Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale

I.R.E.M. de Toulouse
Pour un suivi en arithmétique
de la Troisième à la Terminale
Groupe Second Cycle :
Bernard Destainville, Sophie Dupuy - Touzet,
Marc Ducret, Jean-Marc Gibert,
Alain Viet, Bernard Vinter.
Sommaire
PRÉLIMINAIRE...................................................................................................1
Arithmétique, maths hermétiques ?.....................................................................1
INTRODUCTION.................................................................................................3
Partie 1 - Constats ..............................................................................................5
1. Analyse de tests..............................................................................................6
A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6
B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13
2. Erreurs classiques.........................................................................................15
A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15
B. Erreurs liées au statut des nombres................................................. 16
C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu............................... 16
D. Autres erreurs .................................................................................. 17
3. Pratique arithmétique ....................................................................................18
A. Les « matériaux »............................................................................. 18
B. Les techniques ................................................................................. 19
C. La logique......................................................................................... 22
D. Apprendre à réfléchir........................................................................ 24
Partie 2 - Les raisonnements en arithmétique...................................................27
1. Un problème de sensibilisation .....................................................................27
2. La diversité des formes de raisonnement .....................................................29
A. Raisonnement exhaustif ................................................................... 29
B. Raisonnement par disjonction des cas ............................................. 31
C. Raisonnement par récurrence.......................................................... 34
D. Raisonnement par l’absurde ............................................................ 35
E. Raisonnement par contraposition..................................................... 37
F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches
complémentaires....................................................................................... 37
Partie 3 - Des algorithmes en arithmétique .......................................................41
1. Ranger n nombres dans l’ordre croissant .....................................................42
2. Comparer des nombres ................................................................................43
A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43
B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45
3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46
4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47
A. Des algorithmes ............................................................................... 47
B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide .................... 50
Partie 4 - Des problèmes pour améliorer la situation ........................................51
1. Calculs simples .............................................................................................51
A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques. ............................ 51
B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple. ............................ 52
2. Problèmes liés à la numération décimale......................................................52
3. Parité.............................................................................................................54
A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs. ........................... 54
B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56
4. Division euclidienne ...................................................................................... 57
5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58
6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..................................... 60
7. Triplets pythagoriciens.................................................................................. 62
8. À propos de l’équation diophantienne ax + by = c ...................................... 63
CONCLUSION.................................................................................................. 69
Bibliographie..................................................................................................... 71
Annexes............................................................................................................ 73
Irem de Toulouse
PRÉLIMINAIRE
ARITHMETIQUE, MATHS HERMETIQUES ?
On associe parfois l’arithmétique à la cryptographie et son domaine
d’expression se réduit souvent à quelques problèmes « réalistes » de carreleur
ou autres métiers d’assemblage. Cela ne paraît ni vraiment pertinent ni très
stimulant.
Par ailleurs, quel enseignant ne constate pas tous les jours les difficultés de
ses élèves à maîtriser des fondamentaux comme le calcul algébrique, la rigueur
des raisonnements, pourtant nécessaires à la structuration des savoirs et
savoir-faire ?
Or nous pensons que l’arithmétique, loin d’être un art hermétique, pourrait
par la diversité des problèmes qu’elle propose, prolonger l’activité sur les
nombres, engagée en primaire, et ancrer solidement chez l’élève les règles de
calcul dont la connaissance est devenue trop souvent approximative peut-être
par un usage précoce et généralisé de machines auxquelles les élèves
délèguent de façon abusive l’intelligence des calculs. Alors, quand ces
dernières ne sont plus utilisables, comme pour un calcul littéral, l’élève, révélant
ses carences, commet de nombreuses erreurs, décourageantes et nuisibles à
son travail de fond.
Mais nous croyons aussi que l’arithmétique a d’autres vertus.
En effet, il est possible dans ce champ d’aborder de façon relativement
empirique, et ludique, les principales méthodes de raisonnement telles que le
maniement du contre-exemple, la disjonction des cas, la récurrence, le
raisonnement par l’absurde et contraposition ou encore le raisonnement par
équivalences. Bien évidemment, cela n’est pas le privilège de l’arithmétique.
Il n’en demeure pas moins que l’arithmétique ouvre ces possibilités et qu’elle
apparaît dans une certaine continuité des acquisitions du primaire, où un travail
important est fait sur les nombres, jetant les bases du calcul. La place
historique qu’elle occupe dans la construction des mathématiques peut être un
motif supplémentaire de lui donner un rôle plus conducteur dans
l’enseignement de notre discipline et l’acquisition par l’élève de certains
fondamentaux. Mais pour le stimuler, il faut aussi permettre à l’élève de
répondre aux questions soulevées par ses recherches et d’aborder une grande
diversité de problèmes. Pourquoi alors ne pas envisager de lui donner assez tôt
des notions clés : nombres premiers et premiers entre eux, PGCD et
PPCM ainsi que les théorèmes de Bézout et de Gauss ?
Nous voulons illustrer dans cette brochure en quoi et comment l’arithmétique
peut être un outil pour aider les élèves à progresser en algèbre et en logique.
1
INTRODUCTION
De la lecture des programmes du secondaire, il ressort le choix d’accorder
une place non négligeable à l’enseignement de l’arithmétique. Sa forte
présence dans les classes d’examen (en Troisième et en spécialité de
Terminale S) traduit la volonté de valoriser son apprentissage.
On remarque toutefois un suivi chaotique : dans le programme de Seconde
l’arithmétique est réduite à la portion congrue ; elle disparaît du programme en
Première S, revient « en force » en spécialité de Terminale S et a une place
importante dans les programmes de l’option mathématiques en série L.
Nous voulons à travers cette brochure mettre en évidence les lacunes de nos
élèves en arithmétique, leurs conséquences, et la nécessité d’une pratique
régulière afin de les combler.
Nous voulons également montrer les enjeux pédagogiques de
l’enseignement de l’arithmétique. Celui-ci peut être profitable à d’autres
domaines des mathématiques. En particulier, l’arithmétique, à l’instar de la
géométrie, est une bonne école pour apprendre à raisonner.
Une pratique régulière ne peut être que bénéfique pour favoriser
l’apprentissage de nombreuses démarches mathématiques, logiques et
algorithmiques.
La première partie de cette brochure est celle des constats.
Nous commençons par analyser des tests posés dans des classes de
Troisième, Seconde générale, et Première S, qui mettent en évidence la
volatilité des acquis, et la précarité des méthodes utilisées par défaut par les
élèves.
Nous voulons ainsi montrer la nécessité d’un enseignement « continu » en
arithmétique, tout au long de la scolarité.
Techniques et méthodes doivent être entretenues. Plus on pratique, plus on
acquiert des habitudes, de l’expérience, et plus on peut espérer développer des
acquis durables et familiers.
Nous analysons ensuite des erreurs « classiques », imputables à une
mauvaise pratique de l’arithmétique.
Enfin, nous présentons et illustrons de quelques exemples, les
connaissances minimales en arithmétique que les élèves doivent acquérir et
savoir réinvestir.
La seconde partie concerne l’ensemble
l’arithmétique permet de mettre en œuvre.
3
des
raisonnements
que
Pour un suivi en arithmétique
A partir d’un test exposé dans la première partie, nous explicitons différentes
formes de raisonnement. Elles ne sont évidemment pas propres à
l’arithmétique, mais l’arithmétique est un moyen de les mettre en œuvre.
Le choix d’un mode de raisonnement n’est pas fortuit et l’apprentissage est
progressif ; il sera utile dans tous les domaines des mathématiques.
Les différentes formes de raisonnement doivent être pratiquées
régulièrement : un exercice ne suffit pas pour apprendre ; un entraînement est
nécessaire tout au long de la scolarité, pour entretenir les acquis.
Nous proposons dans cette seconde partie des exercices d’arithmétique qui
illustrent chaque type de raisonnement. Ils sont délibérément simples, afin que
d’autres difficultés mathématiques ne masquent pas le raisonnement visé.
La troisième partie est consacrée aux algorithmes.
Sans parler de la programmation (programmer, même sur une calculatrice,
commence, en général, par la conception d’un algorithme), les élèves sont,
consciemment ou non, confrontés fréquemment à l’utilisation d’un algorithme.
Déjà avec les quatre opérations en numération décimale, chaque technique
correspond à un algorithme. Les élèves devraient les connaître, même si la
calculatrice leur fournit la réponse !
Aborder un problème d’un point de vue algorithmique est une démarche
intellectuelle souvent implicite. On peut l’expliciter à l’aide d’exercices
d’arithmétique simples. Nous en proposons dans cette troisième partie qui
nécessitent la réalisation d’un algorithme, plus ou moins raffiné, pouvant aller
jusqu’à une programmation.
La quatrième partie est un recueil d’exercices variés.
Si elle est bien présentée, l’arithmétique est un bon support pour éveiller la
réflexion et développer la rigueur mathématique à tous les niveaux.
Les exercices de cette quatrième partie, abordables pour une majorité
d’entre eux dès la Troisième, permettent d’assurer un suivi que nous jugeons
indispensable, en exploitant les richesses de l’arithmétique.
Irem de Toulouse
4
Constats
PARTIE 1 - CONSTATS
L’observation des programmes de la Sixième à la Terminale laisse perplexe
quant au suivi en arithmétique 1.
Cette première partie présente un certain nombre de constats sur les
compétences de nos élèves en arithmétique à différents moments de leur
cursus, et propose un inventaire de pratiques en arithmétique qu’ils devraient
entretenir tout au long de leur scolarité.
Dans un premier paragraphe, nous présentons et analysons les résultas de
tests.
Le premier test a été posé à des classes de Troisième et de Seconde. Il
s’intéresse à la notion de PGCD de deux nombres, et à son calcul.
Les besoins évoluent au cours de la scolarité, et il faut permettre une
ouverture vers d’autres niveaux de difficultés. Ainsi, l’algorithme d’Euclide ou
l’algorithme de différence pour la recherche du PGCD de deux nombres étudiés
en Troisième, font place en Seconde à l’utilisation de la décomposition d’un
entier en produit de nombres premiers. On peut espérer que cette nouvelle
méthode ne s’apprend pas au détriment des précédentes, mais l’analyse des
résultats du test présenté nous montre le contraire. Cela est d’autant plus
regrettable que l’on retrouvera l’algorithme d’Euclide en spécialité de Terminale
S, notamment pour faciliter la recherche des coefficients de Bézout ; tout sera
alors à reprendre.
Le second test a été posé dans une classe de Première S, où l’arithmétique
ne figure pas au programme. L’analyse des réponses montre que les élèves
présentent de réelles lacunes en matière de raisonnement : ils ne savent pas
élaborer une argumentation rigoureuse pour justifier un résultat qui leur
apparaît pourtant clairement.
Dans un second paragraphe, nous présentons des erreurs fréquemment
rencontrées et mettons en évidence le lien entre certaines difficultés et le
manque de « pratique arithmétique ».
Dans un dernier paragraphe, nous proposons un inventaire, illustré de
quelques exercices, de savoirs et savoir-faire indispensables afin d’acquérir au
mieux cette « pratique arithmétique ».
1
Voir en annexe 1 les classes pour lesquelles les programmes ou leurs accompagnements
font référence à des notions d’arithmétique.
5
Pour un suivi en arithmétique
1. ANALYSE DE TESTS
A. Premier test : à propos du PGCD
En fin de Troisième les élèves doivent connaître au moins un algorithme
donnant le PGCD de deux nombres. En Seconde, ils apprennent à décomposer
un entier en produit de nombres premiers, et utilisent cette décomposition dans
la recherche du PGCD de deux entiers.
Afin d’évaluer dans quelle mesure les apprentissages en arithmétique en
classe de Seconde complètent ou supplantent ceux des années antérieures,
nous avons élaboré un test à partir d’un problème posé en 2000 au brevet des
collèges.
Ce test a été posé simultanément à 10 classes de Seconde d’un lycée
d’enseignement général (322 élèves au total), à l’occasion d’un contrôle
commun de mathématiques.
Le chapitre sur les nombres premiers a été traité par l’ensemble des classes
au mois de septembre. Après discussions avec les collègues, il est apparu qu’il
n’a été fait, dans aucune classe, de révision sur les supposés acquis du collège
en arithmétique. Le devoir a eu lieu mi-décembre, soit plus de deux mois après
le chapitre traitant des nombres premiers.
Le test a été distribué après 1h30 de devoir, indépendamment du reste du
sujet 2. Les élèves ont disposé de 30 minutes pour y répondre. Les machines à
calculer étaient autorisées.
Sujet :
1- a) Décomposer les entiers 1320 et 825 en produits de nombres premiers, en
déduire leur PGCD.
b) Citer au moins une autre méthode de calcul du PGCD de deux entiers, et
l’appliquer pour 1320 et 825.
2- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il
souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire
comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres
français et étrangers.
a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?
3- Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français et 1183
timbres étrangers.
2
L’énoncé du test tel qu’il a été posé figure en annexe 2.
Irem de Toulouse
6
Constats
Analyse 3 :
Question 1a :
Énoncé : Décomposer les entiers 1320 et 825
premiers, en déduire leur PGCD.
en produits de nombres
Réponses : 1320 = 11 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2
825 = 11 × 5 × 5 × 3
PGCD(1320 ; 825) = 11 × 5 × 3 = 165
L’objectif de cette question est d’évaluer le niveau d’acquisition de la
technique de décomposition en produit de nombres premiers, et son utilisation
pour le calcul du PGCD de deux entiers.
La décomposition en produit de nombres premiers est le « noyau dur » de
l’arithmétique en classe de Seconde. Les élèves sont amenés au collège à
décomposer des entiers pour réduire des fractions, mais ce n’est qu’en
Seconde que le procédé est formalisé.
o 77% des élèves ont correctement décomposé les entiers en produits de
nombres premiers.
o 16% ont commis des erreurs dans la décomposition (1% par
méconnaissance de la technique, les autres ayant fait des erreurs de
calcul ou n’ayant pas mené la décomposition jusqu’à son terme.)
o 7% n’ont pas traité la question.
Le pourcentage de réponses correctes traduit la bonne acquisition du
procédé par les élèves.
Le recours à la décomposition en produit de nombres premiers dans la
recherche du PGCD de deux entiers est une technique nouvelle. On peut se
demander dans quelle mesure les élèves y adhèrent, ayant à leur disposition
d’autres procédés acquis les années antérieures.
o 41,5% des élèves ayant effectué correctement la décomposition savent
l’utiliser dans le calcul du PGCD de deux entiers.
On peut déplorer un si faible pourcentage que l’on peut vraisemblablement
imputer à un « blocage » des élèves face à un procédé radicalement différent
de ceux étudiés précédemment. Sans doute l’utilité d’un tel procédé ne leur
apparaît-elle pas clairement, entraînant une réticence à apprendre cette
méthode.
3
Les données statistiques figurent en annexe 3.
7
Pour un suivi en arithmétique
La recherche du PGCD de deux entiers à partir de leurs décompositions en
produit de nombres premiers fait apparaître des erreurs spécifiques au
procédé :
o 26% des élèves confondent le PGCD de deux nombres avec leur plus
grand diviseur premier commun ;
o 10% parlent du PGCD d’un nombre.
Dans les techniques pratiquées au collège, la recherche du PGCD de deux
nombres se fait en travaillant simultanément sur les deux entiers. Avec la
décomposition, on fait apparaître une étape préparatoire qui consiste à travailler
séparément sur chaque nombre, ce qui peut générer une confusion dans la
signification du PGCD.
Question 1b :
Énoncé : Citer au moins une autre méthode de calcul du PGCD de deux
entiers, et l’appliquer pour 1320 et 825.
Réponses :
algorithme de différence :
1320 – 825 = 495
825 – 495 = 330
495 – 330 = 165
330 – 165 = 165
algorithme d’Euclide :
1320 = 825 × 1 + 495
825 = 495 × 1 + 330
495 = 330 × 1 + 165
330 = 165 × 2 + 0
L’objectif de cette question est de dresser un bilan des acquis de collège sur
les techniques du calcul du PGCD de deux nombres (sans révision).
Avec les entiers choisis, l’algorithme de différence est aussi rapide et de
même difficulté numérique que l’algorithme d’Euclide car les quotients (hormis
le dernier) valent 1. Cela n’apparaît qu’au fil des calculs, et n’est donc pas un
argument dans le choix de la méthode.
o 14,5% des élèves ont recours à la différence;
o 41% font référence à la division euclidienne ;
o 44,5% n’ont pas traité la question.
La division euclidienne est la méthode que les élèves privilégient. Ils en ont
une bonne pratique, car 70,5% de ceux qui y recourent parviennent à
l’appliquer.
Les élèves ayant utilisé l’algorithme de différence sont tous parvenus au
résultat, ce qui traduit la maîtrise du procédé dans un cas relativement simple,
pour ceux qui le connaissent.
Irem de Toulouse
8
Constats
Parmi les élèves qui ont su calculer le PGCD avec une méthode de collège,
40,7% n’avaient pas correctement traité la question 1a.
On peut juger ainsi de la difficulté pour un certain nombre d’élèves à
s’approprier une nouvelle technique alors qu’ils en maîtrisent déjà une.
Question 2 :
Énoncé : Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres
étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques,
c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de
timbres français et étrangers.
a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?
Réponses :
a) Il pourra réaliser 165 lots.
b) Il y aura 8 timbres français, et 5 timbres étrangers par lot.
Cette question est inspirée d’un exercice posé au brevet des collèges.
Les élèves de Troisième sont familiarisés avec des problèmes de ce type,
qui constituent la majorité des exercices d’arithmétique au collège, mais sont
quasiment absents des manuels de Seconde.
Nous avons voulu à travers cette question évaluer la capacité des élèves à
réinvestir un savoir-faire acquis au collège et non exploité au lycée.
o 52% des élèves ont donné une réponse en cohérence avec la valeur du
PGCD déterminée dans les questions précédentes ;
o 36% ont donné une réponse fausse ;
o 12% n’ont pas traité la question.
Question 3 :
Énoncé : Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français
et 1183 timbres étrangers.
