initiale quelconque évolue vers une forme gaussienne, de plus en
plus élargie au fur et à mesure que le temps croit.
Dans le cas où la dérive prédomine, la solution de cette équation est essentiellement de type
hyperbolique. Cela signifie que, lorsque la vitesse de dérive est constante, une distribution
initiale quelconque se propage sans modification au cours du temps.
Dans le cas d’une décharge filamentaire, la vitesse de dérive et le coefficient de diffusion
dépendent de l’ espace et du temps et la solution de l’ équation de dérive-diffusion peut évoluer
d’une solution hyperbolique vers une solution parabolique et vis versa.
La difficulté principale d’un point de vue numérique, est de développer des méthodes de
résolution capables de traiter ces deux cas en même temps. Cependant, si le cas parabolique
est relativement facile à traiter, il n’ en est pas de même du cas hyperbolique. La résolution des
équations de type hyperbolique constitue l’un des problèmes les plus délicats de l’ analyse
numérique et les recherches consacrées à ce sujet sont extrêmement nombreuses.
La littérature sur les méthodes numériques en général, et sur les méthodes de résolution des
systèmes hyperboliques en particulier est très abondante et multidisciplinaire. On va présenter
les techniques de résolution telles que le schéma L ax Wendroff, le schéma de Scharfetter et
Gummel normal et amélioré, la méthode Flux de Transport Corrigé ou Flux Corrected
Transport.
Les tests auxquels vont être soumises les méthodes numériques dans le chapitre qui va suivre
sont guidés par l’ exigence de la modélisation des décharges pour lesquelles la meilleure
précision avec la plus faible diffusion numérique possible, la prise en compte de forts
gradients et d’une vitesse qui varie rapidement en espace sont nécessaires à une modélisation
de qualité.
En géométrie monodimensionnelle, l’ équation (2.20) caractérisant le mouvement des
différentes particules de la décharge peut se mettre sous la forme :
dn (x ,t)
dJ (x ,t) .
— r-----+------ ---- = v (x,t) n (x,t) + S (x,t)
dt
dx
.
.
.
,.
(2 .2 1)
Chapitre II
A vec :
J(x, t) = w (x, t) n (x, t) - D (x, t) —
( 2. 22)
dx
J(x,t) représente le flux des particules (densité de courant). Dans l’ équation (2.22), le
premier terme représente la dérive des particules induites par le champ électrique et le second
terme rend compte de leur diffusion.
La discrétisation de l’ équation (2.21) sans second membre s’ écrit sous la forme:
nk+1 - nkJi 4 - J*-1
At
Ax
Soit :
A t(M - 4 )
nk+1 = n k ------ ^ + 2------------------------------------------------------------------------- —
i
i
Ax
(2.24)
La relation (2.24) montre que la densité nk+1 s’obtient à partir de la densité nk et des flux
aux
milieux
de
deux
cellules
consécutives.
La
difficulté
principale
au niveau
de
l’ établissement d’un schéma numérique repose sur la détermination optimale du flux (densité
de courant) qui doit nécessairement s’ exprimer en termes de combinaison linéaire des densités
situées de part et d’ autre de x *.
x i—1/2
x i—3/ 2
x i+1/2
x i+ 3/2
J___
x,
x-
x-
dx
Figure (2.1) : Mode de discrétisation suivant l ’axe de propagation.
2.8. Importance du choix du flux
Comme J.
1
2
est situé au centre de la cellule i, l ’approximation consiste à admettre que la
densité n varie linéairement entre
x * et
x i+1.
61
Chapitre II
Dans ces conditions, on peut écrire en négligeant le terme de diffusion que le flux est donné
par l’ expression:
(n k + n k+1)
J. i = w
1 --------------1+2
i+2
2
La vitesse w
1
2
Vi G L1,nx — 1J
(2.25)
est la vitesse de dérive de la particule au point x
1
2
supposée différente
d’une cellule à une autre. Si on introduit la relation (2.25) dans (2.24), on obtient:
. 1 — E. 1 ) \
E. 1
E. 1
1+T- —1—
W1 )1'
,
1+^
,1—t( £>4
£i—
----| — nk+1 —j 2 + nk—1 Y
1 —
n !+1 = n!
(2.26)
\
A vec
At
^1 +A2 = W1+A2 TAxZ
La quantité e
1
2
(2 .27)
est dite nombre de Courant de Friedrich L evy (CFL).
Elle représente le rapport entre la distance effectivement parcourue dans une cellule
élémentaire par la particule et la longueur de la cellule Ax.
2.9. Schémas numériques étudiés
2.9.1. Schém a de L a x W en d ro ff
Dans le schéma Lax-Wendroff, le flux J
J.
1
+2
= w.
(nk+nk+1)—Ei+1(nk+1—nk)
---------------- 2----------1+2
2
1
1
2
est calculé par la relation suivante:
(2.28)
V
J
C ’ est un schéma d’ ordre 2 en espace et 1 en temps. Le schéma de Lax-W endroff est d’ ordre
supérieur.
Son défaut est celui d'être dispersif. Un profil initial gaussien ou autre va avoir tendance à
faire apparaître des oscillations.
Chapitre II
2.9.2. Schém a de Scharfetter-G um m el classique
Le schéma de Scharfetter et Gummel classique noté SG [19] est une méthode établie pour la
discrétisation des équations de dérive-diffusion décrivant le transport des porteurs de charge
(électrons, ions). La stabilité de la discrétisation est indépendante de la taille des mailles et le
pas de temps. Ce schéma exploite les propriétés spéciales des statistiques de Boltzmann, à
savoir l'exponentielle dépendance à l'égard du potentiel chimique [20].
Malheureusement,
il existe encore des inconvénients dans cette méthode. Par exemple, le
schéma SG intègre une diffusion non physique dans la direction normale à la convection
(vitesse de dérive) pour des problèmes mono et multidimensionnels.
Cette fausse diffusion va donner lieu à une perte significative de la précision de la solution
numérique dans le cas dominé par la convection. Cette méthode souffre aussi des fausses
oscillations [21-22].
Le schéma de Scharfetter et Gummel normal donne une solution très diffusive qui s'écarte de
la courbe exacte pour plusieurs ordres de grandeur. L'avantage de ce schéma est qu'il prend en
compte la convection et la diffusion en même temps. Le schéma est simple et facile à mettre
en œuvre [23].
Le schéma de Scharfetter et Gummel noté SG dans la présente thèse est basé sur l'idée
suivante :
Sur un maillage uniforme, l'équation de continuité (2.21) sans second membre est
discrétisée, en supposant que les densités sont associées avec les points de maillage i et les
flux aux milieux des cellules.
Le but du schéma de Scharfetter-Gummel est de trouver l’ approximation optimale pour J* + %
dans l'intervalle [xi,x i +1 ].
J.
1
2
est considéré constant sur l'intervalle [x*, x* +1 ] et w et D sont aussi constants sur cet
intervalle. La densité prend les valeurs suivantes :
ni = n xi
ni+ 1 = n xi+ 1
i
63
|
Chapitre II
Le flux J
1
2
est donné par
J1 +1 / 2 = —D dn + w n (x)
(2.29)
Toute équation du premier ordre peut être intégrée avec le facteur d'intégration correct. On
peut donc écrire :
J 1 e
^+ 2
w (x—xj)
d
/
dn
\ w (x—x1 )
= ( —D — + w n )e
d
V
dx
)
dn /
w (x—x )\
= —D â x (n e
D
)
Si on intègre de part et d’ autre l’ équation ci-dessus, on obtient
J
rx1+A
w (x—x1)rx1 + 1
x J, 4 e"
~
dx = —D I
d t
w (x—x1)\
â ï (n e^
) dx
(
TAx
' -n '
w(x—x1h x ,
Ji+1 J
e—wx /D dx = —D (n e
D ) j^ 1
D
— (e —wAx/D — 1 )
1+2 w
J 1
Le flux J
1
2
= D (n1 — n1+1e—wAx/D )
1
prend la forme
n _c—wAx/Dn
J1 +1 = w n1: 1e+e—wAxnD+1
( 2 .30)
Ou :
T 1 =
(n1 — ea n1+1 )
1+2 Axl
1
J
(2 .3 1)
o
wAx
a = — — et
D
ea — 1
Io = --------------a
Les expressions (2.30) et (2.31) sont les expressions généralisées du schéma de ScharfetterGummel normal (SG) pour le calcul du flux ou densité de courant [23].
Chapitre II
A partir des relations (2.30) et (2.31) on voit que le flux ou densité de courant
J.
1
2
est une
combinaison linéaire de ni et ni+1 ; on obtient un schéma de différence finie en trois points
lorsqu’ on insère (2.30) ou (2.31)dans (2.24).
Si on calcule la limite du flux pou w tendant vers zéro, on obtient :
limJi+1/2 = D
w^ 0
'
ni - ni+1
i+1
Ax
'
(2.32)
Dans les cas courants, le terme de dérive est plus important que le terme de diffusion :
(|w | Ax » D),
Soit :
(
Ji+1/z
wn,
(w ni+1
^ siw>0
(2.33)
si w < 0v
J
L ’ expression (2.33) représente le flux dans le schéma Upwind.
****L e schéma original est précis si la chute de potentiel entre deux nœuds adjacents est
beaucoup moins importante que la température des électrons. Cette condition peut être très
restrictive. Dans les décharges filamentaires à pression atmosphérique, on sait que le champ
électrique peut prendre des valeurs relativement élevées, et que le pas suivant la position a des
valeurs inférieures ou égales à 10—
4cm et pour éviter d'utiliser des maillages fins, Kulikovsky
[23] a proposé la procédure suivante :
Entre deux nœuds adjacents, on insère une autre paire de nœuds de telle manière que la
distance entre eux obéit à la condition requise (la chute de potentiel entre deux nœuds
adjacents doit être très faible par rapport à la température électronique). Les nœuds sont dits
virtuels. Cette procédure améliore considérablement la précision du système. Les nœuds
virtuels x G et x D sont placés de façon symétrique autour du point de centre :
Chapitre II
1
*1+1/2 = J (X1 + X1+1) .
x , - 1 /2
x- - 3 / 2
"T
x-
x i-1
T
x i+1/2
I____
xr
x i+3/2
I____
i --- r~
x
-►
x D x i+1
dx
Figure (2.2) : Position des nœuds virtuels x G et
x D.
Les densités aux nœuds virtuels sont obtenues par une méthode d’ interpolation exponentielle
appropriée de la densité n (x,t) sur l’ intervalle (x 1, x 1+1). La construction des deux schémas
de Scharfetter et Gummel améliorés doit respecter les étapes suivantes:
>
On considère les deux nœuds du maillage de base x 1 et x 1+1 ;
>
On calcule le pas virtuel hv entre deux nœuds virtuels de coordonnées x D et x G en
utilisant la relation:
hv =
xd
— xg = V2^DAx/|w1+1 — w11
(2.34)
A vec le facteur d'interpolation ^ qui doit être compris entre 0.01 et 0.04.
