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Mines Physique 2 PSI 2012 — Énoncé 1/7
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2012
SECONDE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:4heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEII —PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte7 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
UN HOULOG ´ EN´ ERATEUR PENDULAIRE
Onconsid` ereun houlog´ en´ erateurpendulairedestin´ e` a convertirl’´ energiem´ ecaniquedelahoulema-
rine en´ energie´ electrique.Celui-cise composed’un penduleoscillant` al’int´ erieurd’un flotteurlibre
desed´ eplacer` alasurface del’oc´ ean.Lahoule entretient lemouvementdu flotteur,etdonc,parl’in-
term´ ediairedesforcesd’inertie,l’oscillation relativedu pendule.Unalternateursolidairedel’axedu
pendule assurelaproduction d’´ energie´ electrique.Lestroispartiesdu probl` emesont ind´ ependantes.
On y envisagesuccessivement la caract´ erisation delahoule entantqu’ondedesurface,l’´ etude
m´ ecaniquedu houlog´ en´ erateur,puisleprobl` emedela conversion ´ electrom´ ecanique.
Danstout leprobl` eme,lesvecteurs~vsontnot´ esavec unefl` eche en g´ en´ eralmaisavec un chapeaub u
s’ils sontunitaires,eton associe` aunegrandeursinuso¨ ıdalef(t)=A0cos(
ω t+ ϕ )sarepr´ esentation
complexesoulign´ ee
f(t)=A0exp j(
ω t+ ϕ )avec f(t)=Re{f(t)}etj2=−1
Unegrandeursurmont´ ee d’un pointrepr´ esentelad´ eriv´ ee temporellede celle ci : ˙
α =d
α
dt.
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Mines Physique 2 PSI 2012 — Énoncé 2/7
I.—Caract´ erisation delahoule
Dansunemod´ elisation simplifi´ ee,leprobl` eme estsuppos´ eilli-
mit´ eselon ladirection b eyet invariantvis-` a-visdelavariablex.La
houle ensurface estcaract´ eris´ ee parl’´ equation delasurface libre
z=H+
ξ (y,t)o` u ξ (y,t)=acos( ω t−ky)
o` uHest laprofondeuraurepos,
ξ (y,t)l’´ el´ evation par rapport` aH
due` alahoule,
ω lapulsation et~ k=kb eyle≪vecteurd’onde≫de
lahoule,touslesdeux r´ eels.Onleurassocielap´ eriodetemporelle
Tet lalongueurd’onde
λ .
FIGURE1 – Param´ etrisation dela
houle
Ons’int´ eresse` al’´ ecoulementdel’eau demerentrelefond platet imperm´ eable enz=0et la
surface libre enz=H+
ξ (y,t).Cet´ ecoulementestparam´ etr´ eparleschampseul´ eriensdevitesse
~v(y,z,t)=vy(y,z,t)b ey+vz(y,z,t)b ezetdepression P(y,z,t).Pourcette´ etude,on seplace dansle cadre
del’approximation a≪
λ ,dite≪acoustique≫,o` uleschampspr´ ec´ edentstraduisentune´ evolution de
≪faible amplitude≫delaparticulefluide autourdesaposition aurepos(y,z).
Onsupposequel’eau demerestun fluideincompressibledemassevolumique
µ =1,00 ·103kg.m−3
en´ ecoulement irrotationnel.Lapression atmosph´ eriqueP
0et le champ depesanteur~g=−gb
ezsont
uniformes,on prendrag=9,81 m.s−2.Enfin,dansler´ ef´ erentiel terrestre(Oxyz),l’´ ecoulementv´ erifie
l’´ equation deNavier-Stokes
µ
h
∂ ~v
∂ t+(~v·−−→
grad)~vi=−−−−→ gradP+
µ ~g−2 µ
~
Ωt∧~v+
η ∆~v
o` u~ Ωtd´ esignelevecteur rotation delaTerre autourdeson axepolaire et
η laviscosit´ edynamiquede
l’eau demer.Pourlesapplication num´ eriqueson prendra
η =10−3Pa.s.