Réponses : Recherche du PGCD de 17017 et 1183 :
9 En utilisant la décomposition en produit de nombres premiers :
17017 = 7 × 11 × 13 × 17
1183 = 7 × 13 × 13
9 En utilisant l’algorithme d’Euclide
17017 = 1183 × 14 + 455
1183 = 455 × 2 + 273
9
Pour un suivi en arithmétique
455 = 273 × 1 + 182
273 = 182 × 1 + 91
182 = 91 × 2 + 0
9 L’algorithme de différence comporte 20 étapes !
Le PGCD de 17017 et 1183 est 91 ; il doit donc y avoir au maximum 91 lots.
17017 = 91 × 1877 ; 1183 = 91 × 13 ; chaque lot doit donc contenir 187
timbres français et 13 timbres étrangers.
L’objectif de cette question est de placer les élèves face à un choix de
méthode.
Les entiers ont été choisis de telle sorte qu’aucune des méthodes ne puisse
être préférable aux autres a priori. Nous avons exclu les diviseurs 2, 3, 5 et 10
afin que la décomposition en facteurs premiers ne soit pas « attirante », mais
choisie pour elle-même parmi les différentes techniques.
o 26% des élèves ont opté pour la décomposition en produit de nombres
premiers ; 45% d’entre eux parvenant au résultat ;
o 17% ont opté pour la division euclidienne ; 91% d’entre eux parvenant au
résultat;
o 3% ont opté pour la différence ; 56% d’entre eux parvenant au résultat;
o 54% des élèves n’ont pas traité la question.
La méthode privilégiée par les élèves est la dernière étudiée bien que n’étant
pas correctement maîtrisée. Cela peut être dû au fait que les méthodes de
collège n’ont pas fait l’objet de révisions.
La division euclidienne reste la méthode la plus sûre pour les élèves qui y
recourent, même après plusieurs mois sans pratique.
On peut constater que plus de la moitié des élèves de seconde ne sait pas,
ou plus, résoudre ce type d’exercice dans son intégralité.
Prolongement :
Il nous est apparu important, afin de corroborer les conclusions faites à l’issu
du test posé en Seconde, de proposer les questions 2 et 3 en fin de Troisième
et à l’entrée en Seconde (avant d’aborder les nombres premiers).
La classe de Troisième à laquelle le test a été proposé était composée de 21
élèves, dont 2 redoublants. A l’issue du conseil du troisième trimestre, 3 élèves
sont partis en apprentissage, 1 est sorti de tout système scolaire ou
d’apprentissage, 6 ont intégré une Seconde professionnelle et 12 une Seconde
générale ou technologique.
Irem de Toulouse
10
Constats
Le test a été posé 2 mois après le chapitre d’arithmétique.
La classe de Seconde (options SES ou LV3) à laquelle le test a été proposé
avant d’aborder le chapitre sur les nombres premiers était composée de 33
élèves, dont 7 redoublants qui avaient effectué le test complet l’année
précédente.
Énoncé :
1- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il
souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire
comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres
français et étrangers.
a) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b) Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?
2- Résoudre le même problème avec 17017 timbres français et 1183 timbres
étrangers.
Dans les deux classes, l’exercice est assez bien traité 4.
Seuls trois élèves de Troisième ont expliqué pourquoi ils calculaient le PGCD
de 1320 et 825, aucun des élèves de Seconde n’a justifié son emploi. Pourtant,
la majorité des élèves ayant trouvé le PGCD a su l’utiliser en tant que diviseur
pour trouver la répartition.
Sans doute le caractère concret et les nombres raisonnables ont-ils contribué
à cela.
Le recours au PGCD semble donc être plus une recette que réellement
pensé comme moyen d’obtenir un diviseur commun de plusieurs nombres, c’est
pourquoi la justification de son emploi nous semble indispensable dans ce type
d’exercice.
Seuls deux élèves de Troisième et trois élèves de Seconde ont correctement
calculé le PGCD de 1320 et 825, mais n’ont pas su l’utiliser et ont donné un
mauvais nombre de lots.
Pour le calcul du PGCD, les élèves des deux niveaux ont privilégié
l’algorithme d’Euclide, un seul élève n’est pas parvenu au résultat avec cette
méthode.
Tous les élèves qui ont abordé la dernière question ont appliqué le même
algorithme de calcul du PGCD que celui qu’ils avaient utilisé dans la question
précédente. Aucun de ceux qui ont eu recours à l’algorithme de différence n’est
parvenu au résultat.
Parmi les redoublants de Seconde, un seul a tenté (sans succès) de
décomposer 1320 et 825 en produit de nombres premiers. L’année précédente,
4
Les données statistiques figurent en annexe 4.
11
Pour un suivi en arithmétique
il était parvenu à faire la décomposition mais n’avait pas su en déduire le
PGCD. Il n’avait pas proposé d’autre méthode.
Trois redoublants n’ont pas su traiter l’exercice. L’année précédente, les trois
avaient correctement effectué la décomposition en produit de nombres
premiers, aucun n’avait su en déduire le PGCD, il n’est donc pas surprenant
qu’ils n’aient pas été tentés d’appliquer cette méthode l’année suivante.
Deux d’entre eux n’avaient pas proposé d’autre méthode pour le calcul du
PGCD, le troisième avait utilisé avec succès l’algorithme d’Euclide.
Deux autres redoublants ont correctement appliqué l’algorithme d’Euclide.
L’année précédente l’un avait su effectuer la décomposition en produit de
nombres premiers, et en déduire le PGCD de 1320 et 825, l’autre pas ; aucun
des deux n’avait proposé d’autre méthode.
Peut-être la correction du test lors de leur première Seconde et la mise en
évidence de leur lacune leur ont-elles permis de fixer plus durablement la
notion.
Une redoublante a correctement appliqué l’algorithme de différence pour le
calcul du PGCD de 1320 et 825, mais elle n’a pas mené l’algorithme à son
terme pour le PGCD de 17017 et 1183.
L’année précédente, elle avait correctement utilisé l’algorithme d’Euclide
pour le calcul du PGCD de 1320 et 825, ainsi que pour le PGCD de 17017 et
1183. Sa justification est que lors de sa première Seconde les différentes
méthodes de Troisième étaient encore présentes à son esprit, alors que l’année
suivante, elle ne se souvenait plus de l’algorithme d’Euclide.
Conclusion
On peut constater qu’à l’issue de la Troisième, une large majorité d’élèves
maîtrise un algorithme de calcul du PGCD de deux nombres, principalement
l’algorithme d’Euclide.
Après l’introduction des nombres premiers en Seconde, environ un élève sur
deux connaît encore un des algorithmes étudiés au collège, mais n’a pas
toujours su s’approprier la technique du calcul du PGCD à l’aide de la
décomposition en produit de nombres premiers.
Il semblerait par ailleurs que l’utilisation du PGCD relève d’avantage d’un
automatisme que de la perception réelle de son utilité.
Une plus grande diversité dans les exercices proposés suffirait à y remédier.
L’intérêt de l’apprentissage d’une nouvelle méthode en Seconde peut, par
exemple, être mis en évidence à l’occasion du calcul du PGCD de plus de deux
nombres, dépassant ainsi les méthodes de Troisième.
Ainsi, sur le principe du « carreleur » (exercice incontournable en Troisième
qui consiste à paver à l’aide de carrés une surface rectangulaire), on peut
proposer le pavage d’un parallélépipède rectangle par des cubes.
Irem de Toulouse
12
Constats
B. Second test : raisonnements en arithmétique
Comme évoqué précédemment, il ne figure pas d’arithmétique au
programme de Première S. Nous avons voulu tester la capacité d’élèves de ce
niveau à construire un raisonnement pour la résolution d’un problème
d’arithmétique qui peut sembler élémentaire, mais avec lequel ils ne sont pas
familiarisés.
Le test a été proposé à une classe de 29 élèves.
Ils ont eu dix minutes pour répondre.
Sujet :
n étant un entier naturel 5, le nombre 1 + 3n est-il toujours pair ?
Analyse 6 :
o 22 élèves (réponses 1 à 22) soit 76 % affirment que 3n est impair :
ƒ 10 élèves (réponses 1 à 10) soit 34,5 % sans justification ;
ƒ 12 élèves (réponses 11 à 22) soit 41,5 %, avec une ‘‘pseudojustification’’ du type :« quand on multiplie deux impairs, on obtient un
impair », ou par l’exhibition de quelques exemples.
o 5 élèves (réponses 23 à 27) soit 17 %, tentent de bâtir une réelle
démonstration :
ƒ la réponse 23 montre une ébauche intuitive d’un raisonnement par
récurrence (on peut voir aussi cette ébauche dans la réponse 2) ;
ƒ les réponses 24 et 25 montrent une mise en œuvre de la notion de
divisibilité, mais comportent des erreurs ou omissions qui ruinent la
tentative de démonstration ;
ƒ la réponse 26 utilise un critère pertinent, mais la justification reste
incomplète ; la réponse 27, qui lui est proche, est plus aboutie.
o 2 réponses sont grossièrement erronées (28 et 29) soit 7 % :
ƒ la réponse 28 affiche une double erreur : une de calcul et une de
raisonnement (exemple généralisé) ;
ƒ on peut toutefois remarquer le maniement correct du contre-exemple
de la réponse 29.
Certaines erreurs sont dues à la méconnaissance d’une
mathématique :
ƒ réponse 15 : « 1 + 30 = 1 »;
ƒ réponse 27 : « un chiffre est impair s’il est multiple de 1 ».
notion
Il semble que l’erreur de raisonnement qui consiste à généraliser à partir de
quelques exemples ait été commise 10 fois (réponses 6, 12, 13, 14, 16, 18, 21,
22, 25 et 28).
5
6
La définition d’un entier naturel a été rappelée oralement.
L’intégralité des réponses obtenues, numérotées de 1 à 29 figure en annexe 5.
13
Pour un suivi en arithmétique
A y regarder de plus près, on peut nuancer ce constat en remarquant les
précautions prises par certains élèves (réponses 6, 14, 16, 18, 21, 22 et 25) :
les exemples viennent après coup, comme pour illustrer.
Dans la réponse 13, le « apparemment » laisse penser que l’élève a
conscience que ses exemples ne tiennent pas lieu de démonstration.
La faute ne paraît vraiment caractérisée que dans les réponses 12 et 28.
La plupart des élèves évite la difficulté de l’exercice (démontrer que 3n est
impair) en se limitant à la justification qu’un nombre impair plus 1 est un nombre
pair.
A cet égard, le test est révélateur de l’approche confuse que fait l’élève de la
démonstration : « que dois-je justifier ? » est une question qui, si elle se pose,
s’avère d’une grande difficulté à partir du moment où l’exercice traité n’est pas
un des stéréotypes étudiés en classe (et même dans ce cas…). Elle renvoie
aux références de l’élève : ce que j’ai le droit d’utiliser sans avoir à le justifier,
dans la mesure où j’en montre la pertinence.
De façon plus approfondie, cela renvoie à la manière dont ce référentiel est
construit avec l’élève au cours de sa scolarité, et avec laquelle il sera utilisé.
Cette question de la démonstration, souvent débattue, est de fait laissée à
l’initiative des enseignants, ce qui explique la multiplicité de ses réponses.
L’usage par les élèves de nombreuses formulations approximatives ou
impropres dénote un manque de rigueur laissant penser que les notions
utilisées sont méconnues et le savoir de l’élève mal construit. Par exemple :
•
rép. 2 : « polynôme de degré n » ;
•
rép. 3 : « en multipliant 3 par n’importe quel exposant n » ;
•
rép. 4 : « p ⇒ nombre pair » ;
•
rép. 5 : « + 1 annule l’imparité » ;
•
rép. 11 : « un chiffre un nombre pair » ;
•
rép. 15 : « car il y a un décalage de pair à impair » ;
•
rép. 16 : « quand on multiplie 3 par une puissance » ;
•
rép. 17 : « en l’additionnant avec 1 il deviendra forcément pair » ;
•
rép. 18 : « le nombre devient donc pair » ;
•
rép. 23 : « les pairs et les impairs se suivent avec un intervalle de
+1 » ;
•
rép. 24 : « un chiffre est impair » : confusion de chiffre et nombre ;
•
rép. 27 : « le dernier chiffre de 3n est une suite qui fait = {3,9,7,1} et
qui répète ces 4 chiffres. »
La rigueur dans les justifications est d’un accès difficile et sa nécessité
n’apparaît pas spontanément à l’élève.
Le risque de voir l’élève minimiser la portée de toutes les remarques qu’on
pourrait lui adresser dans la mesure où il a fourni la bonne réponse, est
manifestement important.
Notons bien qu’environ 90% des élèves donnent la bonne réponse et en sont
satisfaits. Pourtant, en toute rigueur, aucun élève n’a réussi ce test !
Irem de Toulouse
14
Constats
2. ERREURS CLASSIQUES
A. Erreurs liées à un problème de langage
Les erreurs évoquées dans ce paragraphe sont les premières difficultés
rencontrées par les élèves. Elles résultent essentiellement d’une mauvaise
maîtrise du vocabulaire de l’arithmétique.
La notion de nombre entier est rencontrée dès le plus jeune âge, ce qui
confère à ces nombres un statut particulier. Des expressions du langage
courant leur sont associées. Certains élèves ont des difficultés à y renoncer. Ils
qualifieront par exemple les entiers de « nombres ronds », alors que les
décimaux seront appelés « nombres composés ». Les entiers étant considérés
comme des « vrais nombres », on pourra entendre : « la division tombe juste »,
lorsque le quotient est un entier.
Ces expressions, dénuées de sens mathématique, perturbent la perception
des différents ensembles de nombres et génèrent des erreurs. Nous en
donnerons des exemples plus loin.
Le vocabulaire de l’arithmétique est abondant et précis :
Nombre, chiffre, multiple, diviseur, divisible, produit, facteur, somme, terme…
Souvent les élèves confondent les différentes notions qui correspondent à ces
termes.
Viennent s’ajouter à cela des expressions semblables qui désignent des
objets différents, comme par exemple les nombres premiers et les nombres
premiers entre eux, ou la division décimale et la division euclidienne.
L’expression de « langage mathématique » prend toute sa signification en
arithmétique.
Voici quelques exemples de phrases correctes qui relèvent, pour bon
nombre d’élèves, d’une langue étrangère non maîtrisée :
• « Ce nombre est un décimal, car il admet un nombre fini de chiffres
après la virgule. »
• « Les termes de cette somme possèdent un facteur commun. »
• « Si a est un multiple de b, alors a est divisible par b, et b est un diviseur
de a. »
• « Un entier est un diviseur de ses multiples. »
• « La divisibilité par 0 n’a pas de sens. La divisibilité de 0 est évidente. »
• « Deux nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement
premiers ; mais deux nombres premiers distincts sont nécessairement
premiers entre eux. »
A contrario, voici quelques phrases lues sur des copies d’élèves de Seconde,
qui traduisent leur mauvaise maîtrise du vocabulaire :
• « Ce nombre est un décimal car il est fini. »
• « 0 ne peut pas être divisé. »
15
Pour un suivi en arithmétique
• « Ce nombre est premier car il n’est pas divisible. »
• « Ces nombres sont premiers entre eux, car ils ne sont pas des
diviseurs. »
• « 2n est pair, car il est multiplié par 2. »
• …
La première étape dans la lecture de consignes, ou dans la résolution de
certains problèmes d’arithmétique, consiste en un véritable exercice de version
de l’énoncé. C’est le premier obstacle que les élèves ont à franchir.
B. Erreurs liées au statut des nombres
La méconnaissance du statut des nombres est un autre obstacle rencontré
par les élèves.
Ils considèrent que les caractéristiques des ensembles de nombres (entiers,
décimaux, rationnels, réels) sont incompatibles les unes avec les autres. Le fait
que ces ensembles soient inclus les uns dans les autres leur est souvent
incompréhensible.
Comme évoqué précédemment, le statut particulier dont bénéficient les
nombres entiers incite les élèves à les dissocier des autres réels.
Ainsi, pour certains d’entre eux, un entier n’est pas considéré comme un
décimal, ni même comme un rationnel.
Cela entraîne, entre autres, des difficultés lors de conversions : comment
« décaler la virgule » sur un entier ?
Une même erreur de perception se retrouve pour les nombres décimaux :
D’une part, ils ne sont pas toujours considérés comme des rationnels, ce qui
génère des difficultés pour additionner un nombre en écriture décimale avec un
nombre en écriture fractionnaire.
D’autre part, certains élèves considèrent la plupart des réels comme des
décimaux, confondant valeur approchée et valeur exacte. Sans doute
l’utilisation des calculatrices contribue–t–elle à entretenir la confusion.
Si la plupart des élèves (conditionnés par leurs enseignants) admettent
volontiers qu’un nombre décimal ayant peu de chiffres après la virgule est une
valeur approchée d’un irrationnel (par exemple 3,14159 est bien perçu comme
une valeur approchée de π), ce n’est plus forcément le cas pour une valeur
décimale approchée dont le nombre de chiffres après la virgule atteint le
maximum proposé par la machine.
A contrario, un nombre décimal ayant un grand nombre de chiffres après la
virgule ne sera pas toujours identifié comme un décimal.
C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu
Le caractère intuitif de nombreux résultats d’arithmétique fait que certains
élèves proposent des justifications approximatives.
Irem de Toulouse
16
Constats
Il arrive même fréquemment qu’ils contournent la difficulté, considérant que
le résultat qu’ils omettent de démontrer est « évident ».
L’exemple « 3n + 1 est pair pour tout n » présenté précédemment en est une
illustration. On peut également citer l’implication « si a² est pair, alors a est
pair ».
De plus, le contexte des nombres entiers ayant été le cadre de nombreuses
activités à caractère « expérimental » dans les classes antérieures au lycée (et
ce dès l’école primaire), on retrouve en arithmétique l’erreur qui consiste à
argumenter à l’aide d’exemples.
La méconnaissance de l’utilité de certaines notions peut entraîner un blocage
de la part des élèves qui n’en comprennent pas l’enjeu.
Dans certains exercices (comme la recherche d’un nombre), ils ne
parviennent pas à mettre en oeuvre des notions qu’ils ont acquises de façon
intrinsèque.
Considérons le problème suivant :
Si l’on divise 4294 et 3521 par un même entier naturel, les restes sont
respectivement 10 et 11. Quel est cet entier naturel ?
La résolution de cet exercice ne requiert que la connaissance de la division
euclidienne et la notion de diviseur. On peut donc le considérer comme
réalisable dès la Troisième. Pourtant des élèves en spécialité de Terminale S
ne savent pas le démarrer.
D. Autres erreurs
Les erreurs répertoriées dans ce paragraphe mettent en évidence de
mauvais réflexes acquis par certains élèves.
• « 6 et 8 divisent n, donc 48 divise n. »
Il s’agit d’une généralisation erronée du théorème de Gauss à des entiers qui
ne sont pas premiers entre eux.
Cela peut en partie s’expliquer par le fait que la notion de diviseur commun
n’est pas acquise. Le fait que le diviseur 2 soit comptabilisé deux fois lorsque
l’on considère 48 comme un diviseur de n, ne peut être perçu qu’après avoir
assimilé la notion de diviseur commun.
• « 17 × 5 est premier. »
Face à l’écriture 17 × 5 ce n’est pas le résultat du produit que les élèves
considèrent, mais les facteurs premiers mis en évidence.
Le rapprochement n’est pas toujours fait entre la décomposition d’un nombre
en produit de nombres premiers, et les diviseurs de ce nombre.
De plus, les élèves ont une conscience intuitive du fait que la multiplication
est une loi interne sur chacun des ensembles de nombres (entiers, décimaux,
rationnels, réels).
17
Pour un suivi en arithmétique
Il est tentant d’extrapoler à l’ensemble des nombres premiers : « le produit de
deux nombres premiers est un nombre … premier ».
• Oubli de 1 et n dans les diviseurs de n.
La recherche des diviseurs d’un nombre est un exercice qui ne génère pas
d’obstacle technique majeur, mais qui demande une grande vigilance, afin de
n’oublier aucun cas. L’oubli précisément des diviseurs 1 et n traduit la méfiance
des élèves face à ce type d’activité : soucieux de n’oublier aucun cas, ils se
concentrent sur les moins triviaux, et finissent par oublier les diviseurs
systématiques.
D’autre part, en Seconde, la décomposition en produit de facteurs premiers
ne fait pas apparaître l’entier 1, puisqu’il n’est pas considéré comme un nombre
premier. Il est donc facilement oublié dans la liste des diviseurs.
On peut également penser qu’il y dans la perception des élèves de la notion
de diviseur, l’idée de partage. Or la division de n par 1 donne n « tout entier »,
et la division de n par n donne « un seul morceau ». C’est pourquoi 1 et n
peuvent ne pas être perçus comme de « vrais » diviseurs de n.
Les erreurs mises en évidence dans ce paragraphe relèvent principalement
d’une connaissance diffuse et approximative des notions en arithmétique (du
vocabulaire jusqu’à la mise en œuvre des théorèmes).
Le paragraphe suivant propose une liste des savoirs et savoir-faire à acquérir
en arithmétique au lycée. Elle donne un aperçu des différents types de
raisonnements que l’arithmétique permet de mettre en œuvre, que nous
développerons dans la partie 2.
3. PRATIQUE ARITHMETIQUE
A. Les « matériaux »
1. Connaître les premiers nombres premiers, ou savoir les retrouver
Dans la plupart des sujets d’examen, la liste des nombres premiers utiles
pour résoudre le problème est fournie. Cela ne dispense pas de connaître les
premiers nombres premiers (jusqu’où ? c’est à définir) et la méthode permettant
de prouver qu’un nombre est premier 7.
On peut remarquer que certaines calculatrices donnent la liste des diviseurs
d’un nombre : il n’est pas difficile d’en déduire qu’il est, ou n’est pas, premier !
7
Voir à ce sujet l’exercice donné au baccalauréat série S en juin 1999, figurant en annexe 6.
Irem de Toulouse
18
Constats
Dans la partie 3 de cette brochure, nous proposons un algorithme (pouvant
aller jusqu’à une programmation sur la calculatrice) permettant de tester si un
nombre est premier.
2. Critères de divisibilité
Depuis les petites classes les élèves connaissent certains critères de
divisibilité (par 10, 2, 3, 9, 4, 5, etc.…).
Ces critères sont justifiés en Terminale avec les congruences.
L’utilisation de ces congruences est parfois plus simple avec des grands
nombres ou dans un cas général.
On peut aussi définir des critères de divisibilité par 11, par 7, etc.
3. Liste des diviseurs d’un entier
On demande souvent de donner la liste des diviseurs d’un entier.
A partir de la décomposition en produit de facteurs premiers étudiée en
Seconde, sur quelques exemples et sans aller jusqu’au cas général, il est
important de montrer aux élèves comment, à l’aide d’un arbre, on peut compter
le nombre de diviseurs positifs d’un entier donné et les retrouver tous dans des
cas simples.
Il peut être aussi utile de parler de « diviseurs associés » pour résoudre des
exercices comme :
Déterminer tous les couples (x ; y) d’entiers naturels non nuls tels que :
x² – y² = 60.
Dans cet exercice, il est préférable de repérer des conditions nécessaires
pour limiter le nombre de cas (au minimum x + y > x – y !).
B. Les techniques
1. Quotients
De nombreux exercices portent sur la recherche de conditions sur un ou
plusieurs entiers pour qu’une fraction donnée soit irréductible.
Considérons l’exercice suivant :
Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, non nul, la fraction
n² + 3
n+ 2
est-elle
irréductible ? Trouver n pour que ce quotient soit un entier.
Après une écriture simplifiée (que l’on peut donner ou préparer), un tel exercice
ne comporte que de simples problèmes de divisibilité et peut être abordé dès le
collège.
19
Pour un suivi en arithmétique
On remarque parfois au lycée, des utilisations de quotients d’entiers
considérés comme des entiers, sans justification. Il est donc nécessaire de
montrer que cette assimilation est erronée.
D’autre part, le PPCM apparaît seulement dans le programme de spécialité
de Terminale S. Ainsi, la simplification d’une somme de fractions reste aléatoire
dans le second cycle actuel, alors qu’avec de bonnes habitudes acquises
numériquement dès le Collège, la technique de réduction au même
dénominateur le plus simple serait sûre et éviterait des encombrements inutiles
dans les expressions numériques et littérales. Il est tout de même regrettable
d’être tributaire du logiciel de calcul formel d’une calculatrice!
2. Puissances
« 2n = 2 × ? ». Cette question, posée « brutalement » dans une classe de
Terminale S a donné quelques réponses plutôt angoissantes pour un
professeur de mathématiques, par exemple : 2n = 2 × 10n , 2n = 2 × 1n, ou
2n = 2 × 1n-1 . On rencontre aussi : 2n + 2n = 4n.
Nous rencontrons de plus en plus de difficultés avec les calculs « de
puissances » et un entraînement régulier, dès le collège, est plus
qu’indispensable. Même l’étude des fonctions exponentielles en terminale ne
suffit pas à corriger de mauvais acquis antérieurs.
De façon plus générale, dans de nombreux exercices la manipulation des
entiers naturels est un bon moyen pour développer des habitudes algébriques
et préparer aux calculs littéraux. Souvent, le passage de l’entier n à l’entier
n + 1 est l’occasion de pratiquer des règles opératoires, tout en préparant le
principe de raisonnement par récurrence.
3. Calcul du PGCD : décomposition en produit de facteurs premiers ; algorithme
d’Euclide, algorithme de différence, domaine d’application des techniques
Pour déterminer un PGCD, les élèves de Seconde disposent de plusieurs
méthodes et le choix de l’une d’entre elles est important (« choix imposé »
lorsqu’il s’agit en plus de déterminer une solution particulière de l’équation
ax + by = c).
L’exercice du premier test figurant dans le premier paragraphe de cette partie
nécessite un calcul de PGCD qui, par un algorithme de différence, requiert de
nombreuses étapes.
Un tel exercice peut permettre à certains élèves de remettre en cause « un
acharnement calculatoire » dans lequel ils ont parfois tendance à s’enfermer.
Savoir s’arrêter, changer de méthode est important.
Irem de Toulouse
20
Constats
4. Lien entre la division euclidienne et les congruences
Il s’agit de savoir, par exemple, que tout entier s’écrit sous la forme 5p ou
5p + 1 ou …, pour amener la congruence modulo 5.
Dans les précédents programmes de Terminale, les congruences étaient
marginales voire hors programme et on utilisait la théorie des restes. Dans les
programmes actuels, on utilise essentiellement les congruences mais, surtout
au début, le lien avec les restes des divisions euclidiennes ne doit pas être
occulté, car un abus de congruences peut masquer certaines notions. De plus,
les « sous-entendus » liés à l’efficacité des congruences compliquent parfois la
compréhension (et la correction !).
Il ne faut pas non plus être trop systématique sur les restes car, en
particulier, le fait qu’un nombre peut-être congru à « – 1 » n’est pas toujours
bien accepté.
Considérons le problème suivant :
Montrer que si a et b sont des entiers impairs, alors a2 + b2 est divisible par 2
mais pas par 4.
Il s’agit d’utiliser les deux techniques (congruences modulo 1 et 2, et théorie
des restes) et d’insister sur le passage de l’une à l’autre.
Pour démontrer que a² + b² est divisible par 2, le plus rapide est la congruence
modulo 2 :
a et b étant impairs, ils sont tous deux congrus à 1 donc leurs carrés aussi, et
donc a² + b² est congru à 0.
On peut aussi, ce qui est un peu plus long, poser a = 2n+1 et b = 2p+1, puis en
déduire a² + b² en fonction de n et de p et mettre 2 en facteur dans le résultat.
Pour démontrer que a² + b² n'est pas divisible par 4, on peut utiliser la
congruence modulo 4 :
a et b peuvent être congrus à 1 ou à 3, ce qui donne 4 cas à étudier.
Dans chaque cas on obtient a² + b² congru à 2, donc ce nombre n'est pas
divisible par 4.
Pour cette question, la théorie des restes est plus rapide ; après avoir exprimé
a² + b² en fonction de n et de p, on démontre facilement (par l’absurde par
exemple) que a² + b² n'est pas divisible par 4.
Un tel exercice peut permettre de comprendre plus facilement des problèmes
dans lesquels interviennent deux congruences différentes ; par exemple :
Déterminer selon l’entier naturel n non nul le reste de la division par 7 de 3n. En
déduire le reste de la division par 7 de 2000211074 (ou, plus généralement, les
restes des divisions par 7 de 20002n ).
On remarque que 36 est congru à 1 modulo 7 ; pour les exposants, on peut
donc utiliser la congruence modulo 6 ou, ce qui paraît préférable pour éviter des
confusions, se servir des écritures de divisions euclidiennes de ces exposants
par 6.
21
Pour un suivi en arithmétique
Dans cet exemple, 20002 est congru à 3 modulo 7 et 11074 peut s’écrire
1845 × 6 + 4. Le nombre donné est donc congru modulo 7, à 34 soit à 4.
Remarque : pour montrer que 36 est congru à 1 modulo 7, on peut en spécialité
en Terminale S utiliser le petit théorème de Fermat :
« Si p est un nombre premier, et si p ne divise pas a, alors ap-1 ≡ 1 [p]. »
5. Si un nombre divise a et b, il divise au + bv (pour tout couple (u ;v) d’entiers
relatifs
Cette propriété est, dans des cas particuliers, à la base d’algorithmes
(Euclide, différence).
Elle intervient dans de nombreux exercices 8 . Il est souhaitable, même en
Troisième, de ne pas en rester au cas particulier où le nombre divise la
différence (algorithme de différence).
Il est tout aussi important de connaître que de comprendre cette propriété (à
utiliser comme connue et aussi à re-démontrer à partir de la notion de
divisibilité).
6. Méthode de recherche de 2 entiers en la ramenant à celle de 2 entiers
premiers entre eux
Dans beaucoup d’exercices le nombre de cas à considérer est important.
C’est une des causes de difficultés des élèves qui se « bloquent » devant un
grand nombre de possibilités à étudier.
Considérons, par exemple, le problème suivant :
Trouver tous les couples d’entiers naturels (x ; y) tels que m = 7d + 392,
sachant que d = PGCD(x ; y) et m = PPCM(x ; y).
Dans un tel exercice, rechercher les couples (x’ ; y’) d’entiers tels que :
x = d x’, y = d y’ et PGCD (x’ ; y’) = 1 permet de réduire le nombre de cas de
manière significative.
C. La logique
1. Du particulier au général
Les réponses au test effectué auprès d’élèves de Première S concernant
l’entier « 3n + 1 » 9 sont significatives de généralisations abusives que l’on ne
rencontre pas qu’en arithmétique (mais aussi pour les suites, par exemple).
8
9
Voir par exemple l’exercice du baccalauréat série S juin 1999, figurant en annexe 6.
Figurant en annexe 5.
Irem de Toulouse
22
Constats
Il n’est pas inutile d’expliquer à ce sujet, que de grands mathématiciens ont
envisagé de telles généralisations, pour être corrigés ensuite.
n
Fermat par exemple, a supposé, sans l’affirmer, que les nombres Fn = 22 + 1
sont premiers, et Euler a montré que F5 = 4294967297 ne l’est pas (il est
divisible par 641).
Par contre, le génie de Fermat a été confirmé par Andrew Wiles pour son
« grand théorème » : l’équation xn + yn = zn n’a pas de solutions entières non
triviales en x, y, z pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.
2. Raisonnement par analyse-synthèse
Dans certains problèmes, l’analyse conduit à des solutions et les conditions
conduisent à « faire un tri » parmi les solutions trouvées, c’est la synthèse.
On peut citer, à ce sujet, l’exercice « classique » :
Au VIIIe siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé 100
pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces
chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes
et de femmes dans le groupe?
ANALYSE :
On suppose que ce problème admet une solution.
Si x est le nombre d'hommes, y celui de femmes, on est amenés à résoudre
l'équation E: 8x + 5y = 100.
Comme 8 et 5 sont premiers entre eux, le théorème de Bézout montre
l'existence d'un couple (u; v) tel que 8u + 5v = 1.
(On remarque, par exemple, que le couple (-3; 5) convient.)
On en déduit que (-300; 500) est solution de E ; on obtient ensuite toutes les
solutions sous la forme (5k – 300; 500 – 8k), où k est un entier relatif.
SYNTHESE :
Dans ce problème, on doit avoir x et y strictement positifs. Cette étude conduit à
deux valeurs possibles de k : 61 et 62.
On en tire alors deux solutions au problème: 5 H et 12 F ou 10 H et 4 F
Pour un autre exemple, on peut voir en annexe 7 l’exercice de baccalauréat
« Amérique du Sud 1982 ».
Un raisonnement par analyse-synthèse intervient lorsqu’on ne peut, ou ne
veut, enchaîner les étapes d’une démonstration par équivalences.
Il est nécessaire d’insister auprès des élèves sur le fait que la synthèse fait
partie du raisonnement.
Dans le cas où il y a équivalence, la synthèse assure la réciproque.
23
Pour un suivi en arithmétique
3. Contre exemple
Le contre-exemple d’Euler cité précédemment est célèbre !
Nous traiterons dans la partie 2 l'exercice suivant :
Montrer que si a est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n – 1
ou 6n + 1.
On peut s’interroger sur une réciproque :
Les nombres de la forme 6n + 1 sont premiers : vrai ou faux ?
n = 4 fournit un contre exemple.
D. Apprendre à réfléchir
Faire une analyse sans « a priori », tâtonner, faire des essais, ne sont pas
des habitudes toujours acquises et pourtant, lorsqu’on est démuni, ceci peut
permettre d’éclaircir un problème, d’envisager des méthodes, ou de renoncer à
une conjecture défaillante.
Considérons le problème suivant :
Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’entier B (n) = 4n – 3.
B(n) peut-il être un carré parfait ?
Si oui, déterminer les valeurs de n pour lesquelles B(n) est un carré parfait.
Il est simple de montrer que c’est possible (pour n = 1 ou 3).
Il est aussi simple de repérer des valeurs de n avec une calculatrice (ou un
tableur).
On remarque que l’on ne trouve que des carrés impairs (d’où une première idée
de considérer n impair, mais avec n = 5, on constate que ce n’est pas suffisant).
Comme B(n) est nécessairement impair, on pose B(n) = p² avec p = 2k +1, car
si le carré d’un entier est impair, cet entier est impair (démonstration par
l’absurde ou par contraposition).
On pose alors p = 2k + 1, où k est un entier naturel, ce qui conduit à :
B(n) = 4 k² + 4 k + 1 soit n = k² + k + 1.
Une réciproque simple permet de vérifier que l’on obtient ainsi tous les entiers
cherchés, le raisonnement ayant été conduit par conditions nécessaires.
Il peut être également intéressant de donner les problèmes suivants :
1) Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont trois entiers consécutifs.
Calculer ces mesures.
En appelant n le plus « petit » des côtés de l’angle droit, les trois mesures sont
n, n + 1 et n + 2 (le côté le plus « grand » étant l’hypoténuse).
Le théorème de Pythagore conduit à résoudre dans l’ensemble des entiers
naturels l’équation : n ( n – 2 ) = 3.
3 étant un nombre premier, on a n = 3.
Irem de Toulouse
24
Constats
Les trois côtés mesurent donc 3 , 4 et 5 (solution unique ).
Remarque : en appelant n – 1 le plus petit des côtés de l’angle droit, le
théorème de Pythagore conduit à résoudre l’équation n (n – 4) = 0.
2) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels les équations d’inconnue n :
(n + 1) (n + 2) = 132 ;
(n + 1) (n + 2) = 131.
Ces exercices peuvent permettre de montrer que des solutions « second
degré » ne sont pas toujours les plus efficaces, en particulier en arithmétique,
du fait que l’inconnue est un entier.
25
Les raisonnements en arithmétique
PARTIE 2 - LES
RAISONNEMENTS EN
ARITHMETIQUE
1. UN PROBLEME DE SENSIBILISATION
N = 1 + 3 n est-il pair pour tout entier naturel n ?
La question peut être posée dès le Collège, et faciliter un début de réflexion
sur les méthodes de raisonnement. Il peut être enrichissant d’observer les
différentes réactions suivant la classe 10.
Une première approche peut être faite avec la calculatrice. Le résultat n’est
pas évident car 3 n devient très vite grand lorsque n augmente. On peut donc
considérer que cette démarche échoue.
Les démarches que nous allons proposer mettent en valeur la diversité des
raisonnements que l’on peut rencontrer en arithmétique.