Dans ce cas, la détermination de la distance virtuelle doit respecter la condition suivante:
hv « s A b
(2 -35)
Où le calcul de la variation virtuelle du champ électrique AEv est donné par l'équation
suivante:
AEv = Ed — Eg =
hv AE1
Ax
(2.36)
66
Chapitre II
A vec :
Eg = (E, + E,+1 — AEV) /2
Ed = ( E , + E ,+ 1+ AEv) /2
(2 .37)
Si hv > Ax, le flux Ji+1/2 est calculé par les expressions (2.30) ou (2.31) (schéma classique
SG), dans le cas contraire, on utilise la procédure suivante:
> On définit les positions des nœuds virtuels et les vitesses de dérive correspondantes:
-hv)
= ------;-----r ^ i+1+hv)ï
„ _ (-i+i x D = ------;-----xg
„
N
v(2.38)'
(w, + w i+1 — Awv)
1w g = ------------2---------(w, + w i+1 + Awv)
Wd = ------------2----------
Awv = hv (w,+1 — w ,)
On calcule les densités nG et nD aux nœuds virtuels en utilisant l'expression d’ interpolation
exponentielle:
n (x) + 1 = (n, + 1) ea(x—^
(2.39)
A vec :
a = ^ io g [ n + + il
Ax
L n,+1 J
2.9.3. Schém a de Scharfetter et G um m el am élioré d ’ ordre zéro
Le calcul du flux ou densité de courant Ji+1/2 par le schéma de Scharfetter et Gummel
amélioré d’ ordre 0 (noté SG0) est donné par l’ expression qui suit :
D
Ji+1 / 2 = ^ ( n G — e“ vnD)
hv!0
(2.40)
67
Chapitre II
hyWj+1 / 2
D
__
'
0_
eav-1
ay
2.9.4. Schém a de Scharfetter et Gum m el am élioré d ’ ordre un (SG 1)
Dans le schéma de Scharfetter et Gummel d ’ ordre un noté SG 1, la détermination du flux ou
densité de courant Ji + 1 / 2 se fait comme suit:
D
- [ n . - eav ( 1 + ay Pv)nD ]
Ji+1/2
d
Ji+1 / 2
=ZT
hv ’ 1
’1
.
[e ay ( 1 + aV PV) 1n . - nD ]
si
|wG| >
|wd |
(2 .4 1)
si
|w . 1 < |Wd 1
A vec :
hvW .
a
D
Wd - W .
Pv =
2 w (.
a
v
a 2 + av Pv
e
+ — -( a 3Pv + a 2 + 2avPv - 2a£Pv)
a3
a
3
Ii =
Et :
hvWD
D
WD - W .
Pv =
f
*
t
r ^
’ 1 (a v, Pv)
2WD
a 3 + 2a P
eav
vv Pv ' 3 — (av3 Pv + av2 + 2 a v P;
a,
a, ;
2av2Pv )
2.9.5. Schém a F lux C o rrected T ran sport L o w Phase E rro r
Lorsque l’ on utilise des approximations d’ ordre élevé au cours de la discrétisation des
équations de transport, des oscillations importantes peuvent apparaître pour les densités
conduisant éventuellement à des valeurs négatives. Il est nécessaire dans ce genre de situation
de corriger les valeurs de la densité qui présentent ce problème.
Pour résoudre cette difficulté, une méthode existe dans la littérature : elle est dite méthode
du flux corrigé de transport (Flux Corrected Transport ou FCT) [24].
Chapitre II
C ’ est en 1973 que Boris et B ook [25-28]
ont proposé la méthode FC T qui est d’ ordre
indéterminé mais génère des résultats réalistes et précis.
La méthode FC T est apparue à peu près en même temps que les premières techniques de
limiteur de flux [29-30]. Cependant, la méthode FC T est restée pendant longtemps la plus
populaire.
Le principe de la méthode FC T consiste à utiliser deux schémas numériques. L ’un est un
schéma de précision faible (un schéma dissipatif tel que le schéma Upwind), l’ autre est un
schéma de précision élevée (un schéma dispersif qui peut conduire à des oscillations
anormales).
L ’ idée de base de la méthode F C T est de remarquer que, si l’ on ajoute une faible quantité de
flux dissipatif à un flux d’un schéma dispersif, on minimise la nature dispersive initiale et on
élimine les oscillations ce qui est à priori une procédure assez lourde et coûteuse en temps de
calcul [31].
On applique une diffusion corrective à un schéma de transport dispersif, en localisant la
diffusion uniquement aux régions où des oscillations dénuées de sens physique ont tendance à
se former suite à la dispersion.
Cette diffusion corrective est non linéaire car sa valeur dépend des valeurs de la densité de
charge ou de masse. La diffusion est appliquée de manière conservative, de sorte que
lorsqu’une quantité de fluide est soustraite d’un point, elle se trouve compensée par une
quantité égale rajoutée ailleurs.
Ainsi, des petites quantités de densités sont extraites localement d’un point à l’ autre sans
toutefois altérer le système global par des gains ou des pertes.
L ’ algorithme FC T possède plusieurs variantes. Le schéma numérique FC T -LPE développé
par M orrow [30-31] qu’ on va utiliser comporte les étapes suivantes:
A -E tap e de transport et diffusion
L'étape de transport est réalisée en utilisant une approximation des flux aux interfaces de la
grille. Cette étape ne garantit pas la positivité dans les régions de forts gradients à cause des
erreurs de phase. L'étape de diffusion est chargée de rendre la positivité à la solution [32].
En choisissant un coefficient de diffusion approprié on peut assurer la positivité. A l'issue de
cette étape, la méthode est conservative mais la précision diminue (dégradée).
i
69
|
Chapitre II
Le calcul de la densité transportée et diffusée est donné par l’ expression suivante:
k+1
k
1
ni
= nk — ^i+i(nk+1 + nk) - V | (nk + nk- 1 )] + [ui+1/2 (nk+1 - nk) - (nk i
i
2
—
n i-1 k
(2.42)
Les exposants de l’ expression (2.42) ci-dessus k et k+1 représentent respectivement les
instants t et t+At. (At est le pas de temps).
Si on observe l’ expression (2.42) qui permet le calcul de la densité transportée et diffusée, on
remarque que dans le calcul de ces densités, la cellule i n’ échange le flux qu’ avec les cellules
contiguës i - 1 et i + 1.
Le schéma FCT-LPE est un schéma purement explicite, sa stabilité numérique est assurée
par la condition £i+1/2 < 0.5 . w i+1/2 est la vitesse de dérive moyenne entre la cellule i et la
cellule i + 1, et u i+1/2 est le coefficient de diffusion numérique donné par l’ expression
suivante:
1 1
u i + 1 / 2 = £ + 3 Ei+1/2
(2 .43)
A vec si+1/2 défini auparavant.
**Les étapes de transport et de diffusion sont linéaires du point de vue numérique en ce sens
que le traitement est identique en chaque point, c'est-à-dire indépendant de la valeur locale de
la variable.
B- E tape d'anti-diffusion
L ’ étape d'anti-diffusion est nécessaire pour retrouver la précision de l'étape de transport, sans
perdre la positivité gagnée lors de l'étape de diffusion.
L'objectif de cette étape, étape clé de la méthode est de retirer le maximum de la diffusion
ajoutée à l'étape précédente, tout en conservant positivité et stabilité.
Contrairement aux deux étapes précédentes, la phase d'anti-diffusion est non-linéaire. Les
flux anti-diffusifs vont être corrigés en fonction de la valeur locale de la variable au voisinage
du point considéré. Cette correction donne son nom à la méthode numérique. Celle-ci est
définie de la manière suivante par Boris et B ook [33-35] : l'étape d'anti-diffusion ne doit pas
Chapitre II
créer de nouveau maximum ni de nouveau minimum dans la solution, pas plus qu'elle ne doit
accentuer les extremas s'ils existent déjà.
Dans ce qui suit, le calcul des flux d'anti-diffusion brut et corrigé au milieu de la cellule i et
i + 1 se fait par l'introduction d’une nouvelle densité soit celle du point i + 2.
Le calcul des flux bruts d’ anti-diffusion se fait selon l'expression suivante:
Ji+1/2 = M-i+1/2 [nk+11 — nk+1 + ( —nH-2 + 3nk+1 — 3nk + ni—1 ) /6 ]
(2 .44)
A vec :
M-i+1/2 = ^1 —
)/6
(2.45)
M-i+ 1 / 2 représente le coefficient d’ anti-diffusion.
Une telle anti-diffusion est appelée Phoenical car elle compense exactement la diffusion
quand la vitesse s’ annule et permet de retrouver la valeur intacte du profil, tel le phoenix qui
renaît de ses cendres. Il faut aussi remarquer que les valeurs des coefficients de diffusion et
d’ anti-diffusion sont issues d’une analyse de Fourier de la densité et qu’ ils permettent de
réduire l’ erreur de phase.
Le flux d’ anti-diffusion tel qu’ il est défini ci-dessus doit être corrigé par la technique du flux
limiteur. Le rôle du flux limiteur est de veiller à ce que l’ anti-diffusion ne doit ni créer de
nouveaux extremums, ni accentuer les extremums déjà existants.
Les valeurs des flux d’ anti-diffusion corrigés sont données par l'expression suivante:
J, + 1 / 2 = S * m ax 0, min [S ( n ^ 1 — n ^ 1 ) , |J,+V 2 1, S (n f+ 1 — nk—1 ) ] ]
( 2.46)
Avec
|S | = 1 et S = Signe (n k+11 — nk+1^
(2.47)
Finalement, la nouvelle valeur de la densité calculée au point i et à l’ instant t + At s’ obtient
par la relation:
nk+1 = n k + 1— Ji+1/2 + Ji—1 / 2
( 2 -48)
Chapitre II
D'après l'équation (2.48), on remarque que toute quantité soustraite (ou ajoutée) au point i,
se retrouve ajoutée (ou soustraite) soit au point i — 1, soit au point i + 1, de telle sorte que la
méthode FCT-LPE reste conservative.
La stabilité de l’ algorithme FCT -LPE est renforcée en introduisant des contraintes
numériques sur le flux d'anti-diffusion:
et ou bien
V
(2.49)
ou
En revanche, si le domaine de calcul possède deux ou trois dimensions, plusieurs flux
peuvent entrer ou sortir de la cellule sans que la valeur au centre de la cellule ne soit un
extremum local. Le limiteur de flux doit prendre en considération l'effet de ces flux
simultanément [36].
