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Mardi 3 Juin 2014 – Première S1 – Onzième interrogation de mathématiques
Exercice 1 (1,5 point)
Une boîte contient 10 jetons portant les lettres A, E, O, N, B, V, G, H, J et R. Quand on tire 100 fois (avec
remise) un jeton dans cette boîte, on désigne par F la fréquence des voyelles dans l’échantillon des 100
lettres obtenues. F est une variable aléatoire.
Déterminer  et  vérifiant P   F     0,95 . 2 ) Comment s’appelle l’intervalle  ;   ?
Exercice 2 (1,5 point)
Une boîte contient des jetons portant des lettres parmi A, B, C…X,Y et Z. On désigne par p la proportion
des voyelles parmi ces lettres. On a tiré 1000 fois (avec remise) un jeton dans cette boîte et obtenu un
échantillon contenant 350 voyelles.
1 ) Donner un encadrement a; b de p avec un niveau de confiance de 0,95.
2 ) Comment s’appelle l’intervalle a; b ? 3 ) La phrase « P a  p  b  0,95 » a-t-elle un sens ?
Exercice 3 (4 points)
On admet qu’un tireur atteint (à chaque fois) une cible avec la probabilité 0,4. Il tire un certain nombre de
fois sur cette cible jusqu’au moment où il l’atteint. On désigne par X la variable aléatoire égale au temps
au bout duquel il atteint la cible, X = 1 s’il réussit au premier coup, X = 2 s’il réussit au deuxième, etc…
1 ) Donner la loi de X et calculer P ( X < 4). 2 ) calculer la valeur exacte de P  X  15 .
n
3 ) Soit n un entier. Calculer u n   P  X  k  puis la limite de u n quand n   .
k 1
4 ) Déterminer le plus petit entier N vérifiant P  X  N   0,9999
Exercice 4 (5 points)
On dispose d’un dé et de deux boîtes. Le dé est pipé, il tombe équiprobablement sur 1, 2, 3, 4 et 5 mais il
tombe sur 6 une fois sur deux. Dans la boîte 1 il y a 2 boules rouges et 3 boules noires. Dans la boîte 2 il y
a 4 boules rouges et 3 boules noires. Voici un jeu : on jette un dé et si le résultat est impair on prend 2
boules (sans remise de la première avant de prendre la deuxième) dans la boîte 1 ; si le résultat est pair on
procède de même avec la boîte 2. On désigne par Y la variable aléatoire : nombre de boules rouges
obtenues. Donner à l’aide d’un arbre la loi de Y.
Exercice 5 (6 points)
1 ) Trois tiroirs d’une armoire, désignés par A, B et C sont ouverts. Trois personnes déposent, chacune à
leur tour, une chemise dans un de ces trois tiroirs choisi à chaque fois au hasard. Donner la loi de V = le
nombre de tiroirs vides à l’issue de cette opération.
2 ) Même question avec deux tiroirs et quatre personnes. 3 ) Idem avec quatre tiroirs et deux personnes.
Exercice 6 (2 points)
Donner un algorithme en langage naturel simulant 500 fois le lancer de deux dés équilibrés et affichant en
sortie le nombre de fois, noté A, où cette simulation donne un double-six. On utilisera les notations Ent(x)
pour la partie entière de x et random() pour un nombre aléatoire entre 0 et 1 ou bien Aléa.Entre.Bornes.