Les trois premières seront développées et complétées dans le paragraphe
suivant, à travers d’autres exemples.
Les deux suivantes sont plus spécifiques à cet exercice.
ƒ Démarche 1 : Raisonnement exhaustif
Cette démarche consiste à considérer le chiffre des unités de N. Elle est
envisageable dès le collège.
Les chiffres des unités possibles pour les puissances de 3 sont 1, 3, 7 ou 9.
En ajoutant 1, les chiffres des unités possibles du nombre N sont donc 2, 4, 8
ou 0 .
A l’issue de cette démarche exhaustive (qui considère tous les cas possibles)
nous pouvons conclure que N est pair.
10
Voir à ce propos le second test de la partie 1.
27
Pour un suivi en arithmétique
ƒ Démarche 2 : Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence n’est formalisé qu’en Terminale S, mais il
peut faire l’objet d’une approche intuitive plus tôt, avec l’utilisation de points de
suspensions.
Nous allons proposer deux résolutions faisant intervenir un raisonnement par
récurrence :
9
Approche directe du problème :
3° + 1 = 2 est pair.
Si 3 n + 1 est pair, c’est-à-dire de la forme 2k, alors 3 n = 2k – 1.
Par suite 3 n × 3 +1 = (2k - 1)×3 +1 = 2 (3k - 1) est bien lui aussi un nombre pair.
9
Une autre approche :
Le produit de deux nombres impairs est impair (c’est bien sûr à justifier !), et 3
est impair, donc 3² est impair, 3³ = 3² × 3 est impair, .... , "il en est toujours ainsi"
donc le nombre 3 n est aussi impair, l’entier suivant, N, est donc pair.
ƒ Démarche 3 : Raisonnement par l’absurde
Dans cette démarche, on utilise la décomposition d’un entier en produit de
nombres premiers. Elle est donc envisageable dès la Seconde.
N ne peut pas être de la forme 2k + 1, avec k entier naturel.
En effet, s’il en était ainsi, on aurait 3 n = 2k, donc 2 apparaîtrait dans la
décomposition en produit de nombres premiers de 3 n . Or 3 n est la
décomposition en produit de nombres premiers de 3 n . Par unicité de cette
décomposition, il y contradiction. N est donc pair.
ƒ Démarche 4 : Avec la congruence modulo 2
3 ≡ 1 [2] donc 3 n ≡ 1 [2] , par suite 3 n + 1 ≡ 0 [2].
3 n + 1 est donc pair pour tout n.
ƒ Démarche 5 :
A l’aide d’une factorisation
3 n + 1 et 3 n - 1 ont la même parité.
3 n - 1, de la forme a n - b n , peut être factorisé. Le premier facteur est 3 - 1 = 2
donc 3 n - 1 est pair; il en est donc de même de 3 n + 1.
Irem de Toulouse
28
Les raisonnements en arithmétique
2. LA DIVERSITE DES FORMES DE RAISONNEMENT
Nous avons pu observer dans l’exemple précédent la variété des
raisonnements à propos d’un même exercice d’arithmétique. On peut
également rencontrer des problèmes pour lesquels, dans une seule solution,
interviennent plusieurs types de raisonnements.
Dans ce paragraphe, nous présentons les différents raisonnements que des
problèmes d’arithmétique permettent de mettre en œuvre.
A. Raisonnement exhaustif
Dans un raisonnement exhaustif, il y a nécessité d’étudier tous les cas. Une
première étude consiste à faire un tri afin, si possible, de restreindre cet
inventaire.
Premier exemple : (proposable dès la Troisième)
Trouver une fraction d’entiers naturels sachant que la somme du numérateur et
du dénominateur est 96, et que leur PGCD est 8.
Éléments de solution :
Formulation algébrique de l’énoncé:
a
Soient la fraction recherchée, a’ et b’ premiers entre eux tels que a = 8 a’ et
b
b = 8 b’.
a + b = 96, donc a’ + b’ = 12.
a’
b’
a
b
1
11
8
88
2
10
/////
/////
3
9
/////
/////
4
8
/////
/////
5
7
40
56
6
6
/////
/////
7
5
56
40
8
4
/////
/////
9
3
/////
/////
10
2
/////
/////
11
1
88
8
Il y a donc 4 solutions deux à deux symétriques qui conviennent
Note : en principe, les élèves de Troisième savent que le PGCD sert à
« simplifier au maximum » une fraction.
Remarque : (qui peut faire l’objet d’un prolongement)
Dans le cas où le PGCD n’est pas un diviseur de la somme, il n’y a pas de
solution. En effet : "si un nombre divise a et b, il divise a + b ".
29
Pour un suivi en arithmétique
Deuxième exemple :
Trouver deux nombres entiers naturels a et b inférieurs à 100 sachant que leur
différence est 63 et que leur PGCD est 7.
Éléments de solution :
Avec a = 7 m, b = 7 n et a - b = 63, on obtient m - n = 9.
Il existe 5 couples (a ; b) possibles: ( 70 ; 7 ), ( 77 ; 14 ), ( 84 ; 21 ) , ( 91 ; 28 )
et ( 98 ; 35 ) .
84 et 21 ont pour PGCD 21, donc le couple ( 84 ; 21 ) est à rejeter.
Les autres couples ont pour PGCD 7 ; il y a 4 solutions.
Troisième exemple : Des triplets pythagoriciens
Parmi les triangles rectangles dont les trois côtés sont mesurés par des
nombres entiers, on cherche ceux dont un côté de l’angle droit mesure 12.
Soit a la mesure de l’hypoténuse et b celle du troisième côté.
a) Expliquer pourquoi a + b et a – b ont nécessairement la même parité.
b) Trouver toutes les valeurs possibles de a et b, en utilisant l’égalité :
12² = (a + b) (a – b).
Éléments de solution :
Le problème se ramène à trouver parmi les diviseurs de 12² les couples qui
peuvent être les valeurs de a + b et de a – b.
La question a) sert à restreindre les cas.
a) On peut raisonner par l’absurde (voir D) :
si a + b et a – b n’avaient pas même parité, alors avec a = ½ [(a + b) + ( a – b)]
et b = ½ [(a + b) – (a – b)], (a + b) + (a – b) et (a + b) – (a – b) étant impairs,
a et b ne seraient pas entiers.
b) Dans l’arbre des 15 diviseurs de 12², la question a) permet de supprimer
pour (a + b) et (a – b) les trois couples (1 ; 144), (3 ; 48) et (9 ; 16) .
Il y a quatre solutions possibles :
a = 37 et b = 35 ; a = 15 et b = 9 ; a = 13 et b = 5 ; a = 20 et b = 16.
Dans ces quatre cas, a² – b² = 12². Les quatre solutions conviennent.
Quatrième exemple :
Deux carrés ont pour longueurs de leurs côtés des nombres entiers de
centimètres. La différence de leurs aires est 156 cm². Quelle est la longueur
des côtés de ces carrés ?
(Rallye Seconde - Toulouse 2004)
Irem de Toulouse
30
Les raisonnements en arithmétique
Éléments de solution :
L’exercice est analogue au précédent.
Avec a² – b² = 156 = 2² × 3 × 13, parmi les six couples possibles seuls (40; 38)
et (16; 10) sont solutions.
Cinquième exemple : Des équations diophantiennes très simples
Trouver les nombres entiers de trois chiffres c, d et u (centaines, dizaines,
unités), multiples de 5 dont la somme des chiffres est 21.
Éléments de solution :
u = 0 ou u = 5, et c + d + u = 21 .
Le cas où u = 0 est impossible car la somme des deux chiffres est au plus
égale à 18.
Lorsque u = 5, c + d = 16, qui est une équation diophantienne; il n’y a que trois
possibilités : 975 , 885 et 795 .
Il est souhaitable d’habituer très tôt les élèves au raisonnement exhaustif.
Comme illustré dans ce paragraphe, une telle démarche s’avère efficace dans
de nombreux cas. Elle évite par exemple en Terminale S un recours
systématique au théorème de Bézout dans des cas simples.
B. Raisonnement par disjonction des cas
A la différence d’une étude exhaustive, dans un raisonnement par disjonction
des cas les situations sont différenciées à l’aide d’un ou de plusieurs
paramètres.
En arithmétique, ces paramètres sont généralement des entiers, résultant
par exemple d’une division euclidienne.
Des essais permettent de conjecturer et de faire apparaître une formulation
paramétrée.
Par sa rapidité, un tableur peut être une aide efficace pour découvrir une
structure des résultats, par exemple une période.
Premier exemple :
n est un entier naturel, a = 5 n + 4 et b = 7 n + 5.
On cherche pour quelles valeurs de n les entiers a et b sont premiers entre eux.
a) Observer les valeurs de a et b pour n < 15 et faire une conjecture.
b) Calculer 7a – 5b; en déduire les diviseurs communs à a et b possibles.
c) Calculer les restes de la division de a et b par 3 dans chacun des trois cas:
n = 3 k, n = 3 k + 1 et n = 3 k + 2, où k est un entier naturel) .
d) Conclure.
31
Pour un suivi en arithmétique
Éléments de solution :
a) On découvre une périodicité; un tableur permet d’amplifier les observations
et de mieux découvrir la période : 3
b) Si a et b ne sont pas premiers entre eux, leur diviseur commun est
nécessairement 3. D’où les trois cas pour n, proposés au c).
c) Pour n = 3k : a = 3 (5k + 1) + 1 ; b= 3 (7k + 1) + 2 ;
pour n = 3k + 1 : a = 3 (5k + 3) ; b = 3 (7k + 4) ;
pour n = 3k + 2 : a = 3 (5k + 4) + 2 ; b = 3 (7k + 6) + 1.
d) Dans la division euclidienne par 3, le reste 0 est commun à a et b si et
seulement si n = 3 k + 1.
Conclusion : 5n + 4 et 7n + 5 sont premiers entre eux si et seulement si le reste
de la division euclidienne de n par 3 est 0 ou 2.
Deuxième exemple :
Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b
tel que a² + b² soit un multiple de 5.
Éléments de solution :
On utilise la division euclidienne par 5: tout entier naturel peut être écrit sous
la forme 5 n + r, avec n entier naturel, et r ∈ {0;1;2;3;4}.
Ce paramétrage va permettre la mise en place des cinq cas disjoints.
On veut que les restes des divisions euclidiennes de a² et de b² par 5 aient pour
somme 0 ou 5.
Plusieurs essais permettent de découvrir une période de 5 pour la somme des
deux restes.
Tableau des restes pour x² :
x
reste de la division de
x² par 5
5n
0
5n + 1
1
5n + 2
4
5n + 3
4
5n + 4
1
Notons au passage le résultat suivant:
"Le carré d’un entier naturel est de l’une des trois formes 5k, 5k + 1 ou 5k + 4
(où k est un entier naturel)."
Autrement dit, il n’est jamais de l’une des formes 5k + 2 ou 5k + 3.
Étude des cas :
• Si a est multiple de 5, le reste de a² est 0, le reste de b² doit être 0, b doit donc
être multiple de 5.
• Si a est d’une des formes 5n + 1 ou 5n + 4, le reste de a² est 1, le reste de
b² doit être 4, b doit donc être d’une des formes 5p + 2 ou 5p + 3.
Irem de Toulouse
32
Les raisonnements en arithmétique
• Symétriquement, si a est d’une des formes 5n + 2 ou 5n + 3, b doit être
d’une des formes 5p + 1 ou 5p + 4.
On constate que, quel que soit a, il y a une infinité de valeurs possibles pour b.
Troisième exemple : (dans le même esprit que le précédent)
a) Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b
et un entier naturel c tels que a² + b² + c ² soit un multiple de 6.
b) Démontrer que pour tout entier naturel a il existe au moins un entier naturel b
tel que a³ + b³ soit un multiple de 7.
Éléments de solution :
a) 4 + 1 + 1 = 6
et 3 + 3 + 0 = 6.
b) 1 + 6 = 7.
Quatrième exemple :
Montrer que, a étant un entier naturel, il n’existe pas toujours un entier naturel b
tel que a² + b² soit multiple de 4.
Éléments de solution :
b n’existe pas lorsque a est de la forme 2n + 1 ou de la forme 2n + 3.
Cinquième exemple :
Si p est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n – 1 ou 6n + 1.
Éléments de solution :
Considérons le reste de la division de p par 6.
Si le reste est 0 , 2 , 3 ou 4 , alors ce nombre est divisible respectivement par
6, 2 , 3 ou 2. Donc si p est premier, le reste ne peut être que 1 ou 5.
La forme 6n – 1, congrue à 6n + 5 modulo 6, permet de ne traiter à part que la
divisibilité éventuelle de p par 2 ou par 3, et non par 5.
Remarque :
Cette propriété est seulement nécessaire.
33
Pour un suivi en arithmétique
C. Raisonnement par récurrence
Premier exemple :
Démontrer que A(n) = 4n³ - n est multiple de 3 quel que soit l’entier naturel n.
Éléments de solution :
A(0) = 0 et A(1) = 3.
L’hypothèse de récurrence est: « A(n) est multiple de 3 ».
Avec A(n + 1) = 4 (n + 1)³ – (n + 1) = A(n) + 3 (2n + 1)², A(n + 1) est aussi
multiple de 3.
Complément :
Une autre démonstration est possible par disjonction des cas:
en remarquant que A(n) = n (2n - 1) (2n + 1), suivant que n = 3k, n = 3k – 1 ou
n = 3k + 1, n, 2n + 1 ou 2n – 1 est multiple de 3.
Deuxième exemple :
Démontrer que B(n) = 52 n − 1 est multiple de 24 quel que soit l’entier naturel n.
Éléments de solution :
B(0) = 0 et B(1) = 24.
L’hypothèse de récurrence est : « B(n) est multiple de 24 », qui se traduit par
« il existe k entier tel que B(n) = 24k , c’est-à-dire 52n = 1 + 24k ».
B(n + 1) = (1 + 24 k) × 5² - 1 = 24 ( 25 k + 1) est aussi multiple de 24 .
Complément :
L’écriture décimale de B(n) se termine par 24 quel que soit n non nul.
En effet l’écriture décimale de C(n) = 52n se termine toujours par 25 .
Nous pouvons ici encore le démontrer par récurrence :
C(1) = 25.
L’hypothèse de récurrence est : « l’écriture décimale de C(n) se termine par
25 », c’est-à-dire « il existe un entier naturel k tel que C(n) = 100 k + 25 ».
C(n + 1) = C(n) × 5² = (25k + 6) × 100 + 25, qui est effectivement un nombre
dont l’écriture décimale se termine par 25 .
Troisième exemple :
Quel que soit l’entier naturel n, D(n) = 5 2n+3 – 3n+4 est divisible par 11 .
Irem de Toulouse
34
Les raisonnements en arithmétique
Éléments de solution :
D(0) = 44, qui est divisible par 11 .
L’hypothèse de récurrence est: « D(n) est divisible par 11 ».
Alors il existe un entier k tel que 52n+3 = 3n+ 4 + 11k , d’où, après calculs,
52(n+1)+3 − 3(n+1)+ 4 = 3n+ 4 × 22 + 11k × 25 qui est bien multiple de 11.
Quatre autres exercices classiques :
1) La somme des cubes des n premiers nombres entiers est
S(n) = [ ½ n ( n + 1)] ²
Éléments de solution :
S(n+1) = S(n) + (n + 1) ³ = ¼ (n + 1)² (n² + 4n + 4) = ¼ (n + 1)² (n + 2)²
2) Pour tout entier naturel n, 2 n > n.
3) Pour tout entier naturel n, n³ + 2n est divisible par 3.
4) Pour tout entier naturel n,
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1× 3 3 ×5
( 2n − 1)( 2n + 1) 2n + 1
D. Raisonnement par l’absurde
On veut prouver que la proposition C est vraie sous certaines hypothèses.
Si la négation de C entraîne une contradiction avec les hypothèses, alors
cette négation n’est pas possible. C est donc vraie.
Ce raisonnement est basé sur le « principe du tiers exclu ».
Premier exemple :
Trois entiers naturels a, b et c sont tels que a² + b² = c².
Prouver que a et b ne sont pas tous les deux impairs.
Éléments de solution :
Supposons que a et b sont impairs, c’est-à-dire qu’il existe deux entiers m et p
tels a = 2m + 1 et b = 2p + 1.
Alors c² = 4 (m² + p² + m + p) + 2 [1]; donc c² est pair.
Par suite c est pair (voir paragraphe E, deuxième exemple), donc c² est multiple
de 4, ce qui est contradictoire avec [1].
Ainsi, a ou b est pair
35
Pour un suivi en arithmétique
Note : Si a et b sont pairs, alors c est pair; en divisant a, b et c par 2 autant de
fois qu’il est nécessaire, on peut se ramener au cas a’² + b’² = c’² avec un seul
des deux nombres a’ ou b’ pair.
Deuxième exemple :
Lorsque a ≠ b ;
a b
–
b a
n’est pas un entier.
Éléments de solution :
Sans perte de généralité, on peut supposer a et b premiers entre eux (sinon, les
deux fractions se simplifient identiquement, et l’on s’y ramène donc).
a b
a b a² − b²
. Si − est un entier, alors a divise a² – b². Comme a divise
− =
b a
ab
b a
a², il divise b². a et b étant premiers entre eux, c’est impossible.
Troisième exemple :
Deux nombres entiers y et z sont premiers entre eux et leur produit est le carré
d’un nombre x. Alors y et z sont eux-mêmes des carrés parfaits.
Éléments de solution :
Propriété utilisée : dans la décomposition en facteurs premiers d’un carré, tous
les exposants des facteurs sont pairs.
Deux autres exercices classiques :
1)
2 est un nombre irrationnel.
2) L’ensemble des nombres premiers est infini.
Éléments de solution :
1) Il n’est pas possible que
eux (exemple historique).
2 soit le quotient de deux entiers premiers entre
2) Avec n obtenu en ajoutant 1 au produit des nombres premiers jusqu’à p :
n = 2 х 3 х 5 х … х p + 1, il n’est pas possible qu’un diviseur premier de n (qui
existe nécessairement) soit inférieur ou égal à p.