Parmi les avantages du schéma F CT -LPE (Flux Corrected Transport L o w Phase Error) et des
schémas SG0 et SG1 on peut citer:
>
Positivité de la solution;
>
Absence d’ oscillations parasites;
>
Diffusion numérique minimale;
>
Caractère conservatif (c’ est à dire que par exemple s’ il s’ agit d’une densité, le nombre
de particules est conservé);
>
Possibilité de calculer l’ évolution de profils comportant des variations spatiales très
brusques (gradients raides) et aptitude à répondre aux problèmes d’ ondes de choc ou
d’ ondes d’ ionisation (streamers);
>
Schéma explicite (donc rapidité de la réponse).
Parmi les défauts du schéma FCT-LPE, on peut citer:
>
Tendance à former de petites “ marches d’ escalier” dans les profils;
>
Manque de cohérence dans l’ évolution des différents moments (densité, énergie,
impulsion) dans les régions de faible densité;
72
Chapitre II
>
Ne convient pas aux problèmes stationnaires.
****L es schémas SG0 et SG1 ne forment pas de petites marches d’ escalier dans les profils
abrupts comme on va le montrer dans le chapitre III lors des tests numériques.
Chapitre II
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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Chapitre II
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Chapitre III
CHAPITRE III : ETUDE DES
ALGORITHMES POUR LA
CONSTRUCTION DU MODELE DE
DECHARGE STREAMER
Chapitre III
SOMMAIRE
C h ap itre III
Page
Sommaire
78
3.1.
Introduction
79
3.2.
79
3.2.1.
Tests des algorithmes sélectionnés pour résoudre l’ équation de
dérive-diffusion
Test visuel suivant la direction de propagation
3.2.2.
Test quantitatif
86
Résolution de l’ équation de dérive-diffusion en 2D
87
3.3.1
Méthode des pas fractionnés (splitting method)
87
3.3.2.
Test de validité de la méthode des pas fractionnés
88
Résolution de l'équation de Poisson en 2D
93
Références bibliographiques
97
3.3.
3.4.
5*C5*C5*C5*C
79
Chapitre III
3.1. Introduction
On a vu dans les chapitres I et II qui ont précédé la physique qui régit le développement et la
propagation du streamer et ainsi que le fort couplage entre les équations du modèle électro­
hydrodynamique. L ’ environnement au sein duquel les algorithmes de résolution du modèle
est très contraignant.
Pour connaître les performances des algorithmes utilisés pour résoudre l’ équation de dérive diffusion et l’ équation de Poisson, on leur fait subir des tests : en premier lieu dans un
environnement mathématique proche des conditions physiques d’utilisation (objet du chapitre
III) puis dans les conditions réelles de simulation (résolution du système d’ équations du
phénomène physique de la décharge (objet du chapitre IV).
Les premiers tests mathématiques, pour être valides doivent recréer l’ environnement réel : le
but est de savoir si les algorithmes qui sont retenus sont aptes à être utilisés dans la résolution
complète du modèle.
Les premiers tests permettent d’ optimiser aussi la programmation des algorithmes. Le travail
de préselection est fondamental et la performance des algorithmes est estimée par
l’ observation de la forme des solutions graphiques et quantifiée à partir de l’ erreur commise
par rapport à la solution analytique.
3.2. Tests des algorithmes sélectionnés pour résoudre l’équation de dérive diffusion
L ’ équation de continuité ou dérive-diffusion en une dimension est donnée dans le chapitre
précédent (équation (2.21)). Discrétisée, elle prend la forme donnée par la formule (2.24). La
difficulté de la résolution de l’ équation (2.24) consiste à estimer le mieux possible le flux ou
densité de courant. Ce sera le rôle des algorithmes cités dans le chapitre II (schéma L ax
Wendroff, schéma de Scharfetter et Gummel normal et amélioré d ’ ordre 0 et d’ ordre 1,
méthode Flux de Transport Corrigé ou Flux Corrected Transport).
3.2.1. Test visuel suivant la direction de propagation
Les algorithmes qu’ on va tester estiment le terme de transport de l’ équation de continuité. La
difficulté est de trouver un algorithme fiable capable de déterminer le flux avec précision et
respectant un certain nombre de critères : il doit être non dispersif (ne doit pas introduire
d’ oscillations artificielles dans la solution) et non diffusif. De plus, il doit être conservatif (il
i
79
|
Chapitre III
ne doit pas créer artificiellement une perte ou une création de particules) et maintenir la
positivité de la solution. Les durées de calcul ne doivent pas être prohibitives.
Ces critères sont à respecter quelques soient les conditions d’utilisation et notamment lors de
la propagation de forts gradients de densité dans des champs de vitesse non stationnaires et
inhomogènes.
Dans ce qui va suivre, on teste visuellement les algorithmes : L ax W endroff [1], Scharfetter
et Gummel normal et amélioré d ’ ordre zéro et un [2-3] Flux de Transport Corrigé à Faible
Erreur de phase ou Flux Corrected Transport L o w phase Error [4-8] pour résoudre l’ équation
de transport (2.24) sans terme source. Pour la direction de propagation Ox, on utilise le test
proposé par Kulikovsky [3].
Le test fait se propager de forts gradients de densité dans un champ de vitesse linéaire. La
forme du champ utilisé pour ces tests est donnée par l'expression suivante:
E (x) = Ax,
0 < x < 1
(3 .1)
A vec la constante A égale à 10 4 ua.
Les coefficients de diffusion D et la mobilité |i sont pris respectivement égaux à 1 ua.
**ua signifie unité arbitraire.
Si les électrons sedéplacent, leur vitesse de dérive est négative et est dela forme
w = —Ax
:
(3.2)
(3.2)
Le déplacement de la densité initiale se fait de la droite vers la gauche.
S ’ il y a undéplacement d’ ions positifs,la vitesse de dérive estpositive
w =
Ax
et est dela forme :
(3.3)
(3.3)
Le déplacement de la densité initiale se fait de la gauche vers la droite.
En négligeant le terme de diffusion dans l'équation de continuité (2.24), on obtient l’ équation
de dérive suivante:
an
dt
d(Axn)
dx
(3.4)
L'équation différentielle ci-dessus admet une solution analytique donnée par:
n (x,t) = eAtn (xeAt, t = 0)
(3.5)
Le profil de la densité initiale qu’ on va utiliser dans le test visuel est donné par la forme
suivante :
(3.6)
80
Chapitre III
Où
n = 10 2 ua
Les paramètres
a
et
et
n2 = 10 12 ua
x0 prennent les valeurs respectives
0.02 et 0.8 ua quand la vitesse de
dérive est négative (déplacement des électrons).
Ils vont prendre les valeurs respectives 0.02 et 0.5 ua quand la vitesse de dérive est positive.
Le coefficient d’ interpolation t pour les schémas améliorés SG0 et SG1 est pris égal à 0.02.
On commence le test visuel en calculant le flux dans l’ équation de continuité par le schéma
de Lax Wendroff. Le nombre de pas en temps est pris égal à 200, le nombre de pas constant
suivant la direction de propagation est pris égal à 200, le nombre de Courant de Friedrich
L evy est pris égal à 0.4 et la vitesse de dérive est positive.
La figure (3.1) donne le tracé de la densité initiale (formule 3.6), la densité analytique
(formule 3.5) et le profil de la densité calculée par le schéma Lax Wendroff. On voit
l ’ apparition d’ oscillations au niveau du front abrupt : ce schéma est dispersif et ne peut donc
être utilisé dans le code principal.
1013
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.1) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le schéma Lax
Wendroff, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, vitesse de dérive positive.
Le test qui va suivre concerne le schéma de Scharfetter et Gummel normal donné par [2-3].
Les conditions restent les mêmes que celles utilisées dans le test précédent mais la vitesse de
dérive est négative.
Chapitre III
On voit que le profil de la densité calculée dans la figure (3.2) s’ éloigne de la solution
analytique. Le schéma SG normal ou original est diffusif. Les critères établis auparavant pour
la sélection du schéma adéquat ne sont pas remplis (existence d ’une diffusion non
négligeable.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.2) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le schéma SG
classique, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, vitesse de dérive négative.
Les deux figures (3.3) et (3.4) représentent les profils de densités calculées respectivement
par les deux schémas améliorés SG0 et SG1 et la méthode FCT-LPE. Les calculs sont
effectués dans les mêmes conditions que précédemment. La vitesse de dérive est négative. On
voit que les résultats issus des schémas améliorés SG0 et SG1 sont en très bon accord avec la
solution analytique.
Cependant, le profil de la densité issu de la méthode FCT-LPE est légèrement décalé par
rapport à la solution analytique surtout au niveau du front d'onde où les gradients de densité
sont importants. Il faut noter que les densités pour les deux schémas SG0 et SG1 sont
calculées par la formule d’ interpolation exponentielle donnée en chapitre II soit la formule
(2.39) et le paramètre d’interpolation £, est pris égal à 0.02.
Chapitre III
1013
101
------------------------------- 1-------------------------------1------------------------------- 1-------------------------------1-------------------------------
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.3) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les schémas FCT-LPE
et SGO, nt = 200, nx = 200, CFL 0.4, ç 0.02, vitesse de dérive négative.
1013
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.4) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les schémas FCT-LPE
et SG1, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, Ç = 0.02, vitesse de dérive négative.
Chapitre III
1013
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.5) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les schémas FCT-LPE
et SG0, nt = 200, nx = 100, CFL = 0.2, Ç = 0.02, vitesse de dérive négative.
1013
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Position, ua
Figure (3.6) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les schémas FCT-LPE
et SG1, nt = 200, nx = 100, CFL = 0.2, Ç = 0.02, vitesse de dérive négative.
Chapitre III
Figure (3.7) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le schéma SG0, nt
200, nx = 200, CFL = 0.4, Ç = 0.02, vitesse de dérive positive.
Figure (3.8) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le schéma SG1, nt
200, nx = 200, CFL = 0.4, Ç = 0.02, vitesse de dérive positive.
85
Chapitre III
Les figures (3.5) et (3.6) montrent respectivement les profils des densités issues des
schémas SG0, SG1 et FCT-LPE. Ces calculs sont effectués pour un nombre de pas en
position égal à 100, le nombre de pas en temps nt égal à 100 et le C F L est pris égal à 0.2.
On voit que la solution issue du schéma FCT -LPE présente des escaliers au niveau du
gradient de densité. Les deux schémas améliorés SG0 et SG1 donnent de profils de densité
en très bon accord avec la solution analytique.
Pour terminer les tests visuels, on a réutilisé les conditions prises pour les figures (3.1),
(3.2), (3.3) et (3.4), on remarque que pour une vitesse de dérive positive, le profil issu du
schéma SG0 est légèrement décalé par rapport à la solution analytique alors que celui issu du
schéma SG1 coïncide avec celui donné par la solution analytique.
En conclusion, à la suite de ces tests, on peut conclure que les schémas améliorés SG0 et
SG1 ont une grande capacité à reproduire les forts gradients de densité présents dans les
décharges filamentaires haute pression.
3.2.2. Test quan titatif
La validité et l’ efficacité d’un algorithme sont estimées par deux méthodes. La première,
qualitative (but du paragraphe (3.2.1)), consiste en l’ analyse visuelle des résultats pour
percevoir les défauts de dispersion, de diffusion et de perte de positivité.
La seconde quantitative, fait appel au calcul de l’ Erreur Relative Moyenne (ERM) donnée
par la formule (3.7) :
nx
calculée
analytique
ni
- ni
ERM = — y
analytique
nxZ_i
i=1
(3.7)
On a calculé l’Erreur Relative Moyenne pour les deux schémas SG0 et SG 1, le paramètre
d’ interpolation Ç étant pris égal à 0.02 et la vitesse de dérive étant négative pour les premiers
calculs. On voit que l’ER M diminue avec le nombre de point choisis et qu’ elle est
pratiquement la même pour les deux schémas (voir tableau (3.1).
Pour une vitesse de dérive positive, l’E R M est plus faible pour le schéma SG1 que le
schéma SG0 (voir tableau (3.2).
Chapitre III
Erreur Relative Moyenne
Erreur Relative Moyenne
calculée par SG0
calculée par SG1
100
6.26920
6.76840
200
0.60990
0.63854
300
0.41389
0.42822
400
0.31842
0.32750
500
0.25761
0.26406
601
0.21559
0.22050
Nombre de points nx
Tableau (3.1) : Calcul de l ’erreur relative moyenne pour les deux schémas SG0 et SG1,
vitesse de dérive négative, Ç = 0.02, CFL=0.4, nt =200.
Erreur Relative Moyenne
Erreur Relative Moyenne
calculée par SG0
calculée par SG1
301
0.21902
0.05837
601
0.11804
0.02987
Nombre de points nx
Tableau (3.2) : Calcul de l ’erreur relative moyenne pour les deux schémas SG0 et SG1,
vitesse de dérive positive, Ç = 0.02, CFL=0.4, nt =200.
D'après les tests aussi bien qualitatifs que quantitatifs effectués, on peut dire que les deux
schémas SG0 et SG1 pour la résolution de l'équation de dérive-diffusion sont équivalents
numériquement. Le schéma SG0 a déjà été utilisé dans deux thèses précédentes [9-10]. Pour
la suite de ce travail, on a porté le choix sur le schéma SG1 pour la résolution des équations
de continuité dans le modèle 2D de la décharge filamentaire.
3.3. Résolution de l’équation de dérive-diffusion en 2D
3.3.1. M éthode des pas fractionnés (splitting method)
La résolution bidimensionnelle des équations de continuité pour les particules chargées est
faite en utilisant la méthode des pas fractionnés [1-11]. Cette méthode consiste à remplacer
l’ équation bidimensionnelle du transport :
d
dn (x ,r ,t)
dJx (x ,r ,t) 1 (rJr(x ,r ,t) )
- A : ---- +
----- - + — ^
-— = S ( x, r, t)
r
dr
dt
dz
(3.8)
Chapitre III
par une succession d’ équations monodimensionnelles suivant les deux directions (axiale et
radiale) de l’ espace conformément aux expressio ns suivantes :
dn ( x, r, t) dJx ( x, r, t)
— ^
dt— + J x4 —
dx
=
0
dn( x, r, t) 1 d ( rJr( x, r, t) ) =
dt
r
dr
dn (x ,r ,t)
^
-----— -----= S (x ,r ,t )
(3 9 )
dt
S (x, r, t) est le terme source de l'équation de continuité.
3.3.2. Test de validité de la m éthode des pas fractionnés
Pour ces tests de validité, on résout l'équation (3.9) sans terme source et avec unediffusion
des particules chargées négligeable. Les formes des vitesses de dérive radiale et axiale et du
champ électrique radial et axial sont
pris identiques aux formesdonnéesauparavant.
La
densité initiale du profil de gaussien utilisée est de la forme :
n ( x, r, t = 0)
f
(x - ^ 2 + ( r - ^ 2\
= n0exp I ------------ -------------I
—2
(3.10)
A vec n0, r0, x 0 et a 2 qui prennent respectivement les valeurs 1012, 0.9, 0.9 et 0.04 pour la
figure (3.9), 1012, 0.5, 0.5 et 0.04 pour la figure (3.11), 1012, 0.1, 0.1 et 0.04
pour la figure
(3.14). Tous ces paramètres ont des unités arbitraires. On obtient le profil de la densité issu
du schéma amélioré SG1 pour un même nombre de points suivant la position axiale et radiale
égal à 100, un nombre de pas en temps égal à 400 , pour un CFL égal à 0.4 et des vitesses de
dérive négatives (figure (3.10). Le déplacement se fait de haut en bas suivant la diagonale de
l’ espace inter-électrodes. Si on centre le profil de la densité initiale, le déplacement de la
gaussienne peut aussi bien se faire du haut vers le bas (figure (3.13)) que du bas vers le haut
(figure (3.12)). Si on place la gaussienne initiale en bas à l’ extrémité gauche, on a un
déplacement du bas vers le haut ((nt = 400) pour la figure (3.16)), ((nt = 600) pour la figure
(3.17)), ((nt = 800) pour la figure (3.18)). Le profil de la densité initiale se propage dans tous
les cas suivant la diagonale de l'espace inter-électrodes à cause des formes des vitesses de
dérive et des champs électriques appliqués. Le profil de la densité qui se propage est identique
à la propagation d'une décharge filamentaire haute pression.
i
88
|
Chapitre III
Figure (3.9) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.9).
Figure (3.10) : Profil de la densité calculée par le schéma SG1, nt = 200, nr = 100, nx
=100, CFL = 0.4, vitesses de dérive négatives.
Chapitre III
Figure (3.11) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.5).
Figure (3.12) : Profil de la densité calculée
par le schéma SG1, nt = 200, nr = 100, nx =
100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.13) : Profil de la densité calculée par le
schéma SG1, nt = 200, nr = 200, nx =200, CFL =
0.4, vitesses de dérive négatives.
Chapitre III
Figure (3.14) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.1).
Figure (3.15) : Profil de la densité calculée par le schéma SG1, nt = 400, nr 100, nx
100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Chapitre III
Figure (3.16) : Profil de la densité calculée par le schéma SG1, nt = 600, nr = 100, nx
100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.17) : Profil de la densité calculée par le schéma SG1, nt = 800, nr = 100, nx
100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Chapitre III
3.4. Résolution de l’équation de Poisson en 2D
L ’ équation de Poisson exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de
charge. Elle s’ écrit dans les coordonnées cylindriques sous la forme suivante :
d2 O (x,r,t)
ax-
1 3 0 (x,r,t)
+ r ~
320 (x , r , t )
+ —
dTr2—
e r
= ^ [ne(x, r, l) - nP(x, r, l ) ]
(3 1 1 )
Tous les symboles utilisés ont été définis auparavant.
Si on remplace les champs électriques (axial E x et radial E r) par les formules ci-dessous :
dO
Ex =
(3 -12)
dO
Er = - —
( 3.13)
On obtient l’ équation de Poisson en fonction des deux composantes du champ électrique
dEx(x, r,t)
^ d x —
1 d (rE r(x ,r ,t ))
+ r
(
rar
) =
e r,
h-(x' r, l) -
ne(x, ■■■
( 3 -14)
La résolution numérique de l'équation de Poisson dans un modèle bidimensionnel d’une
décharge filamentaire est très importante. Dans notre modèle, la détermination du champ et du
potentiel électriques doit se faire de manière suffisamment rapide et assez précise pour que le
calcul de l’ évolution spatio-temporelle des espèces chargées soit le plus correct possible.
Le choix s’ est porté sur la méthode Biconjugate Gradient Stabilized (B IC G ST A B )
développée en premier lieu par [12] et utilisée par [13-17]. L ’ algorithme B IC G S T A B est une
méthode itérative : cette méthode utilise des approximations successives pour obtenir des
solutions plus justes pour des systèmes non linéaires. La méthode B IC G S T A B est une
variante de l’ algorithme Biconjugate Gradient B ICG . Afin de valider la méthode B IC G ST A B ,
on va étudier son comportement dans le cas des situations dans lesquelles on connait la
solution de l’ équation de Poisson.
On calcule le potentiel, la composante radiale et axial du champ ainsi que le champ
électrique total en tout point de l’ espace inter-électrodes aux bornes duquel on applique une
tension constante et une charge nulle.
Pour ce test, on prend :
>
Une distance inter-électrodes égale à 1 ua ;
>
Un nombre de points suivant la direction axiale et radiale égal à 100 ;
>
Une tension de - 26 103 ua appliquée à l’ électrode de gauche et une charge nulle.
93
i
|
Chapitre III
Figure (3.18) : Potentiel obtenu à partir d ’une charge nulle.
Figure (3.19) : Champ électrique radial obtenu à partir d ’une charge nulle.
94
Chapitre III
Figure (3.20) : Champ électrique axial obtenu à partir d ’une charge nulle.
Figure (3.21) : Champ électrique obtenu à partir d ’une charge nulle.
Chapitre III
Les figures (3.19), (3.20), (3.21) et (3.22) donnent respectivement le potentiel, le champ
électrique radial, le champ électrique axial et le champ électrique total
en fonction de la
position pour une charge nulle. Les résultats obtenus sont corrects puisque le champ total
forme un plateau de valeur constante (26 103 ua) et le potentiel un plan qui décroit de la
valeur -26 103 ua à la valeur zéro. Ces résultats ont déjà obtenus pour les tests par la méthode
des disques [9-10].
Chapitre III
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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Chapitre III
W olfson Building, Park Road, Oxford O X 1 3QD, UK.
Chapitre IV
CHAPITRE IV :- MODELE EN 2D ;
-EFFET DES CONDITIONS INITIALES
SUR LA PROPAGATION DU STREAMER
POSITIF
Chapitre IV
SOMMAIRE
C h ap itre IV
Page
Sommaire
100
4.1.
Introduction
101
4.2.
M odèle mathématique utilisé dans le travail
101
4.3.
Géométrie du domaine de simulation et densité initiale
103
4.4.
Conditions aux frontières et paramètres de transport
104
4.5.
Résultats des calculs en 1D et discussion
110
4.6.
