Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale

I.R.E.M. de Toulouse
Pour un suivi en arithmétique
de la Troisième à la Terminale
Groupe Second Cycle :
Bernard Destainville, Sophie Dupuy - Touzet,
Marc Ducret, Jean-Marc Gibert,
Alain Viet, Bernard Vinter.

Sommaire
PRÉLIMINAIRE...................................................................................................1
Arithmétique, maths hermétiques ?.....................................................................1
INTRODUCTION.................................................................................................3
Partie 1 - Constats ..............................................................................................5
1. Analyse de tests..............................................................................................6
A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6
B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13
2. Erreurs classiques.........................................................................................15
A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15
B. Erreurs liées au statut des nombres................................................. 16
C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu............................... 16
D. Autres erreurs .................................................................................. 17
3. Pratique arithmétique ....................................................................................18
A. Les « matériaux »............................................................................. 18
B. Les techniques ................................................................................. 19
C. La logique......................................................................................... 22
D. Apprendre à réfléchir........................................................................ 24
Partie 2 - Les raisonnements en arithmétique...................................................27
1. Un problème de sensibilisation .....................................................................27
2. La diversité des formes de raisonnement .....................................................29
A. Raisonnement exhaustif................................................................... 29
B. Raisonnement par disjonction des cas............................................. 31
C. Raisonnement par récurrence.......................................................... 34
D. Raisonnement par l’absurde ............................................................ 35
E. Raisonnement par contraposition..................................................... 37
F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches
complémentaires....................................................................................... 37
Partie 3 - Des algorithmes en arithmétique .......................................................41
1. Ranger n nombres dans l’ordre croissant .....................................................42
2. Comparer des nombres ................................................................................43
A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43
B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45
3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46
4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47
A. Des algorithmes ............................................................................... 47
B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide .................... 50
Partie 4 - Des problèmes pour améliorer la situation ........................................51
1. Calculs simples .............................................................................................51
A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques. ............................ 51
B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple. ............................ 52
2. Problèmes liés à la numération décimale......................................................52
3. Parité.............................................................................................................54
A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs............................ 54
B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56

Irem de Toulouse
4. Division euclidienne...................................................................................... 57
5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58
6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..................................... 60
7. Triplets pythagoriciens.................................................................................. 62
8. À propos de l’équation diophantienne ax + by = c...................................... 63
CONCLUSION.................................................................................................. 69
Bibliographie..................................................................................................... 71
Annexes............................................................................................................ 73

1
PRÉLIMINAIRE
ARITHMETIQUE, MATHS HERMETIQUES ?
On associe parfois l’arithmétique à la cryptographie et son domaine
d’expression se réduit souvent à quelques problèmes « réalistes » de carreleur
ou autres métiers d’assemblage. Cela ne paraît ni vraiment pertinent ni très
stimulant.
Par ailleurs, quel enseignant ne constate pas tous les jours les difficultés de
ses élèves à maîtriser des fondamentaux comme le calcul algébrique, la rigueur
des raisonnements, pourtant nécessaires à la structuration des savoirs et
savoir-faire ?
Or nous pensons que l’arithmétique, loin d’être un art hermétique, pourrait
par la diversité des problèmes qu’elle propose, prolonger l’activité sur les
nombres, engagée en primaire, et ancrer solidement chez l’élève les règles de
calcul dont la connaissance est devenue trop souvent approximative peut-être
par un usage précoce et généralisé de machines auxquelles les élèves
délèguent de façon abusive l’intelligence des calculs. Alors, quand ces
dernières ne sont plus utilisables, comme pour un calcul littéral, l’élève, révélant
ses carences, commet de nombreuses erreurs, décourageantes et nuisibles à
son travail de fond.
Mais nous croyons aussi que l’arithmétique a d’autres vertus.
En effet, il est possible dans ce champ d’aborder de façon relativement
empirique, et ludique, les principales méthodes de raisonnement telles que le
maniement du contre-exemple, la disjonction des cas, la récurrence, le
raisonnement par l’absurde et contraposition ou encore le raisonnement par
équivalences. Bien évidemment, cela n’est pas le privilège de l’arithmétique.
Il n’en demeure pas moins que l’arithmétique ouvre ces possibilités et qu’elle
apparaît dans une certaine continuité des acquisitions du primaire, où un travail
important est fait sur les nombres, jetant les bases du calcul. La place
historique qu’elle occupe dans la construction des mathématiques peut être un
motif supplémentaire de lui donner un rôle plus conducteur dans
l’enseignement de notre discipline et l’acquisition par l’élève de certains
fondamentaux. Mais pour le stimuler, il faut aussi permettre à l’élève de
répondre aux questions soulevées par ses recherches et d’aborder une grande
diversité de problèmes. Pourquoi alors ne pas envisager de lui donner assez tôt
des notions clés : nombres premiers et premiers entre eux, PGCD et
PPCM ainsi que les théorèmes de Bézout et de Gauss ?
Nous voulons illustrer dans cette brochure en quoi et comment l’arithmétique
peut être un outil pour aider les élèves à progresser en algèbre et en logique.