Pourl’´ etude envisag´ ee,l’´ equation deNavier-Stokespeutˆ etregrandementsimplifi´ ee dansle cadredes
approximations suivantes:
–A1: letermedeviscosit´ e estn´ egligeabledevant letermede convection ;
–A2: letermedeCoriolisestn´
egligeabledevant letermede convection ;
–A3: lad´
eriv´ ee convective estn´ egligeabledevant lad´ eriv´ ee temporellelocale.
1—Enconsid´ erantacommedistance caract´ eristiquedu d´ eplacementd’uneparticulefluide,
traduirelitt´ eralementchacunedesapproximations sousformed’unein´ egalit´ e en ordredegrandeur
portantsurlesquantit´ esa,T,
λ ,et lesconstantesdu probl` eme.
2—Proposerdesvaleursnum´ eriquespour µ etΩt.En d´ eduirelesordresdegrandeursinf´ erieur
etsup´ erieurpour
λ impos´ esparlesapproximationsA1etA2 dansle casd’unehouletelleque
a=1metT=5s.Cesapproximations sont-ellesjustifi´ ees?
3—Quellepropri´ et´ edoit v´ erifierle champ devitesse~vpourqu’il existeun potentieldesvitesses
scalaireΦ(y,z,t)telque~v=−−−−→ gradΦ.Quelle est l’´ equation v´ erifi´ ee parΦ?
4—Simplifierl’´ equation deNavier-Stokesdansle cadredesapproximationsA1,A2etA3.
En d´ eduirequelaquantit´ e ε =
∂ Φ
∂ t+P µ
+gzestuniformedansl’´ ecoulement.Quellesignification
physiquepeut-on donner` aP
µ
+gz?
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Mines Physique 2 PSI 2012 — Énoncé 3/7
5—OnchercheΦsouslaformed’unefonction ` avariables s´ epar´ eesdont larepr´ esentation com-
plexes’´ ecrit
Φ(y,z,t)=f(z)ej(
ω t−ky)
D´ eterminerl’expression def(z)enfonction dek,zetdedeux constantesd’int´ egration quel’on notera
c1etc2.
6—En´ etudiant lasurface librede cotez=H+ ξ (y,t),justifieravec rigueurlesconditionsaux
limitesimpos´ ees` aΦsurlasurface libre,ce quirevientdansl’approximation ≪acoustique≫`
ase
placerenz=H.
∂ Φ
∂ zz=H
=
∂ξ (y,t)
∂ tet
∂ Φ
∂ tz=H
=−g ξ (y,t)
En d´ eduireunerelation reliantc1,c2et lesparam`
etresdu probl` eme.
7—En´ ecrivant la condition aux limitesimpos´ ee ` aΦenz=0,montrerquec1=c2.En d´ eduire
l’expression de
ω
2souslaforme
ω
2=gkΨ(kH)o`
ul’on pr´ eciseral’expression delafonction Ψ(kH).
V´ erifierque
Ψ(kH)≃kHsikH≪1etΨ(kH)≃1sikH≫1
Dansle cadredel’´ etude envisag´ ee,il estpossibledefairel’uneou l’autredesdeux hypoth` eses
suivantes:
–H1: lahoulesepropage eneau peu profonde ainsikH≪1;
–H2: lahoulesepropage eneau profonde ainsikH≫1.
8—Pr´ eciserdanschacun descasH1etH2si lapropagation delahoule estou n’estpas
dispersive.Commentcelasemanifeste-t-il en pratiquepourun observateurscrutant lesoscillations
delasurface libre ?
9—L’´ etude envisag´ ee parlasuite esteffectu´ ee pouruneprofondeuraureposH≃100 m.Laquelle
desdeux hypoth` esesH1ou H2 doit-on retenirdansle casd’unehouletellequea=1metT=5s?
L’approximation ≪acoustique≫estellev´
erifi´ ee a posteriori?