Résultats des calculs en 2D et discussion
112
4.7.
Effets des conditions initiales
116
4.7.1.
Effet du fond de préionisation
116
4.7.2.
Effet de la dispersion radiale
128
4.7.3.
Effet de la tension appliquée à l’ espace inter-électrodes
128
5*C5*C5*C5*C
Références bibliographiques
134
Chapitre IV
4.1. Introduction
Depuis une vingtaine d’ années, la modélisation des streamers dans l’ azote consiste à
résoudre les équations de continuité du plasma pour les électrons et les ions positifs. Les
paramètres de transport et les termes sources dépendent du champ électrique, l’ équation de
Poisson fait partie du système à résoudre. L ’ équilibre avec le champ local est supposé
toujours réalisé. Compte tenu des difficultés, on a apporté une simplification d’ emblée : la
décharge filamentaire est supposée à symétrie de révolution autour de l’ axe de propagation de
la décharge. Les premiers travaux publiés dans les années 70-80 font état de la résolution de
l ’ équation de dérive-diffusion sur l’ axe de propagation en 1D et la résolution de l’ équation de
Poisson en considérant que la décharge occupe un volume cylindrique de rayon constant qu’ il
convient de fixer à l’ avance (méthode des disques). La méthode de résolution est appelée
1.5D et l’ approche était justifiée par suite des performances limitées des ordinateurs. Morrow
[1] a grandement contribué à populariser ce type d’ approche qui a été repris par la suite [2,3].
Bien que cette méthode ait permis de mettre en évidence les principaux mécanismes de
propagation des décharges filamentaires, cette approche est considérée insuffisante pour
rendre correctement de l’ extension radiale de la décharge.
Les puissances des calculateurs modernes autorisent les calculs en 2D [4-6] et même en 3D
[7]. Certains cas sont devenus des références [8,9]. Comme des méthodes numériques
différentes sont utilisées dans chacun des travaux cités plus haut, il est difficile de se faire
une idée précise de l’ exactitude des résultats obtenus dans chaque cas, les auteurs ne donnant
que rarement des informations sur la stabilité de leurs calculs par rapport aux paramètres
caractéristiques du schéma numérique utilisé (nombre de points de discrétisation, distribution
de ces points à pas constant ou non, e tc...).
Dans ces conditions, et également dans le but de valider notre code 2D de la décharge
filamentaire, on va dans ce chapitre confronter nos résultats avec l’ étude effectuée par Dhali
et Williams [8,9]. Le choix de ces deux auteurs est justifié par le fait que les deux auteurs sont
les premiers à avoir effectué une modélisation bidimensionnelle d’une décharge filamentaire.
Cette comparaison est effectuée dans le cas d'un streamer positif dans l’ azote.
4.2. Modèle mathématique utilisé dans le travail
La solution adoptée pour étudier le transport des particules chargées dans la décharge
consiste à résoudre le système constitué des deux premiers moments de l’ équation de
Boltzmann aussi bien pour les électrons que les ions positifs :
101
|
Chapitre IV
(4.1)
dnp (r.t)
at
d ( v p ( f . t)n p ( P., ) )
+ -----------— ---------- = Vion (?. t) ne (r. t)
a?
Dans les équations (4.1) et (4.2), ne (?,t)
(4.2)
, np (?.t)
, v e (?.t)
et v p (?.t)
désignent
respectivement les densités et les vitesses moyennes des électrons et des ions positifs. Dans
les termes de droite, v ion (?.t) est la fréquence d’ ionisation directe des molécules ou atomes.
Les produits v e (? .t)n e (?.t) et v p (? .t)n p (?.t) dans les équations (4.1) et (4.2) représentent
respectivement les flux électroniques et ioniques (densités de courant). Les expressions de ces
flux sont données par les équations suivantes:
Je (? .t) = Ve (? .t) ne (? .t) = We (? . t X (? .t)
d(De (? .t) ne (? .t) )
(4.3)
a?
a (Dp (? .t) np (? .t) )
Jp (? .t) = Vp (?. t) np (? .t) = Wp (?. t) np (?.t) ----------------------------------------------- ^ -------- (4.4)
ar
Si on introduit les relations (4.3) et (4.4) dans les équations (4.1) et (4.2), on obtient:
dne (? .t) , dJe (? .t)
^
^
----^
^
--- = Vion (?. t)n e (? .t)
dnp (? .t)
at
(4.5)
ajp (? .t)
+ ■
= Vion (? .t) ne (? ,t)
at
(4.6)
(4.7)
Vion (? .t) = aWe (? .t)
a est le premier coefficient de Townsend et w e (T.t) l’ amplitude de la vitesse de dérive
électronique. Les deux équations (4.5) et (4.6) sont couplées à l’ équation de Poisson (4.8)
pour le calcul du champ de charge d’ espace :
Ie I
A O (?.t) = V20 (? .t) = ------ (n p — ne)
£0
(4.8)
A vec le champ donné par la formule (4.9)
I?charge (?.t) = —V O (?.t)
(4.9)
Le courant électrique externe est obtenu en utilisant la formule de Sato [10] :
Ig(t) = J0d J0” e (n p — ne) . d r. dz
(4.10)
102
Chapitre IV
4.3. Géométrie du domaine de simulation et densité initiale
Le domaine de simulation est un cylindre de rayon R. Ce domaine est limité par deux
électrodes infinies, parallèles, planes, circulaires et métalliques séparées par une distance dgap
égale à 0.5 cm. On applique une tension de -26 k V à l’ électrode de gauche pour créer un
champ géométrique de -52 k V cm-1 le long de la direction axiale. Cela correspond à une
surtension de 47 %. Le gaz utilisé est de l’ azote à la pression atmosphérique.
X
Fig (4.1) : Domaine de simulation.
Dans cette simulation, la décharge est initiée par un plasma relativement dense constitué par
une distribution identique d’ électrons et d’ions de forme gaussienne:
(4 .1 1 )
Où
n0 = 10 14 cm -33, a x = 0.027 cm
et a r = 0.021 cm .
La valeur de l’ amplitude de la gaussienne n0 = 1014 cm-3 permet à la décharge de se
développer immédiatement en évitant le traitement de la phase de croissance. Les effets
secondaires ne sont pris en compte qu’ à travers la présence du fond continu de gaz ionisé (10 8
cm-3) globalement neutre. Cette répartition initiale de charge ne modifie pas le champ
électrique initial et constitue une réserve d’ électrons germes nécessaire à la propagation de la
décharge positive.
Elle permet ainsi d’ éviter un lourd calcul de transfert radiatif. Il faut noter que si l’ intervalle
est privé d’ électrons germes, aucun schéma numérique n’ entraine le départ d’un streamer de
l ’ anode vers la cathode.
103
Chapitre IV
4.4. Conditions aux frontières et paramètres de transport
Pour le potentiel et la densité des différentes particules, la symétrie axiale impose les
conditions (4.12) et (4.13) :
fdF\
(4 .12 )
Ü F ) r=c = 0
/dns\
=
V dr ) r=o
0
(4 .13 )
Les conditions aux frontières au niveau des électrodes pour les particules sont les suivantes:
rdn.
( £ ) x=dgap
( £ )
= 0
(4.14)
=0
(4 .15 )
Les paramètres de transport sont pris de l’ article de Dhali et W illiams [8,9] :
a =5.7 P exp (-260
cm-1
Coefficient
d’ionisation
E/P)
^ = 2.9 105/ P cm-2V-1 s-1
Mobilité
électronique
cm2s-1
Coefficient de
Dea = 1800
diffusion axial
pour les
électrons
Der= 2190
cm2s-1
Coefficient de
diffusion radial
pour les
électrons
Mobilité ionique ^ = 2.6 105/ P
cm-2V-1s-1
Coefficient de
diffusion axial
pour les ions
D = 10
cm2s-1
Coefficient de
diffusion radial
pour les ions
positifs
D = 10
cm2s-1
pa
pr
Tableau (4.1) : Paramètres de transport.
104
Chapitre IV
Figure (4.2) : Densité électronique en fonction de la position (nos résultats), instants 0, 0.1,
1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche, échelle logarithmique.
Figure (4.3) : Densité électronique en fonction de la position (résultats de Dhali et Williams),
instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche, échelle logarithmique.
105
Chapitre IV
1015
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.4) : Densité ionique en fonction de la position (nos résultats), instants 0, 0.1, 1, 2,
2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche, échelle logarithmique.
1015 n---------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.5) : Densités électronique et ionique en fonction de la position (nos résultats),
instant 1 ns, échelle logarithmique.
Chapitre IV
1Q15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.6) : Densités électronique et ionique en fonction de la position (nos résultats),
instant 2 ns, échelle logarithmique.
2.5e+13
'O
E
q
2.0e+13
as
ga) 1.5e+13
T3
-5.0e+12 H------------------ ------------------ ------------------ ------------------ -----------------0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
1
1
1
Position, cm
Figure (4.7) : Densité nette de charge d ’espace en fonction de la position (nos résultats),
instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
107
I
Chapitre IV
2.5e+24
2.0e+24 E 1.5e+24
o
0“
o
i—
o
Ü)
1
Oe+24
0
E
i—
£ 5.0e+23 H
-
L
.
v
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.8) : Terme source en fonction de la position (nos résultats), instants 0.1, 1, 2, 2.5,
3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.9) : Champ électrique en fonction de la position (nos résultats), instants 0.1, 1, 2,
2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
-Champ électrique, kV cm"
Chapitre IV
Position, cm
Figure (4.10) : Champ électrique négatif en fonction de la position (nos résultats), instants
0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.11) : Champ électrique axial en fonction de la position (résultats de Dhali et
Williams), instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Chapitre IV
10 l
1
-
<
-i—'"
ra
0.1
o
O
0.01
0.001
0
1e-9
2e-9
3e-9
4e-9
Temps, s
Figure (4.12) : Courant électrique externe en fonction du temps (notre résultat), échelle
logarithmique.
4.5. Résultats des calculs en 1D et discussion
Avant de valider notre code, on va comparer nos résultats avec ceux de Dhali et Williams.
L ’ objectif du travail de Dhali et W illiams [8,9] était de mettre en évidence l’ importance d’une
analyse bidimensionnelle pour pouvoir comprendre les mécanismes de propagation d’une
décharge filamentaire. Les équations utilisées par les deux auteurs sont les mêmes que les
nôtres sauf que le schéma numérique dans leur cas pour le calcul du flux ou densité de courant
dans les équations de transport est la méthode Flux de Transport Corrigé (FCT ) avec le
limiteur de Zalezak. L ’ équation de Poisson dans leur cas est résolue par la méthode Fast
Fourier Transform (FFT) suivant un axe et cubic spline suivant le deuxième axe. Comme ils
n’ ont pas précisé le nombre de points axial et radial, on a pris respectivement 60 0 et 300
points suivant les deux directions.