Irem de Toulouse
36
Les raisonnements en arithmétique
E. Raisonnement par contraposition
Lorsqu’il s’agit de démontrer une implication, on suppose le contraire de la
conclusion et on prouve que la conclusion est la négation de l’hypothèse. C’est
un raisonnement par l’absurde particulier.
est équivalent à
A implique B
non B implique non A
Premier exemple :
Si a + b est premier, alors a et b sont premiers entre eux.
Éléments de solution :
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors ils admettent au moins un
diviseur commun d distinct de 1. d diviserait a + b.
Deuxième exemple :
Si a² est pair, alors a est pair.
Note : c’est la base de la preuve de l’irrationalité de 2 .
Éléments de solution :
Si a est impair, alors a² est impair : (2n +1)² = 2 (2n² + 2n ) + 1 est impair.
Troisième exemple : Une préparation au théorème de Bézout.
Si deux nombres entiers a et b ne sont pas premiers entre eux, alors il n’existe
pas deux entiers x et y tels que a x + b y = 1.
Éléments de solution :
S’il existe deux entiers x et y tels que a x + b y = 1, alors le PGCD d, de a et b
divise 1. On a alors d = 1, et a et b sont premiers entre eux.
F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches
complémentaires
La négation de « ∀ n, P(n) » est « ∃ n / non P(n) ».
Si l’on veut prouver qu’une propriété quantifiée ( ∀ n P(n) ) est fausse ce
serait une erreur de vouloir prouver qu’elle est fausse quel que soit n. Il suffit de
trouver un contre-exemple, c’est-à-dire une valeur de n pour laquelle P(n) est
fausse.
Il peut être intéressant de chercher pour quelles valeurs de n cette propriété
est vraie; c’est un autre problème.
37
Pour un suivi en arithmétique
Premier exemple :
Un nombre entier n est à la fois multiple de 4 et de 6. Est-il multiple de 24 ?
Éléments de solution :
Il suffit de prendre le contre-exemple n = 36.
Un seul contre-exemple suffit !
Un habillage possible : « Dans une présentation collective sur un stade, tous les
participants font d’abord un exercice quatre par quatre et aucun n’est exclu.
Ensuite, tous les participants font un exercice six par six et aucun n’est exclu.
Les participants peuvent-ils faire un nouvel exercice 24 par 24 sans qu’aucun
ne soit exclu ? »
Note : En général, le problème est posé avec deux nombres premiers entre
eux ; par exemple 3 et 4. n est de la forme 3m; le théorème de Gauss permet
de dire que m est de la forme 4p; donc n est de la forme 12p.
Deuxième exemple :
a) Prouver que si a et b sont deux impairs consécutifs, alors leur somme a + b
est divisible par 4.
b) La réciproque est-elle vraie?
Éléments de solution :
a) Le successeur impair de 2n + 1 est 2n + 3. 2n + 1 + 2n + 3 = 4(n + 1).
b) Contre-exemple : 1 + 7 est multiple de 4, et pourtant 1 et 7 ne sont pas deux
impairs consécutifs.
Complément :
1 + 5 n’est pas non plus multiple de 4. Plus généralement, la somme de deux
impairs, que l’on note [2n + 1] + [2 (n + p) + 1] est multiple de 4 si et seulement
si 4n + 2(p + 1) est multiple de 4, c’est-à-dire si p est impair.
Troisième exemple :
a) Démontrer que si p est un nombre premier supérieur à 5, p² – 1 est multiple
de 24.
b) Réciproquement, si p² – 1 est multiple de 24, p est-il premier ?
Éléments de solution :
a) p² – 1 = (p – 1) (p + 1). Parmi les trois entiers p – 1, p et p + 1, un (et un
seul) est multiple de 3 (par disjonction des cas, écrire successivement p = 3k,
Irem de Toulouse
38
Les raisonnements en arithmétique
p = 3k + 1, p = 3k + 2) ; p étant un nombre premier supérieur à 5, il n’est pas
multiple de 3, donc 3 divise soit p – 1, soit p + 1, il divise donc p² – 1.
p étant un nombre premier supérieur à 5, il est impair ; notons le p = 2n + 1, où
n est un entier naturel. p² – 1 = 4n (n + 1) ; donc comme soit n, soit n + 1, est
pair, p² – 1 est multiple de 8 .
Ainsi pour p ≥ 5 et p premier, p² - 1 est multiple de 3 × 8 = 24.
b) La réciproque est fausse ; contre-exemple : si p = 25, alors 25² - 1 = 24×26.
Quatrième exemple :
n est un entier. Les nombres 2n + 3 et 3n – 1 sont-ils premiers entre eux ?
(On peut aussi poser la question en termes de fraction irréductible).
Éléments de solution:
La recherche d’un contre-exemple n’est pas immédiate.
L’idée clé consiste à travailler sur une combinaison linéaire de 2n + 3 et 3n – 1.
Si d divise 2n + 3 et 3n – 1, alors il divise 3(2n + 3) – 2(3n – 1) qui vaut 11;
on peut donc essayer d = 11.
Effectivement avec 2n + 3 = 11, n = 4, et 3n – 1 = 11.
On a donc un contre-exemple.
Complément :
On peut déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles les nombres 2n + 3
et 3n – 1 ne sont pas premiers entre eux.
L’analyse ci-dessus n’est pas terminée !
11k − 3
11(3k − 1)
est
En effet si, par exemple, 2n + 3 = 11k, n =
et 3n – 1 =
2
2
multiple de 11 (qui est premier) si et seulement si 3k – 1 est pair, c’est-à-dire si
k est impair (à développer).
11k − 3
Conclusion : n =
avec k impair. Si k = 1, on retrouve n = 4.
2
39
Des algorithmes en arithmétique
PARTIE 3 - DES
ALGORITHMES EN
ARITHMETIQUE
Par algorithme, nous entendons "une suite finie de règles à appliquer, dans
un ordre déterminé, à un nombre fini de données, pour arriver en un nombre fini
d’étapes, à un certain résultat, et cela indépendamment des données." 11
Nous sommes loin de la définition restrictive: "Tout procédé systématique de
calcul" (Grand Larousse Encyclopédique), définition que l’on rencontre même
dans plusieurs dictionnaires scientifiques.
Cette restriction s’explique historiquement par la nature des premiers travaux
des arithméticiens grecs puis arabes, essentiellement centrés sur des
problèmes de calcul.
On peut en particulier citer l’œuvre d’Al Khowarismi (IXº siècle), dont le nom
est à l’origine du mot algorithme. Son idée fondamentale est le remplacement
de dix unités d’un ordre par une unité de l’ordre immédiatement supérieur, ce
qui est un prémice du système décimal.
On peut également citer les textes chinois des "neuf chapitres sur les
procédures mathématiques", vieux de deux mille ans. Les bureaucrates chinois
utilisaient déjà des boucles itératives.
Les pratiques à caractère algorithmique ne sont donc pas nées avec
l’apparition de l’informatique.
Aujourd’hui encore, l’utilisation de bouliers ou le comptage sur les doigts que
l’on enseignait en Europe de la Renaissance sont autant de démarches qui
nécessitent implicitement un algorithme de fonctionnement.
De nombreux exercices seraient abordés de façon plus performante si dès la
lecture de l’énoncé « une suite finie de règles à appliquer, dans un ordre
déterminé, à un nombre fini de données » se mettaient en place dans l’esprit
des élèves, « pour arriver en un nombre fini d’étapes [au] résultat » ; c’est-àdire si l’algorithme spécifique de la résolution du problème leur apparaissait
clairement.
La conception d’un algorithme oblige à mieux approfondir une démarche.
Elle apprend aux élèves à structurer leur pensée, en particulier si l’on opère sur
un support : tableau, arbre, graphique ….
La syntaxe algorithmique leur permet également de mieux utiliser des
expressions telles que « si… alors, sinon », « tant que »…
L’approfondissement dépend de la nature de l’exercice. Dans l’enseignement
secondaire, la démarche algorithmique ne nécessite pas toujours un "raffinage"
11
J.Hebenstreit - Encyclopædia Universalis-vol 8 p 1013
41
Pour un suivi en arithmétique
informatisable. Toutefois, lorsque le problème s’y prête, le développement d’un
algorithme incite à un approfondissement des données et des objectifs, des
points de réflexion et des conclusions, des procédures et des
enchaînements (inférence, boucles…).
Lorsque l’on fait fonctionner un algorithme, le succès est une réelle
motivation. Bien entendu, lorsqu’elle est possible, la réalisation informatique est
l’aboutissement de la démarche algorithmique.
Dans l’enseignement secondaire, la calculatrice programmable permet de
mettre en valeur l’efficacité d’algorithmes courts.
Dans cette partie, nous proposons des exercices d’arithmétique qui
consistent en la mise en forme d’algorithmes simples, pouvant aller jusqu’à une
programmation sur la calculatrice.
1. RANGER N NOMBRES DANS L’ORDRE CROISSANT
Ce problème de tri a de nombreuses solutions, toutes basées sur la
comparaison de deux réels.
Nous approfondirons dans le paragraphe suivant les activités de
comparaison de deux nombres.
Propriété utilisée :
« a > b équivaut à (a – b) est un nombre strictement positif ».
Cette propriété permet, en calculant leur différence, de comparer deux réels,
avec une calculatrice par exemple, à l’aide de valeurs approchées, dans le cas
où la comparaison directe est impossible ou longue.
On peut imaginer que les n nombres sont écrits sur des étiquettes que l’on
dispose en lignes. On peut matérialiser cet alignement par un tableau :
Nombre
2,3
0,9
4/3
π
Rang
1
2
3
4
5
5
3/7
6
Appelons C(a) la case de rang a .
L’algorithme choisi est :
mettre le plus petit des nombres dans la case C(1)
puis le plus petit de ceux qui restent dans la case C(2)
ceci jusqu’à l’avant dernier.
On peut noter que le plus grand est nécessairement dans la case la plus à
droite.
Irem de Toulouse
42
Des algorithmes en arithmétique
Une manipulation avec des étiquettes, une pour chaque nombre, se fait
rapidement à condition, comme nous l’avons dit au début, que l’on sache
comparer les nombres deux par deux.
Un algorithme plus raffiné peut s’écrire :
pour i = 1 jusqu’à n – 1 faire
pour j = i + 1 jusqu’à n faire
si C(i) > C(j) alors échanger C(i) et C(j)
2. COMPARER DES NOMBRES
A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale
Exemple :
Soient à comparer deux à deux les trois entiers naturels A = 523 710 084,
B = 85 324 139, et C = 526 190 077.
B a moins de chiffres que A et que C, donc B < A et B < C ;
A et C ont le même nombre de chiffres.
Comme 6 > 3, A est le plus petit des deux nombres A et C.
Conclusion : B < A < C.
(On rencontre des débutants qui comparent les chiffres des unités!)
Vers une démarche algorithmique :
On peut demander à une classe de Collège de rédiger entièrement la méthode
de comparaison d’un point de vue algorithmique.
On est alors conduit à une formulation comparable à celle-ci :
Soient n et n’ les nombres de chiffres de chacun des deux entiers N et N’.
L’ordre d’un chiffre est son rang compté à partir de la droite : par exemple, le
chiffre des dizaines est d’ordre 2, celui des millions est d’ordre 7 ….
En particulier, lorsque n = n’, le parcours des chiffres de même ordre se fait
vers la droite, à partir des chiffres d’ordre supérieur.
Un support comme le tableau ci-dessous permet de visualiser la comparaison :
43
Pour un suivi en arithmétique
nombre A
nombre C
Ordre
5
5
9
2
2
8
7
1
6
3
6
7
1
9
5
0
0
4
0
0
3
8
7
2
4
7
1
Un algorithme :
si n > n’, alors N > N’
si n < n’, alors N < N’
si n = n’, alors
mettre n dans r
tant que les deux chiffres d’ordre r sont égaux et r ≠ 0
faire
mettre r – 1 dans r
si r = 0 alors N = N’
sinon N et N’ sont rangés dans le même ordre que
les chiffres d’ordre r
Nous avons déjà signalé que la formulation de l’algorithme n’est pas
indispensable ; l’utilisation d’un tableau comme celui utilisé ci-dessus, où l’on
met en correspondance les chiffres de même ordre, est une méthode à
caractère algorithmique.
La démarche peut paraître compliquée, mais lorsque les nombres sont trop
grands et que l’on ne peut pas les entrer dans la calculatrice sans
approximation, l’étude du signe de la différence peut ne pas être efficace, à
moins de découper chacun d’eux en sections moins longues, mais ce n’est pas
notre sujet.
Compléments :
• La démarche est de même nature pour deux décimaux :
Commencer par mettre les virgules en correspondance dans un tableau;
comparer les parties entières comme ci-dessus, et, si elles sont égales,
continuer vers la droite à partir des virgules …
• La pratique d’un tableau est plus générale encore.
Ainsi pour convertir les mesures d’aires en mesures agraires, ou inversement.
Exemple : pour convertir 3,20527 hm²
hm²
dam²
m²
ha
3
a
ca
2
2
0
5
On obtient 3 ha 20 a 52,7 ca.
Irem de Toulouse
44
7
Des algorithmes en arithmétique
B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire
Une visualisation géométrique peut aider à
mémoriser la démarche.
Dans un repère du plan d’origine O, à chaque
a
nombre d’écriture fractionnaire
, on peut
b
associer le point M de coordonnées (b; a), et
la droite Da ,b d’équation y =
a
b
x.
a c
=
ou que les droites Da,b et Dc,d sont
b d
confondues, c’est-à-dire, sur le graphique ci-dessus, que les points O, M(b ; a),
et N(d ; c) sont alignés.
Il est équivalent de dire que
c
c'
et
ont le même dénominateur, alors les points associés
d
d
N(d ; c) et N’(d ; c’) ont la même abscisse.
c
c'
<
ou que le point N et sous le point N’, ou
Il est équivalent de dire que
d
d
encore que la droite Dc,d est au-dessous de la droite Dc ',d .
Si deux quotients
Le graphique ci-dessus permet de visualiser la démarche algorithmique de
comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire.
si les dénominateurs sont égaux,
alors les nombres sont dans le même ordre que leurs numérateurs
c'
c
a
a
sinon, pour comparer
et
, on remplace
par le rapport égal
;
d
d
b
b
c'
a
et
sont dans le même ordre que c et c’.
d
b
Compléments : Un prolongement vectoriel :
On peut aussi établir graphiquement un lien entre la colinéarité des
JJJJG
JJJG
a c
=
(ad - bc = 0).
vecteurs OM et ON et l’égalité
b d
45
Pour un suivi en arithmétique
3. TESTER SI UN NOMBRE EST PREMIER
Vers une démarche algorithmique :
Nous cherchons si le nombre a admet au moins un diviseur d (différent
de 1), et nous nous arrêtons là, sinon, nous affichons qu’il est premier.
Propriété utilisée :
« Si p est un nombre premier supérieur à 3, il est de la forme 6n - 1 ou 6n + 1. »
(Cette propriété a été développée dans la partie 2.)
Un tableau peut faciliter les explications et la compréhension pour le cas
général (au-delà de 3) :
Diviseurs
éventuels
6n - 1
6n
6n +1
6n +2
6n +3
6n +4
n=1
5
6
7
8
9
10
n=2
11
12
13
14
15
16
n=3
17
18
19
20
21
22
n=4
23
24
25
26
27
28
n=5
29
30
31
32
33
34
n=6
35
…
D’une part l’apparition de nombres premiers uniquement dans les colonnes
« 6n – 1 » et « 6n + 1 », et l’existence de nombres non premiers dans ces
colonnes peuvent être constatées.
D’autre part, pour les autres colonnes, après avoir constaté que les nombres
ne sont pas premiers, on peut être incité à généraliser le résultat pour justifier la
restriction du balayage aux deux cas précédents.
Notons que si un entier d de la forme 6n – 1 ou 6n + 1 est diviseur de a, et
s’il n’est pas premier, il ne peut pas apparaître comme diviseur dans notre
recherche: c’est un diviseur de d qui sera le révélateur.
Un critère d’arrêt :
Comme dans le crible d’Ératosthène, dans la recherche de diviseurs successifs
d éventuels de a, on peut arrêter la recherche lorsque d 2 > a.
Irem de Toulouse
46
Des algorithmes en arithmétique
Les paramètres :
p : vaut 1 si a est premier et 0 si a n’est pas premier.
n : le rang de paramétrage.
b = 6n - 1 et c = 6n + 1
nous initialiserons c à 1 pour rentrer dans le premier test c 2 ≤ a .
Un algorithme :
commentaires
p←1;n←1;c←1
entrer a
si a est divisible par 2 ou par 3
alors p ← 0 ; d ← diviseur
sinon tant que c 2 ≤ a et p = 1 faire
b ← 6n - 1 ; c ← 6n + 1
si a n’est divisible ni par b ni par c
alors n ← n + 1
sinon p ← 0
si p = 1
alors afficher : a est premier
sinon afficher : a n’est pas premier
si a est divisible par b alors d ← b
si a est divisible par c alors d ← c
afficher: un diviseur de a est d
Initialisations
2 ou 3 est diviseur
2 et 3 non diviseurs
essais pour les deux suivants
pas de diviseur
il existe un diviseur
sinon d = 2 ou d = 3
Exemples : 23456789 est premier ; 203456789 = 6947 × 29287
Pour une éventuelle programmation, on est amené à utiliser la fonction
partie entière.
Pour un élève de Seconde ou de Première, la programmation de cet
algorithme sur une calculatrice met à sa disposition un outil de recherche
pour des nombres de taille importante.
Évidemment, cela ne résout pas le problème pour des nombres trop
grands pour la capacité de la machine.
4. DES ALGORITHMES DU PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS ET
LEURS APPLICATIONS
A. Des algorithmes
Nous n’insisterons pas ici sur le calcul du PGCD après décompositions en
facteurs premiers qui apparaît en classe de Seconde; cette démarche n’est
évidemment pas à négliger, mais elle suppose que les nombres premiers de la
décomposition ne sont pas trop grands.
47
Pour un suivi en arithmétique
• Il est intéressant de remarquer la démarche élémentaire qui consiste à
chercher tous les diviseurs des deux nombres à l’aide de divisions
successives, et à prendre le plus grand des diviseurs communs. On la
trouve dans des manuels de la classe de Troisième.
Un algorithme très élémentaire pour la recherche des diviseurs d’un entier a
peut s’écrire :
entrer a
mettre 1 dans d
tant que le quotient de a par d est supérieur à 1 faire
diviser a par d
s’il existe un entier q tel que a = d х q
alors afficher d et mettre q dans a
mettre d + 1 dans d
• Une présentation géométrique de l’algorithme d’Euclide (que l’on trouve
dans certains manuels de la classe de Troisième), se fait à l’aide de
rectangles. L’activité se présente comme une recherche d’un carré d’aire
maximale qui permet de recouvrir le rectangle de départ. C’est ce que
certains appellent l’algorithme du paveur.
Par exemple, à propos de 18 et 5, on peut proposer une présentation comme
ce qui suit pour la recherche du PGCD :
Les divisions successives sont :
18 = 5 × 3 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2
;
3 = 2 × 1 + 1.
Les nombres écrits en gras correspondent au nombre de carrés extraits
du rectangle, les nombres soulignés correspondent aux mesures des
côtés du rectangle restant.
L’algorithme d’Euclide pour les entiers a et b peut s’écrire, en supposant a > b :
tant que le reste n’est pas nul
faire la division euclidienne de a par b
mettre b dans a
mettre le reste dans b
afficher le dernier reste non nul
Irem de Toulouse
48
Des algorithmes en arithmétique
Une démarche plus élémentaire
Cet algorithme peut être présenté différemment, en détaillant le retrait
de chaque carré élémentaire de la surface.
La seule règle utilisée ici est : « si un entier divise deux entiers, alors il
divise leur différence ».
C’est pourquoi certains auteurs parlent de l’algorithme de la
différence.
En appelant m et n les deux entiers :
tant que m ≠ n
si m > n alors mettre m – n dans m
sinon mettre n – m dans n
afficher m
Sur l’exemple précédent, on peut mettre en évidence le lien entre les
deux algorithmes.
m
18
13
8
3
3
1
1
n
5
5
5
5
2
2
1
a
b
18 = 5 × 3 + 3
18
5
5=3×1+2
3=2×1+1
2=1×2+0
5
3
2
1
3
2
1
0
Un exemple simple où les deux entiers ne sont pas premiers entre eux :
Pour 8 et 6, on a les divisions
suivantes :
8=6×1+2
6=2×3+0
Le dernier reste non nul est 2,
donc le PGCD de 8 et de 6 est 2.
Le carré final n’a pas pour côté 1 : 8 et 6 ne sont pas premiers entre eux.
49
Pour un suivi en arithmétique
B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide
1. La simplification des fractions
11413
, la recherche du PGCD du numérateur et du
14351
dénominateur est plus simple par l’algorithme d’Euclide.
101
.
On obtient 113 comme PGCD ; d’où A =
127
Pour simplifier
2. L’écriture d’un quotient d’entiers en fraction continue
Reprenons l’exemple avec 18 et 5.
Avec 18 = 5 × 3 + 3
; 5 = 3 × 1 + 2
et 3 = 2 × 1 + 1,on obtient
1
1
3
2
18
5
3
1
et
= 1 + ; finalement par substitutions :
= 3+ = 3+ ;
= 1+ = 1+
3
5
2
2
3
3
5
5
3
2
18
18
1
. Ce résultat est évidemment fini car
est un rationnel.
=3+
1
5
5
1+
1
1+
2
3. Le calcul de coefficients de Bézout
Toujours avec le même exemple, 18 et 5 étant premiers entre eux, il existe
au moins deux entiers x et y tels que 18x – 5y = 1.
18 = 5 × 3 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2 et 3 = 2 × 1 + 1.
En ″remontant″ les trois écritures de la droite vers la gauche :
Avec 2 = 5 – 3 × 1 ; 3 = (5 – 3 × 1) х 1 + 1, d’où 3 × 2 – 5 × 1 = 1 .
Avec 3 = 18 – 5 × 3, on a (18 - 5 × 3) × 2 – 5 × 1 = 1, et finalement
18 × 2 – 5 × 7 = 1. Ainsi, x = 2 et y = 7.
On peut alors calculer les autres entiers qui conviennent.
La méthode est générale.
A partir de la forme a = b q + r dans laquelle nous appelons a le dividende et r
le reste, un algorithme simplifié peut s’écrire :
écrire les n équations de l’algorithme d’Euclide dans l’ordre d’apparition
pour i = n jusqu’à 2 faire
extraire le reste de l’équation de rang i – 1
reporter son expression dans l’équation de rang i
simplifier les coefficients des deux dividendes restant dans cette
équation
diminuer i de 1
Irem de Toulouse
50
Des problèmes pour améliorer la situation
PARTIE 4 - DES
PROBLEMES POUR
AMELIORER LA
SITUATION
Nous avons essayé, dans cette partie, de suivre une progression dans la
scolarité, sans pour autant perdre de vue les retombées ultérieures.
Les méthodes de raisonnement inventoriées dans la partie 2 apparaissent
progressivement.
1. CALCULS SIMPLES
Niveau : Collège – Seconde
A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques.
L’exercice proposé ci-dessous doit être résolu sans calculatrice.
Outre la pratique du calcul mental, cela permet de mettre en évidence la
nécessité de travaux préliminaires pour simplifier au maximum les calculs
(comme la réduction d’une fraction, ou la recherche du meilleur dénominateur
possible pour additionner des fractions).
Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles :
147 285 187
437
9 12 3
7 15 33
;
× ;
÷ 8;
÷ ;
;
;
;
;
15 18 4
21 9
6
42
228 221
391
35 11
21
2 1 5 1
− 2;
+ ;
− ;
− .
28
3 6 6 4 196 42
Rendre une fraction irréductible est l’occasion de manipuler les différentes
méthodes pour calculer le PGCD de deux entiers naturels: l’algorithme
d’Euclide et l’algorithme de différence dès la Troisième ; la décomposition en
facteurs premiers dès la Seconde.
51
Pour un suivi en arithmétique
Le PPCM ne figure actuellement que dans le programme de spécialité de
Terminale S. Il est indispensable de montrer plus tôt que le produit des
dénominateurs n’est que rarement la méthode la plus simple pour réduire des
fractions au même dénominateur. On facilite ainsi des calculs littéraux comme,
par exemple :
x2
4x
Étudier le signe de f(x) = 2
.
− 2
x −1 x + x
Dans les séries scientifiques, ce type d’exercice est courant.
B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple.
1) Les nombres suivants sont-ils pairs ou impairs : 112 ; 215 ; 15×12 ; 15 + 12 ?
2) Dire si les nombres suivants sont multiples de 3 : 271 ; 153 ; 5547.
Dire si les nombres suivants sont multiples de 6 : 312 ; 5547 ; 774.
3) Un multiple de 7 peut-il avoir n’importe quel chiffre des unités ?
2. PROBLEMES LIES A LA NUMERATION DECIMALE
Niveau : Collège.
Les exercices qui suivent peuvent être abordés dès la classe de Troisième,
après avoir éventuellement rappelé le codage qui suit :
A = 358 signifie que A = 3×10 2 + 5×10 + 8, ou encore A = 3×100 + 5×10 + 8.
Ces exercices nécessitent un raisonnement par analyse-synthèse.
Premier exercice :
Trouver un nombre A de deux chiffres sachant que la somme de ses chiffres
est 11 et qu’en échangeant ces deux chiffres le nombre diminue de 27.
Éléments de solution :
On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités.
Les systèmes suivants sont équivalents :
u + d = 11
⎧
⎧u + d = 11
; ⎨
;
⎨
⎩(10d + u) − (10u + d) = 27 ⎩ d − u = 3
Irem de Toulouse
⎧u = 4
;
⎨
⎩d = 7
52
A = 74. Ce nombre convient.
Des problèmes pour améliorer la situation
Deuxième exercice :
Un nombre A de deux chiffres est égal à 7 fois la somme de ses chiffres ;
calculer A.
Éléments de solution :
On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités.
10 d + u = 7 (d + u), c’est-à-dire 3 d = 6 u ou d = 2 u.
d est donc pair ; par une étude exhaustive , d ∈ { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } ; il y a donc
quatre solutions possibles pour A : 21 , 42 , 63 et 84 ; toutes ces valeurs
conviennent.
Troisième exercice :
Un nombre A de deux chiffres est égal à la somme de son chiffre des dizaines
et du carré de son chiffre des unités ; calculer A.
Éléments de solution :
On note d le chiffre des dizaines et u celui des unités.
La condition 10 d + u = d + u 2 est équivalente à 9 d = u (u – 1).
u ou (u – 1) est un nombre pair (voir 3-A de cette partie, page 54), donc d est
un nombre pair non nul.
Par une étude exhaustive, d vaut 2 , 4 , 6 ou 8
• il n’existe pas deux chiffres consécutifs u et u – 1 dont le produit est
9 × 2 = 18 ou 9 × 4 = 36 ou 9 × 6 = 54 ;
• par contre, il existe deux chiffres consécutifs dont le produit est 9 × 8 = 72.
Donc la seule solution possible est 89.
Cette solution convient (89 = 8 + 81).
Quatrième exercice :
Parmi les nombres de trois chiffres, trouver les multiples de 11 dont la somme
des chiffres est 13.
Éléments de solution :
On note c le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités.
On effectue un raisonnement par disjonction des cas.
Il y a deux cas pour un nombre de trois chiffres, multiple de 11 :
Premier cas : il n’y a pas retenue dans la multiplication par 11, c’est-à-dire
⎧ d= c +u
⎧ 2d = 13
ou ⎨
.
c + u < 10 ; u , d et c satisfont à : ⎨
⎩u + d + c = 13
⎩2u + 2c = 13
Ce système n’admet pas de solutions entières.
53
Pour un suivi en arithmétique
Second cas : il y a retenue, c’est-à-dire 10 ≤ c + u ≤ 18,
⎧u + c − 1 = 10 + d
⎧ d=1
ou ⎨
.
u , d et c satisfont à ⎨
⎩ u + d + c = 13
⎩u + c = 12
Par une étude exhaustive, on obtient sept solutions : 319 ; 418 ; 517 ; 616 ;
715 ; 814 et 913. Toutes ces solutions conviennent.
Complément : un autre mécanisme de la multiplication.
Cette pratique généralisée notamment dans les « Écoles d’Abaques » de la
Renaissance, fait appel à un algorithme aussi simple que celui que nous
utilisons de nos jours 12. Un exemple permet de comprendre ce procédé général
qui a le mérite de limiter le nombre de difficultés sur les retenues.
Les différentes étapes du calcul ci-dessous mettent en valeur les codages du
tableau :
Soit A = 36 × 29
A = (30 + 6) × (20 + 9)
= 600 + 120 + 270 + 54
= (6 + 1 + 2) × 100 + (2 + 7 + 5) × 10 + 4
= 9 × 100 + 14 × 10 + 4
= (9 + 1) × 100 + 4 × 10 + 4
= 1 × 1000 + 0 × 100 + 4 × 10 + 4 = 1044
résultat que l’on lit en bas et à droite.
1
10
100
9
2
6
1000
3
4
2
1
4
5
7
6
0
4
2
1
0
Les calculs pour chaque puissance de 10 se font suivant les
diagonales, avec d’éventuelles retenues uniquement dans les
sommations, en commençant par le chiffre des unités, en haut à droite.
La méthode s’applique pour toute multiplication de deux entiers.
3. PARITE
A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs.
Les problèmes de parité apparaissent souvent à l’occasion d’exercices
simples liés à la divisibilité par 2 ; en voici un exemple :
Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n, n (n+1) est divisible par 2.
Pour un débutant, la résolution n’est pas immédiate et il est possible de
repérer différentes démarches plus ou moins formalisées qui méritent
toutes d’être présentées.
12
Voir une reproduction d’une présentation historique sur la couverture de cette brochure.
Irem de Toulouse
54
Des problèmes pour améliorer la situation
ƒ Démarche 1 : En observant le successeur d’un entier naturel.
- Quand le chiffre des unités d’un entier naturel est 0 , 2 , 4 , 6 ou 8, celui du
successeur est respectivement 1 , 3 , 5 , 7 ou 9 .
- Quand le chiffre des unités d’un entier naturel est 1 , 3 , 5 , 7 ou 9, celui du
successeur est respectivement 2 , 4 , 6 , 8 ou 0.
L’observation suffit.
On peut même énoncer : « tout nombre pair est suivi d’un nombre impair et tout
nombre impair est suivi d’un nombre pair. »
Un des facteurs, n ou n + 1, est donc multiple de 2, quel que soit l’entier naturel
non nul n; il en est de même pour leur produit qui est donc divisible par 2.
ƒ Démarche 2 : Avec la division euclidienne.
Dans la division de n par 2, le reste est soit 0 soit 1.
- Si le reste est 0, n est divisible par 2, donc n ( n + 1) est divisible par 2.
- Si le reste est 1, 1 + 1 = 2, donc le reste de la division de n + 1 par 2 est 0, et
par suite n ( n + 1) est divisible par 2.
Nous abordons déjà une démarche dans l’esprit des congruences.
ƒ Démarche 3 : Avec les écritures 2 k et 2 k + 1.
Les réflexions de la démarche précédente sont ici menées simultanément. En
effet les écritures 2k (= 2k + 0) et 2k + 1 ne font que coder la division
euclidienne d’un entier naturel par 2. Cette formalisation peut être plus simple à
comprendre pour certains élèves.
En particulier, pour le cas n = 2k + 1, l’écriture n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2 ( k + 1)
évite tout commentaire supplémentaire.
Dans les deux cas, 2 peut être mis en facteur dans le produit n (n + 1).
Il peut être intéressant de proposer les trois démarches à différents
niveaux de la Troisième à la Terminale pour observer les réactions :
compréhension, comparaison des difficultés, liens entre les démarches,
intérêt de la formalisation...
D’autres exercices utilisant en particulier cette démarche :
- Le produit de trois entiers consécutifs non nuls est toujours multiple de 6.
- Pour tout entier naturel n, le produit n (n + 1) (n + 2) est divisible par 6.
ƒ Démarche 4 : Avec la forme développée n²+n et les règles sur la
parité.
n² et n sont de même parité; leur somme est donc paire.
55
Pour un suivi en arithmétique
Un tel raisonnement s’apprend par la pratique. Est-il nécessaire de donner une
preuve des propriétés employées ? En tout cas, elles ne sont pas évidentes
pour un débutant, même en classe de Terminale !
ƒ Démarche 5 : Avec les suites.
Cette démarche, dans un esprit très différent des précédentes, est abordable
dès la Première, en utilisant la somme S des entiers de 1 à n :
S = ½ n ( n + 1) est un entier, donc n ( n + 1) est multiple de 2.
Pour un bilan sur la parité le plus tôt possible :
Définitions (en liaison avec la division euclidienne par 2) :
- Un nombre pair est un entier multiple de 2; donc de la forme 2k
(avec k entier).
- Un nombre impair est un entier qui n’est pas pair; donc de la
forme 2 m + 1 (avec m entier)
Propriétés (justifiées par les écritures 2k et 2m+1) :
- Le successeur d’un entier pair est impair ; le successeur d’un
entier impair est pair.
- La somme de deux entiers de même parité est paire ; la somme
de deux entiers de parités différentes est impaire.
- Le produit de deux entiers est impair si et seulement si les deux
nombres sont impairs.
Conséquence : pour tout entier n, n et n² ont la même parité.
B. D’autres exercices à propos de la parité
1) n est un entier naturel.
a = 2n ; b = 5n ; c = 2n – 1 ; d = 4n + 1 ; e = 6n ; et f = 6n - 3.
Parmi les nombres a, b, c, d, e et f, dire quels sont ceux qui sont impairs pour
tout n, ceux qui sont pairs pour tout n.
2) A est un nombre pair. A² est-il multiple de 2 ? de 4 ? de 8 ?
3) A et B sont deux nombres impairs. N = A² + B². N est-il impair ou pair ?
4) Montrer que si a est impair ; alors a² – 1 est un multiple de 8.
Éléments de solution :
(2n + 1) ² – 1 = 4 (n² + n).
Irem de Toulouse
56
Des problèmes pour améliorer la situation
5) Existe-t-il des entiers naturels n tels que 4n – 3 soit un carré parfait ?
Éléments de solution :
En remarquant que 4n – 3 est impair, s’il y a des solutions, 4n – 3 est
nécessairement le carré d’un entier impair ; il existe donc un entier naturel k tel
que 4n – 3 = (2k + 1)² ; d’où n = k² + k + 1 .
La condition est suffisante.
Les premières valeurs de n sont 1 , 3 , 7 , 13 , 21 , 31 … correspondant
respectivement à 4n – 3 égal à 1 , 9 , 25 , 49 , 81 , 121 …
6) Jean dit : «Si je monte deux à deux les marches de mon escalier, il me reste
une marche à monter.»
Marc lui répond : «Eh bien moi, j’ai descendu ton escalier quatre à quatre
exactement.»
Est-ce possible ?
Éléments de solution :
D’après Jean, le nombre de marches est impair, d’après Marc il est multiple de
4, donc de 2. Il y a donc contradiction entre les deux affirmations.
4. DIVISION EUCLIDIENNE
Niveau : Troisième et lycée
Les exercices présentés permettent une première sensibilisation
aux congruences, cela dès la Troisième.
Premier exercice :
Si on divise un nombre n par 171, le reste est 2; si on le divise par 153, le
quotient entier augmente de 1, et le reste est 119. Calculer n.
Éléments de solution :
⎧n − 171q = 2
On est amené à résoudre le système ⎨
; n = 2567.
⎩n − 153(q + 1) = 119
Deuxième exercice :
Un entier naturel n n’est pas multiple de 3.
Quel est le reste de la division de a 2 par 3 ?
57
Pour un suivi en arithmétique
Éléments de solution :
Le reste de la division euclidienne de n par 3 est 1 ou 2.
n est donc de la forme 3k + 1 ou 3k + 2.
(3k + 1) 2 et (3k + 2) 2 sont de la forme 3q +1, le reste est donc 1.
Troisième exercice :
n est un entier naturel et N =½ n (n + 1). Calculer le reste de la division de N
par 3.
Remarque : le premier exercice sur la parité permet de justifier le fait que N est
un entier.
Éléments de solution :
On raisonne par disjonction des cas : n = 3k , n = 3 k + 1 ou n = 3k + 2.
Lorsque k est pair, on note k = 2k’ ; lorsque k est impair, on note k = 2k’ + 1.
