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SUITES : généralités et limites
I) Définition d'une suite
Il y a deux façons principales de définir une suite :
1) Suites définies par son terme général : le terme général
est une fonction connue de l'entier n ; on a une relation du
type un = f(n) où u n est directement lié à n. On dit alors
que l'on a une suite de valeurs de fonction.
2) Suites définies par récurrence : on se donne une règle
qui, à partir du premier terme, permet de calculer tous les
autres, de proche en proche. Une suite récurrente est
définie par son premier terme et la relation de récurrence
un+1 = f(un).
(un n'est pas directement lié à n)
y=x
Cf
u1=f(u0)
1
O
1
Cf
1
O
1
u3 u2
u1
u0
II) Comportement global
1) Sens de variation
Définition : la suite (un) est :
• croissante si et seulement si pour tout n, u n +1 ≥ u n ;
• décroissante si et seulement si pour tout n, u n +1 ≤ u n .
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
a) La suite est une suite de valeurs de fonction du type un = f(n).
La connaissance du sens de variation de la fonction f associée sur [0 ;+∞[ donne, dans les cas simples, le sens de variation
de la suite.
Exemple: si f est croissante sur [0 ;+∞[, alors pour tout n, f(n+1) ≥ f(n), c’est-à-dire u n +1 ≥ u n donc (un) est croissante.
b) Méthode de la différence.
Propriété : Si pour tout entier n, la différence u n +1 − u n est de signe constant, alors la suite (un) est monotone :
• différence positive : la suite est croissante ;
• différence négative : la suite est décroissante.
Conséquence :
• les suites arithmétiques à raison positive sont croissantes ;
• les suites arithmétiques à raison négative sont décroissantes.
c) Méthode du quotient.
Propriété : on considère une suite positive, c’est-à-dire pour tout n, u n > 0.
u
Si pour tout entier n, le quotient n +1 est :
• supérieur à 1, alors la suite (un) est croissante ;
un
• inférieur à 1, alors la suite est décroissante.
Conséquence : les suites de terme général qn sont, croissantes si q > 1 ; décroissantes si 0 < q < 1.
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3) Suite majorée, suite minorée, suite bornée
• La suite (un) est majorée s’il existe M tel que : pour tout entier naturel n, on a : u n ≤ M.
• La suite (un) est minorée s’il existe m tel que : pour tout entier naturel n, on a : u n ≥ m.
• La suite (un) est bornée si elle est majorée et minorée ;
il existe deux réels M et m tels que : pour tout entier naturel n, on a : m ≤ un ≤ M.
III) Limites de suites
1) Vocabulaire : il s’agit d’étudier le comportement d’une suite quand n tend vers +∞.
• Suites convergentes : il s’agit des suites qui admettent une limite finie.
 1
Par exemple, la suite  2 
a pour limite 0 : elle est convergente et converge vers 0 ; on écrira lim 12 = 0 .
 n  n ∈N
n → +∞ n
Suite de terme général q n : • si 0 < q < 1, alors lim q n = 0 ;
• si −1 < q < 0, alors lim q n = 0 .
n→ +∞
n→ +∞
• Suites divergentes : il s’agit des suites de limite infinie ou des suites n’ayant pas de limite.
( )
La suite n 2
n ∈N
a pour limite +∞ : elle est divergente et on écrira lim n 2 = +∞ .
n→ +∞
Suite de terme général q : • si q > 1, alors lim q = +∞ ;
n
• si q ≤ −1, alors (qn) n’a pas de limite.
n
n→ +∞
2) Suite de valeurs de fonction un = f(n)
Propriété : Si la fonction f admet une limite en +∞, alors la suite (un) définie par un = f(n) admet pour limite lim f ( x) .
x → +∞
3) Théorèmes sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient de deux suites
Les théorèmes sur la limite en +∞ d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions s’appliquent dans le cas
des suites.
4) Théorèmes de comparaison
Théorème (suites divergentes) : Si à partir d’un certain rang u n ≤ vn, et si la suite (un) diverge vers +∞, alors la suite (vn)
diverge vers +∞.
Enoncé plus imagé : (un) pousse aussi (vn) vers +∞.
Théorème des gendarmes (suites convergentes) : si lim u n = lim v n = l et si à partir d’un certain rang
n → +∞
n → +∞
un ≤ wn ≤ vn, alors la suite (wn) converge vers l.
Enoncé plus imagé : (wn) coincée entre (un) et (vn) qui tendent vers l, converge aussi vers l.
5) Image d’une suite par une fonction
• Vocabulaire : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et (un) une suite de réels de I. On appelle suite image de la
suite (un) par la fonction f, la suite (vn) définie par vn = f(un).
•Théorème : a et b désignent des nombres réels ou +∞ ou −∞.
Si lim u n = a et lim f ( x) = b , alors lim v n = lim f (u n ) = b .
n → +∞
x→a
n → +∞
n → +∞
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