Les résultats vont être présentés dans la section (4.5) en une dimension suivant l’ axe de
propagation ensuite en deux dimensions dans la section (4.6).
110
|
Chapitre IV
La figure (4.2) représente la distribution de la densité électronique en fonction de la position
(axe de propagation) aux instants 0, 0.1, 1, 2, 2.5, 3 et 3.5 ns. La figure (4.3) représente les
résultats obtenus par Dhali et W illiams : la densité initiale n ’y figure pas. On peut remarquer
que le comportement global est identique : la densité électronique sature à la valeur 1014 cm-3
juste derrière la tête du streamer (au niveau du canal), ensuite décroit lentement au niveau du
front. Le fond de préionisation augmente au fur et à mesure que le temps passe et cela est du
aux avalanches successives. Après une période d’ ajustement, le streamer se forme et l’ onde
d’ ionisation se déplace avec une vitesse quasi constante pour arriver à la cathode.
On constate à l’ examen des deux figures (4.2) et (4.3) que les diffère nces apparaissent au
niveau de la vitesse de propagation (le streamer positif dans notre cas avance plus lentement
que celui de Dhali et Williams) et au voisinage de la cathode : les conditions aux limites
qu’ on a utilisées ont été prises de [12]. La vitesse de propagation dépend d’un grand nombre
de paramètres : la méthode numérique utilisée pour le calcul du terme source, le nombre de
points de discrétisation, leur répartition dans l’ espace, le pas minimal choisi pour l’ évolution
temporelle, la méthode utilisée pour résoudre l’ équation de Poisson. La figure (4.4) représente
le profil axial de la densité ionique aux instants 0, 0.1, 1, 2, 2.5, 3 et 3.5 ns (nos résultats). Le
comportement est identique à celui donné par le profil axial de la densité électronique (figure
(4.2)). Dhali et W illiams n’ ont pas donné dans leur article le profil de la densité ionique
suivant l’ axe de propagation.
Les figures (4.5) et (4.6) donnent respectivement les profils des densités électroniques et
ioniques aux instants 1 et 2 ns. Dans le canal, soit derrière la tête du streamer, les deux
densités sont égales. Au niveau du front, la densité ionique est toujours supérieure à la densité
électronique car la dérive des électrons se fait vers l’ anode dans le sens contraire à la direction
de propagation du streamer.
La densité nette de charge d’ espace est donc toujours positive à la tête du streamer
cathodique comme le montre la figure (4.7). Le pic le plus élevé pour la densité nette de
charge d’ espace atteint la valeur 2.4 1013 C cm-3 à l’ instant 3.5 ns: le pic est atteint quand le
streamer est près de la cathode.
La figure (4.8) donne les variations du terme source d’ ionisation en fonction de la position
axiale (direction de propagation) pour les instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3 et 3.5 ns. Comme le terme
source est lié au champ électrique, on voit qu’ il prend les valeurs les plus grandes aux mêmes
Chapitre IV
instants où le champ électrique est le plus élevé. Au niveau du front (tête du streamer), il se
présente aussi sous forme de pic.
La figure (4.9) représente l’ évolution du champ électrique (nos résultats) en fonction de la
position ; les figures (4.10) et (4.11) représentent respectivement l’ évolution du champ
électrique mais avec un signe moins (nos résultats) et les résultats de Dhali et Williams aux
instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3 et 3.5 ns. On voit que les allures globales pour les figures (4.10) et
(4.11) sont semblables, le champ obtenu est trois fois plus grand que le champ géométrique
d’une part (56 k V cm-1), et d’ autre part la valeur maximale du champ électrique à 2 ns est
plus faible dans notre cas (160 k V cm-1) que dans le cas de Dhali et W illiams (175 k V cm-1).
On a aussi représenté le courant dans le circuit extérieur en fonction du temps dans la figure
(4.12) en utilisant une échelle logarithmique. L e courant initial résulte de la distribution
initiale de l’ ionisation dans le champ électrique appliqué. Ensuite on a une décroissance due
au fait que le streamer n’ est pas encore formé puis on a une croissance lente du courant (le
streamer se met en place) et aux derniers instants on a une croissance en exponentielle à cause
de la multiplication des électrons due aux avalanches successives. Il faut remarquer que le
courant engendré dans le circuit externe n’ est pas très élevé (0.1 A à 2 ns).
4.6. Résultats des calculs en 2D et discussion
Une meilleure description de la structure du filament est apportée par les courbes de niveau
en deux dimensions représentant les caractéristiques principales du filament positif.
On a commencé par représenter la distribution initiale des électrons ou ions positifs (figure
(4.13)). C ’ est une gaussienne centrée sur l’ électrode de gauche ou anode. Les valeurs des
densités vont de 108cm-3 (fond de préionisation) à 1014 cm-3 (hauteur maximale de la
gaussienne).
Les figures (4.14) et (4.15) représentent respectivement les courbes de niveau de la densité
électronique et ionique du filament positif à l’ instant 2 ns, instant où le streamer est déjà
formé. On remarque pour les deux figures qu’ il y a deux régions : la tête du streamer où la
densité en électrons ou ions est faible et le canal où la densité en électrons ou ions est élevée.
Dans la figure (4.16), on a représenté la courbe de niveau de la densité nette de charge
d’ espace à l’ instant 2 ns. Comme on l’ a dit pour les figures (4.5), (4.6) et (4.7), la densité
nette de charge d’ espace reste positive à la tête du streamer, on vérifie ce résultat dans la
courbe de niveau et on voit que la densité nette de charge d’ espace prend la forme d’un sabot
112
|
Chapitre IV
P o sitio n a x ia le .
Figure (4.13) : Courbe de niveau de la densité initiale électronique ou ionique (notre
résidtat), instant initial.
-0 16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
n
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Position radiale, cm
Figure (4.14) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), instant 2 ns.
113
Position a x ia le ,
Chapitre IV
Position radiale, cm
Figure (4.15) : Courbe de niveau de la densité ionique (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.16) : Courbe de niveau de la densité nette de charge d ’espace (notre résultat),
instant 2 ns.
Position a x ia le ,c m
Chapitre IV
Figure (4.18) : Courbe de niveau du champ axial (notre résultat), instant 2 ns.
Chapitre IV
0.5
0.4
E
ü 0,3
Éeu
X
X
c0
1 02
CL
0.1
0.0
-0.16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
D.OO
0.02
Q.04
Q.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Position radial, cm
Figure (4.19) : Courbe de niveau du terme source (notre résultat), instant 2 ns.
de cheval avec une valeur maximale au niveau du front. Le champ électrique axial en valeur
absolue (figure (4.18)) présente deux régions principales aussi, une région où le champ est
fort (tête du streamer) et une région à faible valeur de champ (canal du filament). A 2 ns, le
champ au niveau du front prend la valeur 160 k V (valeur qui représente trois fois le champ
géométrique) et 40 k V au niveau du canal (champ pas très important).
On voit aussi l’ expansion radiale du champ pour la figure (4.17) qui donne la courbe de
niveau du champ radial à l’ instant 2 ns. On voit aussi qu’ il est très important en tête de
décharge La courbe de niveau du terme source (figure (4.19)) montre que le terme source
d’ ionisation est maximum à la tête du streamer (2.5 1024 cm-3) : le streamer peut avancer sous
forme d ’une onde d’ ionisation.
4.7. Effet des conditions initiales
4.7.1. E ffet du fond de préionisation
Afin de déterminer l’ effet des conditions initiales sur la propagation du streamer positif, on
fait varier une seule condition en maintenant toutes les autres fixées. On va en premier lieu
voir l’ effet du fond de préionisation sur la propagation du streamer. Les figures (4.20), (4.21),
Chapitre IV
'E
CD
=3
cr
1_
ti
>(ü
'(D
(fl
c
CD
□
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.20) : Densité électronique en fonction de la position pour un fond de
préionisation égal à 0 cm' (notre résultat), instants 0, 1 ns.
1015 n------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Position, cm
Figure (4.21) : Densité électronique en fonction de la position pour unfond de
préionisation égal à 103 cm 3 (notre résultat), instants 0, 1, 1.2 ns.
Chapitre IV
Figure (4.22) : Densité électronique en fonction de la position pour un fond de
préionisation égal à I(f cm' (notre résultat), instants 0, 1, 1.1, 1.2, 1.3 ns.
Figure (4.23) : Champ électrique en fonction de la position pour un fond de préionisation
égal à 0 et 108 cm 3(notre résultat), instant 1 ns.
Chapitre IV
0.2
0.3
Position, cm
Figure (4.24) : Densité électronique en fonction de la position pour différentes valeurs du
fond de préionisation 108 et 109 cm 3(notre résultat), instant 2ns.
Figure (4.25) : Champ électrique en fonction de la position pour différentes valeurs du fond
de préionisation108 et 109 cm-3(notre résultat), instant 2ns.
119
Chapitre IV
Figure (4.26) : Courbe de niveau de la densité électronique, fond de préionisation 109 cm 3,
(notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.27) : Courbe de niveau du champ électrique, fond de préionisation 109 cm 3,
(notre résultat), instant 2 ns.
Chapitre IV
Figure (4.28) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour différents fonds de
préionisation (notre résultat), échelle linéaire.
Figure (4.29) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour différents fonds de
préionisation (notre résultat), échelle logarithmique.
Chapitre IV
Figure (4.30) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour fonds de
préionisation 108 cm 3 et 109 cm 3(notre résultat), échelle linéaire.
Figure (4.31) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour fonds de
préionisation 108 cm 3 et 109 cm 3 (notre résultat), échelle logarithmique.
Chapitre IV
(4.22) représentent respectivement la densité électronique en fonction de la position axiale
pour des fonds de préionisation égaux à 0, 103 et 106 cm-3. A l’instant 1ns, le streamer
positif ne s’ est pas encore formé (figure (4.20), il en est de même pour le streamer de la figure
(4.21) mais le temps de calcul est de 1.2 ns. On remarque aussi que la pente est très raide.
Pour un fond de préionisation égal à 106 cm-3, la forme de l’ onde d ’ ionisation existe jusqu’ à
l’ instant 1.3 ns, l’ avancée du streamer ne se fait pas et le code flanche. On peut dire donc qu’ il
faut mettre un fond de préionisation suffisant pour que le streamer puisse se former et avancer
vers la cathode (dans notre cas on a pris le fond de préionisation égal à 108 cm-3).On vérifie
donc ce qui a été dit auparavant dans le chapitre IV : si l’ intervalle est privé d’ électrons
germes, aucun schéma numérique n’ entraine le départ d’un streamer de l’ anode vers la
cathode.
