Chapitre 2
ESPACES LOCALEMENT
CONVEXES
Versiondu27juin2004
Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 85
2.1 Semi-normes
2.1 Semi-normes
DEFINITION 1 On dit qu’une fonction p:F−→ e
Rest une fonctionnelle et qu’elle est
sous-linéaire si elle possède les deux propriétés suivantes :
(a) positivement homogène
p(α·ϕ)=α·p(ϕ)pour tout αR+et ϕF,
(b) sous-additive
p(ϕ+ψ)6p(ϕ)+p(ψ)pour tout ϕ,ψF.
Nous désignerons par SL(F)l’ensemble de toutes les fonctionnelles sous-linéaires sur F.
On dit que pest une forme sous-linéaire si c’est une fonctionnelles sous-linéaires sur Fà
valeurs dans Ret que c’est une semi-norme si elle prend ses valeurs dans R+et si elle est
(c) absolument homogène
p(α·ϕ)=|αp(ϕ)pour tout αKet ϕF,
On dit que c’est un norme si en plus elle est
(d) séparante
p(ϕ)=0 ⇐⇒ ϕ=0 pour tout ϕF.
Nous dirons qu’un espace vectoriel Fmuni d’une semi-norme pest un espace semi-normé .
S’il faut préciser nous écrirons (F, p). Rappelons que l’on dit espace normé s’il est muni d’une
norme.
EXEMPLE 1 Pour toute forme linéaire µ:F−→ K, la fonction ϕ7−→ |µ(ϕ)|est une
semi-norme sur F.ParexemplesiXest un ensemble et xX, alors la forme linéaire d
évaluation en x
εx:KX−→ K:ϕ7−→ ϕ(x)
Þnit une semi-norme sur KX
KX−→ R+:ϕ7−→ |ϕ(x)|.
Si Xest un espace topologique séparé et µune intégrale de Radon sur X,alors
L1(µ)−→ R+:ϕ7−→ ¯¯¯¯Zϕ¯¯¯¯
86 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier
Semi-normes 2.1
est une semi-norme sur L1(µ),qui n’est pas une norme puisqu’il existe en général des fonctions
µ-intégrables telles que Zϕ=0. Il ne faut pas confondre cette semi-norme avec la norme
k1:= Z|·| .
EXEMPLE 2 Soit Pun ensemble Þni de formes sous-linéaires ou de semi-normes sur Fet
(αp)pPR+.Alors
max P:ϕ7−→ maxpPp(ϕ)et X
pP
αp·p:ϕ7−→ X
pP
αp·p(ϕ)
sontdesformessous-linéairesourespectivementdessemi-normessurF.
EXEMPLE 3 Si Pest une famille de fonctionnelles sous-linéaires sur F,alors
sup P:ϕ7−→ suppPp(ϕ)
est une fonctionnelle sous-linéaire. Ceci est également vrai pour les formes sous-linéaires ou les
semi-normes, pour autant que sup Psoit Þnie !
EXEMPLE 4 Soient (F, p),(G, q)des espaces semi-normés et s[1,[.Alors
p×sq:(ϕ,γ)7−→ (p(ϕ)s+q(γ)s)1
set p×q:(ϕ,γ)7−→ max (p(ϕ),q(γ))
sont des semi-normes sur F×G.
La fonction
p+q:ϕ7−→ p|FG(ϕ)+q|FG(ϕ)
est une semi-norme sur FG.
EXEMPLE 5 Soit Xun ouvert de Rn. Pour tout ϕC()(X),toutepartiecompacte
KX, tout αNnet tout kN, on pose
pK,k (ϕ):=max
αNn,|α|16kkαϕk,K
et
qK,α(ϕ):=kαϕk,K .
On vériÞeimmédiatementquecesontdessemi-normessurC()(X).
EXEMPLE 6 Pour simpliÞer l’écriture introduisons la fonction indéÞniment dérivable
hidi:= 1 + |id|2:Rn−→ R
+:x7−→ 1+|x|2.
Pour tout ϕC()(Rn)et kNposons
pk(ϕ):=max
αNn,|α|16k°
°
°hidik·αϕ°
°
°R+
et
qk(ϕ):=max
αNn,|α|16k°
°
°hidik·αϕ°
°
°2R+.
Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 87
2.1 Semi-normes
On vériÞe immédiatement que ces fonctionnelles sont absolument homogènes et sous-ad-
ditives. Il est alors clair que
S(Rn):=©ϕC()(Rn)¯¯pk(ϕ)<pour tout kNª
et
S2(Rn):=©ϕC()(Rn)¯¯qk(ϕ)<pour tout kNª
sont des sous-espaces vectoriels de C()(Rn)et que les restrictions correspondantes de pket qk
sont des normes.