Si n = 3k, N = 3k (3k + 1)/2.
- Si k est pair, alors N = 3 k’ (3k + 1). Le reste de la division de N par 3 est 0.
- Si k est impair, alors N = 3k (3k’ + 2). Le reste est 0.
Si n = 3k + 1, N = (3k + 1) (3k + 2)/2.
- Si k est pair, alors N = (3k + 1) (3k’ + 1) = 3 (3kk’ + k + k’) + 1. Le reste vaut 1.
- Si k est impair, alors N = (3k’ + 2) (3k + 2) = 3 (3kk’ + 2k + 2k’ + 1) + 1.
Le reste vaut 1.
Si k = 3k + 2, N = (3k + 2) (3k + 3)/2 = 3 (3k + 2) (k + 1)/2.
- Si k est pair, alors N = 3 (k’ + 1) (k + 1). Le reste est nul.
- Si k est impair, alors N = 3 (3k + 2)(k’ + 1). Le reste est nul.
5. DIVISIBILITE - APPROCHE DU THEOREME DE GAUSS.
Niveau: Lycée
Premier exercice :
a) L’entier naturel n est divisible par 15 et par 16. Est-il divisible par 15 × 16 ?
b) L’entier naturel n est divisible par 42 et par 30. Est-il divisible par 42 × 30 ?
Éléments de solution :
a) On applique successivement la propriété suivante aux deux hypothèses :
« si b divise n, alors il existe q tel que n = b q. »
15 et 16 étant premiers entre eux, la réponse est oui.
Irem de Toulouse
58
Des problèmes pour améliorer la situation
b) 42 et 30 n’étant pas premiers entre eux, la réponse est non. Il s’agit de
trouver un contre-exemple. Pour cela on décompose en produits de facteurs
premiers 42 et 30. Leur PPCM est 210, qui fournit un contre-exemple.
420 et 630, multiples de 210, sont d’autres contre-exemples.
Deuxième exercice :
Calculer l’entier naturel n sachant que n – 1 divise n + 5.
Éléments de solution :
Analyse : Si n – 1 divise n + 5, alors il divise (n + 5) – (n – 1), c'est-à-dire 6.
En effet, en écrivant n + 5 = k (n – 1), avec k entier différent de 1, on a :
(n + 5) – (n – 1) = (k – 1) (n – 1).
Les diviseurs de 6 sont 1 , 2 , 3 et 6.
Cela conduit à quatre valeurs possibles pour n: 2 , 3 , 4 et 7.
Synthèse : Ces quatre solutions conviennent
Troisième exercice :
Calculer l’entier naturel n sachant que n – 5 divise 3n + 21
Éléments de solution :
Analyse : Si n – 5 divise 3n + 21, alors il divise 3n + 21 – 3(n – 5), c’est-à-dire
36. (La démonstration est analogue à celle de l’exercice précédent.)
Les diviseurs de 36 sont 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 et 36.
Il y a neuf valeurs possibles pour n : 6 , 7 , 8 , 9 , 11 , 14 , 17 , 23 et 41.
Synthèse : ces neuf solutions conviennent.
Quatrième exercice :
On range un lot de n timbres de trois façons :
a) par 5, il en reste 3;
b) par 4, il en reste 1;
c) par 3, il en reste 2;
1) A l’aide des hypothèses a) et b), déterminer le chiffre des unités de n.
2) Calculer n, en considérant d’abord le cas où n est inférieur à 100.
Éléments de solution :
1) n – 3 divise 5, son chiffre des unités est donc 0 ou 5. Le chiffre des unités de
n est donc 3 ou 8. n – 1 est pair, n est donc impair. Son chiffre des unités est 3.
2) L’hypothèse c) s’écrit : n – 2 = 3k ( k entier).
Le chiffre des unités de n – 2 est 1, donc celui de k est 7.
59
Pour un suivi en arithmétique
Lorsque n est inférieur à 100, une démarche exhaustive (suivant les valeurs
de k) donne la solution n = 53.
Lorsque n est supérieur à 100 : si n et n’ sont deux solutions, n’ – n est à la fois
multiple de 5, de 4, et de 3, donc de 5 × 4 × 3 = 60 (car 5 , 4 et 3 sont premiers
entre eux) , donc les solutions sont de la forme 53 + 60k ( k entier naturel), et
ces solutions conviennent toutes.
6. APPRENDRE A RECONNAITRE UNE SITUATION ARITHMETIQUE
Niveau : Troisième et lycée
Premier exercice : Les bouquets de la fleuriste.
Une fleuriste a reçu 385 roses blanches et 462 roses rouges. Elle désire
réaliser des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
1) Dans ces conditions, est-il possible que la fleuriste réalise 55 bouquets ?
42 bouquets?
2) Soit n le nombre de bouquets. Traduire les hypothèses à l’aide de n.
3) a) Calculer tous les diviseurs communs à 385 et à 462.
b) En admettant qu’aucune fleur n’est abîmée, donner toutes les situations
dans lesquelles les bouquets sont identiques.
4) Quel est le nombre maximal de bouquets identiques et la composition de
chacun de ces bouquets?
Remarque : Cet exercice est à rapprocher du problème de timbres
étudié dans la partie 1.
Éléments de solution :
1) 55 n’est pas un diviseur de 462 ; 42 n’est pas un diviseur de 385.
2) n est un diviseur de 385 et de 462.
3) a) En Troisième, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer le PGCD des
deux nombres. Les diviseurs du PGCD sont les diviseurs communs des deux
nombres.
En Seconde, la décomposition en facteurs premiers donne le résultat.
Les diviseurs communs à 385 et 462 sont : 1 , 7 , 11 , et 77.
b)
nombre de bouquets nombre de roses blanches nombre de roses rouges
1
385
462
7
55
66
11
35
42
77
5
6
4) Le PGCD 77 donne la réponse finale.
Irem de Toulouse
60
Des problèmes pour améliorer la situation
Deuxième exercice : Les trois filles
Dans une famille il y a 3 filles. La somme de leurs âges est 13 et le produit 36.
1) Étudier la parité des âges.
2) Quels sont les âges ?
Éléments de solution :
1) En utilisant la somme (impaire), et le produit (pair), on montre, par
disjonction des cas, qu’un âge et un seul est impair.
2) On peut, au choix, commencer par utiliser la somme ou le produit.
Un raisonnement exhaustif, « allégé » par la première question conduit au
résultat : les âges possibles sont (1 ; 6 ; 6) ou ( 2 ; 2 ; 9)
Troisième exercice : Triangles rectangles
Dans un triangle rectangle, les nombres entiers a et b sont les mesures des
deux côtés de l’angle droit.
1) Premier cas : l’hypoténuse mesure c (c entier).
a) Démontrer que a et b ne peuvent être impairs ensemble.
b) Expliquer pourquoi si a est impair, alors c est aussi impair.
2) Deuxième cas : l’hypoténuse mesure c 2 (c entier).
a) Démontrer que a et b sont pairs ensemble ou impairs ensemble.
b) Démontrer que c a la même parité que a et b .
c) Justifier l’égalité : n² + (n + 2k)² = 2 [ (n + k)² + k² ], avec n et k entiers.
En utilisant l’égalité 3² + 4² = 5² , trouver un exemple numérique pour chaque
cas lorsque a et b sont pairs, puis lorsque a et b sont impairs.
Faire de même avec l’égalité 5² + 12² = 13².
Éléments de solution :
1) On a : a² + b² = c².
a) voir partie 2 - 2.D premier exemple, page 35.
b) Si a est impair, b est pair. On raisonne par l’absurde : si c était pair, a serait
pair.
2) On a : a² + b² = 2c².
a) Par l’absurde : si a et b n’avaient pas même parité, 2 c² serait impair
b) On utilise la propriété suivante (vue dans le paragraphe 3 sur la parité) :
« c et c² ont la même parité. » On raisonne par disjonction des deux cas
possibles : soit a et b sont pairs, soit ils sont impairs.
c) Partir de (n + a)² + a² = 5², on trouve a = 3 et n = 1.
Avec
3² + 4² = 5²
5² + 12² = 13²
on obtient
1² + 7² = 2 × 5²
7² + 17² = 2 × 13²
puis 2² + 14² = 2 × 10²
puis 14² + 34² = 2 × 26²
61
Pour un suivi en arithmétique
Note : pour prolonger cet exercice, voir le paragraphe 7 (triplets pythagoriciens)
Quatrième exercice : Un achat en euro.
Pour un achat de 27 euro, je donne des billets de 5 euro et le caissier ne me
rend que les pièces de 2 euro. On appelle x le nombre de billets de 5 euro et y
celui de pièces de 2 euro.
1) Vérifier que x = 27 et y = 54 est une solution possible.
Nous allons découvrir que ce n’est pas la plus simple.
2) Justifier que x et y doivent vérifier l’équation 5x – 2y = 27 (1).
En retranchant membres à membres (1) et l’égalité obtenue en remplaçant
dans (1) x par 27 et y par 54, justifier que 5 (x – 27) = 2 (y - 54) (2).
3) Déduire de (2) qu’il existe au moins un entier k (positif ou négatif) tel que :
⎧ x = 27 + 2k
.
⎨
⎩ y = 54 + 5k
4) Démontrer que k est supérieur ou égal à -10; en déduire les valeurs
minimales de x et de y.
Remarque : cet exercice est une initiation aux démarches de résolution
d’équations diophantiennes du type ax – by = c.
(Ces équations sont au programme de TS/spécialité.)
Nous ne jugeons pas utile d’aborder la méthode familière aux TS qui consiste à
découvrir successivement que 5 × 1 = 2 × 2 + 1 (à l’aide d’une division
euclidienne), puis que 5 × 27 – 2 × 54 = 27.
Éléments de solution :
3) 5 étant impair, x – 27 est multiple de 2. On n’est pas obligé dans ce cas de
citer le théorème de Gauss avant la Terminale S (c’est une initiation).
De même, y – 54 est multiple de 5.
4) On cherche un couple d’entiers naturels; il faut donc que les solutions soient
positives et entières; d’où la minoration de k ( k ≥ -10) en résolvant dans ] le
système 27 + 2k ≥ 0
et
54 + 5k ≥ 0. x et y sont deux fonctions affines
croissantes de k ; les valeurs minimales sont x = 7 et y = 4.
7. TRIPLETS PYTHAGORICIENS
Trouver tous les triplets d’entiers naturels a, b et c tels que a² + b² = c²
1) a et b ne peuvent pas être impairs tous les deux.
Par un raisonnement par l’absurde (partie 2 - 2.D premier exemple, page 35).
Supposons pour la suite de la recherche que a est pair.
Irem de Toulouse
62
Des problèmes pour améliorer la situation
2) On peut se ramener au cas où b et c sont premiers entre eux.
Soit d le PGCD de b et c. Avec b = k d et c = k’ d, on peut écrire
a² = c² - b² = (k’² - k²) d² .
Ainsi d² divise a², donc d divise a. (Pour le prouver, on utilise la décomposition
d’un entier en facteurs premiers.)
Il est donc possible de diviser a, b et c par le nombre d .
Avant de poursuivre la recherche …
Nous continuons à appeler a, b et c les trois nombres; à présent a est
pair, et b et c sont premiers entre eux. De plus, b et c sont impairs.
En effet, si b ou c était pair, a étant pair, le troisième entier serait
également pair ; b et c ne seraient alors plus premiers entre eux.
3) Les formules.
A partir de l’égalité a2 = c 2 − b2 , on peut écrire :
a2
c −b c +b
=
х
.
4
2
2
c −b
c +b
et
sont entiers.
2
2
c −b
c +b
D’autre part, b et c étant premiers entre eux,
et
sont aussi
2
2
premiers entre eux (raisonnement par l’absurde).
Leur produit est un carré, donc chacun de ces deux nombres est un carré
(voir partie 2 – 2.D troisième exemple, page 36).
c −b
c +b
= α² et
= β²
Ainsi, il existe deux entiers α et β tels que α < β,
2
2
D’où a = 2 αβ, b = β² – α² et c = β² + α² .
D’une part, c et b étant impairs,
4) Réciproquement, on vérifie immédiatement que
(2 αβ ; β² – α² ; β² + α²) est un triplet pythagoricien.
Enfin, pour obtenir toutes les autres solutions, il suffit de multiplier
chacune des solutions précédentes par un entier k quelconque.
8. À PROPOS DE L’EQUATION DIOPHANTIENNE AX + BY = C
Niveau : Terminale S/ Spécialité
Premier exercice : Un problème de Bézout 13
On demande en combien de manières on peut payer 542 livres, en donnant des
pièces de 17 livres et en recevant en échange des pièces de 11 livres.
13
Cours de Mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon de la Marine.
d’algorithmes – Belin.
63
Histoire
Pour un suivi en arithmétique
Éléments de solution :
En notant x et y respectivement le nombre de pièces de 17 livres et de 11
livres, x et y sont solutions de l’équation : 17 x – 11 y = 542.
Résolution de 17 x – 11 y = 1 :
- Il existe des solutions car 17 et 11 sont premiers entre eux.
- Dans la division euclidienne de 17 par 11, nous avons les étapes successives:
17 = 11 + 6 ; 11 = 6 + 5 ; 6 = 5 + 1
D’où, en « remontant » dans les égalités précédentes,
1 = 6 - 5 = 6 - (11 - 6) = 6 × 2 - 11 = (17 - 11) × 2 – 11 = 17× 2 - 11 × 3.
- Une solution de 17 x – 11 y = 1 est donc (2; 3).
On a donc : 17 × 2 × 542 – 11 × 3 × 542 = 542 ; c’est-à-dire :
17 × 1084 – 11 × 1626 = 542. Avec 17 x – 11 y = 542 et en retranchant
membres à membres, on obtient : 17 (x – 1084) = 11 (y – 1626).
11 et 17 sont premiers entre eux, donc 11 divise (x – 1084) ; il existe donc un
entier k tel que x – 1084 = 11k, et par suite x = 11k + 1084 et y = 17k + 1626.
x et y sont des entiers naturels, d’où k ≥ - 95. Il existe une infinité de solutions.
(Pour k = - 95, x = 39 et y = 11.)
Deuxième exercice : Un problème d’Euler 14
Une caravane composée d’hommes et de femmes fait halte dans une
auberge. Les hommes y dépensent 19 sous chacun, les femmes 13. La
recette de l’aubergiste est de 1000 sous.
Combien y avait-il d’hommes et combien de femmes ?
Éléments de solution :
En notant x et y respectivement le nombre d’hommes et de femmes, x et y sont
solutions de l’équation : 19 x + 13 y = 1000 (1)
Par la même procédure que ci-dessus on trouve ( -2 ; 3 ) comme solution de
19 x + 13 y = 1. ( -2000 ; 3000) est donc une solution de (1), d’où
19 (x + 2000) + 13 (y – 3000) = 0.
19 et 13 sont premiers entre eux, donc il existe un entier k tel que
x + 2000 = 13k, et par suite x = 13k – 2000 et y = –19k + 3000.
x et y sont des entiers naturels, donc k est un entier qui vérifie :
13k – 2000 ≥ 0 et –19k + 3000 ≥ 0. k∈ { 154 ; 155 ; 156 ; 157}.
Il existe donc seulement 4 solutions :
2 hommes et 74 femmes ; 15 hommes et 55 femmes ;
28 hommes et 36 femmes ou 41 hommes et 17 femmes.
14
Traité d’Algèbre.
Irem de Toulouse
64
Des problèmes pour améliorer la situation
Troisième exercice : L’escalier énigmatique
Lorsqu’on descend cet escalier deux marches par deux marches, il en reste
une à la fin ; si on le descend trois par trois, il en reste deux ; quatre par quatre,
il en reste trois ; cinq par cinq, il en reste quatre ; six par six, il en reste cinq ; et
sept par sept, il n’en reste point.
Combien de marches a l’escalier ?
Éléments de solution :
1) Une condition nécessaire.
Soit x le nombre de marches. Il existe 6 entiers a , b , c , d , e et f tels que :
x = 7a , x = 6 b + 5 , x = 5 c + 4 , x = 4 d + 3 , x = 3 e + 2 et x = 2 f + 1 (1)
(schémas de divisions euclidiennes).
Si x’ est une autre solution, il existe un entier e’ tel que x’= 3 e’ + 2,
d’où x’ – x = 3 (e’ – e) , donc x’ – x est un multiple de 3.
Par des raisonnements identiques x’ – x est multiple de 4, de 5 et de 7.
De plus 3 et 4 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier k tel que
x’ – x = 12k. (Théorème de Gauss)
5 et 12 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier m tel k = 5 m;
donc x’ – x = 12 × 5 m = 60 m.
7 et 60 sont premiers entre eux ; il existe donc un entier n tel que m = 7 n
donc x’ – x = 60 × 7 n = 420 n
Conclusion: S’il existe deux solutions x et x’, alors il existe un entier n tel que
x’ = x + 420n ; en particulier, l’écart entre deux solutions étant supérieur ou
égal à 420, il existe au plus une solution dans a1;420fgh .
2) Recherche d’une solution dans a1; 420 fgh .
• Une méthode exhaustive peut consister à essayer tous les multiples de 7
dans l’intervalle. C’est fastidieux, mais on y parvient !
• On peut aussi remarquer que les équations (1) conduisent à : 7a = 6b + 5
(équation simple de Bézout).
Avec 7 × 5 = 6 × 5 + 5, on a : 7 (a – 5) = 6 (b – 5). 7 et 6 sont premiers entre
eux, donc a – 5 est multiple de 6 ; ainsi, il existe un entier k tel que a – 5 = 6k.
D’où x = 7 a = 7 ( 6 k + 5).
Pour k = 1, x = 77, qui ne convient pas : 77 – 4 n’est pas multiple de 5.
Pour k = 2, x = 119, qui convient: 119 = 7 × 17 ; 119 = 6 × 19 + 5;
119 = 5 × 23 + 4 ; 119 = 4 × 29 + 3 ; 119 = 3 × 39 + 2 et 119 = 2 × 59 + 1.
3) Synthèse. 420 est multiple de 7 , 6 , 5 , 4 , 3 et 2 , donc, quel que
soit l’entier n, les restes des divisions de 119 + 420n par 7 , 6 , 5 , 4 , 3
et 2 sont respectivement 0 , 5 , 4 , 3 , 2 et 1. Ainsi l’ensemble des
solutions est l’ensemble des entiers x de la forme : x = 119 + 420n
(n désignant un entier naturel.)