La figure (4.23) représente le champ électrique en fonction de la position pour des fonds de
préionisation égaux à 0 et 108 cm-3 à l’ instant 1 ns. Le champ électrique pour les deux fonds
prend la même forme mais il est beaucoup plus important au niveau de la tête quand le fond
est nul.
Les figures (4.24) et (4.25) représentent respectivement la densité électronique et le champ
électrique en fonction de la position pour différentes valeurs du fond de préionisation 108 et
109 cm-3 à l’ instant 2ns. Les allures de la densité électronique pour les deux valeurs du fond
de préionisation se ressemblent sauf que la vitesse de déplacement est plus rapide pour le fond
le plus élevé et pour ce qui est du champ électrique, on a aussi le même comportement sauf
que le champ électrique à la tête du streamer est plus intense pour le fond de préionisation le
moins élevé.
Les courbes de niveau (figures (4.26) et (4.27)) de la densité électronique et du champ
électrique à l’ instant 2 ns pour le fond de préionisation égal à 109 cm-3 montrent qu’ il y a
toujours deux régions comme cela a été expliqué auparavant pour les figures (4.14) et (4.18)
mais on remarque aussi que la vitesse du streamer est plus importante pour un fond de
préionisation égal à 109 cm-3 et que le champ électrique à la tête du streamer vaut 160 k V pour
le fond égal à 108 cm-3 et 120 k V pour le fond égal à 108 cm-3. Les figures (4.28) et (4.29)
représentent le courant dans le circuit extérieur en fonction du temps
pour des fonds de
préionisation 0, 103 cm-3et 106 cm-3 aux échelles linéaire et logarithmique. On voit que le
courant ne prend pas l’ allure de la figure (4.12), qu’ il reste relativement faible mais pour 106
cm-3, il augmente légèrement après 1.2 ns.
123
|
Densité électronique,cm'
Chapitre IV
(4.32) : Densité électronique en fonction de la position pour différentes valeurs de la
dispersion radiale (notre résidtat), instant 2 ns.
Champ électrique,kVcm
^
Position, cm
Position, cm
Figure (4.33) : Champ électrique pour différentes valeurs de la dispersion radiale (notre
résultat), instant 2 ns.
124
Chapitre IV
0.5
I ■
'3-9
1H
' s - 13
~
0.4
1
^
'~ -'1
’ s-'2
—
Z Z
’ s" ' 3
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u 0.3
»
S 0.2
Cl
0.1
0.0
-0.16
JM
■kk....... ........................
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
....
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Position radiale; cm
Figure (4.34) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), dispersion
radiale 0.28 mm, instant 2 ns.
Figure (4.35) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), dispersion
radiale 0.41 mm, instant 2 ns.
Chapitre IV
Figure (4.36) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), dispersion
radiale 0.58 mm, instant 2 ns.
Figure (4.37) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), dispersion radiale
0.28 mm, instant 2 ns.
126
Chapitre IV
position radiale, cm
Figure (4.38) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), dispersion radiale 0.
41 mm, instant 2 ns.
Position radiale, cm
Figure (4.39) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), dispersion radiale 0.
58 mm, instant 2 ns.
Chapitre IV
Quand on met des fonds de préionisation de 108 et 109 cm-3 (figures (4.30) et (4.31),
échelles linéaire et logarithmique respectivement), on voit que le courant a une valeur, puis il
diminue ensuite il croit en exponentielle à cause des avalanches successives (ces remarques
ont été faites pour la figure (4.12)). Le courant dans le circuit extérieur est plus important
quand le fond de préionisation augmente.
4.7.2. E ffet de la dispersion radiale
On a aussi fait les calculs en prenant pour la dispersion radiale différentes valeurs (0.21 mm
au départ, ensuite 0.28, 0.41 et 0.58 mm). Tout le reste des conditions initiales reste inchangé.
Les figures (4.32) et (4.33) représentent respectivement le profil de la densité électronique et
le champ électrique suivant l’ axe de propagation et cela pour les quatre valeurs de la
dispersion radiale à l’ instant 2 ns. Quand le streamer se forme, les quatre ondes se propagent
avec pratiquement la même vitesse (le streamer avec la dispersion radiale la plus petite a la
plus faible vitesse de propagation). A tout moment, le fond de préionisation qu’ ils ont à
l’ avant demeure inchangé (108 cm-3).
Le streamer qui provient de la dispersion radiale la plus large a le plus faible champ
électrique (110 k V cm-1) à la tête et celui dont la dispersion radiale est la plus faible possède à
la tête le champ le plus élevé (170 kV).
Pour les courbes de niveau de la densité électronique (figures (4.13), (4.34), (4.35) et (4.36),
instant 2 ns), le streamer qui a la plus large dispersion radiale à l’ instant se propage avec le
plus large diamètre (l’ expansion de la tête du filament est plus importante).
A partir des
courbes de niveau du champ électrique (figures (4.18), (4.3), (4.38), et (4.39)), on voit que le
champ électrique diminue avec l’ augmentation de la dispersion radiale. On peut donc dire que
le diamètre du streamer est influencé par le diamètre de la densité initiale de charge.
4.7.3. E ffet de la tension appliquée à l’ espace inter-électrodes
On étudie aussi l’ effet de la tension appliquée à l’ espace inter-électrodes. Pour cela, on
prend des tensions de 18, 26 et 30 k V ; tous les autres paramètres demeurent inchangés. La
figure (4.40) représente la densité électronique suivant l’ axe de propagation pour les
différentes tensions à l’ instant 1.5 ns. Pour la plus haute valeur de la tension, la densité
électronique au niveau du canal est la plus élevée, le fond de préionisation est le plus
important mais la pente au niveau de la tête pour la plus faible tension est la plus raide.
Chapitre IV
La vitesse de propagation augmente avec la tension appliquée : le streamer atteint plus
rapidement la cathode. La figure (4.41) représente le champ électrique en fonction de la
position au même instant que précédemment. Le champ électrique pour 18 k V est le plus
faible. Pour les courbes de niveau de la densité électronique (figures (4.42), (4.43) et (4.44)),
on voit qu’ il existe toujours les deux régions comme expliqué précédemment ; pour la tension
30 k V et à l’ instant 1.5 ns, le streamer prend la meilleure forme et avance plus rapidement.
Les figures (4.45), (4.46) et (4.47) représentent les courbes de niveau du champ électrique
pour les trois tensions 18, 26 et 30 k V ; ces trois figures montrent que le champ électrique
aussi au niveau de la tête qu’ au niveau du canal pour la tension 30 k V est le plus intense.
Chapitre IV
Figure (4.40) : Densité électronique en fonction de la position pour différentes valeurs de la
tension 18, 26 et 30 kV à partir de la gauche (notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.41) : Champ électrique en fonction de la position pour différentes valeurs de la
tension 18, 26 et 30 kV à partir de la gauche (notre résultat), instant 1.5 ns.
130
Chapitre IV
Figure (4.42) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), tension 18 kV,
instant 1.5 ns.
Figure (4.43) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), tension 26 kV,
instant 1.5 ns.
P o sitio n a x i a l e ,
Chapitre IV
n
-0.16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Position radiale, cm
Figure (4.44) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat), tension 30 kV,
instant 1.5 ns.
Figure (4.45) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), tension 18 kV, instant
1.5 ns.
132
Chapitre IV
Figure (4.46) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), tension 26 kV, instant
1.5 ns.
Figure (4.47) : Courbe de niveau du champ électrique (notre résultat), tension 30 kV, instant
1.5 ns.
133
Chapitre IV
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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[3]
[4]
[5]
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[8]
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A. A. Kulikovsky, J. Phys. D: Appl. Phys., 28, 2483,1995
Conclusion et perspectives
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Conclusion et perspectives
L ’ objectif principal de la présente thèse est d’ étudier l’ effet des conditions initiales sur la
propagation du streamer positif dans le gaz azote. Les résultats obtenus sont des données
importantes
pour les
domaines
inexplorés
expérimentalement
et une
aide
pour
la
caractérisation de la décharge électrique dans sa globalité.
Dans le chapitre I, on a expliqué ce qu’ est un plasma et montré qu’ il existait deux théories
pour expliquer l’ existence des décharges électriques : la théorie de Townsend et la théorie du
streamer qui a été établie par Loeb, Rather et Meek. Dans leurs modèles, on explique
l’ avancée de la décharge comme celle d’un front d’ ionisation qui se propage au sein de
l’ espace inter -électrodes.
On a aussi passé en revue les nombreuses applications industrielles (traitement des effluents
gazeux issus des centrales thermiques, échappement des voitures, production d’ ozone ect..).
Dans le chapitre II, on a montré que la modélisation des décharges hors-équilibre pouvait se
faire selon deux approches classiques. La première approche (appelée modèle cinétique)
consiste à résoudre l’ équation de Boltzmann et permet un traitement plus rigoureux de la
décharge. Le principal inconvénient réside dans le temps de calcul excessif car on prend en
considération un grand nombre de particules. La seconde approche qu’ on a adoptée dans notre
travail est basée sur l’utilisation du modèle hydrodynamique. Dans ce modèle, les deux
premiers moments de l’ équation de Boltzmann (équation de continuité et équation de transfert
de la quantité de mouvement) sont couplés à l’ équation de Poisson. La condition de fermeture
considérée est l’ hypothèse du champ local.
Dans le chapitre III, on a comparé différents schémas numériques (Lax Wendroff, schéma
classique de Scharfetter et Gummel, schémas améliorés de Scharfetter et Gummel SG0 et
SG1 établis par Kulikovsky, schéma Flux Corrected Transport FCT) du point de vue
quantitatif et qualitatif pour la résolution de l’ équation de continuité en 1D.
On a opté pour le schéma amélioré SG1 qui utilise la notion de nœuds virtuels et
l’ interpolation exponentielle sur les densités.
On a résolu l’ équation de continuité en 2D par la méthode des pas fractionnés et l’ équation
de Poisson en 2D par la méthode Biconjugate Gradient Stabilized B IC G ST A B .
Dans le chapitre IV, on a couplé entre les équations de dérive-diffusion des particules
chargées et l’ équation de Poisson pour former le modèle hydrodynamique de la décharge
filamentaire. On a validé le code 2D par comparaison de nos résultats avec les résultats de
Dhali et W illiams (cas test). On a obtenu les principales caractéristiques du streamer (densité
Conclusion et perspectives
électronique, densité ionique, densité nette de charge d’ espace, champ radial, champ axial et
terme source).
