Feuille d`exercices n◦

Université Paris 7
UFR de Mathématiques
Année 2006 /2007
Théorie des ensembles
◦
Feuille d'exercices n
Sauf mention du contraire ou cas particuliers, si
x ∧ y, x ∨ y
de x.
et
xc
x
et
y
2
sont deux éléments d'une algèbre de Boole, on note
respectivement la borne inférieure, la borne supérieure de l'ensemble
{x,y},
et le complément
1) Si F ⊆ E , alors P(F ) est-elle une sous-algèbre de Boole de P(E).
2) Soient A = (A, ∧ , ∨ ,c ,0,1) une algèbre de Boole et B une partie de A. Dans quels cas peut-on armer
que B = (B, ∧ , ∨ ,c ,0,1) est une sous-algèbre de Boole de A:
a) B contient 0, 1, et stable par ∧ et ∨.
b) B est non vide et stable par ∧ et c .
c) B est non vide et stable par l'opération: s : (x,y) 7→ (xc ∧ y c ).
3) Soit A = (A, 6) un ensemble ordonné. On suppose que ≤ muni A d'une structure d'algèbre de Boole.
Soit p ∈ A. Montrer que si B = {x ∈ A; x 6 p} alors B = (B, 6) est naturellement muni d'une
structure d'algèbre de Boole. Est-ce un sous-algèbre de A? Montrer que l'application h : x 7→ x ∧ p est
un homomorphisme de A sur B et en déterminer le noyau.
4) Un atome d'une algèbre de Boole A est un élément non nul a de A qui vérie :
∀x ∈ A (x ≤ a → (x = 0 ou x = a)).
(1)
Une algèbre est atomique signie que tout élément non nul de A est minoré par un atome.
a) Quels sont les atomes de l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble. Donner un exemple d'algèbre
de Boole non atomique (si possible une sous-algèbre de l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble).
b) Montrer que a 6= 0 est un atome de A
ssi ∀x ∈ A (a ≤ x ou a ≤ xc );
(2)
ssi ∀x,y ∈ A (a ≤ x ∨ y → (a ≤ x ou a ≤ y)).
(3)
c) Soit A une algèbre atomique dont l'ensemble des atomes est S . Montrer que l'application ϕ dénie
ci-dessous etablit un homomorphisme injectif de A dans P(S),
ϕ : A −→ P(S)
x −→ {a ∈ S; a ≤ x}
d) Montrer que toute algèbre de boole nie est atomique et isomorphe à P(S) où S est l'ensemble de
ses atomes.
e) Donner un exemple d'algèbre de Boole innie atomique non isomorphe à l'ensemble des parties de
ses atomes.
f) Une algèbre de Boole A est dite complète si et seulement si toute partie non vide de A admet une
borne inférieure
(i) Montrer que l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble est complète.
(ii) Montrer qu'une algèbre de Boole est complète si et seulement si toute partie non vide admet
une borne supérieure.
(iii) Donner une exemple d'algèbre de Boole atomique non complète.
(iv) Montrer qu'une algèbre de Boole est atomique et complète si et seulement si elle est isomorphe
à l'ensemble des parties d'un ensemble.
5) Soit P un ensemble de variables propositionnelles, et soit LP l'algèbre de Boole obtenue en quotientant
l'ensemble des formules du calcul propositionnel sur P par la relation d'équivalence logique (Algèbre de
Lindenbaum).
a) Montrer que si l'ensemble P est inni cette algèbre de Boole n'a pas d'atomes et n'est pas complète
b) On suppose que l'ensemble P est ni, soit P = {p1 , . . . ,pn }. Montrer qu'alors l'algèbre de Boole
LP est atomique, que ses atomes sont :
S = {α1 ∧ . . . ∧ αn ; pour 1 ≤ i ≤ n αi = pi ou αi = ¬pi }
et qu'elle est isomorphe à P(S).
6) Soit A une algèbre de Boole complète et φ une application croissante de A dans A. Montrer, en
considérant soit {x ∈ A , φ(x) ≤ x} soit {x ∈ A , φ(x) ≥ x}, que φ admet un point xe, i.e. qu'il existe
x ∈ A tel que φ(x) = x.
7) Soit E un ensemble et ATune sous-algèbre de Boole de P(E).
S
a) Soit a ∈ E et â =
x. Montrer que pour tout x ∈ A on a x =
â, et que pour tout b ∈ E ,
a∈x
x∈A,a∈x
b ∈ â ssi a ∈ b̂ ssi b̂ = â.
b) On suppose que pour tout M ⊆ A, (
T
x) ∈ A. Montrer que A est atomique et que S = {â|a ∈ E}
x∈M
est l'ensemble des atomes de A. Montrer que A est isomorphe à l'algèbre P(S) des parties de S .
8) Soit A une algèbre de Boole. Pour toute partie F de A on note F 0 l'ensemble:
F 0 = {xc ; x ∈ F }
Montrer que si F est un ltre de A alors F ∪ F 0 est une sous-algèbre de A.
9) Soit E un ensemble ni. Montrer que les idéaux de P(E) sont les P(F ) où F ( E . Qu'en est-il si E
est inni?