Espace vectoriel euclidien

I Définition et notations
Un espace vectoriel euclidien
déf
un R-ev de dimension finie muni d’un produit scalaire.
Dans tout ce chapitre, E désigne un R-ev euclidien de dimension
2n
, le produit
scalaire est noté . Pour
Eyx ,
, on note aussi :
-
yx
pour
),( yx
(parfois on rencontre aussi
y|x
)
-
2
x
pour
),( xx
-
x
pour
),( xx
(ainsi,
xx 
est la norme associée au produit scalaire , on
l’appelle la norme euclidienne)
-
yx 
pour
0),( yx
Exemple :
n
R
muni du produit scalaire canonique : on parle de la structure euclidienne
canonique de
n
R
.
Remarque : Si E est un espace vectoriel euclidien, alors tout sous-espace vectoriel F de
E est muni naturellement d’une structure euclidienne, obtenue par restriction.
II Bases orthonormales
A) Généralités
Définition, proposition :
Une base orthonormale (ou orthonormée)
déf
une famille orthonormale de vecteurs
de E qui en forme une base = une famille orthonormale de n vecteurs de E (car une
famille orthonormale est libre.
Théorème (Schmidt) :
Soit
),...,( 21 n uuu
une base quelconque de E.
Alors il existe une unique base orthonormale
),...,( 21 n eee
telle que :
0,,1
),...,(Vect),...,(Vect,,1 2121
pp
pp
uenp
uuueeenp
On dit que
),...,( 21 n eee
est la base orthonormale s’appuyant sur la base
),...,( 21 n uuu
par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.
Préliminaire (graphique) :
i
j
1
e
2
e
2
u
1
u
),( ji  : base orthonormée
),( 21 uu : base quelconque
: base orthonormée qui s’appuie dessus
),( 21 ee
Démonstration :
On montre par récurrence sur p que, pour tout
np ,1
, « on a une et une seule
manière de construire
p
e
».
- Il est évident qu’il y a une seule façon de construire
1
e
de sorte que :
)(Vect)(Vect 11 ue 
(cela impose que
11 ue
, avec
0
car
0,0 11  ue
)
1
1 e
(cela impose alors que
1
1u
, ainsi
11 ue
)
0
11  ue
, donc
11 ue
.
Ainsi,
1
1
1u
u
e
. Réciproquement, ce vecteur convient bien
Espace vectoriel euclidien

- Soit
1,1  np
. Supposons
),...,( 21 p eee
construit.
Montrons qu’il y a un et un seul choix de sorte que :
)1(),...,(Vect),...,(Vect 121121   pp uuueee
1
p e
est orthogonal aux
)2(1, piei
)3(1
1 p
e
)4(0
11   pp ue
(1) impose que
1p
e
soit combinaison linéaire des
11,  piui
   pie
ip
i
piuu
1, des linéairen combinaiso
11, des linéairen combinaiso
et
0
car sinon
),...,(Vect),...,(Vect),...,(Vect 12121121   ppp uuuuuueee
et
1p
u
serait alors combinaison linéaire des
piui1,
.
Donc
p
iiipp eue 1
11
.
Et inversement, si
p
iiipp eue 1
11
, alors on a bien (1).
(2) impose que pour
0,,1 1 pj eepj
.
Or, pour
).(,,1 1
1
11 jjp
p
ijiijppj eueeeueepj
car on a
0 ji ee
si
ji 
, 1 sinon, par hypothèse de récurrence.
Ainsi,
jpj eunj  1
,,1
Inversement, si cette condition est vérifiée, on a bien (2).
(3) impose que
1
1 p
e
, c'est-à-dire que
 p
iiip eu 1
1
1
.
Donc
 p
iiip eu 1
1
1
(
0
1
1 
p
iiip eu
car sinon
),...,(Vect),...,(Vect 21211 ppp uuueeeu 
)
Inversement, si on a cette valeur de , on a bien (3).
(4) impose le choix de +, car
p
ipiipppp eeeuee 111111
.
Or,
0
11
p
ipii ee
car
1p
e
est orthogonal aux
piei1,
.
Donc
 0
11
1
11   pppp euee
donc
0
.
Inversement, si
0
, on a bien (4).
Ce qui achève la récurrence.
Conséquences :
(1) Dans un espace vectoriel euclidien, il existe au moins une base orthonormale
(2) Toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.
En effet :
Soit
),...,( 21 p eee
une famille orthonormale. Comme elle est libre, on peut la
compléter en une base
),...,,...,( 121 npp eeeee 
de E. Par le procédé d’orthonormalisation
de Schmidt, on obtient alors une base orthonormale
)',...','( 21 n eee
. Mais, d’après le
théorème de Schmidt appliqué dans
),...,(Vect 21 n eeeF 
, on a
)',...'(),...( 11 pp eeee 
.

