Semi-normes 2.1
En effet on a
0=0·p(0) = p(0) = p(ϕ−ϕ)6p(ϕ)+p(−ϕ),
donc (i). Si pest sous-linéaire, remarquons tout d’abord que
p(ψ)=p(ψ−ϕ+ϕ)6p(ψ−ϕ)+p(ϕ),
donc que
p(ψ)−p(ϕ)6p(ψ−ϕ).
On en déduit alors que
|p(ψ)−p(ϕ)|=max[p(ψ)−p(ϕ),p(ϕ)−p(ψ)] 6max [p(ψ−ϕ),p(ϕ−ψ)] ,
ce qui Þnit de prouver (ii). La dernière assertion est alors immédiate. ¤
DEFINITION 2 Si (qj)j∈J⊂SL(F),onpose
^
j∈J
qj(ϕ):= inf
(ϕj)j∈J∈F(J),Pj∈Jϕj=ϕX
j∈J
qj¡ϕj¢∈Rpour tout ϕ∈F.
Si Xest un ensemble, Aune partie de Xet f:A−→ R,ondésigneparf∞la fonction
sur Xobtenue en prolongeant fpar ∞hors de A. On écrit q1∧q2àlaplacedeVj∈{1,2}qj.
THEOREME Soient p∈SL(F)et (qj)j∈J⊂SL(F).
(i) On a p6qjpour tout j∈Jsi, et seulement si, p6Vj∈Jqj.
(ii) Si Vj∈Jqj>−∞ sur F,alorsVj∈Jqj∈SL(F).Sitouslesqjsont absolument
homogènes, il en est de même de Vj∈Jqj.
(iii) Soient Cun sous-cône convexe de Fet r:C−→ e
Rune fonctionnelle positivement
homogène et sous-additive. Alors la fonctionnelle r∞:F−→ e
Rappartient à SL(F).
Démonstration de (i) Cette assertion est importante, puisqu’elle ramène un problème
à plusieurs inégalités (même une inÞnité !) à un problème à une seule inégalité. Etant donné
ϕ∈Fet ¡ϕj¢j∈J∈F(J)tels que Pj∈Jϕj=ϕ,sipourtoutj∈J,onap6qj,alors
p(ϕ)=pÃX
j∈J
ϕj!6X
j∈J
p¡ϕj¢6X
j∈J
qj¡ϕj¢,
donc p(ϕ)6Vj∈Jqj(ϕ)en passant à l’inÞmum. Réciproquement étant donné k∈J,ona
p(ϕ)6^
j∈J
qj(ϕ)6qk(ϕ)
en considérant la famille ¡ϕj¢j∈JdéÞnie par
ϕj:=
ϕj=k
si
0sinon
.
Démonstration de (ii) Pour tout α∈R∗
+et ϕ∈F, on a tout d’abord
^
j∈J
qj(α·ϕ)=inf
(ϕj)j∈J∈F(J),Pj∈Jϕj=α·ϕX
j∈J
qj¡ϕj¢=
Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 89