La clef pour avoir du succès est de reformuler les vraies problèmes

La clef pour avoir du succès est de reformuler les vraies problèmes
en termes de constructions avec des ensembles et des fonctions.
Cherchez l’ensemble, pardieu ! et cherchez la fonction !
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Principe des tiroirs de Dirichlet
Considérons un principe très simple.
Proposition (Principe des tiroirs de Dirichlet)
Si m +1objets ou plus sont rangés dans m tiroirs, alors il y aura
au moins un tiroir qui contient deux objets ou plus.
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Exemple :
Soit (a1,a2,...,a2n)une suite de 2nnombres naturels (ou réels)
positifs, et supposons que leurs somme est ≤3n. Alors il existe
i<jtel que ai+1+ai+2+. . . +aj=n−1.
Exemple : n=5 : (1,1,1,5,1,1,2,1,1,1),i=4, j=7.
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Solution (Trouver la fonction, ou les objets/tiroirs.)
On veut montrer l’existence de i<jtel que
ai+1+ai+2+. . . +aj=n−1 ou
a1+a2+. . . +aj=a1+a2+. . . +ai+n−1. À chaque ion veut
attacher deux nombres. si=a1+a2+. . . +aiet ti=si+ (n−1)
et les comparer.
On a si≤3net ti≤3n+n−1=4n−1. On peut trouver i,j:
sj=ti?
On veut prendre comme tiroirs les nombres 1,2,...,4n−1.
Et comme objets ?
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On va doubler et j’aiurai 4nobjets : E={1,10,2,20,...,2n,2n0}
Puis je vais classer : le ije mets dans le tiroir si, et le i0je mets
dans le tiroir ti.
On met 4mobjets dans 4m−1 tiroirs ! Un tiroir contient au moins
deux objets.
Mais pas i<j: 0 <s1<s2< . . . < s2n≤3n.
Mais pas i0<j0, pour la même raison.
Donc un jet un i0dans le même tiroir :
a1+a2+. . . +aj=a1+a2+. . . +ai+n−1. Nécessairement j>i.
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