B) Produit scalaire et base orthonormale
Soit
),...,( 21 n eeeB
une base orthonormale de E.
Soit
Ex
, de composantes
),...,( 21 n xxx
dans B, notons
n
x
x
x
X
2
1
.
Soit
Ey
, de composantes
),...,( 21 n yyy
dans B, notons
n
y
y
y
Y
2
1
.
On identifie ici R et
)(
1,1 RM
pour ne pas charger les notations :
YXyxeyexeyexyx t
y
y
y
xxx
n
iii nji jjii
n
jjj
n
iii
n
n)(( 2
1
21 )
1,1,11
Ainsi,
YXyxyx t
n
iii )( 1
.
Et, en particulier :
XXxxxx t
n
ii)( 1
22  
Ainsi, l’application
n
iii
n
n
exxxx E
1
21 ),...,(:
R
B
, qui est un isomorphisme de R-ev,
est aussi un isomorphisme de R-ev euclidien *,
n
R
étant muni de sa structure
euclidienne canonique. (* C'est-à-dire que pour tout
vuvuvu n )()(,, BB R
, en
plus des règles pour un R-ev).
Remarque :
Inversement, soit E un R-ev de dimension n,
),...,( 21 n uuuB
une base de E.
Alors il existe un et un seul produit scalaire tel que B soit orthonormale dans le
R-ev euclidien E muni de ce produit scalaire.
En effet, c’est l’application définie par :
Pour tout
Eyx ,
, de composantes
),...,( 21 n xxx
et
),...,( 21 n yyy
dans B,
n
iii yxyx 1
),(
.
Exemple :
2
R
, muni de la base
])1,1(,)2,1([
21 uu
. On note
),( ji 
la base canonique de
2
R
.
Soit
2
21 ),( R xxx
.
Alors
22111221212121 )2()()()2( uxxuxxuuxuuxjxixx  
.
Ainsi,
),( ji 
est une base orthonormale pour le produit scalaire naturel, mais
),( 21 uu
n’en est pas une pour ce produit scalaire ; en revanche, c’en est une pour le
produit scalaire
12211122
21211212
2121
2
3352 )2)(2())(()),(),,((
:
yxyxyxyx yyxxyyxxyyyxxx   
RR
.
III Orthogonal d’un sous-espace vectoriel, projecteurs et symétries orthogonaux
A) Orthogonal d’un sous-espace vectoriel (rappel)
Soit F un sous-espace vectoriel de E.

On définit
0,, 
yxFyExF
.
Alors
F
est un sous-espace vectoriel de E, et
 FFE
.
Démonstration :
Déjà, c’est un sous-espace vectoriel de E (vu dans le chapitre précédent).
 Si
0F
, alors
EF 
, et on a bien
 FFE
.
 Si
0F
. On note p la dimension de F ; ainsi,
np 1
.
Soit
),...,( 21 p eee
une base orthonormale de F.
On la complète en une base orthonormale
),...,( 21 n eeeB
de E. Soit alors
Ex
,
de composantes
),...,( 21 n xxx
dans B.
On a alors les équivalences :
0,,10,,1
0,,...,
0,
1
11
21
1
jj
n
iii
p
iii
n
iiip
n
iii
xpjeexpj
eyexyyy
yexFyFx
R
L’avant-dernière équivalence se justifie dans un sens en prenant, pour
pj ,1
1
j
y
et
0,\,1  i yjpi
, et dans l’autre sens par linéarité de la deuxième
variable.
Donc
),...,(Vect 21 npp eeeF 
, donc
F
est bien supplémentaire de F dans E.
Conséquence :
Dans un espace euclidien,
FF 
 )(
.
En effet, on a déjà vu que
)(FF
. De plus, en notant
Fp dim
, on a :
pnF 
)dim(
, donc
FppnnF dim)())dim(( 
. D’où l’égalité.
B) Projecteur orthogonal
Définition :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Le projecteur orthogonal sur F
déf
le projecteur sur F selon
F
.
Pour
Ex
, p le projecteur orthogonal sur F, alors
)(xp
est appelée la projection
orthogonale de x sur F.
F
x
)(xp
F
Ainsi,
)(xp
est l’unique élément de F tel que x s’écrive :
uxpx  )(
, où
Fu
. (car
 FFE
, et
FxpEx  )(,
)
Autrement dit,
)(xp
est l’unique élément de F tel que
 Fxpx )(
. Ainsi, pour
Ey 
,
Fyx
Fy
xpy )(
.
C) Distance d’un élément à un sous-espace vectoriel
Définition :

Soit A une partie non vide E et soit
Ex
. Alors la distance de x à A, notée
),( Axd
, est :
),(inf),( déf yxdAxd Ay
.
La borne inférieure existe bien, car
Ayyxd ),,(
est non vide (car A est non
vide), et minorée (par 0).
(Définition : frontière = adhérence d’une partie, privée de l’intérieur)
Théorème :
Soit F un sous-espace vectoriel de E, soit p le projecteur orthogonal sur F.
Soit
Ex 
0
.
Alors
)( 0 xp
est l’unique élément de F tel que
)(),( 000 xpxFxd 
. Autrement
dit, la distance de
0
x
est atteinte, en un et un seul point, qui n’est autre que
)( 0 xp
.
Démonstration :
Soit
Fy 
.
Alors
2
000
2
0)()( xxpxpyxy 
.
Or,
Fxpy  )( 0
car
FxpFy  )(, 0
; et
 Fxxp 00 )(
par définition de p.
Donc
000 )()( xxpxpy 
. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore :
2
00
2
0
2
000
2
0)()()()( xxpxpyxxpxpyxy 
D’où
000 )( xxpxy 
, et il n’y a égalité que si
)( 0 xpy 
(car sinon
0)()( 2
0
2
00
2
0 xpyxxpxy
)
D) Symétries orthogonales
Ce sont les symétries par rapport à un sous-espace vectoriel F, selon
F
.
Autrement dit :
La symétrie orthogonale par rapport à F
déf
l’application
''''''
:xxxxx EFFEf   
.
F
x
F
''x
''x
'x
)(xf
Remarque :
xxpxf  )(2)(
, où p est la projection orthogonale sur F.
Proposition :
Soit f une symétrie sur E. On a l’équivalence :
f est une symétrie orthogonale
xxfx  )(
.
Symétrie quelconque :
F
x
)(xf
Démonstration :
Soit f une symétrie par rapport à F selon G. (où G est tel que
GFE 
).
Soit
Ex
. Alors
G
G
F
Fxxx
, et
GF xxxf )(
.
Donc
222 2GGFF xxxxx 
et
222 2)( GGFF xxxxxf 
.