On a aussi procédé à une étude paramétrique en changeant une seule condition initiale à la
fois
(fond
de
préionisation,
dispersion
radiale,
tension),
pour voir
l’ effet
sur les
caractéristiques du streamer.
Pour le travail futur, on prévoit l'introduction du calcul de la photo-ionisation comme terme
source et comparer les résultats avec ceux obtenus en utilisant le fond de préionisation.
Liste des figures
LISTE DES FIGURES
Liste des figures
Figures
: Chapitre I
Figure (1 .1) : Arc électrique, phénomène à haute pression.
Figure (1.2) : Décharge luminescente, phénomène à basse pression.
Figure (1.3) : Schéma montrant la différence entre gaz neutre et plasma.
Figure (1.4) : Allure de la trajectoire d’un électron (ou d’un ion)dans un
plasma.
Figure (1.5) : Distribution spatiale très idéalisée des charges positives et
négatives dans le cas où les particules du plasma sont presque au repos.
Figure (1.6) : Types de plasmas en fonction du régime densité-température.
Page
12
12
13
15
17
19
Figure (1.7) : La foudre.
20
Figure (1.8) : Les flammes.
21
Figure (1.9) : Ordre de grandeur des températures et des densités de
quelques plasmas.
Figure (1.10): Courbes de Paschen expérimentales et calculées: tension
disruptive V s en fonction du produit pd.
Figure (1.11) : Principe du steamer.
23
30
32
Figure (1.12) : Multiplication des électrons par avalanche électronique.
33
Figure (1.13) : Accélération des électrons par le champ électrique.
34
Figure (1.14) : La charge d’ espace forme un dipôle qui renforce localement
le champ appliqué.
Figure (1.15) : La distorsion du champ en tête du streamer accélère les
électrons vers la tête. Les nouveaux électrons sont produits par photo­
ionisation.
Figure (1.16) : Illustration des différents effets produits par une décharge
streamer dans l’ eau.
Figure (1.17) : Traitement de l’ eau par plasma froid.
Figure (1.18) : Principe d’un ozoneur.
34
Figure (1.19) : Système industriel de production d’ ozone.
Figures : Chapitre II
35
39
40
41
41
Page
Figure (2.1) : Mode de discrétisation suivant l’ axe de propagation.
61
Figure (2.2) : Position des nœuds virtuels x G et x D.
66
Figures : Chapitre III
Figure (3.1) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le
schéma L ax Wendroff, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, vitesse de dérive
positive.
Figure (3.2) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par le
schéma SG classique, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, vitesse de
dérive
négative.
Figure (3.3) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les
schémas FCT-LPE et SG0, nt = 200, nx = 200, C FL = 0.4, £, = 0.02, vitesse
de dérive négative.
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81
82
83
139
|
Liste des figures
Figure (3.4) : Profils de la densité initiale, analytique et calculée par les
schémas FCT-LPE et SG 1, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, Ç = 0.02,
vitesse de dérive négative.
Figure (3.5) : Profils de la densité initiale, analytique
et calculée par les
schémas FCT-LPE et SG0, nt = 200, nx = 100, CFL = 0.2, Ç = 0.02,
vitesse de dérive négative.
Figure (3.6) : Profils de la densité initiale, analytique
et calculée par les
schémas FCT-LPE et SG 1, nt = 200, nx = 100, CFL = 0.2, Ç = 0.02,
vitesse de dérive négative.
Figure (3.7) : Profils de la densité initiale, analytique
et calculée par le
schéma SG0, nt = 200, nx = 200, CFL = 0.4, Ç = 0.02, vitesse de dérive
positive.
Figure (3.8) : Profils de la densité initiale, analytique
et calculée par le
schéma SG 1, nt = 200, nx = 200, C F L = 0.4, Ç = 0.02, vitesse de dérive
positive.
Figure (3.9) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.9).
Figure (3.10) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt = 200, nr
= 100, nx =100, CFL = 0.4, vitesses de dérive négatives.
Figure (3.11) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.5).
Figure (3.12) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt =
200,nr
= 100, nx = 100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.13) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt = 200, nr
= 200, nx =200, CFL = 0.4, vitesses de dérive négatives.
Figure (3.14) : Profil de la densité initiale (x0 = 0.1).
Figure (3.15) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt =
400,nr
= 100, nx = 100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.16) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt = 600, nr
= 100, nx = 100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.17) : Profil de la densité calculée par le schéma SG 1, nt = 800, nr
= 100, nx = 100, CFL = 0.4, vitesses de dérive positives.
Figure (3.18) : Potentiel obtenu à partir d’une charge nulle.
Figure (3.19) : Champ électrique radial obtenu à partir d’une charge nulle.
Figure (3.20) : Champ électrique axial obtenu à partir d’une charge nulle.
Figure (3.21) : Champ électrique obtenu à partir d’une charge nulle.
Figures : Chapitre IV
Fig (4.1) : Domaine de simulation.
Figure (4.2) : Densité électronique en fonction de la position (nos résultats),
instants 0, 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche, échelle
logarithmique.
Figure (4.3) : Densité électronique en fonction de la position (résultats de
Dhali et Williams), instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche,
échelle logarithmique.
Figure (4.4) : Densité ionique en fonction de la position (nos résultats),
instants 0, 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche, échelle
logarithmique.
Figure (4.5) : Densités électronique et ionique en fonction de la position
(nos résultats), instant 1 ns, échelle logarithmique.
Figure (4.6) : Densités électronique et ionique en fonction de la position
83
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Liste des figures
(nos résultats), instant 2 ns, échelle logarithmique.
Figure (4.7) : Densité nette de charge d’ espace en fonction de la position
(nos résultats), instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.8) : Terme source en fonction de la position (nos résultats),
instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.9) : Champ électrique en fonction de la position (nos résultats),
instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.10) : Champ électrique négatif en fonction de la position (nos
résultats), instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.11) : Champ électrique axial en fonction de la position (résultats
de Dhali et Williams), instants 0.1, 1, 2, 2.5, 3, 3.5 ns à partir de la gauche.
Figure (4.12) : Courant électrique externe en fonction du temps (notre
résultat), échelle logarithmique.
Figure (4.13) : Courbe de niveau de la densité initiale électronique ou
ionique (notre résultat), instant initial.
Figure (4.14) : Courbe de niveau de la densité électronique (notre résultat),
instant 2 ns.
Figure (4.15) : Courbe de niveau de la densité ionique (notre résultat),
instant 2 ns.
Figure (4.16) : Courbe de niveau de la densité nette de charge d’ espace
(notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.17) : Courbe de niveau du champ radial (notre résultat), instant 2
ns.
Figure (4.18) :Courbe de niveau du champ axial (notre résultat), instant 2
ns.
Figure (4.19) :Courbe de niveau du terme source (notre résultat), instant 2
ns.
Figure (4.20) :Densité électronique en fonction de la position pour un fond
de préionisation égal à 0 cm-3 (notre résultat), instants 0, 1 ns.
Figure (4.21) :Densité électronique en fonction de la position pour un fond
de préionisation égal à 103 cm-3 (notre résultat), instants 0, 1, 1.2 ns.
Figure (4.22) : Densité électronique en fonction de la position pour un fond
de préionisation égal à 106 cm-3 (notre résultat), instants 0, 1, 1.1, 1.2, 1.3
ns.
Figure (4.23) : Champ électrique en fonction de la position pour un fond de
préionisation égal à 0 et 108 cm-3(notre résultat), instant 1 ns.
Figure (4.24) : Densité électronique en fonction de la position pour
différentes valeurs du fond de préionisation 108 et 109 cm-3(notre résultat),
instant 2ns.
Figure (4.25) : Champ électrique en fonction de la position pour différentes
valeurs du fond de préionisation108 et 109 cm-3(notre résultat), instant 2ns.
Figure (4.26) : Courbe de niveau de la densité électronique, fond de
préionisation 109 cm-3, (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.27) : Courbe de niveau du champ électrique, fond de
préionisation 109 cm-3, (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.28) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour
différents fonds de préionisation (notre résultat), échelle linéaire.
Figure (4.29) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour
différents fonds de préionisation (notre résultat), échelle logarithmique.
Figure (4.30) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour
107
108
108
109
109
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113
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121
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Liste des figures
fonds de préionisation 108 cm-3 et 109 cm-3(notre résultat), échelle linéaire.
Figure (4.31) : Courant électrique extérieur en fonction du temps pour
fonds de préionisation 108 cm-3 et 109 cm-3 (notre résultat), échelle
logarithmique.
Figure (4.32) : Densité électronique en fonction de la position pour
différentes valeurs de la dispersion radiale (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.33) : Champ électrique pour différentes valeurs de la dispersion
radiale (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.34) : Courbe de niveau de la densité électronique, dispersion
radiale 0.28 mm (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.35) : Courbe de niveau de la densité électronique, dispersion
radiale 0.41 mm (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.36) : Courbe de niveau de la densité électronique, dispersion
radiale 0.58 mm, (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.37) : Courbe de niveau du champ électrique, dispersion radiale
0.28 mm (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.38) : Courbe de niveau du champ électrique, dispersion radiale 0.
41 mm (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.39) :Courbe de niveau du champ électrique, dispersion radiale 0.
58 mm (notre résultat), instant 2 ns.
Figure (4.40) : Densité électronique en fonction de la position pour
différentes valeurs de la tension 18, 26 et 30 k V (notre résultat), instant 1.5
ns.
Figure (4.41) :Champ électrique en fonction de la position pour différentes
valeurs de la tension 18, 26 et 30 k V (notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.42) :Courbe de niveau de la densité électronique, tension 18 kV,
(notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.43) :Courbe de niveau de la densité électronique, tension 26 kV,
(notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.44) :Courbe de niveau de la densité électronique, tension 30 kV,
(notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.45) :Courbe de niveau du champ électrique, tension 18 k V (notre
résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.46) :Courbe de niveau du champ électrique, tension 26 kV,
(notre résultat), instant 1.5 ns.
Figure (4.47) :Courbe de niveau du champ électrique tension 26 kV, (notre
résultat), instant 1.5 ns.
122
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Liste des tableaux
LISTE DES TABLEAUX
Liste des tableaux
Tableaux : Chapitre I
Tableau (1.1): Réactions en phase gazeuse impliquant des électrons.
Tableaux : Chapitre III
Tableau (3.1) : Calcul de l’ erreur relative moyenne pour les deux schémas
SG0 et SG1, vitesse de dérive négative, £, = 0.02, CFL=0.4, nt =200.
Tableau (3.2) : Calcul de l’ erreur relative moyenne pour les deux schémas
SG0 et SG1, vitesse de dérive positive, £, = 0.02, CFL=0.4, nt =200.
Tableaux : Chapitre IV
Tableau (4.1) : Paramètres de transport.
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