65
Pour un suivi en arithmétique
Quatrième exercice : Pas si sot !
On dispose de deux seaux non gradués contenant l’un a litres et l’autre b litres
(a et b sont des entiers naturels, et a ≤ b).
Les possibilités et les contraintes sont :
ƒ on peut puiser ou jeter de l’eau à volonté ;
ƒ aucune mesure exacte de volume n’est possible sans les seaux.
Le but est de préparer exactement n litres d’eau, n ≤ b, dans l’un des
deux seaux, l’autre étant vide.
A quelle condition peut-on préparer cette quantité ?
Concevoir un algorithme optimisant le processus de préparation : le moins de
puisages, rejets et transferts possibles pour avoir exactement les n litres.
Éléments de solution :
1) On note pa et rb (respectivement pb et ra) le nombre de puisages de a litres et
le nombre de rejets de b litres (respectivement le nombre de puisages de b
litres et le nombre de rejets de a litres).
En puisant systématiquement avec le même seau, on a donc :
pa a – rb b = n ou pb b – ra a = n.
D’où l’équation diophantienne (E) à résoudre : ax + by = n, avec x et y entiers
relatifs de signes contraires.
2) Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe des solutions :
le PGCD δ de a et b divise n.
On ne traite que le cas où δ = 1. Si δ ≠ 1, il suffit de résoudre le problème en
considérant a’ = a/δ , b’ = b/δ et n’ = n/δ.
3) Le théorème de Bézout prouve l’existence d’un couple (u, v) d’entiers
relatifs tels que : au + bv = 1. Donc : n a u + n b v = n.
On pose x1 = n u et y1 = n v. (x1 , y1) est donc une solution de (E).
Soit (x2 , y2) une autre solution, alors : a(x1 – x2) + b (y1 – y2) = 0.
Le théorème de Gauss permet alors d’établir : a divise (y1 – y2).
⎧ y = y1 − ka
.
On en déduit l’existence d’un entier relatif k tel que ⎨ 2
⎩ x 2 = x1 + kb
Réciproquement, il est clair qu’un tel couple (x2 , y2) est solution de (E).
4) Optimisation :
On cherche ici à minimiser le nombre M de manipulations (puisage, rejet ou
transfert). Le puisage se faisant avec un seul seau, chaque action (puisage ou
rejet) est suivie d’un transfert. Minimiser M équivaut donc à minimiser |x2| + |y2|,
c’est-à-dire | x2 – y2 |, car x2 et y2 sont de signes contraires.
Soit M = min | n(u – v) + k (a + b) |.
k ∈Z
Irem de Toulouse
66
Des problèmes pour améliorer la situation
Ce minimum est atteint pour le ou les entier(s) k le ou les plus proche(s) de
n(v − u) 1
n(v − u)
⎛ n(v − u) 1 ⎞
+ n’est pas entier, sinon
+ ⎟ , si
, c’est-à-dire k = E ⎜
a+b
2
a+b
2⎠
⎝ a+b
n(v − u) 1
n(v − u) 1
− .
+
et k’ =
pour k =
a+b
2
a+b
2
La solution optimale est alors : (x2 , y2) = (n u + M b , n v – M a) ;
si x2 < 0 alors ra = – x2 et pb = y2 ;
si x2 > 0 alors pa = x2 et rb = – y2.
Remarque : lorsqu’il y a deux valeurs possibles pour k, il faut puiser avec le
seau de plus grande contenance.
L’algorithme correspondant à cette optimisation, ainsi que deux exemples
numériques figurent en annexe 8.
67
CONCLUSION
A travers cette brochure, nous avons voulu exprimer notre certitude que
l’arithmétique peut et doit tenir une place importante dans l’apprentissage des
mathématiques. A l’aide de nombreux exemples, nous nous sommes efforcés
de montrer comment elle permet de placer l’élève comme au cœur des
raisonnements. De plus, elle offre de nombreux aspects ludiques et motivants
qui peuvent faciliter l’assimilation de notions et méthodes.
Nous sommes convaincus de ne pas avoir exploré toutes les possibilités
qu’offre l’arithmétique.
Cependant nous croyons que son efficacité dans l’apprentissage et la
consolidation des acquis ne seront réels que si un meilleur suivi de ce domaine
est réalisé à travers les programmes des classes du collège et du lycée.
Or nous observons aujourd’hui un bien maigre saupoudrage et un suivi pour
le moins fragmentaire de l’arithmétique. Nous le déplorons.
Par l’analyse de la situation actuelle de l’apprentissage de l’arithmétique à
partir des tests réalisés dans nos classes, par les conséquences que nous en
avons tirées, et par la diversité des exercices présentés et commentés, nous
espérons avoir ouvert de nouvelles perspectives et proposé de nouveaux
leviers aux enseignants.
Notre conviction, forgée par la longue réflexion qui a permis de réaliser cette
brochure, est que la place de l’arithmétique dans l’enseignement secondaire
doit être repensée, et cela dans l’intérêt des élèves et des professeurs.
69
BIBLIOGRAPHIE
La découverte des mathématiques – Georges POLYA
1967 – Dunod
Histoire d’algorithmes – Jean-Marc CHABERT
1994 – Belin
Exercices d’arithmétique – COMMISSAIRE
1925 – Masson
Algèbre – CONDAMINE
1971 – Delagrave
Arithmétique – Mathieu SAVIN
Brochure APMEP N° 129 – 2000
Tests sur dix énoncés tirés du livre de Gérard Charrière :
« L’algèbre mode d’emploi » – Yolande NOEL-ROCH
Bulletin de la Société Belge des Professeurs de Mathématiques
N°137 – mai-juin 2002
Raisonnements et nombres entiers – Laetitia RAVEL
Article du Bulletin APMEP N° 447
Arithmétique en Terminale S – Laetitia RAVEL
Article de la revue REPERE N°49 - 2002
L’arithmétique : un sujet d’enseignement
Bulletin d’information de l’IREM de Rennes N°41 – Sept 1999
Rallye 2002 en Terminale S
Bulletin de l’IREM de Strasbourg – L’ouvert 2002-2003
71
Annexes
ANNEXES
73
Pour un suivi en arithmétique
ANNEXE 1
L’ARITHMETIQUE DE SIXIEME EN TERMINALES
(où l’on voit les notions qu’il faudrait au moins entretenir)
Programmes
Nombres entiers
numération décimale
comparaison
opérations à la main
calcul mental
puissances
division euclidienne
PGCD
PPCM
algorithme de la différence
algorithme d’Euclide
6ème ; 5ème
6ème à 2de
6ème à Tles
Collège
dès la 4ème
dès la 6ème
TS/spé
3ème ; TS/spé ;
1ère L/opt
congruences, théorie des restes (dans ] ) TS/spé ;
TL/opt
Nombres fractionnaires
6ème
écriture du quotient de deux entiers
simplifications élémentaires
dès la 6ème
simplification complète (PGCD)
3ème
notion de fraction irréductible
3ème ; TS/spé
comparaison (des exemples au Collège)
5ème ; 2de
addition, soustraction,
4ème
addition, soustraction avec PPCM
multiplication
5ème
division
4ème
Divisibilité
multiples-diviseurs
dès la 6ème
diviseurs communs – multiples communs
dès la 6ème
divisibilité par 2, 3, 5 ... dans `
TS/spé
théorème de Gauss
Nombres premiers entre eux
3ème ; TS/spé ;
définition et utilisation
1ère L/opt
critère de Bézout
TS/spé
Nombres premiers
2de
définition
décomposition en facteurs premiers
2de
existence et unicité de la décomposition
TS/spé
petit théorème de Fermat
TS/spé
1ère L/opt ;
Système de numération
TS/spé
Irem de Toulouse
74
Accompagnements
4ème
3ème ; 2 de
TS/spé
3ème
3ème ; 2de
Annexes
ANNEXE 2
SUJET DU TEST DE SECONDE
NOM
Classe :
EXERCICE D’ARITHMETIQUE
1- a) Décomposer les entiers 1320 et 825 en produits de nombres premiers, en
déduire leur pgcd.
b) Citer au moins une autre méthode de calcul du pgcd de deux entiers, et
l’appliquer pour 1320 et 825.
2- Un philatéliste possède 1320 timbres français et 825 timbres étrangers. Il
souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire
comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres
français et étrangers.
a. Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b. Combien y aura-t-il dans ce cas de timbres français et étrangers par lot ?
3- Résoudre le problème de la question 2 avec 17017 timbres français et 1183
timbres étrangers.
75
Pour un suivi en arithmétique
ANNEXE 3
DONNEES STATISTIQUES DU TEST DE SECONDE
Le test a été réalisé auprès de 322 élèves d’un lycée d’enseignement général de Toulouse. Les nombres
présents dans les tableaux représentent des effectifs.
QUESTION 1a
(i)
(ii)
(iii)
QUESTION 1b
pas de réponse
Division euclidienne
pgcd faux
105
143
51
23
décomposition et pgcd corrects.
(ii)
décomposition correcte, pgcd faux
(iii)
erreur dans la décomposition
1b juste
Différence
pgcd juste
39
(i)
1a faux
93
47
57
QUESTION 2
Résultat cohérent
Résultat faux
pas de réponse
167
117
38
QUESTION 3
DECOMPOSITION
pgcd faux
DIVISION EUCLIDIENNE
pgcd juste
45
pgcd faux
37
pgcd juste
5
pgcd d’un entier
pgcd = 11
32
83
Irem de Toulouse
pgcd faux
50
Erreurs courantes
76
DIFFERENCE
méthode
non détaillée
pgcd juste
4
5
13
Annexes
ANNEXE 4
DONNEES STATISTIQUES DU TEST POSE EN TROISIEME ET SECONDE
CLASSE DE TROISIEME
non
resolu
Ecriture
correcte
pgcd(a,b)
Justification de
l'utilisation du
pgcd
calcul pgcd
correct
méthode
faux
division
77
soustraction
interpretation
pgcd comme
nombre de lots
répartition
pgcd vu
comme un
diviseur
question 2
résolue
Pour un suivi en arithmétique
CLASSE DE SECONDE
non
resolu
Ecriture
correcte
pgcd(a,b)
Justification de
l'utilisation du
pgcd
calcul pgcd
correct
méthode
faux
division
soustraction
produit
Reboublants
Irem de Toulouse
78
interpretation
pgcd comme
nombre de lots
répartition
pgcd vu
comme un
diviseur
question 3
résolue
Annexes
ANNEXE 5
TEST DE PREMIERE S : REPONSES DES ELEVES
79
Pour un suivi en arithmétique
Irem de Toulouse
80
Annexes
81
Pour un suivi en arithmétique
Irem de Toulouse
82
Annexes
83
Pour un suivi en arithmétique
Irem de Toulouse
84
Annexes
ANNEXE 6
SUJET DU BACCALAUREAT S ; NATIONAL, JUIN 1999
L’énoncé est à peine modifié.
On donne la liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :
an = 4×10n –1 , bn = 2×10n –1 , cn = 2×10n + 1.
1. Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3 .
2. Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ?
Montrer que an et cn sont divisibles par 3.
3. Montrer que b3 est premier (utiliser la liste donnée)
4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul , bn × cn = a2n
décomposition en produit de facteurs premiers de a6 .
.En déduire la
5. Montrer que PGCD(bn ; cn) = PGCD(cn ; 2) . En déduire que bn et cn sont premiers
entre eux.
6. On considère l’équation b3 x + c3 y = 1, d’inconnue le couple (x ;y) d’entiers relatifs.
a) Montrer que cette équation a au moins une solution.
b) A l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de cette
équation.
c) Résoudre cette équation.
85
Pour un suivi en arithmétique
ANNEXE 7
SUJET DU BACCALAUREAT S ; AMERIQUE DU SUD, 1982
1. Soit a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour PGCD. le
carré d’un nombre premier p.
a. Montrer que p² divise a² (on pourra remarquer que a² = a (a + b) – ab).
En déduire que p divise a. Montrer que p divise b.
b. Démontrer que le PGCD de a et b est soit p, soit p².
2. On cherche à déterminer les entiers naturels a et b tels que :
PGCD(a + b, ab) = 49 et PPCM(a , b) = 231 .
a. Soit a et b deux tels entiers. Montrer que leur PGCD est 7.
b. Quelles sont les solutions du problème posé ?
Éléments de solution :
1.a) Le PGCD de a + b et de ab est p² donc p² divise a + b et ab.
Comme a² = a (a + b) – ab, alors p² divise a².
On en déduit que p divise a² et comme p est premier alors p divise a.
En écrivant b = b (a + b) – ab, on démontre de même que p² divise b² puis que p
divise b.
1.b) Soit d = PGCD (a ; b).
d divise a et b donc d divise a + b et ab donc d divise leur PGCD : p².
p étant premier, les diviseurs entiers naturels de p² sont 1 , p et p².
On a démontré que p divise a et b donc p divise d. d est donc soit p soit p².
2.a) On cherche a et b tels que p² = 49 et que PPCM ( a ; b) = 231
D’après les questions précédentes, le PGCD de a et de b est soit 7 soit 49.
Si ce PGCD est 49, en posant a = 49 a’ et b = 49 b’, et sachant que le produit du
PGCD par le PPCM est égal au produit des deux nombres, on obtient :
49 × 231 = ab = 49² a’ b’ donc 49 a’ b’ = 231.
Ceci entraîne que 49 divise 231 ce qui est une contradiction. *
Le PGCD de a et de b est donc 7.
2.b) Analyse :
Sachant que le PGCD de a et de b est 7, on pose a = 7 a’ et b = 7 b’ (le PGCD de a’
et de b’ est donc 1)
Avec la propriété des produits utilisée au a) on obtient 7 × 231 = 49 a’ b’ donc
a’ b’ = 33.
Irem de Toulouse
86
Annexes
Les diviseurs entiers naturels de 33 étant 1, 3, 11 et 33 , les couples (a’ ; b’)
possibles sont donc : (1 ; 33) , (33 ; 1) , (3 ;11) et (11 ; 3) donc pour (a ; b) les couples
(7 ; 231), (231 ; 7) , (21 ; 77) et (77 ; 21).
Synthèse :
Les couples (7 ; 231) et (231 ; 7) sont rejetés après vérification car, dans ces cas,
a + b = 238 et a b = 1617.
Le PGCD de a + b et de a b n’est pas 49.
Les entiers cherchés sont donc 21 et 77.
87
Annexes
ANNEXE 8
PAS SI SOT : EXEMPLES
1) (a ; b ; n) = (5 ; 7 ; 3).
Par exemple (u ; v) = (– 4 ;3) et (u2 ; v2) = (–12 + 7 k ; 9 – 5 k).
Alors | u2 – v2 | = | – 21 + 12 k | d’où m = 2, donc (u2 ; v2) = (2 ; –1) pour 5
manipulations :
Puisage/Rejet/Transfert
P
T
P
T
R
Seau de 5 litres
5
0
5
3
3
Seau de 7 litres
0
5
5
7
0
2) (a ;b ;n) = (5 ;7 ;6).
Alors (u2; v2) = (–24 + 7 k;18 – 5 k) et | u2 – v2 | = | – 42 + 12 k |.
Ici, on a deux valeurs possibles pour m : 3 ou 4. On a donc :
a) (u2 ; v2) = (– 3 ;3) et 11 manipulations si on puise avec le grand seau :
Puisage/Rejet/Transfert
P
T
R
T
P
T
R
T
P
T
R
Seau de 7 litres
7
2
2
0
7
4
4
0
7
6
6
Seau de 5 litres
0
5
0
2
2
3
0
4
4
5
0
b) (u2 ; v2) = (4 ;– 2) et 12 manipulations si on puise avec le petit seau :
Puisage/Rejet/Transfert
P
T
P
T
R
T
P
T
R
T
P
T
Seau de 5 litres
5
0
5
3
3
0
5
1
1
0
5
0
89
Seau de 7 litres
0
5
5
7
0
3
3
7
0
1
1
6
Pour un suivi en arithmétique
PAS SI SOT : ALGORITHME
1) Entrées a, b, n
Vérification : a ≤ b , n ≤ b
2) Calcul de δ = a ∧ b
:
δ/n
IMPOSSIBLE
non
oui
3)
δ=1
non
Changement de données : a / δ → a ; b / δ → b ; n / δ → n.
oui
4) Détermination de (u , v) : sous algorithme…
Calcul de
n(v − u)
= h.
a+b
Puis détermination de m : h –
1
1
≤ m ≤ h+
2
2
et détermination de r et p : à partir du calcul des signes de u2 = nm + mb et v2= nv – ma
!
Si h –
1
∈ ] on puise avec le seau de b litres donc m tel que v2 > 0.
2
On note : P le seau puiseur ou sa contenance ;
R l’autre seau ou sa contenance ;
R le volume de remplissage de R ;
T → un transfert : on vide P dans R ou on remplit R avec P ;
R → un rejet : on vide R ;
P → un puisage : on remplit P
P vide ?
Début
oui
P
non
T
non
P > R ?
oui
T
R
non
P=n?
oui
FIN
Irem de Toulouse
90
Titre
Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale
Auteurs
Groupe Second Cycle de l’IREM de Toulouse :
Bernard Destainville, responsable ;
Sophie Dupuy - Touzet, co-responsable ;
Marc Ducret ; Jean - Marc Gibert ; Alain Viet ; Bernard Vinter.
Public
Professeurs de Collèges et de Lycées
Date
Novembre 2OO5
Mots clefs
Suivi en arithmétique – Formes de raisonnement – Algorithmes
Résumé
L’arithmétique, présente de façon sporadique dans les
programmes du secondaire, ne présente pas seulement un intérêt
en soi. Elle permet aussi de pratiquer l’algèbre, de mettre en
valeur de nombreuses formes de raisonnement et de sensibiliser
aux démarches algorithmiques.
A chaque niveau, des situations spécifiques simples sont
possibles.
Cet apprentissage de la rigueur ne peut être efficace que si les
connaissances et les méthodes sont régulièrement entretenues.
N° 172
Edition : IREM de Toulouse
Université Paul Sabatier
118 route de Narbonne
31062 Toulouse Cedex
Prix : 3€