Espaces localement fermés

Espaces localement ferm´es
Colas Bardavid
vendredi 8 avril 2005
Dans toute la suite, Xest un espace topologique.
D´efinition 1 Soit Yune partie de X. On dit que Yest localement ferm´ee si
∀y∈Y, ∃U∈ VX(y)tel que Y∩Uest ferm´e dans U.
Cependant, g´en´eralement, on donne une autre d´efinition de localement ferm´e.
Nous pr´ef´erons l’exprimer dans la proposition qui suit.
Proposition 2 Soit Yune partie de X. Alors, Yest localement ferm´ee si, et
seulement si, il existe Oouvert de Xet Fferm´e tels que Y=O∩F.
D´emonstration : Dans un sens, c’est facile puisque si Ys’´ecrit O∩Fet si
y∈Y,Oest un voisinage de yet Y∩O=O∩Fest bien ferm´e dans O.
Dans l’autre sens, montrons que Yest ouverte dans ¯ Y. Soit y∈Y; il existe
U∈ VX(y) tel que Y∩Uest ferm´e dans U. Montrons qu’alors on a Y∩U=¯ Y∩U.
Soit y∈¯ Y∩Uet supposons que y /∈Y∩U. Comme Y∩Uest ferm´e dans U, il
existe Vouvert que y∈Vet V∩(Y∩U) = ∅. Cependant y∈¯ Ydonc (V∩U)∩Y
devrait ˆetre non-vide, ce qui est absurde. On en d´eduit que Y∩U=¯ Y∩U. Par
cons´equent, y∈¯ Y∩U=Y∩U⊂Ydonc Yest voisinage (dans ¯ Y) de tous ses
points. Donc Yest un ouvert de ¯ Y.
Fait 3 Tout ouvert et tout ferm´e est localement ferm´e.
Propri´et´e 4 L’ensemble des parties localement ferm´ees est stable par intersec-
tion finie.
D´emonstration : Soit (Yi)0≤i≤mmparties localement ferm´ees. Soit y∈TiYi.
Pour tout ion peut alors trouver Ui∈ VX(y) tel que U1∩Y1soit ferm´e dans
U1. Alors :
\
i
Yi!∩ \
i
Ui!= \
i
Yi∩Ui!= \
i
Fi∩Ui!= \
i
Ui!∩ \
i
Fi!
Et donc (TiYi) est ferm´ee dans (TiUi) qui est bien un voisinage de y.
Cependant la liste des bonnes propri´et´es s’arrˆete l`a.
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D´eception 5 L’ensemble des parties localement ferm´ees n’est stable ni par
union finie ni par union quelconque ni par intersection quelconque.
Pour le montrer, voici des contre-exemples.
Contre-exemple 6 (pour l’union quelconque) On se place dans R. Pour
tout point x,{x}est ferm´e donc localement ferm´e. Cependant, Sx∈Q{x}=Q
n’est pas localement ferm´e dans R.
Contre-exemple 7 (pour l’intersection quelconque) On se place dans R.
Pour tout n∈N?,R\ { 1
n}est ouvert donc localement ferm´e. Cependant,
Tn∈N?R\ { 1
n}=R\ {1,1 2,1 3, . . .}n’est pas localement ferm´e, comme on peut
le voir autour de 0.
Contre-exemple 8 (pour l’union finie) On se place dans le sch´ema A2
k, di-
sons avec kalg´ebriquement clos. Soit alors Y1=D(X)qui est ouvert (donc loca-
lement ferm´e) et Y2={(0,0)}qui est ferm´e. Alors, Y1∪Y2n’est pas localement
ferm´e.
Remarque : On se doutait que les localement ferm´es ne sont pas stables par
union finie, grˆace `a la remarque de Hartshorne dans Algebraic geometry, page
94.
D´emonstration : D’abord, on a Y1∪Y2=A2
k: en effet, Y1∪Y2contient
un ouvert, qui est dense car A2
kest irr´eductible. Pour montrer que Y1∪Y2est
localement ferm´e, il faut montrer que Y1∪Y2est ouvert dans Y1∪Y2=A2
k. Il
faut donc trouver Iun id´eal de fonctions telles que Y1∪Y2=A2
k\V(I) c’est-`a-
dire tel que V(I) = {(x, 0), x 6= 0}. Cependant, si fs’annule sur {(x, 0), x 6= 0},
fs’annule aussi en (0,0). En effet, ´ecrivons P(X, Y ) = P0≤i≤NQi(Y)Xi∈
k(Y)[X] ; R(X) = P(X, 0) s’annule pour x6= 0. Comme kest alg´ebriquement
clos, kest infini donc Ra une infinit´e de racines, donc Rest nul et donc P(0,0) =
0. On a prouv´e que {(x, 0), x 6= 0}=V(Y) et mˆeme mieux que si x1, x2, . . . , xn∈
kalors V(Y)\ {x1, x2, . . . , xn}=V(Y). Cela conclut la d´emonstration. 
R´ef´erences
[1] N. Bourbaki, Topologie g´en´erale, ´el´ements de math´ematique, 4`eme ´edition,
ch. I, §1.4
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