L’espace S(Rn)étant très important dans les applications, on dit qu’une fonction f
L(Rn)est à décroissance rapide si, pour tout kN,ona
°
°
°hidik·f°
°
°<.
On désigne par L
rap (Rn)l’ensemble de ces fonctions.
On dit qu’une fonction fC()(Rn)est clinante si toutes ses dérivées sont à décroissance
rapide, i.e. si fS(Rn).
Nous montrerons en 2.3 que S2(Rn)=S(Rn)! Nous dirons que c’est lespace de Schwartz .
LEMME Pour tout x, y Rn,ona
hx+yi6hx(1 + |y|)262·hxi·hyi
et
hxi62·hx+yi·hyi.
En eet comme 1,|x|61+|x|2,ilvient
hx+yi=1+|x+y|261+|x|2+2|x|·|y|+|y|26
61+|x|2+2¡1+|x|2¢·|y|+¡1+|x|2¢·|y|2=
=¡1+|x|2¢·¡1+2|y|+|y|2¢=hx(1 + |y|)2.
D’autre part il est clair que (1 + |y|)262¡1+|y|2¢=2hyi. Finalement
hxi=hx+yyi62·hx+yi·hyi=2·hx+yhyi.
¤
On dit que 2·hidiest un poids sous-multiplicatif .
PROPOSITION Soit p:F−→ e
R.
(i) Si pest une fonctionnelle sous-linéaire, on a
p(ϕ)>p(ϕ)pour tout ϕF.
(ii) Si pest une forme sous-linéaire, on a
|p(ψ)p(ϕ)|6max [p(ψϕ),p(ϕψ)] pour tout ϕ,ψF.
(iii) Si pest une semi-norme p,ona
|p(ϕ)p(ψ)|6p(ϕψ)pour tout ϕ,ψF.
88 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier
Semi-normes 2.1
En eet on a
0=0·p(0) = p(0) = p(ϕϕ)6p(ϕ)+p(ϕ),
donc (i). Si pest sous-linéaire, remarquons tout d’abord que
p(ψ)=p(ψϕ+ϕ)6p(ψϕ)+p(ϕ),
donc que
p(ψ)p(ϕ)6p(ψϕ).
On en déduit alors que
|p(ψ)p(ϕ)|=max[p(ψ)p(ϕ),p(ϕ)p(ψ)] 6max [p(ψϕ),p(ϕψ)] ,
ce qui Þnit de prouver (ii). La dernière assertion est alors immédiate. ¤
DEFINITION 2 Si (qj)jJSL(F),onpose
^
jJ
qj(ϕ):= inf
(ϕj)jJF(J),PjJϕj=ϕX
jJ
qj¡ϕj¢Rpour tout ϕF.
Si Xest un ensemble, Aune partie de Xet f:A−→ R,ondésigneparfla fonction
sur Xobtenue en prolongeant fpar hors de A. On écrit q1q2àlaplacedeVj{1,2}qj.
THEOREME Soient pSL(F)et (qj)jJSL(F).
(i) On a p6qjpour tout jJsi, et seulement si, p6VjJqj.
(ii) Si VjJqj>−∞ sur F,alorsVjJqjSL(F).Sitouslesqjsont absolument
homogènes, il en est de même de VjJqj.
(iii) Soient Cun sous-cône convexe de Fet r:C−→ e
Rune fonctionnelle positivement
homogène et sous-additive. Alors la fonctionnelle r:F−→ e
Rappartient à SL(F).
Démonstration de (i) Cette assertion est importante, puisqu’elle ramène un problème
à plusieurs inégalités (même une inÞnité !) à un problème à une seule inégalité. Etant donné
ϕFet ¡ϕj¢jJF(J)tels que PjJϕj=ϕ,sipourtoutjJ,onap6qj,alors
p(ϕ)=pÃX
jJ
ϕj!6X
jJ
p¡ϕj¢6X
jJ
qj¡ϕj¢,
donc p(ϕ)6VjJqj(ϕ)en passant à l’inÞmum. Réciproquement étant donné kJ,ona
p(ϕ)6^
jJ
qj(ϕ)6qk(ϕ)
en considérant la famille ¡ϕj¢jJÞnie par
ϕj:=
ϕj=k
si
0sinon
.
Démonstration de (ii) Pour tout αR
+et ϕF, on a tout d’abord
^
jJ
qj(α·ϕ)=inf
(ϕj)jJF(J),PjJϕj=α·ϕX
jJ
qj¡ϕj¢=
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