Mathématiques orientées construction

VILLE DE LIEGE
INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS
Enseignement de promotion sociale
Mathématiques
orientées construction
Notes de cours provisoires
Jean-Luc Becker

Trigonométrie

Mathématiques orientées construction - trigonométrie
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1. Nombres trigonométriques des angles aigus
Soit un angle aigu quelconque. Construisons un triangle rectangle contenant cet angle.
1.1. Définitions
On appelle
SINUS d’un angle aigu α le rapport entre le côté opposé à l’angle et
l’hypoténuse,
COSINUS de cet angle α le rapport entre le côté adjacent à l’angle et
l’hypoténuse,
TANGENTE le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à
l’angle, et
COTANGENTE le rapport entre le côté adjacent à l’angle et le côté opposé à
l’angle.
En résumé :
sin cosα α α= = =
coté oppos
é
coté adjac
ent
coté oppos
é
coté adjacenthypotenuse hypotenuse tg
On peut facilement montrer à l’aide des triangles semblables que ces nombres sont
indépendants du triangle rectangle choisi. Ces nombres ne dépendent donc que de l’angle α
( ou de son amplitude ) et son appelés nombres trigonométriques de l’angle aigu α
αα
α.
Avec les notations du triangle ci-dessus, on a donc
sin $cos $ $ sin $cos $ $ C
c
a
C
b
a
tg C
c
b
b
a
B
c
a
tg B
b
c
= = = = = =B
1.2. Propriétés
En observant les définitions et le tableau des valeurs ci-dessus, on voit de suite que :
(
)
(
)
sin
$
cos
$
cos
$
sin
$
cos
$
cos
$
B C B C B C= = °− = = °−90 90
Le théorème de Pythagore a une conséquence remarquable appelée relation
fondamentale de la trigonométrie. En effet, on a
( ) ( )
AB
AC
BC
AB
BC
AC
BC
AB
BC
AC
BC
²
²
²
²
²
²
²
sin cos
+ =
+ =
+
=
+ =
1
1
1
22
2 2
α α
ce que les mathématiciens écrivent souvent
sin
²
cos
²
α α+ =
1
A
B
C
α

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2. Unités de mesure des angles
2.1. Le degré
Le
degré est par définition la nonantième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat
a pour mesure 180°. Le degré est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes :
1° = 60’, 1’ = 60’’, donc 1° = 3600’’. Notons cependant qu’en pratique, on utilise de
moins en mois les degrés-minutes-secondes au profit des degrés décimaux.
2.2. Le grade
Le
grade est par définition la centième partie de l’angle droit. Ainsi, un angle plat a
pour mesure 200 g. Le grade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autres unités
du système international. Notons cependant un sous-multiple du grade souvent utilisé en
topométrie : le décimilligrade (dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de grade :
1 dmg =
1
10000
g g g= =
−
10 0 0001
4
,
2.3. Relation entre les unités
La relation entre ces deux unité découle d'une simple règle de trois. En effet, on a
100 g = 90° ⇔ 1 g = 0,9° ⇔ 1° =
10
9
g
3. Formulaire
3.1. Triangles rectangles
$ $ $
s in $c o s $
s in $c o s $
$c o t $
$c o t $
A B C g
Bb
aC
Cc
aB
t g B b
cg C
t g C c
bg B
a b c
+ + + =
= =
= =
= =
= =
= +
2 0 0
2 2 2
3.2. Triangles quelconques
$ $ $
sin $sin $sin $
cos $
cos $
cos $
A B C g
a
A
b
B
c
C
a b c bc A
b c a ca B
c a b ab C
+ + =
= =
= + −
=+−
= + −
200
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c

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4. Exercices
1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan horizontal α passant par le pied d’une
tour. De 0, on voit le sommet de la tour sous un angle de 55 g au-dessus de l’horizontale
passant par O et le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même horizontale. Calculer
la hauteur de la tour.
55g
11g
5,00
H ?
2/ Un observateur est à 30 m du pied d’une tour verticale de 25 m de hauteur. On
demande sous quel angle il voit la tour, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé horizontal.
?
25,00
30,00
1,50