10 —Lesr´ esultatspr´ ec´ edentspermettentdemontrerqu’au voisinagedelasurface librelepotentiel
desvitesses s’´ ecrit
Φ(y,z,t)=ja
ω
kek(z−H)ej(
ω t−ky)
Exprimer,dansle cadredel’approximation ≪acoustique≫,lesd´ eplacementsr´ eels δ y(y,z,t)et δ z(y,z,t)
d’uneparticulefluide autourdesaposition aureposrep´ er´ ee parsescoordonn´ ees(y,z).Quelle est,
dansce cas,lanaturedelatrajectoiresuivie aucoursdu tempsparuneparticulefluide ? Quelle est
l’´ evolution de cettetrajectoire enfonction dez?
11 —Lefonctionnementdu houlog´ en´ erateurpeutˆ etreperturb´ equand lavitessehorizontale
d’uneparticulefluide ensurface d´ epasselavitessedepropagation delahoule.On dit alorsqu’il
yad´ eferlement.Onappelle
γ =2a/ λ la cambruredelahoule.´ Etablirqueled´ eferlementapparaˆ ıt
lorsque
γ devientsup´ erieur` aune certaine cambrure critique γ
cquel’on d´
eterminera.Unehoulese
propageanteneau profonde et tellequea=1metT=5sest-elled´ eferlante ?
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Mines Physique 2 PSI 2012 — Énoncé 4/7
12 —Avantdepasserau principemˆ emedu houlog´ en´ erateur,il reste` aquantifierlapuissance
disponible.Justifierquel’on puisse exprimerlapuissance m´ ecaniquePmd´ evelopp´ ee parlahoule` a
traversunesection verticaleSd’´ ecoulementsouslaforme
Pm=−ZZS
µ∂
Φ
∂ y
∂ Φ
∂ td
σ
Exprimer,dansle cadredel’approximation ≪acoustique≫,lapuissance m´ ecaniquemoyenne<Pm>
d´ evelopp´ ee parlahoulesurtoutelahauteurdel’´ ecoulementenfonction de
µ , ω ,g,aetdelalargeur
ℓxselon ladirection b ex.D´ eterminerlavaleurdelapuissance <Pm>/ℓxdisponibleparm` etredefront
d’ondedansle casd’unehouletellequea=1metT=5s.Quepensez-vousde cettevaleur?
FIN DELA PARTIEI
II.—´ Etudem´ ecaniquedu houlog´ en´ erateur
Lehoulog´ en´ erateurconsid´ er´ e estmod´ elis´ epar
deux composants:
– un flotteurde centred’inertieG;
– un pendulepesantdelongueurℓ=AB,dont la
massemp=105kg estconcentr´ ee ` al’extr´ emit´ e
Betdont lepointd’attacheAestconfondu avec
G.
On note,dansce cas,
α (t)l’inclinaison du pen-
dulerelativementauflotteurqui,lui-mˆ eme,reste
vertical.Enfin,le couplage´ electrom´ ecanique entre
lependule et l’alternateurquipermetde conver-
tirl’´ energiem´ ecaniquedu pendule en´ energie
´
electriqueintroduit un coupler´ esistantdemoment
−
β
˙
α
b
exo` ule coefficientde conversion estfix´ e` ala
valeur
β =1,05.106N.m.rad−1.s.
FIGURE2 – Houlog´ en´ erateurm´ ecanique
Le champ depesanteur~g=−gb ezest toujoursuniforme.Laliaison pivotd’axe(Gx)entrelependule
et leflotteurestparfaite.Onconsid` erequel’action delahoulesurleflotteurser´ esume aux seules
translations selon lesdirectionsb eyetb ezdu centred’inertieG,appel´ eescavalementetpilonnement,et
caract´ eris´ eesparlescoordonn´ eesY(t)etZ(t)deGdansler´ ef´ erentiel terrestreR=(Oxyz)suppos´ e
galil´ een.
13 —Donnerl’expression delaforce d’inertiequis’exerce surlependuledansler´ ef´ erentiel
barycentriqueR′=(Gxyz)du flotteur.
