Suites et limites 1/2
SUITES : généralités et limites
I) Définition d'une suite
Il y a deux façons principales de définir une suite :
1) Suites définies par son terme général : le terme général
est une fonction connue de l'entier n ; on a une relation du
type un = f(n) où un est directement lié à n. On dit alors
que l'on a une suite de valeurs de fonction.
O
1
1
C
f
2) Suites définies par récurrence : on se donne une règle
qui, à partir du premier terme, permet de calculer tous les
autres, de proche en proche. Une suite récurrente est
définie par son premier terme et la relation de récurrence
un+1 = f(un).
(un n'est pas directement lié à n)
O
1
1
u0
u3u2u1
y=x C f
u1=f(u0)
II) Comportement global
1) Sens de variation
Définition : la suite (un) est :
croissante si et seulement si pour tout n, u u
n n+
1 ;
décroissante si et seulement si pour tout n, u u
n n+
1.
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
a) La suite est une suite de valeurs de fonction du type un = f(n).
La connaissance du sens de variation de la fonction f associée sur [0 ;+[ donne, dans les cas simples, le sens de variation
de la suite.
Exemple: si f est croissante sur [0 ;+[, alors pour tout n, f(n+1) f(n), c’est-à-dire u u
n n+
1 donc (un) est croissante.
b) Méthode de la différence.
Propriété : Si pour tout entier n, la différence u u
n n+
1 est de signe constant, alors la suite (un) est monotone :
différence positive : la suite est croissante ;
différence négative : la suite est décroissante.
Conséquence : les suites arithmétiques à raison positive sont croissantes ;
les suites arithmétiques à raison négative sont décroissantes.
c) Méthode du quotient.
Propriété : on considère une suite positive, c’est-à-dire pour tout n, un > 0.
Si pour tout entier n, le quotient u
u
n
n
+1 est : supérieur à 1, alors la suite (un) est croissante ;
inférieur à 1, alors la suite est décroissante.
Conséquence : les suites de terme général qn sont, croissantes si q > 1 ; décroissantes si 0 < q < 1.
Suites et limites 2/2
3) Suite majorée, suite minorée, suite bornée
La suite (un) est majorée s’il existe M tel que : pour tout entier naturel n, on a : un M.
La suite (un) est minorée s’il existe m tel que : pour tout entier naturel n, on a : un m.
La suite (un) est bornée si elle est majorée et minorée ;
il existe deux réels M et m tels que : pour tout entier naturel n, on a : m un M.
III) Limites de suites
1) Vocabulaire : il s’agit d’étudier le comportement d’une suite quand n tend vers +.
Suites convergentes : il s’agit des suites qui admettent une limite finie.
Par exemple, la suite 1
2
nnN
a pour limite 0 : elle est convergente et converge vers 0 ; on écrira 0
1
lim 2=
+∞n
n.
Suite de terme général qn : si 0 < q < 1, alors lim
n+∞ =qn0 ; si 1 < q < 0, alors lim
n+∞ =qn0.
Suites divergentes : il s’agit des suites de limite infinie ou des suites n’ayant pas de limite.
La suite
(
)
nnN
2 a pour limite + : elle est divergente et on écrira lim
nn
+∞ =+∞
2.
Suite de terme général qn : si q > 1, alors lim
n+∞ =+∞qn ; si q 1, alors (qn) n’a pas de limite.
2) Suite de valeurs de fonction un = f(n)
Propriété : Si la fonction f admet une limite en +, alors la suite (un) définie par un = f(n) admet pour limite )(lim xf
x+∞.
3) Théorèmes sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux suites
Les théorèmes sur la limite en + d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions s’appliquent dans le cas
des suites.
4) Théorèmes de comparaison
Théorème (suites divergentes) : Si à partir d’un certain rang un vn, et si la suite (un) diverge vers +, alors la suite (vn)
diverge vers +.
Enoncé plus imagé : (un) pousse aussi (vn) vers +.
Théorème des gendarmes (suites convergentes) : si lun
n
n=vlimlim n
+∞+∞
=
et si à partir d’un certain rang
un wn vn, alors la suite (wn) converge vers l.
Enoncé plus imagé : (wn) coincée entre (un) et (vn) qui tendent vers l, converge aussi vers l.
5) Image d’une suite par une fonction
Vocabulaire : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et (un) une suite de réels de I. On appelle suite image de la
suite (un) par la fonction f, la suite (vn) définie par vn = f(un).
Théorème : a et b désignent des nombres réels ou + ou .
Si aun
n
=
+∞
lim et bxf
ax
=
)(lim , alors bufvn
n
n
n
=
=
+∞+∞)(limlim .
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !