Suites et limites 1/2
SUITES : généralités et limites
I) Définition d'une suite
Il y a deux façons principales de définir une suite :
1) Suites définies par son terme général : le terme général
est une fonction connue de l'entier n ; on a une relation du
type un = f(n) où un est directement lié à n. On dit alors
que l'on a une suite de valeurs de fonction.
C
2) Suites définies par récurrence : on se donne une règle
qui, à partir du premier terme, permet de calculer tous les
autres, de proche en proche. Une suite récurrente est
définie par son premier terme et la relation de récurrence
un+1 = f(un).
(un n'est pas directement lié à n)
u0
u3u2u1
y=x C f
u1=f(u0)
II) Comportement global
1) Sens de variation
Définition : la suite (un) est :
• croissante si et seulement si pour tout n, u u
n n+
1 ;
• décroissante si et seulement si pour tout n, u u
n n+
1.
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
a) La suite est une suite de valeurs de fonction du type un = f(n).
La connaissance du sens de variation de la fonction f associée sur [0 ;+∞[ donne, dans les cas simples, le sens de variation
de la suite.
Exemple: si f est croissante sur [0 ;+∞[, alors pour tout n, f(n+1) ≥ f(n), c’est-à-dire u u
n n+
1 donc (un) est croissante.
b) Méthode de la différence.
Propriété : Si pour tout entier n, la différence u u
n n+
1 est de signe constant, alors la suite (un) est monotone :
• différence positive : la suite est croissante ;
• différence négative : la suite est décroissante.
Conséquence : • les suites arithmétiques à raison positive sont croissantes ;
• les suites arithmétiques à raison négative sont décroissantes.
c) Méthode du quotient.
Propriété : on considère une suite positive, c’est-à-dire pour tout n, un > 0.
Si pour tout entier n, le quotient u
u
n
n
+1 est : • supérieur à 1, alors la suite (un) est croissante ;
• inférieur à 1, alors la suite est décroissante.
Conséquence : les suites de terme général qn sont, croissantes si q > 1 ; décroissantes si 0 < q < 1.