14 —Enappliquant leth´ eor` emedu momentcin´ etique enG=Aau penduledansler´ ef´ erentiel
barycentriqueR′du flotteur,montrerquel’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee par
α s’´ ecrit
¨
α + χ
˙
α +s( α )=0(1)
o` ul’on exprimera
χ enfonction de β ,mpetℓet lafonction s( α )enfonction deℓ,g,¨ Y,¨ Zet α .
15 —Exprimerl’´ energiem´ ecaniqueEmdu penduledansler´ ef´ erentielbarycentriqueR′du flotteur.
`
Al’aided’un bilan´ energ´ etique,retrouverl’´ equation diff´ erentielle´ etablie` alaquestion 14.
L’action delahoule estdor´ enavantcaract´ eris´ ee parunep´ eriodeT=5setparlesfonctionsY(t)=
acos(
ω t)etZ(t)=asin( ω t)avec ω =2 π /T.
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Mines Physique 2 PSI 2012 — Énoncé 5/7
16 —Pourcettequestion on consid´ ereral’exempled’un houlog´ en´ erateurdot´ ed’un penduledelon-
gueurℓ=2m.´ Etudierlasolution del’´ equation (1)dansun r´ egimedefaiblesacc´ el´ erationsverticales
(¨ Z≪g)etdepetitesoscillations(|
α
|≪1).On d´
eterminera en particulierladur´ ee caract´ eristique
τ
et lapseudo-p´ eriodeTtdu r´ egimetransitoire ainsiquel’amplitudeAmaxdu r´ egimesinuso¨ ıdalforc´ e.
FIGURE3 – ´ Evolution de α enfonction detpourdiff´ erentesvaleursdeaetdeℓ.
17 —Uner´ esolution num´ eriquedel’´ equation (1)sanshypoth` eses sur α et¨ Zestentreprisepour
diff´ erentesvaleursdeaetℓ` apartirde conditionsinitialesnulles.Larepr´ esentation graphiquede cer-
tainesde ces solutionsfait l’objetdelafigure3.En utilisant lesr´ esultatsdelaquestion 16,interpr´ etez
lepluspr´ ecis´ ementpossible cescourbes.
FIGURE4 – <P>enfonction deℓ
Ons’int´ eresse` apr´ esent` alapuissance moyenne conver-
tie enr´ egimed’oscillationsforc´ eesparlehoulog´ en´ erateur,
not´ ee <P>.Oncalculepourcelalafonction <Pℓ>qui
repr´ esentent l’´ evolution de<P>enfonction du param` etre
ℓdu houlog´ en´ erateur,lesautresparam` etres´ etantconstants.
Lar´ esolution num´ eriquedel’´ equation (1)apermisd’obte-
nirlafigure4.Pourcescalculsetafin detracerla courbeon
a choisia=0,1metT=5s.
18 —Commentpeut-on ´ evaluer<Pℓ>` apartirdela
solution num´ erique
α (t)del’´ equation (1)?Interpr´ eterphy-
siquement la courbe.
FIN DELA PARTIEII
III.—Probl` emedelaconversion´ electrom´ ecanique
La conversion del’´ energiem´ ecaniquedu pendule en´ energie´ electrique estr´ ealis´ ee parun alternateur.
Lesoscillationsdu pendulesontconvertiesen un mouvementderotation sensiblementuniforme` a
lavitesse angulaireΩautourdel’axe(Ox)d’unebobine appel´ ee rotor.Labobineder´ esistance r
etd’inductance propreLcomporteNspiresrectangulairesjointivesetassoci´ eesens´ erie,d’´ epaisseur
n´ egligeable,dehauteurhselon b exetdelargeurbperpendiculairement` a cettedirection.Elle estferm´ ee
suruner´ esistance de chargeR.
Onsupposedansun premiertempsqu’un champmagn´ etiqueuniforme~ B0=B0b
eyestcr´ e´ eparun
aimantpermanentet immobile,appel´ estator (voirfigure5).On noteil’intensit´ edu courant induit par
larotation delabobinedansle champ~ B0,son sensest indiqu´ esurlafigure5.
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